Formules proposées

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

D ESBOVES

Formules proposées

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 14 (1875), p. 508-509

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FORMULES PROPOSEES (•)

PAR M. DESBOVES.

Première question. — Si l'on donne à R, r, r\ iJ/, / "f

leur signification ordinaire, et que l'on désigne par x, y~

f

z les rayons des trois cercles, qui touchent intérieu- rement le cercle circonscrit à un triangle et sont inscrits respectivement dans les angles A, B, C de ce triangle, on a les formules suivantes :

L r

\z y I 2 I I I

j _ _ _ i _ i

2 R /• x y z 7' 1 1 — 1

— 1 _

2Rr~j z x

r" _ i_ 1 _ i_

' x z y

I I 1

~ x y z

Par les trois premières formules, on calcule x, )', z,

(*) Extrait de la nouvelle édition des Questions de Trigonométrie, qui doit prochainement paraître.

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( 5 o⁹)

comiaissant R, r, /', r", r"\ et, par les autres, on résout la question inverse.

Seconde question. — Si l'on suppose que les trois cercles de l'énoncé précédent soient remplacés par les trois cercles analogues, tangents extérieurement au cercle circonscrit à un triangle, et que l'on désigne par J ^ , j ' i , z^v les rayons des nouveaux cercles, on a

4R/ 4R/" 4Rr"'

32R3— 2 R ( j , 2, -4- X{ Z, •+- * , J | ) X, J , 3 , = O, 4 ^ 7 , 2 ^ — [(ƒ, «, •+-ar, a, -4- xtyi)r-— jclylzt]*=o

et, si l'on pose

r-h/LR i 1 1

on a aussi

r' mT[ " mYl '" mZl

Nota. — Pour résoudre les questions précédentes, on pourra prendre pour point de départ les formul es sui vantes, faciles à démonirer :

A B C

. r COS2 — z=z Y COS2 — = Z COS2 — z=z r.

2 2 22 or, c o s — = r', y\ c o s2 — rr: r/7, zx c o s2 - =

2 . 2 2