FORMULES EMPIRIQUES POUR L'ÉTALONNAGE DES MOULINETS

, I r u . i . K T - A o i T I*):". I LA H O U I L L L B L A N C I I K t • i 1

Formules empiriques

pour l'étalonnage des moulinets

Empiricai rating formulae for current meters

i'Aii S. I R M A Y ^{( , )}

Technique d'étaloniwge des moulinets; élabo- rution du graphique v ( n ) . Diverses formules empirii/ues proposées pour l'interprélation de re graphique; leurs inconvcntenls. — l'roposi-

tion d'nne nouvelle formule de la forme v ~ An -|- : » / n + 1)] ; caleul de A el B par la méthode des moindres caires; calenI simplijié lorsijiie, au-dessus d'nne eertaine pitesse, v / r . esl pratiqnement constan!. — Precisión oblenue.

Technique for culibruting currenl-meters; plot- ling of Ihe graph v ( n ) . Various empiricai for- mulae for Ihe interprelution of Ibis tjruph;

llieir incoiivenicnce. .1 neai formula proponed, of Ihe [orm v _ An ¡- j l i / u i + 1 ) | ; tulculution of A and H /);/ Ihe melhod of Irnsl st/uares;

simpli/ied calcula! ion ivhen, abone a certain speed, v, i] is practica/h/ constan!. Precisión oblained.

I. — I N T R O D U C T I O N

L ' é t a l o n n a g e d e s m o u l i n e t s et l ' é l a b o r a t i o n d ' u n e f o r m u l e e m p i r i q u e p o u r c h a q u é a p p a r e i l s o n t d e s o p é r a t i o n s i'ort J a b o n e a s e s . Le p r o c e d e c l a s s i q u e c o n s i s t e ¿i t i r e r le m o u l i n e t , a v i t e s s e c o n s t a n t e , le long d ' u n c a n a l d e l a r a g e p e n d a n l u n t e m p s T , c o r r e s p o n d a n t á u n n o m b r e d o n n é N de t o u r s d e l'axe d e l'héliee 011 d e s p a l e s , et a m e s u r e r la l o n g u e u r p a r c o u r u e L. L a v i t e s s e m o y e n n e v == L / T et le n o m b r e m o y e n de t o u r s p a r s e c o n d e n = N / T d é p e n d e n t de T , a l o r s t[iie leur r a p p o r t a = v/n = L / N est i n d é p e n d a n l d u t e m p s . L e r a p p o r t ti a les d i m e n s i o n s d ' u n e lon- g u e u r . O n p e u t d o n e le d é t e r m i n e r d e facón t r e s p r e c i s e en m e s u r a n l s e u l e m e n t L.

Si, s u r u n g r a p h i q u e , o n p o r t e , p o u r c h a q u é v a l e u r de /; et d e «, la v a l e u r e o r r e s p o n d a n t e de

R a t i n g c u r r e n t m e t e r s a n d d e r i v i n g eni))¡rical f o r m u l a e for each m e t e r is very l a b o r i o u s . T h e u s u a l p r o c e d u r e c o n s i s t s in d r a g g i n g it al c o n s - l a n t speed a l o n g a l o w i n g l a n k for a l i m e T , w h i c h c o r r e s p o n d s lo a given n u n i b e r X of r e v o - Iiitions of Ihe a x i s of s e r e w or v a n e s . T h e c o r - r e s p o n d i n g l o w i n g p a t h L is m e a s u r e d . T h e m e a n velocity i> =-- L / T a n d Ihe m e a n n u i n b e r of r e v o l u ü o n s p e r s e e o n d u -~ N / T d e p e n d on T, w h e r e a s t h e i r r a l i o <i -~~ v/n — L / N is i n d e | ) e n - d e n l of T . T h e r a l i o a h a s Ihe d i m e n s i ó n of l e n g l h . H e n e e ti niay be r l e t e r m i n e d very a e c u r - a t e l y by m e a s u r i n g L o n l y .

P l o t t i n g v a n d ti v e r s u s n fííg. 1), Ihe p o i n l s

" A s s o c i a l e P r o l ' e s s í i r . H e a d , D i v i s i ó n of H y d r a u l i c Engxiu-criiij}, I s r a e l , I n s t i l u t e of T e c h n o l o g y , l l a i l a ; ( J i n i i ' i u a n I l y d r o l o g y S e e l i o n , I s r a e l l ' n i o n f o r ( i e o d e s y a n d ( ¡ e o p h y s i c s .

