E.T.M Master: Énergie et technologie des matériaux

(1)

Master: Énergie et technologie des matériaux

E.T.M

KAMAL GUERAOUI

Professeur de l’Enseignement Supérieur et Responsable de l’Equipe de Modélisation en Mécanique des Fluides et en Environnement

ANNÉE UNIVERSITAIRE ANNÉE UNIVERSITAIRE ANNÉE UNIVERSITAIRE

ANNÉE UNIVERSITAIRE : : : 2011 : 2011 2011 2012 2011 2012 2012 2012

UNIVERSITÉ MOHAMMED V UNIVERSITÉ MOHAMMED V UNIVERSITÉ MOHAMMED V

UNIVERSITÉ MOHAMMED V ---- AGDALAGDALAGDALAGDAL

FACULTÉ DES FACULTÉ DES FACULTÉ DES

FACULTÉ DES SCIENCESSCIENCESSCIENCESSCIENCES

RABAT RABAT RABAT RABAT

(2)

INTRODUCTION GÉNERALE

(3)

Le phénomène de transfert de chaleur et de masse par la convection naturelle, dans des espaces confinés ou semi-confinés, est généralement dû à la présence des gradients de température et de concentration. Ces gradients causent une distribution non uniforme de la densité du mélange qui provoque à son tour un mouvement convectif sous l’effet de la gravité.

Le contenu des espaces peut être un milieu fluide ou un milieu poreux saturé par un fluide.

Dans la plupart des situations, que ce soit dans la nature ou dans l’industrie, le fluide est constitué de deux ou plusieurs composants. Ainsi, les écoulements naturels engendrés portent le nom de convection naturelle en double diffusion lorsque le fluide est binaire ou bien de convection thermosolutale lorsque le fluide est composé de deux ou plusieurs constituants.

Le phénomène de la convection thermosolutale est fréquemment rencontré dans la nature. Les exemples sont multiples et nous pouvons en citer quelques-uns : les mouvements convectifs dans les océans qui sont dus, d’une part, à la présence de gradient de température et, d’autre part, à la distribution non uniforme de la concentration du sel, la dispersion des polluants dans l’atmosphère (gaz nocifs) et dans le sol (déchets nucléaires) et la migration de l’humidité ou des sels minéraux dans les sols. Par ailleurs, les transferts de chaleur et de masse par convection sont aussi omniprésents. Ces phénomènes interviennent, par exemple, lors des mécanismes de changement de phase des métaux où la convection affecte directement la structure micrographique et les propriétés mécaniques et thermophysiques des alliages, lors des procédés de séchage de différents produits industriels et domestiques, au cours de divers procédés thermochimiques et électrochimiques, lors des stockage des gaz liquides, dans les pompes à chaleurs à absorption ou à adsorption, dans les réacteurs chimiques, dans les procédés d’oxydation ou de traitement des surfaces métalliques et lors de la migration de l’humidité dans les fibres destinées à l’isolation thermique.

Ce polycopié présente la formulation mathématique du problème de la convection naturelle laminaire d’un fluide newtonien confiné dans une enceinte cylindrique d’axe vertical chauffé par le bas. Le fluide est considéré incompressible et l’approximation de Boussinesq est introduite.

ÄÄ

ÄÄ Les mouvements de convection naturelle sont régis, dans le cas d’un milieu fluide libre et purement thermique par les équations de Navier-Stocks déduites des bilan de masse et de quantité de mouvement aux quelles il convient d’ajouter l’équation de l’énergie déduite du premier principe de la thermodynamique.

Ä Ä Ä

Ä Ensuite une formulation vorticité-fonction de courant est introduite et le nouveau système d’équations à résoudre est développé sous la forme divergence et convective.

(4)

Ä

Ä Ä

Ä Après présentation des équations scalaires et des conditions aux limites exprimées dans le système cylindrique, une adimensionnalisation du système ainsi obtenu est alors effectuée.

ÄÄ

ÄÄ Ensuite nous abordons la formulation spécifique à la convection thermique ; à la magnétoconvection et à la convection thermosolutale.

ÄÄ

ÄÄ Nous précisons pour chaque problème la nature des forces extérieures ; les groupements adimensionnels et éventuellement les équations supplémentaires à prendre en compte.

ÄÄ

ÄÄ Pour les milieux poreux deux formulations seront présentées EBFD et REB dans un volume de contrôle.

Ä Ä Ä

Ä Ce polycopié sera terminé par la présentation de paramètres permettant de quantifier les transferts de chaleur et de masse : Nombre de Nusselt et Nombre de Sherwood.

