Génie mécanique

BANQUE D’ÉPREUVES DUT-BTS -SESSION 2014-

É P R E U VE DE M É C A N I Q U E

CODE ÉPREUVE : 970

CALCULATRICE INTERDITE

DURÉE DE L’ÉPREUVE: 2H30

Exercice 1

On s’intéresse à la poutre de longueur L et de section constante S modélisée sur la Figure 1.

Celle-ci est encastrée à son extrémitéOet soumise à une densité linéique d’effort⃗p=−p⃗ysur toute sa longueur et à un glisseur⃗R=R⃗yenA. Le matériau est supposé homogène, élastique et isotrope, de module d’YoungE. On se place dans le cadre de la théorie d’Euler-Bernoulli. Classiquement, dans le cadre de la théorie des poutres, on prendra comme convention que le torseur de cohésion à l’abscisse xreprésente les actions mécaniques intérieures exercées par la partie avale (>x) sur la partie amont (<x).

x y

R p

L a

O A B

x

G G

x y

z

e

l

h S

z

Figure 1 – Poutre console

(A) La résultante des actions mécaniques exercées par le bâti sur la poutre enOest :

⃗R_O=−(pL−R)⃗y

(B) Le moment des actions mécaniques exercées par le bâti sur la poutre enOest : M⃗_O= (pL²

2 −aR)⃗z

(C) Si la poutre est en équilibre, le moment des actions mécaniques exercées par le bâti sur la poutre enOest nul.

(D) Le moment fléchissant selon⃗zdans la poutre pour 0<x<Lest : M(x) =−1

2p(L−x)²

qui ne dépend pas de Rpuisque⃗Rest un glisseur exercé de manière locale sur la poutre, ce qui n’affecte que la partie résultante du torseur de cohésion.

(E) L’effort tranchant selon⃗ydans la poutre poura<x<Lpeut s’obtenir par la relation : T(x) =−dM(x)

dx

Exercice 2

On reprend l’exercice précédant et on s’intéresse maintenant aux déformations dues aux charge- ments extérieurs⃗pet⃗R.

(A) Si l’épaisseurede la section est petite devant les dimensionshetl, un développement limité au premier ordre conduit à une valeur du moment quadratique de la sectionSpar rapport à l’axe(G,⃗z):

I= elh³ 6 (1

l +3 h)

(B) Si on suppose dans un premier temps queR=0, le déplacement dû àpdu centre de la section à l’extrémitéBest :

⃗v_p(L) =−pL⁴ 8EI⃗y

(C) Si on suppose maintenant que p=0, le déplacement dû àRdu centre de la section à l’extré- mitéBest :

⃗v_R(L) = RL³ 3EI⃗y

(D) Indépendamment des réponses aux items précédents, pour déterminer la flèche totale due à p etR, il suffit d’ajouter les deux résultats précédents :

⃗v(L) =⃗v_p(L) +⃗v_R(L)

(E) Indépendamment des réponses aux items précédents, pour déterminer la flèche totale due à p etR, il aurait suffit d’ajouter les deux résultats précédents :

⃗v(L) =⃗v_p(L) +⃗v_R(L)

seulement si le glisseur⃗Ravait été appliqué à l’extrémité de la poutre, ce qui n’est pas le cas sur laFigure 1.

Exercice 3

On se propose d’étudier le montage de roulements de laFigure 2.

(A) Les deux roulements à billes à contact oblique sont montés de façon à conférer une grande souplesse à la liaison et permettent d’encaisser une charge axiale importante.

(B) La durée de vie de tels roulements peut être calculée en utilisant la formuleL= (C/P)^α oùL est la durée de vie nominale (en millions de tours),Cla charge dynamique de base (en kN),P la charge dynamique radiale équivalente (en kN) etα=10/3 puisque le contact est oblique.

(C) Un jeu axial entre les deux bagues intérieures des roulements à billes à contact oblique permet une précharge du montage, réalisée par un écrou à encoches.

(D) Une précharge dans un montage de roulements à contact oblique est un moyen d’augmenter la durée de vie du montage.

(E) La bague extérieure du roulement à billes à contact radial est montée serrée dans l’alésage.

Figure 2 – Montage de roulements

Exercice 4

(A) Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc.

(B) La trempe d’un acier permet d’augmenter sa limite élastique.

(C) En général, le coefficient de frottement dynamique (ou de glissement) est inférieur au coeffi- cient de frottement statique (ou d’adhérence).

(D) Le coefficient de frottement statique, à sec, entre deux surfaces en acier est compris entre 0,01 et 0,03.

(E) L’acier désigné par 35NiCrMo16 (35NCD16) est fortement allié.