.V

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954043

•1(12 LA I I O U I L L K H1, A N C H E . h ' i u . K T - A o i ' T 1 !);")•!

n ((ig. 1), les p o i n t s se r é p a r l i s s e n l en d e u x zo- ilos. P o u r les p l u s g r a n d e s v i t e s s e s (zone II), on a á peu p r é s o x a c t e m e n t :

/) • A' //: a — A' (1) a esl r e p r c s e n l c c p a r u n e droife p a s s a n í p a r

l'origine, el a a u n e valetir c o n s t a n t e A'. P o u r des v i t e s s e s p l u s faibles (zone 1), le f r o ü e m e n l l'ait r e m o n l e r les d e u x c o u r b e s . C'est a i n s i <[iie p o u r n == 0. v — /'„ el n o n 0.

On a a l o r s :

lie w i l h i n l w o z o n e s . Al h i g h e r velocities (zone II) v e r y a p p r o x i m a t e l y :

v = A ' / I ; « = A ' (1)

o is a s l r a i g h l lino I h r o u g h t h e o r i g i n , w h i l e « h a s a c o n s t a u l v a l u é A'. Al lowor v e l o c i t i e s (zone 1) frietion c u r v e s h o t h l i n e s u p w a r d s . T h u s l'or n — (), i> = />^(l, ;)n(l lint z e r o . H e r e : a —* x.

II. F O R M U L E S E M P I R I Q U E S H . — E M P I R I C A L F O R M U L A E

O n a p r o p o s é de n o n i b r e u s e s f o r m u l e s e m p i - r i q u e s p o u r la z o n e I, f o r m u l e s e o i n j i o r t a n l d e u x on t r o i s p a r á m e t r o s , lellcs q u e :

/> A/¡ | B /; ~ An -|- C.'/í i> An + B |- C / n i> ~- An | \ IV n-- •

„ \

(2)

Scveral enipirie.al f o r m u l a c h a v e b e e n p r o p o s e d l'or z o n e I, d e p e n d i n g on 1 or íi p a r a n i e t e r s , s u e h a s :

i> = An -(- B /' — An -|- C/n v — An -f- B -|- C/n v = An V B - n-

Fie. 1 F i o . 2 a F i o . 2 J> F i o . 2 r

La p r e i n i e r e de ees f o r m u l e s e s t la p l u s s i m - [>le : elle c o r r e s p o n d a u n e d r o i t e avec B = n„

(lig. 2a). Elle no so r a c c o r d e p a s r a p i d e m e n t a ( I ) , a m o i n s q u e B soit t r e s p e t i t .

La s e c o n d e f o r m u l e c o r r e s p o n d á u n e h y p e r - bole (fig. 2 b\ a y a n t p o u r a s y m p t o t e s l ' a x e d e s v d ' u n e p a r í , el la d r o i t e v = An, d ' a u t r e p a r t . Cette f o r m u l e n ' e s t p a s b o n n e , c a r p o u r ;i = (I, v —» x , et jiour n,„ = V C / A , v p a s s e p a r u n m í - n i m u m i>,„ — 2 \ / A C . La t r o i s i é m e f o r m u l e n'est ( p i ' u n e v a r i a n t e de la d e u x i é m e et c o n d u i t a u x m é m e s r e s t r i c t i o n s .

La q u a t r i c u i c f o r m u l e c o r r e s p o n d a u n e h y p e r b o l e a y a n t p o u r a s y m p t o t e la d r o i l e

; ; ^ = ( A + B ) n . P o u r / ! = ( ) , i>„ \/C, et di)/dn=A.

Cette f o r m u l e esl e m p l o y é e p a r les h y d r o l o g u e s o t i r o p é e n s et r u s s e s , et b i e n q u e les p a r á m e t r o s A, B, C soient difíieiles a c a l c u l e r , elle est p r é - l é r a b l e .

T h e first f o r m u l a is Ihe s i m p l e s t , a s il r e p r e - s e n t s a s t r a i g h t line w i t h B = Ü „ (íig. 2 a ) . It d o e s not t e n d r a p i d l y t o w a r d s (1), u n l e s s B is v e r y s m a l l .

