N OMBRES COMPLEXES

N OMBRES COMPLEXES

BAC ^MATHS

Le plan complexe est rapporté Cocher la r ponse exacte. é

Question n°001

Soit n un entier naturel le nombre complexe ,

si :

[ ]

^{a n=4k}

[ ]

^{b n=}

Question n°002

Soit n un entier naturel le nombre complexe ,

[ ]

^{a n}=^4k

[ ]

^{b n}= Question n°003

Soit n un entier naturel le nombre complexe ,

seulement si :

[ ]

^{a n=4k}

[ ]

^{b n=}

Question n°004

Soit n un entier naturel le nombre complexe ,

seulement si :

[ ]

^{a n=4k}

[ ]

^{b n=}

Question n°005

Soit z un nombre complexe non nul d

[ ]

^π+θ

a 4

[ ]

^π

4

b 3

Question n°006

Un argument du nombre complexe

[ ]

^{a π+θ}

[ ]

^{b θ}

OMBRES COMPLEXES AS ²⁰¹⁵

é à un repère orthonormé

( )

^O,u,v

le nombre complexe

( )

¹⁺ⁱⁿest un imaginaire pur k

4 2+

=

[ ]

^{c n=8k}

[ ]

^d

où k est un entier relatif

le nombre complexe

( )

¹+ⁱⁿest un réel si et seulement si k

4 2+

=

[ ]

^{c n}=^8k

[ ]

^d

où k est un entier relatif

le nombre complexe

( )

¹⁺ⁱⁿest un réel strictement k

4 2+

=

[ ]

^{c n=8k}

[ ]

^d

où k est un entier relatif

le nombre complexe

( )

¹⁺ⁱⁿest un réel strictement k

4 2+

=

[ ]

^{c n=8k}

[ ]

^d

où k est un entier relatif

Soit z un nombre complexe non nul d’argument _θ^. Un argument de z i−1 est

θ

+

[ ]

4

c θ−3π

[ ]

^d

Un argument du nombre complexe

z

1 ' z

z = + tel que

=eⁱ²θ

z où 



 



 π

∈

θ 2

,

0 est

[ ]

^{c π−θ}

[ ]

^d

OMBRES COMPLEXES

2015-2016

un imaginaire pur si et seulement

]

^n=4+8k

k est un entier relatif

si et seulement si :

]

ⁿ=⁴+^8k

k est un entier relatif

el strictement positif si et

]

^n=4+8k

k est un entier relatif

el strictement négatif si et

]

^n=4+8k

k est un entier relatif

est ^:

]

^π−θ

4

est ^:

]

^θ−π

Un argument du nombre complexe

[ ]

^π+θ

a 2

[ ]

^π−

b 2

Question n°008

L’ensemble des points M du plan d droite d’équation :

[ ]

^{a 4x−2y+3=0}

[ ]

^{b 4x+}

Question n°009

Un argument du nombre complexe z d

[ ]

a π3

[ ]

3

b −π Question n°010

Soient z et z’ deux nombres complexes non nul tel que alors : z=z'

[ ]

^{a Vrai}

[ ]

^{b Faux}

Question n°011

Soient z et z’ deux nombres complexes tel que alors : z=z'

[ ]

^{a Vrai}

[ ]

^{b Faux}

Question n°012

Soit z un nombre complexe ;

[ ]

^{a z +2}

[ ]

^{b z+}

Question n°013

Soient A et B deux points d’affixes respectives vérifiant : z−¹= z+1 est :

[ ]

^{a Lesegment}

[ ]

^AB

[ ]

^{b Ladroite}

Un argument du nombre complexe

z

1 ' z

z = − tel que

=eⁱ²θ

z où 







 π

∈

θ 2

,

0 est

θ

−

[ ]

c θ− π2

[ ]

^d

ensemble des points M du plan d’affixes z=x+iyoùx^,y∈R tel que z+

0

y 3 2 + =

+

[ ]

^{c y=x}

[ ]

