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Chapitre XVI : Volumes : calculs

Liste des objectifs :

a. 4^ème : savoir calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution.

Exercice n°1 (Sésamath modifié)

On a représenté, ci-dessous, des solides en perspective cavalière.

1.

2.

3. 4.

5.

6. 7.

8.

9. 10. 11.

12.

1. Complétez sur cette feuille :

a. Les solides 2, 5, 8 et 9 sont des ………..

b. Le solide 8 est un ………

c. Le solide 11 est un ………..

d. Les solides 3 et 6 sont des ………..

e. Les solides 1, 4, et 10 sont des ………

f. Le solide 12 est une

……….

2. Complétez sur cette feuille : a.

ABCDEF

est la

………. de la pyramide.

b.

S

est son

………

c.

[AS]

,

[AF],…

sont des ………

l……….

d.

[AF] , [FE]

, … sont

des ………. de la b………..

e.

ASF

,

FSE

,

ESD

… sont des f……… l………

F E

S

A

B C

H D

f.

[SH]

est la h……….. de la pyramide : elle est

……… à la b………. et passe par le s………. de la pyramide.

3. (Sur le cahier, en faisant une phrase) Que peut-on dire de toutes les faces latérales d’une pyramide ?

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Cours n°1

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Cours à compléter ^{, à} montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE) :

Chapitre XVI : Volumes I) Pyramide.

Définition n°1 :

Une pyramide est un solide dont :

• Les faces latérales sont des………

• La base est un ……….

Exemple n°1:

• une face latérale de la pyramide est :………

• une arête de la pyramide est :……

• la base de la pyramide est : ……… ...

Définition n°2:

la hauteur d’une pyramide est le segment issu du s……… de la pyramide et qui est p……… à sa b………

Exemple n°2:

la hauteur de la pyramide ci-dessus est : [……]

Définition n°3:

Une pyramide est dites régulière si la base est un polygone dont tous les côtés sont ……… et dont toutes les faces sont des triangles i……… superposables.

F E

S

A

B C

H D

Une f………..

l………..

Une a……….

La b……….

La h……….

Le s……….

Un s……….

de la b…………

sommet

triangles polygone

hauteur

base

face latérale

arête

sommet base

sommet

perpendiculaire base

SCD SC

ABCDEF

SH

égaux isocèles

A FAIRE :

• Recopier le cours sur le polycopié.

• Accordéons.

• S.F.

• Exercices n°2,3 et 4.

• Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison !)

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ». Collez-les dans votre cahier d’exercices

Recopier le cours dans le cahier de cours (A LA MAISON !)

Interrogation : Lien

Savoir-faire

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°1:

• une face latérale de la pyramide est :………

• une arête de la pyramide est :……

• la base de la pyramide est : ……… ...

Exemple n°2:

la hauteur de la pyramide ci-dessus est : [……]

Exercice n°2 (Sésamath)

Nomme chaque solide représenté.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h. i.

F E

S

A

B C

H D

Une f………..

l………..

Une a……….

La b……….

La h……….

Le s……….

Un s……….

de la b…………

Exercice n°3 (Sésamath)

1 2

3 4

Complète :

1 2 3 4

Sommet

Nature de la base

Nom de la base

Hauteur

Nombre d'arêtes

Nombre de faces

Exercice n°4 (Sésamath modifié)

SABCD

est une pyramide régulière à base carrée telle que

SA

= 7,3 cm et

AB

= 5 cm.

1. Nomme le sommet et la base de cette pyramide.

2. Que représente le segment [

SH

] pour la pyramide ? Justifie.

3. Indique en centimètres, la longueur de chacune des arêtes de cette pyramide. Justifie.

4. Quelle est la nature du triangle

ADC

? Justifie. Construis-le en vraie grandeur.

5. Quelle est la nature du triangle

SAB

? Justifie. Construis-le en vraie grandeur.

D C

E G

H K I

N O

P

R S

T V U W Y A

B

F

J

M L

Q

H D

S

A B

C

SUITE PAGE SUIVANTE

6. Calcule

AC

, puis

AH

, en justifiant à chaque fois.

7. En déduire

SH

.

Exercice n°5

1. Sur du carton fin (ou du bristol…), construis un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent respectivement 7 cm et 5 cm. Découpe-le, et à l'aide d'un ruban adhésif, colle un des côtés de l'angle droit le long d'un crayon. Fais tourner rapidement le crayon sur son axe. Quelle forme vois-tu apparaître dans l'espace ?

2. Représente en perspective cavalière les deux cônes de révolution qui peuvent être engendrés en faisant tourner le triangle rectangle précédent autour d'un des côtés de l'angle droit. Ce côté s'appelle la hauteur du cône et l'hypoténuse est une génératrice du cône.