(5)

PARTIE A

PROBLEME DE CONVECTION EN MILIEU CONFINE

(6)

Chapitre 1

Formulation mathématique

(7)

1- EQUATIONS EN MILIEU FLUIDE LIBRE

1.1- Equation de conservation de la masse (Equation de continuité)

La conservation de la masse de tout système matériel est un principe fondamental de la mécanique classique il implique que :

==== 0 dt dt dt dt dmdm dmdm

D’où :

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω_{}^_∂_∂_∂_∂^∂^∂^∂^∂^ρ^ρ^ρ^ρ_tttt ⁺⁺⁺⁺^div^div^div^div

((((

^ρ^ρ^ρ^ρ^v^v^v^v^r

))))

_{}^^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω ⁼⁼⁼⁼ ⁰

Ce qui donne :

divdivdivdiv

((((

vvvv

))))

0000 tttt ++++ ρρρρ ====

∂∂

∂∂ ρ ρ ρ ρ

∂

∂ r

Pour un fluide incompressible, on trouve

(((( )))) ^vvvv ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

div div div div r = = = =

(1) 1.2- Equation de conservation de la quantité de mouvement

La variation de la quantité de mouvement linéaire de toute partie Ω d’un milieu continu qu’on suit dans son mouvement est équilibrée par l’action des forces de volume (forces à distance) et les forces de contact exercées sur le contour de Ω.

Les forces à distance sont généralement connues (Ex : gravité,….).

Les forces de contact exercées sur le contour de Ω par la matière environnement sont des actions extérieures à Ω mais intérieures au système milieu continu ce sont les efforts de cohésion du milieu continu.

Cauchy suppose l’existence d’une densité surfacique de force Tr

(

nr,X,t

)

définit pour tout vecteur unitaire nr

en tout point (X,t) du milieu continu. Donc Tr

(

nr,X,t

)

représente la force par unité de surface exercée par la matière située du coté positif de nr

sur la matière située du coté négatif de nr

, les forces de contact exercées sur Ω sont alors.

(((( ))))

∫∫∫∫

=

==

= SSSS contcontcont

cont TTTT nnnn,,,,XXXX,,,,tttt dSdSdSdS F

F F

Fr r r

; Forces de contact.

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω ^Ω^Ω^Ω^Ω

=

= ffffdddd F

F F F_àdis_àdis_àdis_àdis

r r

; Forces à distance, avec f est une densité volumique.

Or :

T T T T r (((( n n n n r ,,,, X X X X ,,,, tttt )))) (((( X X X X ,,,, tttt )))) ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ r

∑

= ∑

= =

=

(8)

Avec ∑∑∑∑

((((

XXXX_,,,,_tttt

))))

appelé tenseur des contraintes.

D’où la loi de conservation de la quantité de mouvement linéaire s’écrit sous la forme suivante :

(((( ))))

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^ρ^ρ^ρ^ρ^d^d^d^d_dt_dt_dt_dt^v^v^v^v^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω ⁼⁼⁼⁼

∫∫∫∫

_S_SS_S^∑^∑^∑^∑ ^X^X^X^X^,,,,^tttt ^dS^dS^dS^dS ⁺⁺⁺⁺

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω ^ffff^r^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω

r

(2)

Or

∫∫∫∫

_S_SS_S^∑^∑^∑^∑

((((

^X^X^X^X^,,,,^tttt

))))

^dS^dS^dS^dS ⁼⁼⁼⁼

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^div^div^div^div ^∑^∑^∑^∑

((((

))))

^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω

D’où :

((((

XXXX_,,,,_tttt

))))

_ffff

div divdiv dt div dt dt dt vvv v dd

ddr r

+ + + + Σ

ΣΣ Σ

=

==

= ρ ρ ρ

ρ (3)

Pour un fluide visqueux :

((((

XXXX,,,,tttt

))))

====−−−−PIPIPIPI++++ττττ

((((

XXXX,,,,tttt

))))

∑∑

∑∑ ₍₄₎

PIPIPI PI

−−

−− : est le tenseur des contraintes normales.

((((

XXXX,,,,tttt

))))

τ ττ

τ : est le tenseur des contraintes visqueuses.

(((( ))))

divdivdivdiv

(((( ))))

vvvv ²²²² ^D^D^D^D

3 3 3 3 2 2 2 tttt 2

,,,, X X X

X  δδδδ++++ µµµµ



 



ξξξξ−−−− µµµµ

===

= τττ

τ r

(5)

D : est appelé tenseur du taux de déformation.

(((( )))) (((( (((( )))) ))))

[[[[ ^div ^div ^div ^div ^vvvv ^div ^div ^div ^div ^vvvv

^T^T^T^T

]]]]

2 2 2 2 1 1 1 D 1 D D

D r r

+ + + +

=

= =

=

₍₆₎

D’où :

((((

))))

⁼⁼⁼⁼ ^_^^ξ^ξ^ξ^ξ⁻⁻⁻⁻ ^µ^µ^µ^µ^_^^div^div^div^div

(((( ))))

^v^v^v^v^r ^δ^δ^δ^δ⁺⁺⁺⁺ ^µ^µ^µ^µ

[[[[

^div^div^div^div

(((( ))))

^v^v^v^v^r ⁺⁺⁺⁺

((((

^div^div^div^div

(((( ))))

^v^v^v^v^r

))))

^T^T^T^T

]]]]

τ ττ

τ 3

2 (7)

Ω est la viscosité dynamique du fluide (1^ère viscosité) et ΨΨΨ est appelée 2Ψ ^ème viscosité.

