Correction
1. C
B
A I
G-1
G1
2. a.
GK le barycentre du système {(A; k² + 1) ; (B ; k) ; (C ; – k)} donc, par définition, quel que soit le point M du plan, on a :
( ² 1)k G MK ( ² 1)k AM k BM k CM et en prenant M = A on obtient :
( ² 1) ( )
² 1
² 1
K
K
K
k G A kBA k CA k BA CA k BC G A k BC
k
AG k BC k
2.b.
f est définie et dérivable sur [–1 ; 1] et
2
2( ² 1) ( ) 2 ² 1
'( ) ² 1 ² 1
x x x x
f x x x
x – –1 1 +
f '(x) + 0 – 0 +
f(x)
0
1 2
1
2 0
c.
f est une fonction continue et décroissante sur [–1 ; 1], donc, quand k décrit [–1 ; 1], f(k) décrit [f(–1) ; f(1)], c'est-à-dire 1 1
2 2;
.
On a : AGK f k( )BC , donc les points GK décrivent le segment [G1G–1].
Remarque : 1
1
AG 2BC et 1
1 AG 2BC 3.
2MA MB MC 2MA MB MC
GK le barycentre du système {(A; k² + 1) ; (B ; k) ; (C ; – k)}
G1 le barycentre du système {(A; 2) ; (B ; 1) ; (C ; – 1)}
donc quel que soit M de l'espace,
2MG 12MA MB MC G-1 le barycentre du système {(A; 2) ; (B ; –1) ; (C ; 1)}
donc quel que soit M de l'espace, 2MG1 2MA MB MC L'équation devient :
1 1
2MG 2MG ou encore MG1 = MG–1
C'est l'ensemble des points équidistants des points G1 et G–1, c'est le plan médiateur du segment [G1G–1].
4.
2MA MB MC 2MA MB MC
G1 le barycentre du système {(A; 2) ; (B ; 1) ; (C ; – 1)}
donc quel que soit M de l'espace, 2MG 12MA MB MC
Le barycentre du système {(A;2) ; (B ; –1) ; (C ; –1)} n'existe pas (car la somme des masses est nulle), donc le vecteur 2MA MB MC est indépendant du point M.
On a, en prenant M = A : 2MA MB MC AB AC (AB AC ) 2AI L'équation devient :
2MG1 2AI ou encore MG1 = AI C'est la sphère de centre G1 et de rayon AI.
Partie B
1. I est le milieu de [BC] donc 1 2 3 I
2. On a, d'après la question A2a : 1
1 AG 2BC donc les coordonnées de G1 sont les solutions du système :
0 1 0
2 0
0 1 0 0
2 0
2 1 5 1
2 x
x
y y
z z
, c'est-à-dire, G1 = O.
On a aussi 1
1 AG 2BC
0 1 0
2 0
0 1 0 0
2 4
2 1 5 1
2 x
x
y y
z z
3.
Il est clair qu'il s'agit de l'ensemble E déterminé précédemment.
MG1 = MG–1
² ² ² ² ² ( 4)²
² ² ² ² ² ( 4)²
² ² 8 16
8 16
2
x y z x y z
x y z x y z z z z
z z
Il s'agit du plan d'équation z = 2.
c'est en effet, le plan médiateur du segment [G1G–1].
4.
De même, il s'agit de l'ensemble F MG1 = AI
0 1 1
0 2 2
2 3 1
A I AI
² ² ² ( 1)² 2² 1²
² ² ² 6
x y z x y z
Il s'agit de la sphère de centre O et de rayon 6 5.
6 étant supérieur à 2, ces deux ensembles sont sécants et leur intersection est
² ² ² 6
2 x y z
z
Dans le plan d'équation z = 2, l'équation de l'intersection devient x² + y² + 2² = 6 ou encore x² + y² = 2.
Il s'agit du cercle de centre A et de rayon 2
