1 Prérequis d’algèbre 4

(1)

4^ème Prérequis Institut des Dames de Marie

1 Prérequis d’algèbre 4

^ème

: Correctif Introduction

Tu es à présent en 4

^ème

math 5 heures. Il est temps de faire le point sur beaucoup de choses que tu as vues en math depuis tes primaires déjà.

Tous les exercices qui suivent doivent être réalisés très rapidement, sans effort et avec un minimum de 95% de réponses correctes.

Si ce n’est pas le cas, refais-les, revois la théorie relative à ces exercices et au besoin demande une aide extérieure.

Exercice 1 : Les fractions Effectue :

𝑎) 1 2 + 1

3 = 3 6 + 2

6 = 5 6 ) 5 2

= 35

2 2 = 2 2 ) 2 5

3 = 1 3 ) 5

5 = 𝑎 𝑎 5) ) 5

+ 5 = 25 35 + 63

35 = 35

5 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ) 1

2 1 2 = 1 )2 + 1

3 = 6 3 + 1

3 = 3 ) 1

2 + 2

= 1 2 + 1

2 = 2 2 = 1 ) 3

2 5

= 3 5 2 = 15

2

3 𝑎 2

5 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ) 3 𝑎 5 2

(2)

2

) 32 5 =3

2 1 5= 3

1 3

2 𝑎 5 3 2 𝑎 1

5)

𝑘) ( 1 2 + 1

3 ) 1

= ( 3 6 + 2

6 ) 1

= 5 6

1 = 5 2 ) ( 1

2 1 3

1 1 5 ) = 1

6 1 2 = 1

6 3 6 =

6 ) 3 2 3 = 3

2 1

3 = 1 2 ) ( 1

2 ) ( 2 3 ) = 1

= 36 16 36 =

36 Exercice 2 : Les équations du premier degré niveau 1 Résous les équations suivantes :

𝑎) = ⇔ = 𝑆 = { } ) 2 = 1 ⇔ = 1

2 𝑆 = { 1 2 } ) 6

5 = 6 ⇔ = 5 6

6 = 5 𝑆 = {5}

) + 6 = 3 ⇔ = 3 6 = 3 𝑆 = { 3}

) 2 + 6 = 3 ⇔ 2 = 3 ⇔ = 3

2 𝑆 = { 3 2 } ) 3 = 5

⇔ = 5

3) = 5

12 𝑆 = { 5 12 } ) 5

3 +

3 = 2 ⇔

3 = 5 3 + 6

3 ⇔ 3 = 1

3 ⇔ = 1 𝑆 = {1}

)1 = 6 ⇔ = 5 ⇔ = 5 𝑆 = { 5}

) +

3 = 2 ⇔ = 2

3 ⇔ = 6

3 ⇔ = 2

3 𝑆 = { 2

3 }

(3)

3 ) 2 + 6 = 3 ⇔ 2 3 = 6 ⇔ = 13 ⇔ = 13 𝑆 = {13}

𝑘) 3 + = 2 5 ⇔ 3 + 2 = 5 ⇔ = ⇔ = 𝑆 = { } ) 5

=

⇔ = 5 =

1 𝑆 = { 1 }

Exercice 3 : Les équations du premier degré niveau 2

𝑎) 1) = + 2 = + 2 + = 2 + 11 = 6

= 6

11 𝑆 = { 6 11 }

)

3 + + 2 12 = 16

12 + + 2 12 =

12 1 = 2

= 2

1 𝑆 = { 2 1 } b) 2 12 + 15 ) = 3 1 )

2 + 3 = 3 2 =

𝑆 = 𝑅

Je peux remplacer x par n’importe quel réel l’équation est toujours vérifiée

) 3) 3 + ) = 2) 6 + ) 3 3 = 2 6

3 + 6 = 3 + 2 = 2

= 2

𝑆 = { 2 } ) 2 + 1

3 = 6 + 2

6 = 6 = 2 = 2

Impossible 𝑆 = { }, je ne peux pas trouver une valeur de x pour laquelle l’équation est vérifiée

f) 2 5 ) 5 2) + 1 5 ) = 3 1 )

