Feuille de TD n˚19
MP Lyc´ ee Clemenceau F´ evrier 2021
Exercice 1 :SoitAle matrice suivante :
A=
2 1 0 0
1 2 0 0
0 0 4 3
0 0 3 4
Montrer que l’application suivante d´efinit bien un produit scalaire sur IR4. ϕ IR4×IR4 → IR
(X, Y) 7→ tXAY Donner une base orthonormale de IR4 muni de ce produit scalaire.
Exercice 2 :Dire `a quelles conditions les applications suivantes sont des produits scalaires : a) E= IR2, ((x, x0)|(y, y0)) =axy+bxy0+cx0y+dx0y0
b) E= IRn, ((x1, . . . , xn)|(y1, . . . , yn)) =a
n
X
i=1
xiyi+bX
i6=j
xiyj
Exercice 3 :Soient (E,(.|.)) et (F,h., .i) deux espaces euclidiens, soitf une application deEdans F, v´erifiant
f(0) = 0
∀(x, y)∈E2 kf(x)−f(y)kF =kx−ykE Montrer que cette application est lin´eaire.
Exercice 4 :On consid`ere dans l’espace euclidien IR4 muni du produit scalaire usuel, le sous espace F, d´efini par
F=
(x, y, z, t)∈IR4/
x+y+z+t= 0 x−y+z−t= 0
Donner, dans la base canonique, la matrice de la projection orthogonale surF, en d´eduire celle de la sym´etrie orthogonale par rapport `aF
Exercice 5 :SoitE=C([−1,1],IR) muni du produit scalaire d´efini par :
f g
= Z 1
−1
f(t)g(t) dt
On pose
F={f ∈E/∀t∈[−1,0], f(t) = 0} et G={g∈E/∀t∈[0,1], g(t) = 0}
1) Montrer queF⊥ =G
2) Les sous-espaces vectorielsF etGsont-ils suppl´ementaires ?
Exercice 6 : SoitS l’ensemble des vecteurs de norme 1 d’un espace pr´ehilbertien r´eel. Montrer l’implication suivante :
∀(x, y)∈S2, x6=y ⇒ ∀λ∈IR\ {0,1},(1−λ)x+λy6∈S
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