PSI* — Sommation des relations de comparaison Page 1
a) Comparaison des sommes partielles en cas de divergence Nous supposons ici que an diverge, c’est-à-dire que Sp =
p n=0
an −→
n→∞+∞(termes réels positifs).
•Siun=O(an), je dispose de n0 dans NetM dans R+∗ tels que : ∀n∈N n≥n0 ⇒ |un| ≤M an. Pourp > n0, j’écris (dans le “style de C ”) :
p n=0
un
p n=0
an
≤ 1 Sp
·
n0
n=0
un + 1 Sp
·
p n=n0+1
un ≤ 1 Sp
·
n0
n=0
un +M
car, les anétant des réels positifs :
p n=n0+1
un ≤
p n=n0+1
|un| ≤M
p n=n0+1
an ≤M·Sp.
Or, n0
n=0
un est une constante (vis à vis de p) et Sp −→
p→∞ +∞ ; donc 1 Sp
· n
0
n=0
un −→
p→∞ 0, par définition de la limite je peux fixer n1 dans Ntel que
∀p≥n1
1 Sp ·
n0
n=0
un ≤M
et j’ai alors : ∀p≥max (n0, n1)
p n=0
un ≤2M
p n=0
an ; par conséquent :
p n=0
un=O
p n=0
an .
•Si l’on remplace l’hypothèse “un =O(an)” par “un =o(an)”, ce qui précède peut-être repris, en remplaçantM par unε >0 arbitraire, pour montrer que p
n=0
un =o
p n=0
an .
•Enfin, si l’on suppose “bn ∼ an”, on a bn −an = o(an) et le résultat précédent montre que
p n=0
bn∼
p n=0
an.
b) Comparaison des restes en cas de convergence Nous supposons ici que an converge.
•Si en outre un=O(an), alors un est absolument convergente (|un|=O(an)).
De plus je dispose den0 dansNetM dans R+∗ tels que : ∀n∈N n≥n0⇒ |un| ≤M an. Soit (p, q)dans N2 tel quen0 < p < q ; par l’inégalité triangulaire et d’après le choix de n0 :
q n=p+1
un ≤M
q n=p+1
an.
À la limite, lorsque q tend vers l’infini, j’obtiens : ∞
n=p+1
un ≤M
∞
n=p+1
an et cela est établi pour tout p≥n0 ; par conséquent :
∞
n=p+1
un=O
∞
n=p+1
an .
•Si l’on remplace l’hypothèse “un =O(an)” par “un =o(an)”, ce qui précède peut-être repris, en remplaçantM par unε >0 arbitraire, pour montrer que ∞
n=p+1
un=o
∞
n=p+1
an .
•Enfin, si l’on suppose “bn ∼ an”, on a bn −an = o(an) et le résultat précédent montre que
∞
n=p+1
bn∼
∞
n=p+1
an.