Exercice 5

x0 z0 z1 z2 x0

x1

x2

θ β y0

y0

y1

1

3

0

2 A

B C

x1

x2

y2

= =

Figure 3 – Moteur à pistons radiaux Bosch Rexroth

On s’intéresse dans cet exercice au moteur hydraulique à 5 pistons radiaux Bosch Rexroth. En ne considérant qu’un seul des 5 pistons, celui-ci est modélisé par le système de laFigure 3, constitué de 3 pièces1,2et3en mouvement par rapport à un bâti0. On donne les caractéristiques géométriques et cinématiques suivantes :

• Le bâti0est muni du repèreR0= (A,⃗x₀,⃗y₀,⃗z₀).

• Le vilebrequin 1 est lié au corps 0 par une liaison pivot d’axe (A,⃗z₀). Le repère lié R1 = (A,⃗x₁,⃗y₁,⃗z₁)est tel que⃗z₁=⃗z₀et on noteθ= (⃗x₀,⃗x₁) = (⃗y₀,⃗y₁).

• La demi-bielle2est liée au vilebrequin1par une liaison rotule de centreBtelle que−→ AB=ℓ⃗x₁. Le repère liéR2= (B,⃗x2,⃗y2,⃗z2)est tel que⃗z2=⃗z0et on noteβ= (⃗x0,⃗x2) = (⃗y0,⃗y2).

• La demi-bielle3est liée à la demi-bielle2par une liaison pivot-glissant d’axe(B,⃗x₂). On note

−→

BC=x⃗x2oùxest une longueur qui varie au cours du mouvement.

• Enfin, la demi-bielle3est liée au bâti0par une liaison rotule de centreCtelle que−→

AC=H⃗y0. (A) Le degré de mobilité utile du mécanisme, tel qu’il est modélisé sur la Figure 3et considéré

en 3D, est égal à 2.

(B) Le degré de mobilité interne du mécanisme, tel qu’il est modélisé sur laFigure 3et considéré en 3D, est égal à 2.

(C) Le mécanisme, tel qu’il est modélisé sur laFigure 3et considéré en 3D, est isostatique.

(D) L’accélération du pointBpar rapport àR0est :

⃗Γ(B/R0) =ℓ(θ˙²⃗x1+θ¨⃗y1) (E) L’accélération du pointBpar rapport àR1est :

⃗Γ(B/R1) =ℓ(−θ˙²⃗x₁+θ¨⃗y₁)

Exercice 6

On reprend le moteur hydraulique de l’exercice précédent et on s’intéresse maintenant à la loi entrée-sortie liant la vitesse de translation ˙xà la vitesse de rotation ˙θ.

(A) La fermeture géométrique−→ AB+−→

BC+−→

CA=⃗0, projetée sur les axes⃗x2et⃗y2, conduit à : x+ℓcos(β−θ) +Hsinβ=0

ℓsin(β−θ) +Hcosβ=0 (B) La vitesse de translation peut s’écrire :

˙

x=Hθ˙cosβ (C) L’angleβest lié à l’angleθpar la relation :

tanβcosθ=H

ℓ +sinθ

(D) Si on fait l’hypothèse queℓest très petit devantH (c’est-à-dire queℓ/H<<1), on montre au premier ordre que :

˙

x≈ −ℓθ˙cosθ

(E) Le vecteur vitesse de rotation de la pièce2par rapport à la pièce1est :

⃗Ω(2/1) = (θ˙−β)˙⃗z₀

Exercice 7

Un solide1 de masse m et de centre d’inertieG est en liaison pivot d’axe(O,⃗z₀)avec le bâti 0 (Figure 4). Le bâti est fixe dans un référentiel galiléen. On lui attache le repèreR0= (O,⃗x0,⃗y0,⃗z0).

La liaison pivot est supposée parfaite. Le repère R1= (O,⃗x₁,⃗y₁,⃗z₁)lié à1 est choisi tel que le plan (O,⃗x₁,⃗z₁)contienne le centre de gravitéG. On noteθl’angle(⃗x₀,⃗x₁) = (⃗y₀,⃗y₁).

Pour un solide1 quelconque, le centre de gravitéG n’est pasa priori sur l’axe(O,⃗z0)et est tel que −→

OG=a⃗x₁. La matrice d’inertie du solide 1 au point Odans la base (⃗x₁,⃗y₁,⃗z₁) est de la forme générale :

I(O,1) =

⎛

⎝

A −F −E

−F B −D

−E −D C

⎞

⎠

(O,⃗x1,⃗y1,⃗z1)

Le torseur des actions mécaniques transmissibles dans la liaison pivot entre1et0est de la forme :

%T_(0→1)&

=

⎧

⎨

⎩

X0 L0

Y₀ M₀ Z₀ 0

⎫

⎬

⎭

(O,⃗x₀,⃗y₀,⃗z₀)

On suppose qu’aucune autre action mécanique ne s’applique sur le solide1hormis un couple moteur C_m⃗z₀.

