Exercice 1 : 1.a. FAUX

Exercice 1 :

1.a. FAUX. La proba de tirer une blanche est dep= 3/4X suit doncB(n,3/4).

1.b. VRAI.p(X = 0) = µ1

4

¶n

= µ1

2²

¶n

⇒p(X= 0) = 1 2²ⁿ.

1.c. FAUX. le contraire deX <5estX ≥5doncp(X <5) = 1−p(X≥5).

1.d. VRAI. Dans la loiB(n, p)l’espérance vautE(X) =npdonc iciE(X) = 0.75npuisquep= 3/4.

2. L’énoncé s’interprête par : P(M) = 0.01 ; PM(T) = 0.99 ; PM(T) = 0.01 ; P_M(T) = 0.02 ; P_M(T) = 0.98 2.a. VRAIP_M(T) +P_M(T) = 0.99 + 0.02 = 1.01

2.b. FAUXP_M(T) +P_M(T) =P(T)est une version erronée de la formule des probabilités totales.qui est : P(T) =P_M(T)P(M) +P_M(T)P(M)

2.c. VRAIP(T) =PM(T)P(M) +P_M(T)P(M)⇒P(T) = 0.99×0.01 + 0.02×0.99 = 0.029 7 2.d. VRAILa question s’interprête parPT(M) = 2/3.OrPT(M) =P(M∩T)

P(T)

De plusP_M(T) = 0.02⇒ P(M∩T)

P(M) = 0.02⇒P(M∩T) = 0.02×P(M)⇒P(M∩T) = 0.02×0.99 DoncPT(M) =0.02×0.99

0.0297 ⇒PT(M) =2 3

Exercice 2 :

1.a.Au voisinnage de −∞:f(x) = 1 2

¡x+ (1−x)e^2x¢

⇒f(x) = 1 2x+1

2e^2x−1 42xe^2x Or lim

u→−∞ue^u= 0 donc lim

x→−∞2xe^2x= 0

Ainsi d’après les théorèmes généraux sur les limites :

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

x→−∞lim 1

2x=−∞

x→−∞lim 1 2e^2x= 0

x→−∞lim 2xe^2x= 0

⇒ lim

x→−∞f(x) =−∞

Au voisinnage de +∞:f(x) =1 2e^2x

µ

−x+ 1 +2xe^−2x 2

¶

Or lim

u→+∞ue^−u= 0 donc lim

x→−∞2xe^−2x= 0

Ainsi d’après les théorèmes généraux sur les limites :

⎧⎨

⎩

x→lim+∞−x+ 1 +2xe^−2x

2 =−∞

x→lim+∞e^2x= +∞ ⇒ lim

x→+∞f(x) =−∞

1.b. y= x

2 est asymptote àCsi et seulement si lim

x→−∞

³

f(x)−x 2

´

= 0

Orf(x)−x 2 = 1

2e^2x−1

42xe^2xet d’après ce qui précède,

⎧⎨

⎩

x→−∞lim 1 2e^2x= 0

x→−∞lim 2xe^2x= 0 ⇒ lim

x→−∞f(x)−x 2= 0

On en déduit bien quey=x

2 est asymptote àC au voisinnage de−∞.

2. f est dérivable surRcomme somme et produit de fonctions dérivables surR. Sa dérivée estf⁰(x) = 1

2

¡x+e^2x−xe^2x¢₀

⇒f⁰(x) =1 2

¡1 + 2e^2x−e^2x−2xe^2x¢

Doncf⁰(x) = 1 2

¡1 +e^2x−2xe^2x¢

qui s’écrit encore f⁰(x) =1 2

¡1 + (1−2x)e^2x¢ .

3.a u(x) = 1 + (1−2x)e^2xest dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur R

Sa dérivée estf⁰(x) =−2e^2x+ 2 (1−2x)e^2x⇒f⁰(x) =−4xe^2x qui est du signe de−x.La fonctionuest donc strictement croissante surR⁻ et strictement décroissante surR⁺.

3.b u(0) = 2. et u(1) = 1−e² < 0 La fonction uest donc dérivable strictement décroissante sur [0; +∞[ avec u(0) = 2 et.u(1)<0Elle s’annule donc une fois et une seule sur l’intervalle[0; 1]

L’équationu(x) = 0admet donc bien, d’après le théorème de la bijection (ou des valeurs intermédiaires), une solution unique αsur l’intervalle[0; 1].

La calculette donneu(0.63)>0etu(0.64)<0. Une valeur approchée à10⁻² près par excès deαest donc0.64.

3.cLes variations deupermettent d’affirmer que :

½ ∀x∈]−∞;α], u(x)≥0

∀x∈[α; +∞[, u(x)≤0 4. En remarquant quef⁰(x) =1

2u(x), f est croissante sur]−∞;α]et décroissante sur[α; +∞[.

D’où x f’(x) f(x)

0 α +∞

+ 0

-

- ∞ - ∞

f(α)

Bien que non demandée, voici la courbe :

1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

-2 0

-1.25

-2.5

-3.75

x y

x y