D’où l’équation finale de conservation de la quantité de mouvement pour un fluide incompressible (divdivdivdiv

(((( ))))

vvvvr ⁼=== ⁰

) :

(((( ))))

PPPP ^vvvv ^ffff dd

dd gragra gragra dt

dtdt dt v vv v d d d

dr r r r

+ ++ +

∆

∆∆

∆ µ µ µ µ + + + +

−

=

= ρ ρ ρ

ρ (8)

1.3- Equation de conservation de l’énergie (Premier principe de la thermodynamique) A chaque instant, la somme de la dérivée particulaire de l’énergie interne Eint du système D et de la dérivée particulaire de l’énergie cinétique EC est égale à la somme de la puissance des efforts extérieures exercés sur D dans le mouvement réel et du taux de chaleur reçu par le système D.

(9)

(((( )))) (((( ))))

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^ρ^ρ^ρ^ρêdêdêdêd^Ω^Ω^Ω^Ω ⁺⁺⁺⁺ _dt_dt_dt_dt^d^d^d^d

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^ρ^ρ^ρ^ρ^v^v^v^v ^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω ⁼⁼⁼⁼

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω ^ffff^v^v^v^v ⁺⁺⁺⁺ ^rrrr^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω⁺⁺⁺⁺

∫∫∫∫

_SS_S_S^T^T^T^T^v^v^v^v ⁻⁻⁻⁻^q^q^q^qⁿⁿⁿⁿ^dS^dS^dS^dS

dtdt dtdt d d d

d rr rr rr

2

(9) q

qq qr

: est le vecteur flux de chaleur sortant au point M de normale nr

; r est la densité volumique de chaleur échangée par le système par rayonnement et e est une densité massique de l’énergie interne.

D’après le théorème de l’énergie cinétique on a :

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^ρ^ρ^ρ^ρ^v^v^v^v ^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω ⁼⁼⁼⁼

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω ^ffff^v^v^v^v^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω ⁺⁺⁺⁺

∫∫∫∫

_SS_S_S^T^T^T^T^v^v^v^v^dS^dS^dS^dS ⁻⁻⁻⁻

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^∑^∑^∑^∑ ^:::: ^Dd^Dd^Dd^Dd^Ω^Ω^Ω^Ω

dt dtdt dt ddd

d rr rr

2

(10)

On introduit l’équation (10) dans l’équation (9), on trouve :

(((( ))))

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω^ρ^ρ^ρ^ρ_dt_dt^de^de^de^de_dt_dt ^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω ⁼⁼⁼⁼

∫∫∫∫

_Ω_Ω_Ω_Ω ^∑^∑^∑^∑ ^:::: ^D^D^D^D ⁺⁺⁺⁺ ^rrrr ^d^d^d^d^Ω^Ω^Ω^Ω⁻⁻⁻⁻

∫∫∫∫

_SS_S_S^q^q^q^q^rⁿⁿⁿⁿ^r^dS^dS^dS^dS ⁽¹¹⁾

Or, d ‘après le théorème de la divergence, on a :

(((( ))))

qqqq div divdiv rrrr div D

D D :::: D dt

dt dt dt de de de

de r

−

− + ++

∑ +

∑

= ∑

=

= ρ ρρ

ρ (12)

Avec : ∑∑∑∑ ==== −−−−PPPPδδδδ++++2µµµµDDDD

∑∑∑∑ ==== −−−− δδδδ ++++ µµµµ ==== −−−− ++++µφµφµφµφ

d dd

PId

PIPI PI D

DD :::: D D D D D D

D D :::: D P P P P D D D

:::: D 2 (13)

(((( ))))

⁼⁼⁼⁼ ⁼⁼⁼⁼

(((( ))))

⁼⁼⁼⁼ ⁰

=

==

= δ

δδ

δ :::: DDDD tratratratra DDDD IIII_d_d_d_d divdivdivdiv vvvvr

∑∑∑∑ :::: DDDD ==== µφµφµφµφ

δδ

δδ : Est appelée fonction de dissipation visqueuses de Rayleigh.

L’enthalpie massique s’écrit sous la forme : ρ ρ ρ + ρ ++ +

=

= PPPP eeee h h h

h ⁽¹⁴⁾

D’où :

dt dt dt dt dP dPdP dP dt

dtdt dt dh dhdh dh dt

dt dt dt de dede

de ==== ρρρρ −−−− ρ

ρ ρ

ρ (15)

Or : h est une fonction de la température et de la pression, d’où :

(((( ))))

dtdt dtdt dP dPdP T dP T T dt T

dt dtdt dT dT dT C dT CC dt C dtdt dt dP dP dP dP PPP P h h h h dtdt

dtdt dT dT dT dT TT TT h hh h dtdt

dtdt dh dh dh dh

T T T P T

P

PP −−−−ββββ ρρρ + ρ ++ +

=

∂ =

∂∂

∂

∂ + ∂ + +

∂ +

∂

∂∂

∂

∂∂

= ∂

==

= 1 1

Car : TTTT h hh C h

C C C_P_P_P_P

∂∂

∂

∂∂

= ∂

==

= (16) ;

((((

TTTT

))))

PP PP h h h h

TT TT

ββ ββ

−−

−− ρρ ρρ

==

∂∂

∂

∂ 1 1

(17)

(10)

P PP T P

T T

T TTTT 



 