(A) Le solide 1 en rotation par rapport à l’axe (O,⃗z₀) est dit équilibré dynamiquement si son centre de gravitéGest sur l’axe(O,⃗z₀).

(B) La composante d’effort de liaison suivant⃗y0est :

Y0=ma(θ¨cosθ−θ˙²sinθ)

(C) Le moment dynamique au pointOdu solide1par rapport àR0est :

⃗δ(0,1/0) = (−Eθ¨+Dθ˙²)⃗x1−(Dθ¨+Eθ˙²)⃗y1+Cθ⃗¨z0

y0

z0

x0

O

x1

y1

G

z1

0

1

Figure 4 – Solide en rotation autour d’un axe fixe

a b c b

∅d ∅D ∅d

c b a

∅D

∅d ∅d

e

e

z0

O

Figure 5 – Vilebrequin

(D) Dans le cas où le solide1est le vilebrequin idéalisé de laFigure 5, le solide1en rotation par rapport à l’axe(O,⃗z0)n’est pas équilibré statiquement.

(E) Dans le cas où le solide1est le vilebrequin idéalisé de laFigure 5et en notant ρsa masse volumique, on a :

C=ρπ 16

-

ad⁴+3

2bD⁴+cd⁴ .

Exercice 8

On s’intéresse à l’équilibre statique du système de laFigure 6. On pose : – −→

AB=L⃗x₁et−→ BC=d⃗x₂ – aetbsont tels que−→

AD=a⃗x₀−b⃗y₀ – cetesont tels que−→

DC=c⃗x₃et−→

DE=e⃗x₃

Un couple moteurC_m>0 est appliqué enAsur la pièce1. Toutes les lisions entre les pièces sont des liaisons pivot supposées parfaites. On fera l’hypothèse d’un problème plan. Le torseur des actions mécaniques transmissibles dans la liaison pivot entre1et le bâti0est de la forme :

%T_(0→1)&

=

⎧

⎨

⎩

X_A − Y_A −

− 0

⎫

⎬

⎭

(A,⃗x0,⃗y0,⃗z0)

(A) L’effort résultant de2sur1,⃗F(2→1)est tel que sa norme,F₂₋₁est :

∥⃗F(2→1)∥=F₂₋₁=C_m L

(B) La norme de⃗F est reliée au couple moteurCmpar la relation (au signe près) : F =C_msinθ₃

sinθ2

c L e

(C) Les actions de liaison dans la liaison pivot entre1et le bâti0sont telles que : / X_A = F₂₋₁cosθ₂

Y_A = F₂₋₁sinθ₂

x0

y0

A

B D

C

1

x1

x2

2 3 x3

F

E θ3

θs

θ2

θ^e 0

Figure 6 – Ventail d’un portail soumis à un effort⃗F

(D) Dans cette question, le problème n’est plus plan. On se place dans le cas d’un mécanisme dans l’espace tridimensionnel(⃗x0,⃗y0,⃗z0). Les liaisons sont des liaisons pivot. En 3D, le degré d’hyperstatisme est de 2.

(E) Comme dans la question précédente, le problème n’est plus plan. Les liaisons sont toutes des liaisons pivot sauf la liaison entre les pièces 1et2qui est remplacée par une liaison rotule.

En 3D, le système est alors isostatique.

Exercice 9

On s’intéresse à la poutre en forme de T de laFigure 7. Sa section est circulaire de diamètreD. On pose :−→

OA=L⃗xet∥−→

AB∥=∥−→

AC∥=a. Elle est soumise à deux efforts⃗F_B=F_B⃗yet⃗F_C=−FC⃗yoùF_B etF_Csont positifs.

(A) Le torseur de cohésion en un point courantMde la poutre tel que−−→

OM=x⃗xest : {T_coh}=

⎧

⎨

⎩

0 −(FB+F_C)a F_B−F_C 0

0 (FB−F_C)(L−x)

⎫

⎬

⎭(M,⃗x,⃗y,⃗z)

(B) La poutre est sollicitée en torsion pure.

(C) On se place dans le cas oùF_B=F_C=F. Dans ce cas, la contrainte de cisaillement maximale vaut :

τ= 64F a πD⁴

(D) Comme dans la question précédente, on suppose queF_B=F_C=F. Si le critère de dimension- nement est la limite d’élasticité, mulitplier le diamètreDpar un coefficientα(α>1) permet de multiplier l’effort maximal admissible que peut supporter la poutre par un coefficientα³. (E) Si on réalise la poutre par un arbre creux de section circulaire, de diamètre intérieurd, et de

diamètre extérieurD, alors le moment quadratique polaire en un point de la fibre neutre de la section est :

I= π(D⁴−d⁴) 64

y

O

B

A

C

x F_C z

F_B

Figure 7 – Poutre en T

Exercice 10

(A) Un joint à lèvre standard permet d’assurer une étanchéité pour une pression pouvant aller jusqu’à 100 MPa.