⇔ 5 2) 5 2) + 1 5 )

= 3 + 12

⇔ 25 + 2 ) + 1 + 25 1

= 13 3

⇔ + 2 + 1 1 = 13 3

⇔ 1 = 3 1 +

⇔ 1 =

S= { }. Si je remplace x par o, l’équation est

vérifiée

(4)

4 Exercices 4 : Les puissances Série A

1. 𝑎

⁻

=

_𝑎¹₂

2.

_𝑎^𝑎₋₂²

= 𝑎 𝑎 = 𝑎

⁴

3. 2𝑎

⁻⁴

=

_𝑎₄

4.

^𝑎

−3

𝑎²

=

_𝑎₂¹_𝑎₃

=

_𝑎¹₅

𝑎

⁻⁵

5. 𝑎

⁻¹

=

_𝑎¹

6.

^𝑎

−5

𝑎⁻²

=

^𝑎_𝑎²₅

=

_𝑎¹₃

𝑎

⁻³

7. 𝑎 𝑎

⁻⁵

=

^𝑎_𝑎²₅

=

_𝑎¹₃

𝑎

⁻³

8.

^𝑎_𝑎⁴^𝑎₋₁⁻⁵

=

^𝑎⁴_𝑎^𝑎₅¹

=

^𝑎_𝑎⁵₅

= 1 9. 𝑎

⁻⁴

𝑎

⁵

= 𝑎

⁻⁴⁺⁵

= 𝑎

¹

= 𝑎 10.

^𝑎_𝑎⁻⁶₆

=

_𝑎₆¹_𝑎₆

=

_𝑎¹₁₂

𝑎

⁻¹

Série B 1. 𝑎

⁻ ³

=

^𝑏_𝑎³₂

2.

^𝑎_𝑏⁻²₃

=

_𝑎₂¹_𝑏₃

3. 𝑎

⁴ ⁻

=

^𝑎_𝑏⁴₂

4.

_𝑏^𝑎₋₂³

= 𝑎

³

5. 𝑎 )

⁻³

=

_𝑎₃¹_𝑏₃

6.

^𝑎_𝑏⁻⁵₋₃

=

^𝑏_𝑎³₅

7. 𝑎 )

⁻³

=

_−𝑏)^−𝑎²₃

=

^−𝑎_−𝑏²₃

=

^𝑎_𝑏²₃

8.

^𝑎

−3𝑏²

𝑎⁻⁵ 𝑏⁴

=

^𝑏_𝑎²₃^𝑎_𝑏⁵₄

=

^𝑎_𝑏²₂

9. 𝑎

⁻⁵ ⁵

=

^𝑏_𝑎⁵₅

10.

^𝑎_𝑎⁻⁵5 𝑏^𝑏⁻⁵⁻⁵

=

_𝑎¹₅_𝑎₅

=

_𝑎¹₁₀

Exercices 4 bis : Les produits remarquables Il est essentiel de connaître les 4 formules suivantes 𝑎 + ) = 𝑎 + 2𝑎 +

𝑎 ) = 𝑎 2𝑎 +

𝑎 ) = 𝑎 + ) = 𝑎 + 2𝑎 + 𝑎 ) 𝑎 + ) = 𝑎

Sinon il est évident que tu n’arriveras jamais à effectuer un produit remarquable….

