DS corrigé 03 de GRH

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Terminale GRH DS 03 2008-2009

T GRH Calculatrice autorisée

Devoir de mathématiques (2 heures) Exercice I ( 4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.

On demande de cocher celle que vous pensez être correcte.

Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Chaque réponse fausse retire 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

Le prix d'une denrée augmente de 3,6 % la première année et augmente de 20 % la seconde année.

1. À l'issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par : a. 0,964 ; b. 1,036 ; c. 1,360 ; d. 0,096.

2. À l'issue des deux années, ce prix a augmenté de :

a. 7,2 % ; b. 24,32 % ; c. 16,4 % ; d. 23,6 %.

3. Le taux d'évolution annuel moyen sur ces deux années est, à 0,1 % près : a. 7,2%; b. 16,4%; c. 11,5%; d. 11,8%.

4. Si cette denrée avait augmenté de 3,6 % pendant 7 ans, le taux d'évolution pour ces sept années aurait été de :

a. 25,2 % ; b. 28,1 % ; c. 23,6 % ; d. 27,2 %.

Exercice II (7 points)

Un pays en voie de développement comptait, en l'an 2003, trois millions d'enfants dont l'âge était compris entre six et onze ans. Seuls 700 000 d'entre eux étaient scolarisés.

Dans tout cet exercice, on comparera la « population d'âge scolaire », c'est-à-dire le nombre des enfants dont l'âge est compris entre six et onze ans, et la « population scolarisée », c'est-à-dire le nombre des enfants d'âge scolaire qui sont inscrits dans une école. La population d'âge scolaire de ce pays augmente de 2 % par an et la population scolarisée augmente de 150 000 par an.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Année Population d'âge scolaire Population scolarisée

2003 3 000 000 700 000

2004 2005 2006

2. Quel est le pourcentage de la population scolarisée dans ce pays en 2003 ? en 2006 ?

3. n est un nombre entier positif. On note P_n la population d'âge scolaire de ce pays en l'an 2003 n+ et S_n la population scolarisée cette même année. Quelles sont les valeurs de P0 et S0 ?

4. Exprimer P_n₊₁ en fonction de P_n et montrer que la suite (P_n) est une suite géométrique.

En déduire l'expression de P_n en fonction de n.

5. Exprimer S_n₊₁ en fonction de S_n et montrer que la suite (S_n) est une suite arithmétique.

En déduire l'expression deS_n en fonction de n.

6. Calculer le pourcentage de la population scolarisée en 2008.

7. En s'aidant de la calculatrice, déterminer en quelle année on peut espérer que, pour la première fois, plus de la moitié de la population d'âge scolaire sera scolarisée.

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Exercice IV ( 9 points)

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Corrigé Exercice I

Le prix d'une denrée augmente de 3,6 % la première année et augmente de 20 % la seconde année.

1. À l'issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par : a. 0,964 ; b. 1,036 ; c. 1,360 ; d. 0,096.

En effet, pour augmenter un nombre de 3.6% on le multiplie par 1 ^3.6 1.036 +100=

2. À l'issue des deux années, ce prix a augmenté de :

a. 7,2 % ; b. 24,32 % ; c. 16,4 % ; d. 23,6 %.

Le taux d’évolution successif est donc donné par 1.036 1.2 1× − =24.32%

3. Le taux d'évolution annuel moyen sur ces deux années est, à 0,1 % près : a. 7,2%; b. 16,4%; c. 11,5%; d. 11,8%.

Sur 2 années, le taux d’évolution annuel moyen est donné par (^1.2432)¹² ^{− ≈}^{1 11.50%}^.

4. Si cette denrée avait augmenté de 3,6 % pendant 7 ans, le taux d'évolution pour ces sept années aurait été de :

a. 25,2 % ; b. 28,1 % ; c. 23,6 % ; d. 27,2 %.