^d

Un argument du nombre complexe z d’image M tel que

(

^v,OM

)

^≡−π₃

^{( )}

^{2π est}

π

[ ]

6

c π

[ ]

^d

deux nombres complexes non nul tel que : z = z' et ^arg

( )

^{z ≡}

Faux

deux nombres complexes tel que : ^Ré

( )

^{z =Ré}

( )

^{z' et arg}

( )

^{z ≡arg}

Faux

i

z−2 est égale à :

i

+2

[ ]

^{c iz}−²

[ ]

^d

affixes respectives et 1 ^-1. L’ensemble des points M d

( )

^AB

droite

[ ]

^{c Ladroite}

( )

^O,v

^{[ ]}

^{d Lecercle}

est ^:

]

^π−θ

4

i z

2 = −

+ est la

]

^y=−x

est ^:

]

2

π

( )( )

^{z' 2π}

arg ^,

( )( )

^{z' 2π}

arg ^,

]

^z−²

ensemble des points M d’affixe z

[ ]

^AB

ètre dim de cercle

L’ensemble des points M du plan d équation :

[ ]

^{a y=x}

[ ]

^b

(

^3x−

Question n°015

Soit A le point d’affixe z_A =1

non nul .

Si O A et , M sont alignés alors_n

[ ]

^{a nestpair}

[ ]

^{b nestimpair}

Question n°016

Soit B le point d’affixe z_B = non nul .

Si OBM est triangle rectangle direct en O alors_n

[ ]

^{a n=6k}

[ ]

^{b n=}

Question n°017

A tout nombre complexez≠^1, on associe le nombre complexe z L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a Uncercle}

[ ]

^{b Unedroite}

Question n°018

A tout nombre complexez≠^1, on associe le nombre complexe z L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a Uncercle}

[ ]

^{b Unedroite}

ensemble des points M du plan d’affixes z=x+iyoùx^,y∈R tel que z+

)

^{9y 16}

5 ²+ ²=

[ ]

^c

( ) (

^x−¹²+ ^y−²

)

² =¹⁶

[

^d

i 3

1+ et le point M d’affixe _n z_Aⁿ⁺¹où n est un entier naturel

s alors :

impair

[ ]

^{c nestunmultiplede3}

[ ]

^{d nest}

i

3+ et le point M_n d’affixe z_Bⁿ⁺¹où n est un entier naturel

est triangle rectangle direct en O alors :

k

6 3+

=

[ ]

^{c n=12k}

[ ]

^d

où k est un entier relatif

on associe le nombre complexe z’ défini par z affixe z tel que z'=1 est :

[ ]

^{c Uncercleprivéd'unpoint}

[ ]

^{d Undroite}

on associe le nombre complexe z’ défini par z affixe z tel que z' est un réel est :

[ ]

^{c Uncercleprivéd'unpoint}

[ ]

^{d Undroite}

z 2 2 1= −

+ a pour

]

^{9y 9x 11}

d = −

n est un entier naturel

de6

multiple un

est

n est un entier naturel

]

^n=3+12k

k est un entier relatif

z 1

i

' z

z −

= −

int po un d'

privé

droite

z 1

i

' z

z −

= −

int po un d'

privé

droite

A tout nombre complexez≠1^, on associe le L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a Uncercle}

[ ]

^{b Unedroite}

Question n°020

L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a y= 3xoùx≠0}

[ ]

^{b x=}

Question n°021

L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a y= 3xoùx≠0}

[ ]

^{b x=}

Question n°022

L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a y= 3x− 3 oùx≠1}

[ ]

^{b x}

Question n°023

A tout nombre complexez≠1et i

L’ensemble des points M d’affixe z tel que

[ ]

^{a Uncercle}

[ ]

^{c Uncercleprivéd'unpoint}

[ ]

^{c Unarcducercleprivéd'un}

[ ]

^{d Unarcducercleprivédedeux}

Question n°024

On pose z = ²− ³ −i 2+ 3

5π

on associe le nombre complexe z’ défini par z affixe z tel que z' est imaginaire pur est :