T h e s e c o n d f o r m u l a is a h y p e r b o l a (íig. 2 / ; ) w i l h t h e w-axis a s o n c a s y m p t o t e a n d t h e s t r a i g h t lino /; = An a s a n o t h e r a s y m p t o t e . T h i s f o r m u l a is not good, as for /»==<), a n d it h a s l'or n„, — \/C7A a m i n i m u m v a l u ó v,„ — 2 V A C .

T h e I h i r d f o r m u l a is m e r e l y a m o d i l i c a t i o n of Ihe s e c o n d a n d s u b j e c t to I h e s a m e l i m i l a l i o n s .

T h e f o u r t h f o r m u l a r e p r e s e n t s a h y p e r b o l a w i t h t h e a s y m p t o l e ; > ~ ( A + B ) / í .

F o r n — 0, v„ — \/~C, dv/dn = A.

II is u s e d by E u r o p e a n a n d R u s s i a n h y d r o l o - g i s l s , a n d I h o u g h Ihe p a r a m e t e r s A, B , ('. a r e d i f í i c u l t t o c o m p u t e , it is p r e f e r a b l e .

J u n . i . K T - A o u T 1954 LA H O U I L L E B L A N C H E 40.",

III. N O U V E L L E F O R M U L E E M P I R I Q U E I I I . — A N E W E M P I R I C A L F O R M U L A

Au L a b o r a t o i r e ( r H y d r a u l i q u e do F I n s t i t u l de T c c h n o l o g i e d ' I s r a é l , l'auteiir s'esl livré, au c o u r s d e s dix d e r n i é r e s atinóos, á de n o m h r e u x e s s a i s p o r t a n t s u r d e s m o u l i n e l s W A T T S á e o u p e l l e , s u r de p e ü l s m o u l i n e l s O T T el s u r d e s m o u l i n e l s a hélice r é a l i s é s en I s r a e l ; ees e s s a i s P a m é n e i i l á p r o p o s e r u n e n o u v e l l e f o r m u l e e m p i r i q u e s i m ­ ple q u i c o n c o r d e de t r e s p r é s avec los v a l e u r s m e s u r é e s d e v et de n, et q u i s ' a v é r e g é n é r a l c - meiit v a l a b l e á la fois d a n s les z o n e s I el II.

„ = An + B / ( n + 1)

a r= v/n = A + /> B ; b = = 1 / [ / ? (n + 1 ) ; (3) B est e n g e n e r a l b e a u c o u p p l u s petil q u e A. O n a u n e h y p e r h o l e (fig. 2 c) d o n t P u n e d e s a s y m p l o l e s est la d r o i t e u = An (n —» x), l ' a u t r e a s y m p t o t e el le m i n i m u m de v se I r o u v a n t d a n s la r e g i ó n de n < I). Q u a n d le l e m p s est m e s u r é en s e e o n d e s , B — vⁿ (B est en m / s²) . L e s p a r á m e t r o s A el B s o n t d e t e r m i n e s p a r la m é t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r é s . L e c a l c u l se c o n d u i t de la facón s u i v a n t e : on d r e s s e u n t a h l e a u d o n t les c o l o n n e s d o n n e n t s u c c e s s i v e m e n t : le n u m e r o d ' o r d r e de P e s s a i , T, L, N, a = L / N , n = N / T , b = l/[n (n + 1) ] , b'-', a b, v = L / T , et la v a l e u r do v c a l e u l é e e n s u i t e d ' a p r é s la f o r m u l e ( 3 ) .

P u i s on fail la s o m i n e d e s ehiffics d e s colon­

n e s a, b, b", ab.

La m é t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r é s c o n s i s t e á r e - e h e r e h e r le m i n i m u m de la f o n c t i o n .