(B) La longueur d’implantation d’une vis dans un matériau en alliage d’aluminium peut-être égale à son diamètre.

(C) Le pas d’une vis ànfilets est égale ànfois le pas du profil du filetage.

(D) La pression spécifique psepd’un coussinet standard de diamètredet de longueurLsoumis à une charge radiale deF se détermine par :

p_spe= F πd L

(E) Une roue-libre peut supporter des efforts radiaux. Il n’y a pas nécessité de l’associer à un roulement, par exemple, pour fonctionner correctement.

Exercice 11

On s’intéresse au train épicycloïdal de laFigure 8comportant trois satellites identiques équirépartis angulairement2, 2’ et 2”. On suppose ici que la couronne 3 est fixe par rapport au bâti0. On note R0le référentiel du bâti supposé galiléen. Toutes les liaisons (pivots et engrènements) sont supposées parfaites. Le champ de gravité est dirigé suivant−⃗y:⃗g=−g⃗y. On isole le systèmeΣ={1,2,2^′,2^′′,4}.

On noteraω_i=ω(i/0)la vitesse de rotation du solideipar rapport au bâti.

On noteIil’inertie du solideien son centre de gravitéGisuivant l’axe⃗xetmisa masse. De même, on noteraC_i, le couple des éléments extérieurs àΣsur le solideisuivant l’axe général du système⃗xet en un point de cet axe.

θ

z

G₂ 2

y e_r(θ)

eθ(θ) B

G_2’’

G_2’

A C

2’

G₂ 2’’

x C

B

A

3

4

0 1

e_r(θ) 2

Figure 8 – Train planétaire à trois satellites (A) En notant λ=−R₃

R₁, on a la relation suivante entre les vitesses de rotation des pièces par rapport au bâti :

ω₁−λ ω₃+ (1−λ)ω₄=0

(B) En régime permanent, on a la relation suivante entre les couples extérieurs agissant sur les éléments deΣ:

C1+ 1

1−λC4=0

(C) L’énergie cinétique du solide2dans son mouvement par rapport au bâti0est : T(2/0) =1

2I2ω²₂

(D) La puissance galiléenne des actions de pesanteur surΣest nulle : P(pesanteur→Σ/0) =0 (E) On noteT(Σ/0) =1

2I_eqω²₁l’énergie cinétique deΣpar rapport à0. Le théorème de l’énergie cinétique appliqué àΣdonne :

I_eqdω₁

d t =C₁ω₁+C4ω₄

Exercice 12

On s’intéresse à un frein de véhicule automobile qui se compose d’un tambour sur lequel se fixe la roue arrière et de deux mâchoires articulées par rapport au véhicule (au système de suspension arrière en fait). Chaque mâchoire exerce un effort presseur sur le tambour lorsque le cylindre de roue

x

n(M)

A F

ρ R B

θ O

F ωtambour/mâchoire

h

a

mâchoire 1

θ1

θ2

mâchoire 2

tambour

M t(M)

y

Figure 9 – Paramétrage du frein à tambour

est activé durant une phase de freinage. Le paramétrage du problème est donné en Figure 9 pour une mâchoire. Les frottements dans les liaisons sont négligés, sauf bien sûr, entre une mâchoire et le tambour. Le coefficient de frottement de glissement entre mâchoire et garniture est noté f. Les actions de pesanteur sont négligées. Le problème est considéré comme plan.

On supposera que la répartition de pression p(θ)entre la mâchoire1et le tambour est constante et vaut p(θ) =p₀.

(A) Le couple de freinage enOsuivant⃗zexercé par la mâchoire1sur le tambour est : C_f =p₀b R²f(sinθ2−sinθ₁)

oùbest la largeur d’une mâchoire suivant⃗z.

(B) La résultante des actions du tambour sur la mâchoire1vaut :

⃗R(1→tambour) =

!

S

p₀(−⃗n(M) +f⃗t(M))dS oùSest la surface de frottement en la mâchoire et le tambour.

(C) Le moment au pointAsuivant⃗zdes actions du tambour sur la mâchoire1vaut :

M(A,1→tambour) =p0b R{a(cosθ1−cosθ2) +f[a(sinθ2+sinθ1)−R(θ2−θ1)]}

(D) Le coefficient de frottement de glissement pour un couple de matériau acier/acier en contact en milieu lubrifié est de l’ordre de f =0,3.

(E) Sur un véhicule de tourisme équipé de freins à disque et de freins à tambour, ces derniers sont montés sur les roues avant.