[ ]

^{c Uncercleprivéd'unpoint}

[ ]

^{d Undroite}

affixe z tel que :

( )

^≡π

( )

^2π

z 3

arg est la droite d’équation x 0

où

y

3 ≠

=

[ ]

^{c y= 3xavecx>0}

[ ]

^d

affixe z tel que : ^arg

( )

^{z2 ≡2}₃^π

^{( )}

^2π est la droite d’équation x 0

où

y

3 ≠

=

[ ]

^{c y= 3xavecx>0}

[ ]

^d

affixe z tel que :

( )

^{− ≡π}

( )

^2π

6

z 1

arg est la droite d’équation x 1

où

y 1

3 + ≠

=

[ ]

^{c x= 3y+1oùx>1}

[ ]

^{d y}

et i on associe le nombre complexe z’ défini par,

affixe z tel que

( )

^≡π

( )

^2π

3

z'

arg est ^:

int po un

int po deux

3 .z s’écrit sous forme exponentielle :

19π ⁵π

z 1

i

' z

z −

= −

int po un d'

privé

droite

la droite d’équation :

]

^{y= 3xavecx<0}

la droite d’équation :

]

^{y= 3xavecx<0}

la droite d’équation :

x 1

où

x 3

y= 3 − <

fini par z 1

i

' z

z −

= −

19π

Pour tout nombre complexe z tel que respectives z et 1, ¹+z²

A M et N sont alignés si et seulement si,

[ ]

^{estunr elé}

z 1

a z

2

−

[ ]

z 1

b z

2

− Question n°026

On considère les points A B et M d,

[ ]

a M appartient au cercle de centre B et de rayon

[ ]

b M appartient au cercle de centre A et de rayon

[ ]

c M appartient au cercle de centre A et de rayon

[ ]

d M appartient au cercle de centre A et de rayon Question n°027

Soient A et B les points d’affixes respectives

L’affixe du point C tel que ABC soit un triangle rectangle isoc

[ ]

a ZC 1 eⁱ⁶

π

−

=

[ ]

b ZC

Question n°028

Soient A et B les points d’affixes respectives L’affixe du point C tel que ABC soit un triangle

[ ]

a ZC ¹ eⁱ⁶

π

−

=

[ ]

b ZC

Question n°029

Soit n∈Ν,n≥2..Le produit des racines ni

[ ]

^{a 0}

[ ]

^{b 1}

Pour tout nombre complexe z tel que z≠1^,on considère les points A M et N d,

s si et seulement si :

pur imaginaire

1est

[ ]

¹

z 1

z²

c =

−

B et M d’affixes respectives et ^{1, 2} z=¹+²e^iθ où

M appartient au cercle de centre B et de rayon 2

M appartient au cercle de centre A et de rayon 1

M appartient au cercle de centre A et de rayon 2

M appartient au cercle de centre A et de rayon privé de point B 2

affixes respectives ¹et¹ eⁱ⁶

π

+

affixe du point C tel que ABC soit un triangle rectangle isocèle direct en A

i6

e

1

−π

−

=

[ ]

c ZC 2eⁱ⁴

π

=

[ ]

^b

affixes respectives ¹et¹ eⁱ⁶

π

+

affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral direct en A est

6 i

e

1

−π

−

=

[ ]

c ZC ²eⁱ⁴

π

=

[ ]

^b

Le produit des racines nièmes du l’unité est égales ^:

[ ]

^c

( )

⁻¹ⁿ

[ ]

^d

M et N d’affixes

ù 



 



 π

∈

θ 2

,

0 alors ^:

le direct en A est :

3 i

C 1 e

Z

π

−

=

:

3 i

C ¹ e

Z

π

−

=

] ( )

⁻¹ⁿ⁺¹

Soit n∈Ν,n≥2..La somme des racines ni

[ ]

^{a 0}

[ ]

