Fénelon Ste Marie – La Plaine Monceau 1/4 PC-PC*
Physique
TRAVAUX PRATIQUES
Thème : Réponse d’un circuit du 1er ordre NOM : ………..
Objectif : Ce sujet porte sur l’étude synoptique d’un circuit du 1er ordre qui sera le prétexte pour revoir les capacités suivantes :
Effectuer l’analyse spectrale d’un signal périodique à l’aide d’un oscilloscope numérique ou d’une carte d’acquisition.
Agir sur un signal électrique à l’aide de fonctions simples (ici filtrage, intégration, moyennage).
Savoir que l’on peut décomposer un signal périodique en une somme discrète de fonctions sinusoïdales.
Utiliser une fonction de transfert et ses représentations graphiques pour conduire l’étude de la réponse d’un système linéaire à une excitation sinusoïdale, une somme finie d’excitations sinusoïdales, une excitation périodique.
Interpréter les zones rectilignes des diagrammes de Bode.
Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtre afin de l’utiliser comme moyenneur, intégrateur ou dérivateur.1ère SEANCE
1 – Montage et étude théorique
Réaliser le montage RC série et y connecter l’oscilloscope AGILENT de façon à visualiser v(t) en voie 2 et e(t) en voie 1.R = 1,0 k C = 0,10 µF
On rappelle la fonction de transfert de ce filtre : 𝐻(𝑗. 𝜔) =𝑣
𝑒= 1
1+𝑗.𝜔 𝜔0
où 𝜔0 = 1
𝑅.𝐶
On donne ci-après le diagramme de Bode associé à ce filtre, où on a posé 𝑥 = 𝜔
𝜔0
Diagramme de Bode du gain Diagramme de Bode du déphasage C R
GBF
VOIE 1 VOIE 2
e(t)
v(t)i(t)
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Rappeler la définition générale de la pulsation de coupure à –3 dB c d’un filtre et calculer sa valeur pour le filtre étudié ici.C’est la fréquence pour laquelle la tension de sortie est divisée par √2 par rapport à sa valeur maximale.
Ici, sa valeur théorique obtenue à partir de la fonction de transfert est fc = f0 = 1,6 kHz
Définir pour ce circuit, le domaine basses fréquences (B.F.) et le domaine hautes fréquences (H.F.) ? La fréquence de coupure permet de définir le domaine B.F. (f << fc) et H.F. (f >> fc).2 –Réponse fréquentielle
On va ici tracer le diagramme de Bode expérimental de ce filtre du 1er ordre.
Le GBF est réglé comme générateur d’un signal sinusoïdal de fréquence f de telle sorte d’imposer au circuit un régime sinusoïdal forcé.
On effectuera les mesures suivantes en mode balayage continu, méthode appropriée pour les signaux périodiques.
2.1 – Protocole d’étude expérimentale préliminaire des filtres simples
Nature du filtreA l’aide du GBF, balayer les fréquences entre quelques dizaines de Hertz et environ 20 kHz et visualiser l’évolution de l’amplitude de la tension de sortie v(t). En déduire la nature du filtre et la justifier.
On suit l’évolution de v(t) pendant l’augmentation de la fréquence. On observe sa diminution. Il s’agit donc d’un filtre PASSE-BAS.
Fréquence de coupure (à – 3dB)Relever la valeur maximale de l’amplitude de la tension de sortie (en B.F. pour un filtre passe bas) et relever la fréquence fc pour laquelle cette amplitude est divisée par √2 1,4.
Estimez l’incertitude sur la mesure comme la demi largeur de l’intervalle de fréquences pour laquelle vous évaluez la définition précédente vérifiée.
On considère ici que l’estimation de fc par cette méthode est la principae cause d’incertitude.
fc,min = ………….Hz ; fc,max = ………….Hz ➔ fc = ………………..V
Bande passante du filtreCompte tenu de la fréquence de coupure et de la nature du filtre, délimiter la bande passante de ce filtre.
Pour ce filtre passe bas c’est l’ensemble des fréquences appartenant à l’intervalle [0 ; fc]
2.2 – Tracé du diagramme de Bode expérimental
On choisira des fréquences de mesures à 1 chiffre significatif non nul compte tenu de la faible précision du papier semi-logarithmique.
Mesurer au préalable Ecc que le GBF garde constante quelle que soit f : Ecc = ……….. V
Choisir judicieusement 5 fréquences dans chaque domaine spectral et effectuer les mesures permettant de remplir le tableau suivant.Basses fréquences. (B.F.)
f (Hz) 10 20 100 200
Vcc (V)
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𝐺𝑑𝐵 = 20. 𝑙𝑜𝑔 (𝑉𝑐𝑐 𝐸𝑐𝑐)
(°) f « voisine » de fc ;
f (Hz) 500 1000 2000 3000
Uc (V) 𝐺𝑑𝐵 = 20. 𝑙𝑜𝑔 (𝑉𝑐𝑐
𝐸𝑐𝑐)
(°)
Hautes fréquences (H.F)
f (Hz) 5000 10000 20000 60000
Uc (V) 𝐺𝑑𝐵 = 20. 𝑙𝑜𝑔 (𝑉𝑐𝑐
𝐸𝑐𝑐)
(°)
Effectuer ces mesures et tracer sur un même graphe, en coïncidence d’abscisse le diagramme de Bode de gain en dB et de déphasage (on utilisera donc 2 axes d’ordonnées et un seul axe d’abscisses) sur la feuille de papier semi-logarithmique jointe.
Sur le diagramme du gain en dB, tracer - l’asymptote horizontale expérimentale.- l’asymptote oblique expérimentale et y mesurer sa pente en dB/décade valeur que l’on reportera sur le diagramme.