F (A, B) = S (A + b B — a)~

ce m i n i m u m est a t t e i n t l o r s q u ' o n a s i m u l l a n é - m e n l :

9 F dA ^{= 0}

3 F 3 B

: 0

ou :

A' A -(- B . Sfr — IV/

A . I 7 i + B.Sfr- = Ir//»

eíi A est le n o m b r e d e s p o i n l s d ' e s s a i s c o n s i d e ­ r e s e o m m e v a l a b l e s . La s o l u ü o n esl :

A = I )^A/ I ) ; B = !),./!) i4 avec :

D =r= A. S / )² - f v / , ) 2 ; D^A = i > , . v/,S 17>. Xah ; (5) Du = k.Zab — Za.Zb

L e s é q u a t i o n s (3) p o r m e l l o n t a l o r s de e a l c u l e r los v a l e u r s de v, q u i sont c o m p a r ó o s avec les va­

l e u r s e x p e r i m e n t a l e s v = L / T .

X u m e r o u s t e s i s on W A T T S c u p - m e t e r s , s m a l l O T T S a n d I s r a e l p r o d u c e d s e r e w - n i e l e r s , c a r r i o d out by t h e a u l h o r al tho H y d r a u l i c s L a b o r a l o r v of t h e I n s t i t u t o of T e c h n o l o g y , Maula, d u r i n g the last ten y e a r s , s u g g e s t a n o w s i m p l e e n i p i r i c a l f o r m u l a w h i c h lils elosely t h e i n e a s u r e d u, n v a l ú e s , a n d is u s u a l l v valid h o l h in z o n e s I a n d II.

v = An + B / < " -^J 1)

a « v/n A -\- b B; b — 1 f\n (n -f- 1 ¹ (3)

B is u s u a l l v m u c h s n i a l l e r I b a n A. 'Plus is a h y b e r b o l a (íig. 2 c) a s y n i p t o t i c lo Ihe s l r a i g h í line v = An for n x , w i l h t h e oliier a s y i u p l o t e a n d m i n i m u m v a l u é o u t s i d e t h e zone of p o s i t i v o n. YVhen the t i m e is i n e a s u r e d in s e c o n d s , B=/»„

(tho unil of B is m / s²) . T h e p a r a m e l e r s A, B a r e d e t e r m i n e d by Ihe m e l h o d of leasl s i p i a r e s . T h e c o n i p u l a t i o n j i r o c e e d s a s f o l l o w s : a l a h l e is p r e p a r e d , t h e c o l u m n s of w h i c h give Ihe o r d i n a l n u i u b e r of t h e test, T, L, N, a — L / N , n = N / T , b ~\/[n (n + 1 ) ] , b-, a b, v = L / T , v lo be c o m p u t e d l a t e r on by (3).

T h e s u i n s of tho c o l u m n s a, b, b-, (ib aro c o m ­ p u t e d .

T h e m e l h o d of leasl s q u a r e s r e q u i r e s Ihe m i n i m u m of (he f u n c t i o n :

F A , IS 1' • A /> I', a)-' w h i c h is r e a c h e d , w h e n s i m u l l a n e o u s l v :

3 F dA

3 F

3 B ⁰

k A -|- B.17) = IV/

A . 17> -|- l i . I / >^:' = v,//.

w h e r e k is Ihe n u u i h e r of valid lesl p o i n l s . T h o s o l u t i o n is :

A ^ ] )^A/ | ) J B ~r:-:- !),./!) -I;

w h e r e :

(5) I),, A.IV//) ila.^b

T h e n (3) gives Ihe e n m p u t e d v a h í o s of w h i c h a r e t h e n c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l v = L / T .

LA H O Ü I L L E B L A N C H K .1 t'ii.i.KT-Aot'T 1 !);">•)

I V . — C A L C U L S I M P L I F I É

O n p e n i Iros s o u v e n l s'unpjiíier les c a l c u l s , l o r s q u e l ' e x a i n e n d u l a b l e a u d e s r é s n l t a t s raon- Ire q u e a esl p r a t i q u e m c n l e o n s t a n t p o u r les p l u s g r a n d e s v i t e s s e s , p a r e x e m p l e p o u r n > n¡, soit d a n s la zone II d e la figure 1, oú la f o r m u l e (1) est v a l a b l e . D a n s ce c a s :

-•• '•• \

A' — i v a )/(/,• i) p o u r n > n¡ (6)