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Cours n°2

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Cours à compléter ^{, à} montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE) :

II) Cône de révolution.

Définition n°4:

Un cône de révolution est un solide qui est généré par la r……… d’un triangle r……… autour d’un des côtés de son a………… d………….

Définition n°5:

La b……… d’un cône est un d………

Définition n°6:

La h……… d’un cône est un segment qui joint le sommet du cône au centre du disque de base. Elle est p……… à la base.

Exemple n°3

… est le sommet de ce cône.

Le disque de ce cône a pour rayon………

La hauteur de ce cône est : ……

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du Cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ». Collez-les dans votre cahier d’exercices

Recopier le cours dans le cahier de cours (A LA MAISON !)

Interrogation : Lien

S

A H

rotation

rectangle angle droit

base disque

hauteur

perpendiculaire

AH SH

A FAIRE :

• Recopier le cours sur le polycopié.

• Accordéons.

• S.F.

• Exercice n°6.

• Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison !)

• (si fini : commencer à compléter le cours n°3)

Savoir-faire

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°3

… est le sommet de ce cône.

Le disque de ce cône a pour rayon………

La hauteur de ce cône est : ……

Exercice n°6

Pour chaque cône :

1. Nommer son sommet.

2. Nommer un rayon du disque.

3. Nommer une hauteur du cône.

S

A H

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Cours n°3

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Volume d’une pyramide ou d’un cône.

Propriété n°1

Le volume d’une pyramide ou d’un cône est donné par la formule :

V ₌

3

1 × A

_base

_{× h où} A

_base

est l’aire de la base, h la hauteur de la pyramide ou du cône.

Exemple n°4

« Calculer le volume d’une pyramide à base carrée dont un côté du carré mesure 5 cm et dont la hauteur mesure 10 cm. »

Réponse :

V ₌

3

1 × A

_base

_{× h}

_{. Ici}

A

_{base= …..×}…..= ……. cm² car c’est un carré . Et h= 10 cm.

Donc

V ₌

3

1 ×…

×

….

Donc

V

₌

3

1

×……….

Donc

V

₌ ²⁵⁰

3 cm³

1. « Calculer le volume d’un cône dont le rayon de la base vaut 5 cm, et dont la hauteur vaut 8 cm.

On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième de centimètre cube près. » Réponse :

V

₌

3

1 × A

_base

_{× h}

_{. Ici}

A

_base=

_π

× …..² =……×

π

^cm2 car c’est un disque. Et h=8 cm.

Donc

V

₌

3

1

×…..×…..×….

Donc

V

₌

3

1

×……..×…..

Donc

V

₌^…..

... cm³ (ceci est la valeur exacte) ce qui donne environ

V

≈ 209,4…. cm³. (valeur approchée au centième de

centimètre cube) Exemple n°5

« Calculer la hauteur d’une pyramide dont la base est un rectangle de 5 cm sur 7 cm, et dont le volume est de 18 cm³. »

Réponse :

V

₌

3

1 × A

_base

_{× h}

_{. Ici}

A

_base =…×…=… cm^… car c’est un rectangle etV =… cm^….

Donc ……=

3

1

×… ×h

Donc ……=

...

...

×h

Donc ……

÷

...

...

=h Donc ……

×

...

...

=h

Donc

...

...

=h

Donc h=

...

...

cm.

5 5 25 25× 10

250

5 25

25

π

^×8

200

π

200

3

π

⁴

5 7 35 2 18 3

18 35

18 35 3 18 35

3 18 3 35 54 35

35 54

A FAIRE :

• Recopier le cours sur le polycopié.

• Accordéons.

• S.F.

• Exercices n°7,8 et 9

• Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison !)

Remarque :

Revoir les aires des figures usuelles (triangles, trapèzes, parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés).

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du Cours n°3♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ». Collez-les dans votre cahier d’exercices

Recopier le cours dans le cahier de cours (A LA MAISON !)

Interrogation : Lien

Savoir-faire

Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°4

« Calculer le volume d’une pyramide à base carrée dont un côté du carré mesure 5 cm et dont la hauteur mesure 10 cm. »

Réponse :

V ₌

3

1 × A

_base

_{× h}

_{. Ici}

A

_base= …..×…..= ……. cm² car c’est un carré . Et h= 10 cm.

Donc

V ₌

3

1 ×…

×

….

Donc

V

₌

3

1

×……….

Donc

V

₌ ²⁵⁰

3 cm³

2. « Calculer le volume d’un cône dont le rayon de la base vaut 5 cm, et dont la hauteur vaut 8 cm.

On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième de centimètre cube près. » Réponse :

V

₌

3

1 × A

_base

_{× h}

_{. Ici}

A

_base=

_π

× …..² =……×

π

^cm2 car c’est un disque. Et h=8 cm.