Puisque 1.036⁷− ≈1 28.1%. Exercice II (7 points)

Un pays en voie de développement comptait, en l'an 2003, trois millions d'enfants dont l'âge était compris entre six et onze ans. Seuls 700 000 d'entre eux étaient scolarisés.

Dans tout cet exercice, on comparera la « population d'âge scolaire », c'est-à-dire le nombre des enfants dont l'âge est compris entre six et onze ans, et la « population scolarisée », c'est-à-dire le nombre des enfants d'âge scolaire qui sont inscrits dans une école. La population d'âge scolaire de ce pays augmente de 2 % par an et la population scolarisée augmente de 150 000 par an.

1. Rappelons pour augmenter une valeur de 2%, on la multiplie par 1,02.

Année Population d'âge scolaire

Pn

Population scolarisée

Sn

2003 3 000 000 700 000

2004 3 060 000 850 000

2005 3 121 200 1 000 000

2006 3 183 620 1 150 000

2. La proportion de population scolarisée dans ce pays en 2003 est de ⁷⁰⁰⁰⁰⁰ ⁷ 23,3%

3000000=30≈ . En 2006, elle est de ^1150000 36,1%

3183620≈ .

3. n est un nombre entier positif. On note P la population d'âge scolaire de ce pays en l'an 2003 n_n + et S la _n population scolarisée cette même année.

P0 et S0 correspondent à 2003 donc P₀ =3000 000 et S₀ =700 000.

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4.

La population d’âge scolaire augmente de 2% de l’année n à l’année suivante n+1 : elle est donc multiplié par 1,02 et on a P_n₊₁=1, 02P_n : cette suite est donc géométrique, puisqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par 1.02.

D’après le cours, on a alors : P_n= ×P₀ 1, 02ⁿ d’où P_n =3000 000 1.02× ⁿ. 5.

La population scolarisée augmente de 150 000 de l’année n à l’année suivante n+1 : on a donc

1 150 000

n n

S ₊ =S + : cette suite est donc arithmétique, puisqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours 150 000.

D’après le cours, on a alors : S_n =S₀+150 000n d’où S_n =700 000 150 000+ n. 6. 2008 correspond à n = 5 et on a, d’après la question précédente :

5 700 000 150 000 5 1450 000

S = + × = et P₅ =3000 000 1.02× ⁵ =3312 240 donc la proportion cherchée est

5 5

43,8%

p S

= P ≈ .

7. En s'aidant de la calculatrice, déterminons en quelle année on peut espérer que, pour la première fois, plus de la moitié de la population d'âge scolaire sera scolarisée.

On cherche donc à trouver le premier n tel que 700 000 150 000

0.5 0.5

3000 000 1.02

n

n n

S n

P

≥ ⇔ + ≥

× : on teste donc différentes valeurs de n et on trouve n = 7 soit l’année 2010.

Exercice IV ( 9 points)

1. Graphiquement, on observe que le nombre de produits offerts lorsque le prix est de 18€ est d’environ 52 et que le nombre de produits demandés est d’environ 25.

2a. La dérivée de f est donnée par f'( )x =0.05 2× x− =4 0.1x−4.

2b. On en déduit le tableau suivant, puisque f’(x) = 0 quand x = ⁴ 40

0.1= (hors de l’intervalle d’étude) :

2c. Comme f est décroissante et x représente le prix d’un article, le fait que f soit décroissante signifie que plus le prix de l’article augmente, plus le nombre de produits demandés diminue.

3a. Le prix d’équilibre d’un produit est le prix pour lequel il y a autant d’offre que de demande, cad le prix x pour lequel f(x) = g(x).

Graphiquement, il faut donc lire l’abscisse du point d’intersection des deux courbes : on lit x≈12€.

3b. On a f(12)=g(12)=40 produits offerts et vendus. Chaque produit étant de 12€, le chiffre d’affaires est alors de

12 40× =480€.

x 2 30

f ’(x) - f (x) 73

ց 5.8

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

20 30 40 50 60 70

0 2

10

x y