' < /

(ou n ^ n' # n¡) Si, p a r e x e m p l e , «¡ = 0,621, n o u s a r r o n d i r o n s ce ehiffre á n ' = 0,600, a u n d e s i m p l i f i e r les c a l c u l s . D a n s la zone I, n o u s p r e n d r o n s d e n o u - veau les f o r m u l e s (31. E n un p o i n l q u e l e o n q u e n n o u s a v o n s :

a A + b B ; b 1 n </i + 11]

Au p o i n l d o n n é n — n\ n o u s a v o n s :

n' = A -1- IY B ; />' = l / [ 7 i ' (/?' -f 1 )]

o u , p a r s o u s l r a c l i o n :

B (b — b') a tY

S u i v a n l la m é l h o d e d e s m o i n d r c s c a r i e s , le m i - n i i i i u m de la f o n c l i o n :

/' (B) -•- 1 [B (b • - />') - - (a --- a')}- esl a l t c i n l l o r s q u e df/díl = 0, ou :

s B = 1 ( 7 7 - - 7 7 ' ) (b - b ' 1 / 1 ib - - b'Y- [ A ^- a' /.' B

Le l a b l e a u esl en c o n s é q u e n e e s i m p l i í i é p o u r

n" d ' o r d r e d e l'essai, T, L, N, a = L / N , ri — fl',

77 N / T , b = 1 / ¡;? fn + 1 ) ] , b — / / , (b — b'V-, (V/ — o'.) (b - - b ' ) , 7) = L / T , 77 c a l c u l é d ' a p r é s ( 3 ) . Le t a b l e a n p r é c é d e n t p e u l d ' a i l l e u r s é t r e e m - ployé, c a r :

v (/; - b'Y- = S b - - 2 b ' 17) - f (A •- 7 ) b ' -

! (a 7 7 ' ) (b — b') — Sf7b

- f (A- - - /) a' b' — h' — a' l£b

V . — P R E C I S I Ó N

L e s l g é n é r a l e m e n t m e s u r é á =t 1 c m p r é s : d o n e , A L = 0,01 m . E n u t i l i s a n t u n c h r o n o m é l r e

I V . — S I M P L I F I E D C O M P U T A T I O N

V e r y oflen Ibis c o m p u t a t i o n m a y be simplified, w h e n t h e i n s p e c t i o n of t h e t a b l e s h o w s t h a t u is p r a e l i c a l l y e o n s t a n t for t h e h i g h e r v e l o c i t i e s , e.g. f o r /i > 7 7 ¡ , z o n e II of íig. 1, for w h i c h (1) is va lid.

H e r e :

A' — / 1 aj/(k---i) ior n > n^: (h)

Cor / 7 ^ 7 7 ' # ii¡) If e.g. n¡ — 0.021, w c s h a l l r o u n d it olí to n' = 0.000, in o r d e r to s i m p l i f y t h e c o m p u t a - l i o n s . In zone 1 w c s h a l l a g a i n a s s u m e (31. Al a n y p o i n l / 7 w e h a ve :

a = A -[- b B ; b = l / [ n (n -(- 11]

Al I h e given poinl 77 = /Y w e h a v e : a' = A -|~ />' B ; b ' 1 7 ? ' ( 7 7 ' + 1) ] By s u h s l r a c l i o n :

B (b b') — a - <Y

By Ihe m e l h o d of l e a s ! s q u a r e s Ihe m i n i n u i n i of I h e f u n c t i o n :

/'(!•»• = 1 ; B ( b b ' ¡ " i 7 7 ' ) ]²

¡s r e a c h e d w h e n df </B = 0, o r :

j

T h e t a b l e is a c e o r d i n g l y s i m p l i f i e d for 11 ^ 7 1 ' : O r d i n a l n u n i b e r of t h e test, T , L , N, a = L / N , a—a', n = N / T , b = l / [ n ( n - f l ) ] , b — b', {b — b'Y,

(.« - «') ib — b ' ) , i; = L / T , 7 7 , .^{o m}„ b y ( 3 ) .