∂

∂∂

∂ ρρ ρρ

∂∂

∂∂ ρ ρρ

−ρ

−

=

= β β β

β 1

(18)

On introduit les équations (16) et (17) dans l’équation (15), on trouve : dt

dt dt dt dPdPdP T dP T T dt T

dt dt dt dTdT dTdT C C C dt C dt dt dt dedede de

T TT P T

PP

P −−−−ββββ ρ

ρ ρ ρ

=

==

= ρ ρ ρ

ρ (19)

On introduit les équations (19) et (13) dans l’équation (12), on trouve :

(((( ))))

dt dt dt dt dPdP dPdP T T T rrrr T

q q q q div divdiv dt div

dtdt dt dTdT dTdT C C C

C_P_P_P_P ==== −−−− ++++ ++++µφµφµφµφ++++ββββ_T_T_T_T ρ

ρ ρ

ρ r

(20)

En convection naturelle, lorsque les vitesses de l’écoulement et les pressions mises en jeu sont relativement faibles, on néglige les termes de compressibilité et de dissipation devant les autres termes de l’équation de l’énergie et on prend r=0 (pas d’échange à distance).

(((( ))))

qqqq div divdiv dt div

dtdt dt dTdT dTdT C C C

C_P_P_P_P r

−

=

==

= ρ

ρ ρ

ρ

TTT T dd dd gragra gragra qqq

q r r

λ λλ λ

−

=

= (21) c’est la loi classique de Fourier.

L’équation de l’énergie s’écrit finalement sous la forme suivante : T

TT T K KK K T TT C T C CC dtdt dtdt dT dT dT dT

TT TT P

P P P

∆∆∆

∆

==

∆∆

∆∆ ρρρ ρ λ λ λ

= λ

=

== (22)

KT : est la diffusivité thermique du fluide.

2- APPROXIMATION DE BOUSSINESQ

L’approximation de Boussinesq consiste à considérer que les variations de la masse volumique du fluide en fonction de la température sont négligeables sauf dans le terme de poussée (gravité).

(((( ))))

0

((((

TTTT TTTT0

))))

0

[[[[

1

((((

TTTT TTTT0

)))) ]]]]

T TT T T

T

TT _T_T_T_T

P P P P

−−−

− βββ

β

−−−

− ρρ ρρ

==

−−−

 −



 





∂

∂∂

∂ ρ ρ ρ ρ

∂

∂ + ∂ + ++ ρρρ ρ

==

== ρρ

ρρ (24)

ρρ

ρρ0 est la masse volumique du fluide à T=T0.

Sous ces hypothèses, le système d’équations à considérer qui gouverne le phénomène de la convection naturelle laminaire devient :

Equation de continuité :

(((( )))) ^vvvv ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

div div

div div r = = = =

(25) Equations de Navier Stocks :

(11)

(((( )))) [[[[

_T_T_T_T

((((

₀₀₀₀

)))) ]]]]

^''''

00 00

ffff gggg TT TT TT TT 11

11 vvv v PPP

P dd dd gragra gragra 1 11 1 dt

dtdt dt v vv v d d d

dr r r r r

+ ++ +

−

−−

− β

β β β

−

− + ++ +

∆

∆ ν ν ν ν + + + ρ +

ρρ

− ρ

−

=

==

= (26)

Equation de l’énergie :

T T T T K K K dt K dtdt dt dT dT dT dT

TT TT∆∆∆∆

==

== (27)

(12)

Chapitre 2

FORMULATION VORTICITE-FONCTION DE COURANT

(13)

1- Introduction

Pour les écoulements bidimensionnels cylindriques, il s’avère commode de remplacer les variables primitives pression et vitesse par la composante non nulle

Ω

r

du vecteur rotationnel de la vitesse et la fonction de courant ΨΨΨΨ.

( ) v

t ro r r r

=

Ω

(28)

zzzz rrrr 1 11 u 1 uu

u ∂∂∂∂ Ψ ΨΨ Ψ

∂

= ∂

=

== (29) et

rrrr rrrr 111 w 1

w w

w ∂∂∂∂ Ψ Ψ Ψ Ψ

∂

∂∂

− ∂

−

−−

===

= (30)

Avec :

z zz z r

rr

r wwwweeee eeee

uuu u vv

vvr r r + + + +

=

On applique l’opérateur rotationnel à l’équation (26), on trouve :

(((( ))))

vvvv gragragragradddd

(((( ))))

PPPP

(((( (((( ))))

vvvv

))))

_T_T_T_T

((((

TTTT TTTT

))))

gggg ffff ^''''

div div div div v v v tttt v vv

vvr r r r r r r r r r r

r

∧

∧∧

∧

∇

∇∇

∇ + + + +

−

−−

−

∧

∇

∇ β β β β

−

∆

∧

∇

∇ ν ν ν ν + + + +

∧

∇

∇ ρ ∇ ρρ

−ρ

−

=

 =



 



 ++++

∂

∂∂

∧

∧∧

∧

∇

∇ ₀

0

1 (31)

On a les relations suivantes :

(((( ))))

((((

^gra^gra^gra^gra^d^d^d^d ^ffff

))))

