Novembre 2012

PanaMaths

[1 - 4]

Novembre 2012

On considère la suite de fonctions ( ) ^f

ⁿ _n∈`*

telles que :

( ) ( ) ( )

0 ; , cos sin

2

n n

x

^⎡

π

^⎤

f x n x x

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∀ ∈ =

1. Déterminer la limite simple, f, de la suite ( ) ^f

ⁿ _n∈`*

^.

2. Etudier la convergence uniforme de la suite ( ) ^f

ⁿ _n∈`*

^.

3. Comparer ∫

₀^π2

^{f t dt} ( ) ^et lim

0² _n

^{( )}

n

f t dt

π

→+∞

∫ ^.

Analyse

Un exercice qui permet de mettre en œuvre des méthodes classiques (beaucoup de calculs de limites). On montre ici qu’il n’y a pas convergence uniforme et on constate à la dernière question que l’inversion limite-intégrale est impossible.

Résolution

Question 1.

Comme sin 0=0, il vient : ∀ ∈n `^*, fn

( )

⁰ =⁰ et donc : n^lim fn

( )

^{0 0}

→+∞ = .

Par ailleurs, on a : *, cos 0 2

n n⎛ ⎞π

∀ ∈` ⎜ ⎟⎝ ⎠= , d’où : *, 0

n 2

n f ⎛ ⎞π

∀ ∈` ⎜ ⎟⎝ ⎠= .

Alors : lim 0

n 2

n f π

→+∞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Supposons maintenant : 0 ;

x ⎤ π2⎡

∈ ⎥⎦ ⎢⎣. Pour tout x réel dans 0 ;

2

⎤ π⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, on a : ^sin

( )

^{x >0 et cos}

( )

^{x >0, d’où ∀ ∈n `*, cosn}

( )

^{x >0.}

Soit alors x fixé dans cet intervalle.

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[2 - 4]

Novembre 2012

Pour tout n entier naturel non nul, on a :

( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

ln ln cos sin

ln ln cos ln sin

ln sin ln ln cos

n

fn x n x x

n n x x

n x

n x

n n

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦

= + +

⎡ ⎤

= ⎢ + + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

On a classiquement (croissance comparée) : ln

lim 0

n

n

→+∞ n = . Par ailleurs : ^{0 0 cos}

( )

^{1 ln cos}

( ( ) )

⁰

x π2 x x

< < ⇒ < < ⇔ < . Enfin, ^{ln sin}

( ( )

^x

)

est fixé et on a immédiatement : ^{ln sin}

( ( ) )

lim 0

n

x

→+∞ n = .

On tire de ce qui précède : _n^{lim lnn ln cos}

( ( )

^x

)

^{ln sin}

( ^{( )}

^x

)

^{ln cos}

( _{( )}

^x

)

⁰

n n

→+∞

⎡ ⎤

+ + = <

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ puis :

( ( ) )

^{ln sin}

( ^{( )} ) _{( )}

lim ln ln cos lim ln _n

n n

n x

n x f x

n n

→+∞ →+∞

⎧ ⎡ ⎤⎫

⎪ ⎢ + + ⎥⎪= = −∞

⎨ ⎬

⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

Finalement : n^lim fn

( )

x ⁰

→+∞ = .

En définitive, on a : ^{0 ; , lim}

( )

⁰

2 ^{n n}

x π f x

→+∞

⎡ ⎤

∀ ∈⎢⎣ ⎥⎦ = .

La suite

( )

fn n_∈`* converge simplement vers la fonction nulle : f =0.

Question 2.

On s’intéresse ici à la limite de :

( ) ( )

0 ; 0 ;

2 2

sup sup

n n n n

x x

f f f f x f x

π π

∞ ∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∈⎢⎣ ⎥⎦ ∈⎢⎣ ⎥⎦

− = = = .

Pour tout entier naturel n non nul et tout réel x de 0 ; 2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, on a :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1

1 2 2

' sin cos cos

cos sin cos

n n

n

n

f x n n x x x

n x n x x

− +

−

⎡ ⎤

= ⎣− + ⎦

⎡ ⎤

= ⎣− + ⎦

Pour n≥2, la fonction f_n' s’annule en 2

π et en x₀ tel que −nsin²

( )

x0 +cos²

( )

x0 =0, soit

( )

2 0

tan x 1

= n (x₀ existe puisque tan réalise une bijection de 0 ; 2 π

⎡ ⎡

⎢ ⎢

⎣ ⎣ dans \₊).

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[3 - 4]

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On a alors :

• fn^'

( )

x >⁰ sur

]

0 ;x0

[

.

• fn^'

( )

x <⁰ sur ₀; x π2

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣.

La fonction f_n est strictement croissante sur l’intervalle

[

0 ;x0

]

et strictement décroissante sur l’intervalle ₀;

x π2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦.

On a donc :

( ) ( )

0

0 ;2

n sup n n

x

f f x f x

∞ π

⎡ ⎤

∈⎢⎣ ⎥⎦

= = .

On a :

( )

0 cos

( ) ( )

0 sin 0 cos ¹

( ) ( )

0 tan 0 cos ¹

( )

0 cos²

( )

0 ²¹ n

n n n

n

f x n x x n x x n x n x

n

+ + ⎡ ⎤ +

= = = = ⎣ ⎦

Or : ²

( )

^{0 2}

( )

0

1 1

cos 1 tan 1 1

x x

n

= =

+ +

.

Donc :

( )

1 2 1

2 2

0 1

1 1 1

cos 1 1 1 1 1 1 1 1

n n

n n

x

n n n n

+

+

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ =⎜ ⎟ = =

⎣ ⎦ ⎜⎝ + ⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝× + ⎞⎟⎠ .

Comme : 1

lim 1 1

n^→+∞ n

⎛ + ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et 1

lim 1

n

n e

→+∞ n

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , il vient : 1 1

lim

1 1

1 1

n n e

n n

→+∞ =

⎛ + ⎞ ⎛× + ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Finalement : lim lim

( )

0 lim cos²

( )

0 ²¹ n

n n

n f n f x n n x

+

→+∞ ∞= →+∞ = →+∞ ⎡⎣ ⎤⎦ = +∞.

Il n’y a donc pas convergence uniforme de la suite

( )

fn n_∈`* vers la fonction nulle.

La suite

( )

fn n_∈`* ne converge pas uniformément vers la fonction nulle.

Question 3.

Puisque f est la fonction nulle, on a immédiatement : ²

( )

0 f t dt 0

π =

∫

^.

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Par ailleurs :

( ) ( ) ( )

( )

2 2

0 0

1 2

0

1 1

cos sin

1 cos 1

cos cos 0

1 2

1

n n

n

n n

f t dt n t t dt

n t

n n n n n

π π

π

π

+

+ +

=

⎡ ⎤

= ⎢⎣− + ⎥⎦

⎛ ⎞

= − + ⎝⎜ − ⎟⎠

= +

∫ ∫

Il vient alors : ²

( )

0

lim lim 1

n 1

n n

f t dt n

n

π

→+∞ = →+∞ =

∫

+ ^.

Ainsi, n^lim ₀² fn

( )

t dt ₀² f t dt

( )

π π

→+∞

∫

≠

∫

^.

On ne peut procéder à l’inversion limite-intégrale.

( ) ( ) ^{( )}

2 2

0 0

lim _n lim _n

n f t dt n f t dt

π π

→+∞

∫

≠

∫

→+∞