Donc

V

₌

3

1

×…..×…..×….

Donc

V

₌

3

1

×……..×…..

Donc

V

₌^…..

... cm³ (ceci est la valeur exacte) ce qui donne environ

V

≈ 209,4…. cm³.

(valeur approchée au centième de centimètre cube)

Exemple n°5

« Calculer la hauteur d’une pyramide dont la base est un rectangle de 5 cm sur 7 cm, et dont le volume est de 18 cm³. »

Réponse :

V

₌

3

1 × A

_base

_{× h}

_{. Ici}

A

_{base =…×…=… cm}^… car c’est un rectangle etV =…cm^….

Donc ……=

3 1

×…×h

Donc ……=

...

...

×h Donc ……

÷

...

...

=h

Donc ……

×

...

...

=h

Donc

...

...

=h

Exercice n°7

Une pyramide a pour base un carré de

6

cm de côté et pour hauteur

34

cm. Calculer son volume.

Exercice n°8

Un cône a pour rayon de base

7

cm, et pour hauteur

9

cm. Calculer son volume, puis en donner une valeur approchée au centième de cm³ près.

Exercice n°9

Une pyramide a pour base un triangle

ABC

rectangle en

B

tel que

AB = 4,5

cm,

AC = 7,5

cm et

BC

= 6

cm. Sa hauteur est de

7

cm. Calculer son volume.

Exercice n°10

Une pyramide a pour base un parallélogramme

ABCD

tel que

AB = 4

cm,

AD = 4,5

cm, et

AH = 4

cm (

H

est le point d’intersection de la perpendiculaire à

(DC)

passant par

A

). La hauteur de cette pyramide est de

8

cm. Calculer le volume de cette pyramide.

Exercice n°11 (*)

Un cône a pour volume

18

cm³. Sa hauteur est de

5

cm. Quel est le rayon de son cercle de base ? (on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au mm près)

Exercice n°12

Une pyramide a pour volume

63

cm³, pour base un carré de

5

cm de côté. Quelle est sa hauteur ?

Exercice n°13

Une pyramide a pour base un triangle

DEF

rectangle en

E

. On sait que sa hauteur (à la pyramide) est de

7

cm, que

DE = 4

cm, et que son volume est de

0,05 L

.

Calculer

EF

et en déduire

DF

au centième près.

Exercice n°14

Une pyramide a pour base un losange dont les diagonales mesurent respectivement

7

et

5

cm. Sa hauteur est de

12

cm. Quel est son volume en dm³?

Exercice n°15

Convertir les volumes suivant en cm³ : a.

6

dm³.

b.

0,9

daL.

c.

45

mm³.

d.

0,092

m³. e.

0,039

hL.

f.

0,000756

dam³

g.

67

cL.

Résultats

Ex.1 Les mots à mettre : cônes, pyramides, cylindres, pavé droit, prismes, sphère, faces, latérales, sommet, arête, base, hauteur… Ex. 2 a. Pavé droit b. Cône c. Pyramide régulière d. Prisme droit e. Pyramide f. Cylindre g.

Cône h. Prisme droit i. Cube. Ex.3 1. Sommet : A – Nature de la base : Carré – Nom de la base : CBED – Hauteur : AE – Nombre d’arêtes : 8 – Nombre de faces : 5 2. Sommet : F – Nature de la base : Carré – Nom de la base : HIJG – Hauteur : FK – Nombre d’arêtes : 8 – Nombre de faces : 5 3. Sommet : P – Nature de la base : Triangle – Nom de la base : MOL – Hauteur : PN – Nombre d’arêtes : 6 – Nombre de faces : 4 4. Sommet : Q – Nature de la base : Hexagone – Nom de la base : RSTUVW – Hauteur : QY – Nombre d’arêtes : 12 – Nombre de faces : 7 Ex.4 1. S et ABCD 2. H…. 3. SB=SC=SD=SA=7,3 – AB=BC=CD=DA=5 4. Rectangle isocèle 5.

Isocèle. 6. Pythagore : AC= 50 – AH= 50/2 7. Pythagore : SH= 19,8 Ex.5 1. C….Ex.6 : 1. S et P, 2.[OA]

et [FE] 3.[SO] et [PF] Ex.7 : 408 cm³ Ex.8 147π cm³ ≈ 461,81 Ex.9 94,5 cm³ Ex.10 128 cm³ Ex.11 : 54 5π ≈ 4,0 Ex.12 : 63

25 Ex.13 : 0,05L=50 cm³, 75

7 cm – Pythagore pour DF : 11,44 cm. Ex.14 70 cm³ Ex.15 a. 6000 b.

9000 c. 0,000045 d. 92 e. 3,9 f. 756 g. 0,67