⁼⁼⁼⁼ ⁰

tttt ro ro ro ro r r

(32) et

rorororottttffff ....AAAA ffff....rorororotttt

(((( ))))

AAAA AAAA gragragragradddd

^{(((( ))))}

ffff r r

r r r r

∧∧

−−−

−

==

== (33)

Les équations (32) et (33) donnent :

(((( ))))

==== ⁰

∧

∇

∇ gragragragradddd PPPP r r

(34) et

[[[[

^∇^∇^∇^∇

]]]]

⁼⁼⁼⁼ ^∇^∇^∇^∇ ^∇^∇^∇^∇^∧^∧^∧^∧ ⁻⁻⁻⁻ ^∧^∧^∧^∧^∇^∇^∇^∇

(((( ))))

^∇^∇^∇^∇ ⁼⁼⁼⁼ ^Ω^Ω^Ω^Ω^∇^∇^∇^∇ ⁻⁻⁻⁻ ^∇^∇^∇^∇^Ω^Ω^Ω^Ω

∧

∇

r r r r r r r

r r r

r r r r r r

r r

....

v v v v v vv .... v v

v v v v

vv v v vv .... v v vv v v

v v .... v v v v

v (35)

Vu l’identité :

((((

^∧^∧^∧^∧^Ω^Ω^Ω^Ω

))))

⁼⁼⁼⁼ ^Ω^Ω^Ω^Ω^∇^∇^∇^∇ ⁻⁻⁻⁻ ^∇^∇^∇^∇^Ω^Ω^Ω^Ω

∧

∇

r r r r r r r r

r vvvv .... vvvv vvvv.... (36)

On introduit les équations (34) et (35) dans l’équation (31), on obtient :

((((

.... vvvv vvvv....

))))

TTTT

⁽⁽⁽⁽

TTTT TTTT0000

⁾⁾⁾⁾

gggg ffff^''''

tttt

r r r r

r r

r r rr r r

∧

∇

∇∇

∇ + + + + Ω ΩΩ Ω

∆

∆∆

∆ ν ν ν ν + ++ +

−

∧

∧∧

∧

∇

∇ β β β β

−

− Ω Ω Ω Ω

∇

∇∇

∇

−

∇

∇∇

∇ Ω Ω Ω Ω

−

=

∂ =

∂

∂∂ Ω ΩΩ Ω

∂

∂∂

∂ (37)

Où :

((((

vvvv

))))

TTTT

⁽⁽⁽⁽

TTTT TTTT0000

⁾⁾⁾⁾

gggg ffff^''''

tttt

r r r r

r r r r r

∧

∧∧

∧

∇

∇∇

∇ + ++ + Ω ΩΩ Ω

∆

∆ ν ν ν ν + ++ +

−

∧

∇

∇ β β β β

−

∧

∧ Ω ΩΩ Ω

∧

∧∧

∧

∇

∇∇

∇

−

=

==

∂ =

∂∂

∂ Ω ΩΩ Ω

∂

∂∂

∂ (38)

L’équation (37) est la forme convective de l’équation du transport du rotationnel.

(14)

L’équation (38) est la forme divergence ou conservative de l’équation du transport du

rotationnel.

- la forme convective de l’équation de l’énergie : TTT T kk kk TT TT ....

vvv tttt v T T T T

T T T T∆∆∆∆ + + + +

∇

−

=

∂ =

∂

∂ r r

(39) - la forme divergence de l’équation de l’énergie :

( )

^T^v ^k ^T

t

T ⁼⁻^∇ ⁺

T

^∆

∂

∂ r r

(40)

Car : Error! Objects cannot be created from editing field codes.

et ∇∇∇∇rvvvvr ==== 0

La fonction de courant est reliée au vecteur rotationnel de vitesse par la relation suivante :

θ θ θ

 θ

 



∂

∂ ΨΨ ΨΨ

∂∂

−

∆Ψ

=

==

= Ω ΩΩ

Ω eeee

rrrr rrrr rrrr

r 1 2 r

(41)

2- EQUATIONS SCALAIRES

Le système scalaire à résoudre dans le cas de régime stationnaire pour une telle configuration est le suivant :

Equation (38) :

((((

wwww eeeerrrr uuuu eeeezzzz

))))

_T_T_T_T

((((

TTTT TTTT

))))

gggg ffff ^''''

r r r r

∧∧∧

∧

∇∇∇

∇ ++ ++ ΩΩ ΩΩ

∆∆

∆∆ νν νν ++ ++

−−

∧∧∧

∧

∇∇∇

∇ ββ ββ

−−−

−

===

= ΩΩΩ Ω

−−

−− ΩΩΩ Ω

∧∧∧

∧

∇∇

∇∇ ₀ (44)

((((

∇∇∇∇ ∧∧∧∧

))))

θθθθ

+ + +

+



 



