SUJET UE MVA 911 : Test n°3 Mise à niveau en math ématique s ( 1 ) : les premiers outils de l'algèbre et de la géométrie

SUJET UE MVA 911 : Test n°3 Mise à niveau en mathématiques (1) :

les premiers outils de l'algèbre et de la géométrie

Année universitaire 2020-2021 Examen 1ère session : 23/01/2021

Responsable : TOUZÉ R

Durée : 2 heures

Tous documents autorisés

(notes de cours et d’ED ainsi que les livres de référence) Calculatrice autorisée

Les téléphones mobiles et autres équipements communicants doivent être éteints et rangés dans les sacs

pendant toute la durée de l’épreuve.

Sujet de 4 pages, celle-ci comprise.

2020-2021 http ://maths.cnam.fr D´epartement IMATH

2 / 3

MV A911 - Test n°3

Important : Remplissez l’en-tˆete de toutes vos pages selon le mod`ele suivant :

MVA911 Test n°3

Votre nom et pr´enom : . . . Votre n^◦ de carte CNAM : . . . Votre groupe d’ED : . . . (jour, heure, salle ) Nom de l’enseignant : R. Touzé

Exercice 1

Fraction, racine carrée, identité remarquable, PGCD et ensembles 1) Simplifier A = (2 - 5 )² – (2 + 5 )²

2) Simplifier B = 8 1800 - 45 54 + 5 6

3) Mettre sous forme de fraction irréductible C = (½ + ⅓ + ¼ + ⅕)² 4) À quels ensembles appartiennent respectivement A, B et C ? 5) Calculer PGCD ( D ; E ) avec D = 6800 et E = 980

6) Donner la fraction irréductible associée à D/E ainsi que l’ensemble

auquel appartient ce nombre.

Exercice 2

Résolution d’équations et d’inéquations 1) ( x² – 9 ) - ( 3x + 1 )( x + 3 ) =0 2) 64 – ( x + 2 )² = 0

3) (x + 2 )( -x + 1 )( x - 5 )( x² – 4 ) > 0

Exercice 3

Valeurs absolues

Soit la fonction f définie pour tout x réel par : f(x) = 2 𝑥^!− 4𝑥 +4 − 3 𝑥^!+ 4𝑥 + 4

1) Exprimer f(x) à l’aide de valeurs absolues.

2) Exprimer f(x), en fonction de x, sans valeurs absolues.

Exercice 4

Soit le système (𝛴) : (𝛴)∶

𝑥+ 𝑦+2𝑧=8

𝑥+2𝑦+𝑧=7 2𝑥+𝑦+𝑧=9

Résoudre le système (𝛴) par la méthode des déterminants.

3 / 3 Exercice 5

Equations de plan

Donner une équation cartésienne du plan (ABC) passant par les points

A ( -2 ; 3 ; 0 ), B ( 1 ; -2 ; 1 ) et C ( 0 ; 3 ; -1 ) dans un repère orthonormé direct ( 𝑂 ; 𝚤 ; 𝚥 ; 𝑘 ).

Exercice 6

Equations de cercle

Donner l’équation cartésienne du cercle 𝒞 de diamètre 𝐴𝐵 avec

A ( -1 ; 3 ), B ( 2 ; -4 ) ainsi que ses éléments caractéristiques (centre et rayon) dans un repère orthonormé direct ( 𝑂 ; 𝚤 ; 𝚥 ).

Exercice 7

Programmation linéaire et équation de cercle

Résoudre graphiquement (programmation linéaire) le système d'inéquations :

𝑥^!+ 𝑦^!+2𝑥−4𝑦−4≥0

𝑥−𝑦+1<0

−1≤𝑥<4

−2<𝑦≤3 Exercice 8

Trigonométrie

1) 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑠 8𝜃 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝜃 .

2) 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −1 2 )( 2

2 +𝑠𝑖𝑛 𝜃 )( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 3 2 ) ( 3

2 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 )

≥0

Exercice 9

Nombre dérivé et équation d'une tangente

1) Trouver le nombre dérivé de la fonction f en x=1 à l'aide du taux d'accroissement 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 ∶ ∀𝑥∈ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥^!−4𝑥+4.

2) En déduire l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A(1, 1).

✯✯✯✯✯✯