^{b 1}

Question n°031 L’écriture exponentielle de

sin

[ ]

^{a eiθ}

[ ]

^{b e−iθ}

Question n°032

L’équation : z³ =z admet dans C

[ ]

^{a 2solutions}

[ ]

^{b 3solutions}

Question n°033

Soit z un nombre complexe de module

[ ]

^{a z20=−512−512i 3}

[ ]

^{b z20}

Question n°034

Soit z un nombre complexe de module d

[ ]

^{a nombrer elé}

[ ]

^{b imaginaire}

Question n°035

Soit z un nombre complexe vérifiant

[ ]

ⁱ

3

z 4

a =− −

[ ]

^{b z}=

Question n°036

Soit z un nombre complexe diff

z 1

z 1

−

+ est imaginaire pue si et seulement si

[ ]

∈

[ ]

∈

des racines nièmes du l’unité est égales :

[ ]

^c

( )

⁻¹ⁿ

[ ]

^d

θ + θ icos sin

1 où 



 



 π

∈

θ 2

,

0 est ^:

θ

[ ]

^{c ieiθ}

[ ]

^d

admet dans C :

solutions

[ ]

^{c 4solutions}

[ ]

^d

Soit z un nombre complexe de module 2 et d’argument

6

π, on a alors :

i 3 512 512−

=

[ ]

^{c z20=−512+512i 3}

[ ]

^d

Soit z un nombre complexe de module d’argument

7

π, alors : z²⁰¹⁶ est un :

pur

imaginaire

[ ]

^{c complexenonr elé}

érifiant : z+ z =³+i. L’écriture algébrique de z est i

3

4−

[ ]

ⁱ

3

z 4

c =− +

[ ]

^d

Soit z un nombre complexe diff rent de 1 tel que é z =¹.

est imaginaire pue si et seulement si :

∈

[ ]

=

[ ]

] ( )

⁻¹ⁿ⁺¹

]

^{−ie iθ}

]

^5solutions

]

^{z20=512+512i 3}

. L’écriture algébrique de z est :

]

ⁱ

3

z=4 +

]

=

Soit A un point du cercle trigono Si B est le milieu du segment

[

^OA

[ ]

4

i

4

a 2 +

[ ]

4

i 2 4

b 1+

Question n°038

Si M et N sont les points d’affixes les solutions de l’équation Alors :

[ ]

^{a O,MetN sontalign esé}

[

^b

Question n°039

Si M et N sont les points d’affixes les solutions de l’équation Alors l affixe du milieu du segment ’

[ ]

^{a r elé}

[ ]

^{b imaginaire}

Question n°040

Soient M et N deux points d’affixes Si z+z' = z−z^'alors :

[ ]

^{a O,MetN sontalign esé}

[

^b

Question n°041

Soient M et N deux points d’affixes respectives

Si

( )

^≡π

( )

^2π

4

z

arg alors :

[ ]

^{a O,MetN sontalign esé}

[

^b

un point du cercle trigonométrique d’ordonnée

2 1 .

]

OA alors l’affixe du point est :

[ ]

4

i

4

c 3 +

[ ]

4

i 3 4

d 1+

’affixes les solutions de l’équation :

( )

^1−iz2+

( )

¹⁺ⁱ

[ ]

^b

(

^OM

) ( )

⊥ ^ON

[ ]

^{c OMN estéquilat raé l}

’affixes les solutions de l’équation :

( )

^1−iz2+

( )

¹⁺ⁱ

affixe du milieu du segment

[ ]

MN est un ^: pur

imaginaire

[ ]

^{c complexenonr elé}

’affixes respectiveszetz^'.

[ ]

^b

(

^OM

) ( )

^{⊥ ON}

[ ]

^{c OMN estéquilat raé l}

’affixes respectives z et 1

z .

[ ]

^b

(

^OM

) ( )

^{⊥ ON}

[ ]

^{c OMN estéquilat raé l}

)

^z+20162015=0

l ra

)

^z+20162015=0

l ra

l ra