 ΩΩΩΩ

−

∂ −

∂∂

∂ ΩΩ ΩΩ

∂∂∂ + ∂ + + θ + θ θ θ

∂

∂ ΩΩΩ Ω

∂∂∂ + ∂ ++

∂ +

∂∂

∂ ΩΩΩ Ω

∂∂∂ + ∂ + +

∂ +

∂

∂ ΩΩ ΩΩ

∂∂

∂∂ ν νν ν + ++

∂ +

∂

∂∂∂ β ∂ β β β

−

−−

−

=

==

∂ =

∂∂

∂ ΩΩ ΩΩ

∂∂

∂∂ + ++

∂ +

∂

∂ ΩΩ ΩΩ

∂∂

eeee rrrr ffff

z zz rrrr z

rrrr rrrr rrrr rrrr

TTT g T g gg rrrr

uu uu z

zz z ww

ww _''''

T T T T

r r r

2 2 2 2 2 2

2 1 1

(45)

r rr

eeeerr z zz

eeeerz

L L L

L ggggr

R R R R z zz z

rrrr

FF FF C

C C C TTTT T

T T T >>>>>>>>

C C C

TC

T T T T TT T ====

FF FF

T TT T T T T T ====

(((( ))))

LL LL z zz T z TT T TT TT TTT

T TT

TT_Paroi_Paroi_Paroi_Paroi ==== _C_C_C_C −−−− _C_C_C_C −−−− _F_F_F_F

Ou OuOu

Ou  ==== 0











∂

∂∂

∂

=

==RRRR rrr r Paroi ParoiParoi Paroi

rrrr T TT T

(15)

D’où finalement.

((((

∇∇∇∇∧∧∧∧

))))

θθθθ

+ + +

+



 



−

−−

−

∆Ω

∆Ω∆Ω

∆Ω ν ν ν ν + + +

∂ +

∂

∂∂

∂

∂ β ∂ ββ β

−

−−

−

=

= Ω = Ω Ω

− Ω

−

∂ −

∂

∂∂ Ω Ω Ω Ω

∂

∂∂ +∂ ++

∂ +

∂∂

∂ Ω Ω Ω Ω

∂

∂ ffff eeee

rrrr rrrr

T T T gggg T rrrr

u uu u zzzz w ww w rrrr

ru ru ru ru rrrr 1 11

1 _''''

22 22 TT

TT

r r r

(46)

TTT T kkk zzzz k wT wT wT wT rrrr

ruT ruT ruT ruT rrrr 1 11 1

T T T T∆∆∆∆

===

∂ =

∂

∂ + ∂ + ++

∂

∂ (47)



 





∂

∂∂

∂ ΨΨΨ Ψ

∂∂∂

− ∂

−−

−

∆Ψ∆Ψ∆Ψ

∆Ψ

==

== ΩΩΩ

Ω rrrr rrrr 2 2 2 2 rrrr

1 1 1

1 (48)

3- CONDITIONS AUX LIMITES

3.1- Conditions aux limites thermiques 3.1.1- Conditions pariétales

Pour r=R on utilise la loi de Fourier :

(((( )))) (((( ))))

⁰⁰⁰⁰

L LL L T zzzz TT T T T T T T T T T T

T T T 1

11 rrrr 1 T T T T

FFF F CCC C CCC C Paroi Paroi Paroi Paroi Paroi

Paroi Paroi Paroi

=

=

 

 −−−− ++++ −−−−

γγγγ

−

− + + +

∂ +

∂∂

∂

γγγγ∂ (49)

γγγγ est appelé coefficient d’homotopie égale 0 pour une paroi parfaitement conductrice et 1 pour une paroi parfaitement adiabatique.

3.1.2- Condition de symétrie

= 0

==

∂ =

∂∂

∂

∂ rrrr TT TT

(50)

3.1.3- Conditions d’isothermie sur les bases

C C C

TC

T T T T TT

T ==== pour zzzz ==== 0 (51)

FFF

TF

T T T T TT

T ==== pour zzzz ==== LLLL (52) 3.2- Conditions aux limites dynamiques 3.2.1- Conditions pariétales

Les conditions pariétales sont les conditions traduisant l’adhérence à la paroi.

Si z=0 ou z=L on a u=w=0

D’où : ==== 0

∂

∂ ΨΨΨ Ψ

∂∂∂

= ∂

=

∂ =

∂

∂ ΨΨ ΨΨ

∂∂

=

==

= Ψ Ψ Ψ

Ψ rrrr zzzz (53) Si r=R on a aussi u=w=0 D’où : ==== 0

∂

∂ ΨΨΨ Ψ

∂∂∂

= ∂

=

∂ =

∂

∂ ΨΨ ΨΨ

∂∂

=

==

= Ψ Ψ Ψ

Ψ rrrr zzzz

3.2.1- Conditions de symétrie de l’écoulement

Pour r=0 (symétrie axiale de l’écoulement), on a : ==== 0

∂

∂ Ψ Ψ Ψ Ψ

∂

∂ z zz

z (54) On a aussi ΨΨΨΨ=0 (raison de continuité de ΨΨΨΨ, elle est nulle sur les parois).

