NOM, Prénom : Jeudi 31 mai 2018 TSTI2D2
Interrogation de Mathématiques Corrigé
Exercice 1 :
Dans un supermarché, le temps d’attente X à la caisse, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l’intervalle [1;11].
1. Déterminer la fonction de densité de probabilité f de la la loi de X.
X suit une loi uniforme sur l’intervalle [1;11] donc la densité est f(x) = 1
11 1 = 1 10
2. Quelle est la probabilité que le temps d’attente soit compris entre trois et cinq minutes ?
P(3 X 5) = 5–3
10 = 2
10 = 0,2
3. Quelle est la probabilité qu’un client attende plus de huit minutes à la caisse ? P(X 8) = 11–8
10 = 3
10 = 0,3
4. Préciser le temps d’attente moyen à la caisse.
E(X)= a+b
2 = 1+11
2 = 6 donc le temps d’attente moyen est de 6 minutes.
Exercice 2 :
PARTIE A
1. Calculer l’espérance E(T) de la variable aléatoire T. Interpréter ce résultat.
E(T) = 1 λ =
1
0,005 = 200 donc la durée moyenne entre deux réglages est de 200 heures.
2. Déterminer P(T 200).
P(T 200) = 1 – P(T 200) = 1 – P(T 200) = 1 – (– e–1 – 1 ) = e–1
= 1 e 0,368
PARTIE B
On considère que X suit la loi normale de moyenne μ = 250 et d’écart type = 2,7.
1. P(245 X 260) 0,968 en utilisant la calculatrice.
2. P(X 245) = P(0 X 245) 0,032 donc la probabilité qu’un paquet pris au hasard ne soit pas conforme est d’environ 0,032.
Exercice 3 :
PARTIE A
On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu’une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1.
Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de 40 lames.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut.
1. Le tirage est assimilé à un tirage avec remise, avec deux issues possibles, indépendant. X suit donc une loi binomiale de paramètre n = 40 et p = 0,1.
2. E(X) = n p = 40 0,1 = 4 donc il y a en moyenne 4 lames défectueuses par paquet.
3. P( X = 4) 0,206 donc la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut est 0,206.
4. P(X 2) 0,92 donc la probabilité qu’au moins deux lames aient un défaut est 0,92.
PARTIE B
1. P(Z > 50) 0,05 donc la probabilité que plus de 50 lames aient des défauts est 0,05.
2. n = 400, n p = 40 et n (1 – p) = 360 donc les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont vérifiées.
On obtient If = [ 0,07 ; 0,13 ]
or 0,07 400 = 28 et 0,13 400 = 52 donc le client pourra trouver entre 28 et 52 lames défectueuses, avec un probabilité de 0,95.
PARTIE C
1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p de clients satisfaits.
f = 156
200 = 0,78.
2. On obtient Ic = [ 0,71 ; 0,85 ]
3. Ce fabriquant ne peut pas être certain que plus de 70% de sa clientèle soit satisfaite car c’est un intervalle au seuil de 95 %.