- relever la fréquence propre f0 , l’abscisse du point d’intersection des asymptotes , la fréquence de coupure à -3dB mesurées graphiquement.
3 – Etude en régime périodique non sinusoïdal 3.1 – Principe de l’étude
On va ici généraliser l’utilisation du diagramme de Bode toujours pour prévoir la réponse du circuit.
Tout signal T-périodique continu u(t) est décomposable en une somme de fonctions sinusoïdales soit : 𝑢(𝑡) = 𝑎0+ ∑[𝑎𝑘. 𝑐𝑜𝑠(2. 𝜋. 𝑘. 𝑓. 𝑡) + 𝑏𝑘. 𝑠𝑖𝑛(2. 𝜋. 𝑘. 𝑓. 𝑡)]
∞
𝑘=1
où 𝑓 = 1
𝑇 𝑎0 = 1
𝑇. ∫ 𝑢(𝑡). 𝑑𝑡0𝑇 : valeur moyenne 𝑎𝑘 = 2
𝑇. ∫ 𝑢(𝑡). 𝑐𝑜𝑠( 2. 𝜋. 𝑘. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡0𝑇 𝑏𝑘 = 2
𝑇. ∫ 𝑢(𝑡). 𝑠𝑖𝑛( 2. 𝜋. 𝑘. 𝑓. 𝑡). 𝑑𝑡0𝑇
k = 1 : terme fondamental de la décomposition en série de Fourier k > 1 : termes harmoniques de la décomposition en série de Fourier
La forme de u(t) est essentiellement contenue dans les premiers termes de la série alors que les termes suivants reconstituent en particulier les sauts de discontinuité.
On peut imaginer un dispositif où chaque terme de la série de Fourier peut être généré par un générateur de fonction sinusoïdale de fréquence ad-hoc.
Le théorème de superposition permet d’affirmer que la réponse d’un circuit linéaire est la somme des réponses individuelles à chaque terme (i.e. chaque générateur de fonction fictif est successivement seul allumé).
On comprend alors l’importance de l’étude en régime sinusoïdal pur effectué au paragraphe précédent.
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3.2 – Réponse à un signal sinusoïdal décalé
Sur le GBF, générer une tension sinusoïdale décalée, c'est-à-dire à laquelle s’ajoute une tension continue.Donc e(t) peut s’écrire : 𝑒(𝑡) = 𝑈0+ 𝐸. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) où U0 peut être positif ou négatif.
Quel couplage CA ou CC des voies faut-il choisir sur l’oscilloscope pour visualiser e(t) ?On choisit le couplage CC afin de visualiser le signal brute (avec TOUTES ses composantes spectrales.
Le couplage AC interpose un filtre passe haut de fréquence de coupure 10 Hz entre le montage et la visualisation du signal.
En basse fréquence, la tension de sortie v(t) est-elle décalée ? Reproduire l’allure de son spectre et l’interpréter.Le décalage (offset) est une tension continue additionnelle. C’est donc un terme spectral de fréquence nulle.
Il est dans la bande passante du filtre quelle que soit la fréquence du terme sinusoïdal.
En B.F., le terme sinusoïdal est reproduit dans le signal de sortie.
En haute fréquence, la tension de sortie v(t) est-elle décalée ? Reproduire l’allure de son spectre et l’interpréter.(cf ci-dessus).
En H.F., le signal sinusoïdal est fortement atténué et intégré.
3.3 – Réponse à un signal rectangulaire
Attaquer maintenant le montage à l’aide d’un signal rectangulaire de moyenne nulle dont on rappelle la série de Fourier :𝑒(𝑡) = ∑ 𝐶𝑡𝑒
(2𝑝 + 1). 𝑠𝑖𝑛((2𝑝 + 1). 𝜔. 𝑡)
∞
𝑝=0
3.3.1 – Réponse en bande passante
On soumet le montage à un signal rectangulaire basse fréquence.
Reproduire l’allure des signaux e(t) et uc(t) visualisés à l’oscilloscope. Interpréter.En B.F., le signal de sortie se superpose au signal d’entrée lorsqu’il est filtré par un filtre passe bas.
Ajouter une tension continue de décalage à e(t). v(t) est-il modifié ? Interpréter.(cf 3.2)
3.3.2 – Réponse en bande bande atténuée
On soumet le montage à un signal rectangulaire haute fréquence de moyenne nulle.
Reproduire l’allure des signaux e(t) et v(t) visualisés à l’oscilloscope. Interpréter. Quelle opération réalise le filtre sur la tension e(t) ?En H.F., le montage se comporte comme un circuit intégrateur. Le signal rectangulaire d’entrée est donc intégré en signal triangulaire.
Visualiser et reproduire le spectre de v(t). InterpréterOn donne la série de Fourier d’un signal triangulaire : 𝑣(𝑡) = ∑∞𝑝=0.(2𝑝+1)𝐶𝑡𝑒 2. 𝑐𝑜𝑠((2𝑝 + 1). 𝜔. 𝑡) 3.4 – Filtre utilisé comme moyenneur
Attaquer maintenant le montage à l’aide d’un signal rectangulaire de fréquence f et de moyenne NON nulle.
A quelle condition sur le rapport 𝑓 𝑓𝑐⁄ la tension de sortie vaut-elle la valeur moyenne de la tension d’entrée ? Le vérifier expérimentalement.
La valeur moyenne du signal d’entrée est la composante continue de sa décomposition en série de Fourier.
Afin de l’isoler dans le signal de sortie, il faut choisir fc << f.