(16)

La condition de l’axisymétrie de l’écoulement permet de réduire le domaine d’étude à la moitié du plan vertical contenant l’axe de la cavité ;

Soit : RR RR rrrr ≤≤≤≤

≤≤

0 et 0 ≤≤≤≤ zzzz ≤≤≤≤ LLLL (55)

(17)

Chapitre 3

ADIMENSIONNALISATION

(18)

1- Introduction

La convection thermique fait intervenir un grand nombre de paramètres pouvant varier dans des intervalles très larges. L’adimensionnalisation en regroupant ces paramètres dans des combinaisons sans dimensions, permet d’une part de réduire le nombre des paramètres régissant effectivement le phénomène et d’autre part d’appliquer la description mathématique d’un problème donné à une large classe de problèmes. Cette opération se fait par le choix de certaines grandeurs de référence.

R RR

R : pour la longueur ;

R RR R k k k k_T_T_T_T

: pour la vitesse ;

F FF F C C C C TTTT T T T T T T T

T ==== −−−−

∆

∆ : pour la température et ffff0 : pour la densité de force de volume.

Soit : R R R R rrrr^**** ==== rrrr ;

R R R R z zz z z

zzz^**** ==== ;

T T T T

****

k k k k Ru Ru Ru u Ru uu

u ==== ;

T T T T

****

k kk k RwRw RwRw www

w ==== ;

FF FF C CC C

F F F F

T T T T T T T T

T TT T T TT T

−

−−

−

−−

=

= θ θθ θ

ffff0

ffff ffff

'''' '*

'*

r r

=

==

= ;

T T T T

****

k k k k Ω Ω Ω

= Ω

==

= Ω Ω Ω

Ω et

T

*

k R

= Ψ Ψ

2-Adimensionnalisation de l’équation de conservation da la quantité de mouvement L’équation traduisant la conservation de la quantité de mouvement, sous forme adimensionnelle, s’écrit :

(((( ))))

((((

∇∇∇∇∧∧∧∧

))))

θθθθ

++ ++











−−

∆Ω∆Ω

∆Ω∆Ω νν

νν +++ +

+ ++ +

∆

∆∆

∆ θ θθ

∂ θ

∂∂

∂

∂∂

∂∂ β

β β β

−

−−

−

=

= Ω ΩΩ Ω

−

−−

∂ −

∂

∂∂













ΩΩ ΩΩ

∂∂

∂∂ + ++

∂ +

∂

∂∂













ΩΩΩ Ω

∂∂

eeee R ffff

RR R ffff rrrr

R R R R k k k k R

RR R k k k k

T TT T T T T R T RR R g rrrr gg g k

kk k R....

RR R rrrr .... 1111 R R R R u uu u k k k k R

R R R z zz z

k k k k R ....

R R R w w w w k k k k

R R R R rrrr

k kk k R ....

RR R u u u u k k k ....k R R R R rrrr R R R R rrrr

1111

'*

0 '*

0 0 0 2

22 2

****

2 22 2 T T T T

****

2 22 2 T T T T

F F F

**** F T TT T

****

T TT T

****

T TT T

****

T T T T

****

T T T T

****

T TT T

****

T T T T

****

r r r

D’

où

(((( )))) (((( ))))

((((

∇∇∇∇ ∧∧∧∧

))))

θθθθ

++ ++











−−

∆Ω∆Ω∆Ω ν ∆Ω

ν ν + ν + ++

∂

∂ θθ θθ

∂∂

∆

∆ β β β

− β

−−

−

==



 



 ΩΩΩΩ

−−−

∂ −

∂

∂ ΩΩ ΩΩ

∂∂∂ + ∂ + ++

∂

∂∂

∂ ΩΩΩ Ω

∂∂

eeee R ffff

RR R ffff rrrr

R R R R k kk k

rrrr R

R R R

T TT T g g g g rrrr

u uu u z

zz z w w w w rrrr

u u u u rrrr rrrr R R R R k kk k

'*

****

**** ****

TT TT

****

TT TT

****

TT TT

r r

0 r

2 2

2

2 1

On garde les mêmes notations des variables dimensionnelles pour les variables

(19)

(((( )))) (((( ))))

++++

((((

∇∇∇∇ ∧∧∧∧

))))

θθθθ

∂∂

∂∂ θθ θθ

∂∂

−−−

−



 



−−−

−

∆Ω∆Ω

==

== ΩΩ ΩΩ

−−

∂∂

∂∂ ΩΩΩ Ω

∂∂∂ + ∂ + ++

∂∂

∂∂ ΩΩ ΩΩ

∂∂

e ee e k ffff

kk k RfRf RfRf Pr rrrr

Pr Pr Pr Ra RaRa R Ra R R R 1 11 1 Pr rrrr

PrPr rrrr Pr u uu u zzzz

w w w w rrrr

ru ru ru ru rrrr 1 1 1

1 _''''

2 2 2 2 T TT T 0 0 0 0 2

22 2 2

22 2

r r

r (56)

T T T T TT TT

k kk k

TRTRTR TR gg gg Ra

RaRa

Ra νννν

∆∆

∆∆ ββ ββ

=

3

(57)

Où : Ra Est le nombre de Rayleigh qui mesure le rapport des forces de poussée aux forces visqueuses.

T T T

kT

kk Pr k PrPr Pr νννν

=

==

= (58)

Où : Pr Est le nombre de Prandtl qui mesure le rapport entre la diffusivité de la quantité de mouvement et la diffusivité thermique.

