École Siti, Dpt Imath, Case 2D500
Année universitaire 2013/2014 Examen session 2 Date: 9 avril 2014 Sujet UE MVA101HT.
Sujet de 3 pages.
Responsable: T. Horsin Calculatrices interdites.
Tous documents manuscrits autorisés. Notes de cours, formulaires dactylographiées ou manuscrites autorisées.
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Vérifiez que vous disposez bien de la totalité des pages du sujet en début d'épreuve et signalez tout problème de
reprographie le cas échéant.
Exercice 1.
Les séries suivantes sont-elles convergentes ? (Justifier votre réponse).
i. 𝑢u� = 1 𝑛 − 1
𝑛2 .
ii. 𝑢u� = (−1)u�
𝑛 + 1 𝑛2
.On pourra mettre𝑛en facteur au dénominateur et utiliser un développe- ment limité.
iii. 𝑢u� = sin (1𝑛).
iv. 𝑢u� = 𝑛𝑒u�+ 1.
Exercice 2.
Déterminer le rayon de convergence 𝑅 des séries entières suivantes ∑∞
u�=0𝑎u�𝑥u� pour chacun des cas:
i. 𝑎u� = 𝑒−u�. ii. 𝑎u� = 1
2𝑛3u� + (−1)u�.
iii. 𝑎u� = ⎧{
⎨{⎩
0 si𝑛pair, (4𝑛 + 5
𝑛2+ 3)u� si𝑛impair.
Exercice 3.
On considère 𝑦 une fonction non identiquement nulle, deux fois dérivables sur ℝ qui satisfait
∀𝑥 ∈ ℝ, 4𝑥𝑦′′+ 2𝑦′ + 𝑦 = 0.
On admet que𝑦 est développable en série entière.
On note𝑦(𝑥) = ∑∞u�=0𝑎u�𝑥u�. Montrer que 𝑎u�+1 = ± 𝑎u�
(2𝑛 + 1)(2𝑛 + 2) et en déduire le rayon de convergence de la série entière.
Exercice 4.
Dans cet exercice la question i n’est pas utile pour les questions suivantes.
Soit𝐴 la matrice donnée par𝐴 := ( 4 2−2 9 ).
i. Déterminer les valeurs propres de𝐴 et les vecteurs propres associés.
ii. On considère2 fonctions𝑥 et𝑦 dérivables surℝ+, vérifiant
∀𝑡 ∈ [0, +∞[, ⎧{{
⎨{{⎩
𝑥′(𝑡) = 4𝑥(𝑡) + 2𝑦(𝑡), 𝑦′(𝑡) = −2𝑥(𝑡) + 9𝑦(𝑡), 𝑥(0) = 1
𝑦(0) = −1.
(1)
On note 𝑋 et 𝑌 les transformées de Laplace de 𝑥 et 𝑦. Déterminer le système d’équations vérifiées par 𝑋 et𝑌.
iii. Déterminer𝑋 et𝑌, et en déduire𝑥 et𝑦.
Exercice 5.
Soit𝑓 la fonctionpaireet2𝜋 périodique telle que𝑓 (𝑥) = sin(𝑥)pour 𝑥 ∈ [0, 𝜋2]et0 sur]𝜋2,𝜋].
i. Déterminer la série de Fourier de𝑓. On utilisera les (𝑎u�)et les(𝑏u�). ii. Ecrire la relation de Bessel-Parseval pour𝑓.
iii. La série de Fourier de 𝑓 converge-t-elle uniformément ? Si oui, la limite est-elle continue ?
iv. Quelle est la somme de la série de Fourier de𝑓 en 𝑥 = 9𝜋4 ?
