Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚17 Arithm´ etique
Exercice 147 (Divisibilit´e)
1. Soienta∈N≥2 et n∈N≥2. D´emontrer quea−1 divisean−1.
2. Soitn∈N≥2. D´emontrer que
n
X
k=1
kdivise (n+ 1)!.
Exercice 148 (Puissances d’une matrice d’ordre fini)
1. SoitA∈ Mn(K) o`un∈N≥2 et K∈ {R,C}. On suppose que la matriceA est d’ordre fini, i.e. que
∃r∈N∗ Ar=In. (a) Justifier que l’ensemble
{ k∈N∗|Ak=In}
admet un plus petit ´el´ement. Ce dernier est appel´e ordre deAet est not´e ord(A).
(b) Soits∈N∗ un multiple de ord(A). CalculerAs.
(c) Soits∈N∗ tel queAs=In. D´emontrer quesest un multiple de ord(A).
(d) Soients1 et s2 deux entiers naturels non nuls ayant le mˆeme reste dans la division euclidienne par ord(A). Que peut-on dire de As1 etAs2?
(e) Justifier avec soin que, pour d´eterminer toutes les puissances deA, il suffit de calculer ord(A) puis- sances deA. On pr´ecisera lesquelles.
2. Soit la matriceA=1 2
1 −√
√ 3
3 1
∈ M2(R).
(a) D´emontrer queAest d’ordre fini et pr´eciser l’ordre de A.
(b) ExpliciterAk pour toutk∈N.
Exercice 149 (Racines enti`eres d’un polynˆome `a coefficients entiers)
1. SoitP =anXn+an−1Xn−1+. . .+a2X2+a1X+a0un polynˆome `a coefficients entiers. D´emontrer que siαest une racine enti`ere de P alorsαdivisea0.
2. Le polynˆomeP =X4−2X+ 4X+ 6 poss`ede-t-il des racines enti`eres ? 3. Le polynˆomeP =X3−7X2+ 3X−21 poss`ede-t-il des racines enti`eres ?
Exercice 150 (Puissances de nombres premiers entre eux) Soientaet bdes entiers naturels non nuls premiers entre eux.
1. D´emontrer que pour toutn∈N∗, les entiersan etbn sont premiers entre eux.
2. D´eduire de 1. que pour tout (n, m)∈(N∗)2 les entiersan et bmsont premiers entre eux.
Exercice 151 (Racines rationnelles d’un polynˆome `a coefficients entiers) 1. D´emonter que pour toutx∈Q>0, il existe un unique couple (p, q)∈(N∗)2tel que
x=p
q et PGCD(p,q) = 1.
On dit que p
q est la forme irr´eductible dex.
2. D´emontrer que le polynˆomeP=X3−X+ 1 n’a pas de racine rationnelle.
1
Exercice 152 (PGCD, relation de B´ezout, PPCM)
Pour chacun des couples (a, b) suivants calculer PGCD(a,b), donner une relation de B´ezout liant a et b et calculer PPCM(a,b).
(a, b) = (654,120) ; (a, b) = (2014,1995) ; (a, b) = (1234,1000).
Exercice 153 (Choix d’un d´enominateur commun dans un calcul de somme de rationnels) On souhaite calculer la somme
19
2247+ 51 1070 sans calculateur©.
1. Quel choix judicieux de d´enominateur commun peut-on proposer ? 2. Calculer le d´enominateur commun choisi en 1.
3. Calculer la somme 19
2247+ 51 1070.
Exercice 154 (Une ´equation diophantienne) On consid`ere l’´equation
(E) : 154x+ 15y= 1 d’inconnue (x, y)∈Z2.
1. Calculer le PGCD de 154 et 15 `a l’aide de l’algorithme d’Euclide et en d´eduire une solution (x0, y0) de l’´equation (E).
2. Soit (x, y) une solution de (E). D´emontrer qu’il existek∈Ztel quex=x0+ 15ket y=y0−154k.
3. Conclure quant `a l’ensemble solution de (E).
Exercice 155 (Crible d’´Eratosth`ene)
1. Soitn∈N≥2. D´emontrer quenest premier si et seulement si
∀p∈ P 2≤p≤√
n⇒p∤n.
2. D´emontrer qu’un entiern∈J11,120Kest premier si et seulement si il n’est ni multiple de 2, ni multiple de 3, ni multiple de 5, ni multiple de 7.
3. D´eduire de 2. une m´ethode pour ne laisser visibles que les nombres premiers dans la grille suivante.
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
Exercice 156 (Entier dont la racine carr´ee n’est pas un nombre rationnel) 1. D´ecomposer 132 en produit de facteurs premiers et en d´eduire que√
132∈/Q.
2. Conjecturer une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un entier n∈ N≥2 ait une racine carr´ee non rationnelle. On pourra consid´erer des valuationsp-adiques.
3. D´emontrer la conjecture ´enonc´ee en 2.
2