3-Adimensionnalisation de l’équation de l’énergie L’équation d’énergie, sous forme adimensionnelle, s’écrit :

(((( )))) (((( ))))

((((

FFFF

))))

T T T T

****

F F F F

****

T TT T

****

F FF F

****

T TT

**** T

**** TTTT TTTT

R RR R k kk k R

R R R z zz z

TT TT TTT .... T RRR R w w w w k k k k

R R R rrrr R

TT TT TT TT R ....

RR R u u u u k k k ....k RRR rrrr R R R R

rrrr R ==== ∆∆∆∆θθθθ∆∆∆∆ ++++

∂













++ ++

∆∆

∆∆ θθθ θ

∂∂

∂∂ + ++

∂ +

∂∂

∂













+++ +

∆∆∆

∆ θθ θθ

∂∂∂

∂

2

1

Même chose, on garde les mêmes notations, on trouve : θ θ θ θ

∆

=

∂ =

∂

∂ θθθ θ

∂∂

∂∂ + ++ θ + θ θ θ

∂

∂ θθ θθ

∂∂

zzzz ww ww ruru

ruru rrrr 111

1 (59)

4-Adimensionnalisation des équations (29) ; (30) et (48)

Les équations (29), (30) et (48), sous forme adimensionnelle, s’écrivent :



 





∂ Ψ

− ∂

∆Ψ

=

Ω r r

2 r

1 R

1

2

⁽⁶⁰⁾

z r u 1

∂ Ψ

= ∂ (61)

r r w 1

∂ Ψ

− ∂

= (62)

(20)

Chapitre 4

CONVECTION THERMIQUE

(21)

1- Introduction

Dans le cas de la convection purement thermique, on a fr^' 0r

= , l’activation du mécanisme de la convection naturelle se fait par le gradient de la température horizontal.

2- Conditions aux limites sous leur forme adimensionnelle R

R R R LL LL AFAF

AFAF ==== : est appelé rapport d’aspect ou facteur de forme.

0 0 0 zzzz 0 rrrr ====

∂

∂∂

∂ Ψ ΨΨ Ψ

∂

= ∂

=

∂ =

∂∂

∂ Ψ Ψ Ψ Ψ

∂

∂∂

= ∂

==

= Ψ Ψ Ψ

Ψ pour z=0 ; z=AF et r=1

Si la paroi est parfaitement conductrice (γγγγ=0) :

((((

⁻⁻⁻⁻

))))

⁼⁼⁼⁼ ⁰

+++ +

−−

−− ++ ++

∆∆

∆∆ θθθ

θ LLLL

R R R R z zz T z TT T TT TT TTT

T TT TT TTT

T _F_F_F_F _C_C_C_C _C_C_C_C _F_F_F_F ^**** d’où

AF AF AF AF 1 zzzz 11 L 1 L L L R R R R 1 zzzz 1 1 1

*

−

=

−

−−

−

=

==

= θ θθ

θ (64) pour r=1

Si la paroi est parfaitement adiabatique (γγγγ=1) : 0

00 rrrr ====0

∂∂

∂∂ θ θ θ θ

∂

∂ (65) pour r=1 1

11

=1

=

= θ θθ

θ pour z=0 et θθθθ ==== 0 pour z=AF (66) 000

0

===

= ΨΨ

ΨΨ et 0000 rrrr ====

∂∂∂

∂ θ θ θ θ

∂

∂ (67) pour r=0 (condition de symétrie).

(22)

E.T.M Master: Énergie et technologie des matériaux

Master: Énergie et technologie des matériaux

E.T.M

ANNÉE UNIVERSITAIRE ANNÉE UNIVERSITAIRE ANNÉE UNIVERSITAIRE

ANNÉE UNIVERSITAIRE : : : 2011 : 2011 2011 2012 2011 2012 2012 2012

INTRODUCTION GÉNERALE

PARTIE A

PROBLEME DE CONVECTION EN MILIEU CONFINE

Chapitre 1

Formulation mathématique

∫∫∫∫

((((

))))

((((

))))

(((( )))) vvvv 0 0 0 0

div div div div r = = = =

(

)

(

)

(((( ))))

∫∫∫∫

∫∫∫∫

T T T T r (((( n n n n r ,,,, X X X X ,,,, tttt )))) (((( X X X X ,,,, tttt )))) n n n n r

∑

∑

∑

= ∑

= =

=

((((

))))

(((( ))))

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

((((

))))

∫∫∫∫

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

((((

))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( (((( )))) ))))

[[[[ div div div div vvvv div div div div vvvv

]]]]

2 2 2 2 1 1 1 D 1 D D

D r r

+ + + +

=

= =

=

((((

))))

(((( ))))

[[[[

(((( ))))

((((

(((( ))))

))))

]]]]

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

(((( )))) ^vvvv ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

T T T T r (((( n n n n r ,,,, X X X X ,,,, tttt )))) (((( X X X X ,,,, tttt )))) ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ r

[[[[ ^div ^div ^div ^div ^vvvv ^div ^div ^div ^div ^vvvv

(((( )))) ^vvvv ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

^{(((( ))))}

⁽⁽⁽⁽

⁾⁾⁾⁾

⁽⁽⁽⁽

⁾⁾⁾⁾