T h e p r e v i o u s t a b l e m a y a l s o he u s e d , a s : 1 ib •-b'Y¹ = 2 b - —- 2 b' I b + (k - - i) b '²

Y: (77 - - a') (b —- b'1 = v¡ab

+ (A - - /) .-/' b ' - b ' 177 — 7 7 ' I b

V . — P R E C I S I Ó N

U s u a l l y L is m e a s u r e d w i t h i n ± 1 c m , so A L = 0.01 m . W h e n a s t o p w a t c h is u s e d

J u i L L i i T - A o i r r 1954 LA H O U I L L E B L A N C H E 465

A T = 0,1 s. P a r c o n s é q u c n t , l ' c r r c u r a b s o l u e s u r a e s l t r e s p e t i t e : A a = A L / X = 0 , 0 1 / N . Le n o m b r e de l o u r s X e s t voisin d e 100, et t r e s r a r c m e n t i n f é r i e u r á 50. a v a r i a n t g é n é r a l e m e n t e n t r e 0,1 et 1 ( s y s t é m e m é t r i q u e ) , a e s t c o n n u á m o i n s d e 0,1 % p r o s .

L e s e r r e u r s r e l a t i v e s s u r v el n s o n t b e a u c o u p p l u s élevées.

A v/v = A L / L + A T - T = 0 , 0 1 / L + 0 , 1 / T E n g e n e r a l , T > 10 s, L > 2 0 m ; p a r o o n s é - q u e n l , p r a t i q u e m e n t : A v/v = 0,1 T, soil á peu p r e s 0,1 a 1 % .

A / ? / ; i - = = A T / T = 0 , 1 / T é g a l e m e n t a p e u p r o s 0,1 á 1 % .

La p r e c i s i ó n d e la f o r m u l e (3) d é p e n d p r i n - e i p a l e m e n l d e A, c a r B est Iros p c t i l . O r , p a r s u i l c d e (4), (5), A est Irés s e n s i b l e a u x p l u s g r a n d e s v a l e u r s d e b-, oti a u x p e t i l e s v a l e u r s d e n. 11 esl r e c o m m a n d a b l e d e nc p a s l e n i r c u m p l e , d a n s les s o m n i e s , d e s v a l e u r s de n v r a i m e n l t r e s p e t i l e s , afín d ' é v i t e r u n e e x a g é r a t i o n de cello i n f l u e n c e .

1 T = 0.1 s. H e n e e T H E a b s o l u t o e r r o r on a is v e r y s m a l l A a = A L / N = 0 . 0 1 / X .

T h e n u m b e r of r e v o l u l i o n s N ~ 100, very sel- d o n i less t h a n 50. As a v a r í e s u s u a l l y b e t w e e n 0.1 a n d 1 ( m e t r i c u n i t s ) , a is k n u w n w i U i i n 0.1 V¿.

RR H E r e l a t i v o e r r o r s o n v a n d n a r e e o n s i d e r a b l y h i g h e r :

A v/v = A L / L + A T T ^ 0 . 0 1 / L 0 . 1 / T U s u a l l y T > 10 s, L > 20 n i ; h e n e e p r a c t i c a l l y A / ; ' Í ; = ' 0 . 1 T, or of t h e o r d e r of 0.1 to I ^cí .

A n/n = A T / T = 0 . 1 / T a l s o of t h e o r d e r of 0.1 to 1 ''/< .

T h e p r e c i s i ó n of t h e f o r m u l a (.'{> d o p e n d s e s - s e n t i a l l y on A, a s B is very s m a l l . O r , b e e a u s e of (4), (5), A is m u c h alTected hy Ihe h i g h e r v a l ú e s of b-, or s m a l l v a l ú e s of /), It is a d v i s a b l e to r e j e c t f r o m Ihe s u m s t h e v e r y s n i a l l e s t v a l ú e s of /!, so a s lo avoid Ibis u n w u r r a n l c d e x a g g e r a t e d elTecl.

E R R A T U M

La Houille Manche, n" 3/1954, p . 379 :

1" Fig. 2. —- Les ordonnées sont évidemment : 0,400 0,500. . . et non 400, 500. . . 2" Légcnde <le la figure 4. II faul lire :

Esxaix de Üoni/es

Variation dti coeflieient a en fonetion du nombre de Reynolds. (Les résultats d'es.sais arnéricains sont extraits de la figure 1, pago 594 de la Houille Manche, aoúl-septenibre 1952, elle-meme extraite de la figure 19, page 1067, volumc 113, Á.S.C.E., 1948. Pour l'équation (le Biesel, cf. la Houille Manche, n" A, 1954, page 255.)