Pour les retrouver il suffit de faire une double distributivité

𝑎 + ) = 𝑎 + ) 𝑎 + ) = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + = 𝑎 + 2𝑎 +

(5)

Mathématiques 4^ème Prérequis 4ème Institut des Dames de Marie

5 𝑎 ) = 𝑎 ) 𝑎 ) = 𝑎 𝑎 𝑎 + = 𝑎 2𝑎 +

𝑎 ) = 𝑎 ) 𝑎 ) = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + = 𝑎 + 2𝑎 + 𝑎 ) 𝑎 + ) = 𝑎 + 𝑎 𝑎 = 𝑎

1. 2𝑎 + 3 ) = 𝑎 + 12𝑎 + 2. + 2 ) = + + 3. + ) =

⁴

+ 1 + 4. (

₃

+ ) =

⁴

+

⁴₃

+ 5. (

¹

𝑎 +

₃

) =

¹₄

𝑎 +

₃

𝑎 +

⁴

6. 𝑎 3 ) = 𝑎 + 2𝑎 7. 2 ) = 16 + 16 8. 2 ) =

⁴

+ 2 9. (

¹⁴₃

) =

¹²

+

₃

10. (

¹₄

𝑎

₃

) =

^𝑎₁²

+

⁴ ¹₃

𝑎 11. 15𝑎 2) = 225𝑎 + 6𝑎 12. ) + ) =

13.

³

+ 15)

³

15) = 225

14. (

⁵₇

𝑎 ) (

⁵₇

+ 𝑎 ) =

⁵₄

𝑎

15. 3 + ) 3) = + 3) 3) =

16. 2 ) = + 2 ) = 16 + + 16

17. 2 ) = + 2 ) =

⁴

+

⁴

+ 2

(6)

6 Exercice 5 : Résolution d’équations d’un degré supérieur à 1 qui nécessitent une factorisation 1) 3) + 2 3) = ⇔ 3) 1 + 2) = ⇔ 3 3) = ⇔ 3 = ⇔ = 3 S={3}

2) + 2) = + 2) ⇔ + 2) + 2) = ⇔ + 2) 1) = ⇔ 3 + 2) = ⇔ + 2 = ⇔ = 2

S={-2}

3)

⁴

= ⇔ 1) = ⇔ 1) + 1) = ⇔ = = 1 = 1 S={-1 ;0 ;1}

) ⁴+ = ⇔ + 1) = ⇔ =

+ 1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 )

S={0}

5) 16 = ⇔ ) + ) = ⇔ = = S={-4;4}

6) + 12 + = ⇔ 2 + 3) = ⇔ 2 + 3 = ⇔ 2 = 3 ⇔ = 3/2 S={-3/2}

7) 16 =

⁴

⇔ = 16

⁴

= ⇔ 13 ) 13 + ) = ⇔

(√13 )(√13 + ) 13 + ) = ⇔ = √13 = √13 S={-√𝟏𝟑; √𝟏𝟑}

8) 1

³

1 6 = ⇔ 1 1 6) = ⇔ 12 1 ) 12 + 1 ) =

⇔ 2 6 ) 2 6 + ) = ⇔ 6 ) 6 + ) = ⇔ = =

6 = 6 S={

^𝟕_𝟔

; 𝟎 ;

^𝟕_𝟔

}

10) + = 12 ⇔ + 12 = ⇔ 2 3) = ⇔

2 3 = ⇔ 2 = 3 ⇔ =

^{0 3}₀

= 3/2 S={𝟑/𝟐}

11) 6 = + 1 ⇔ 6 1 = ⇔ 2 = ⇔ 2 ) =

2 2) + 2) = ⇔ 2 = + 2 = ⇔ = 2 = 2 S={ 𝟐; 𝟐}

(7)

7 12) 𝟗𝒙

^𝟐

= 𝒙 + 𝟏)

^𝟐

⇔ + 1) = ⇔ (3 + 1)) 3 + + 1) =

⇔ 2 + 1) + 1) = ⇔ =

¹

=

¹₄

S={

^𝟏_𝟒

;

^𝟏_𝟐

}

13) 𝟒𝒙 𝟐𝒙 𝟑)

^𝟐

= 𝟖𝒙 𝟐𝒙 𝟑) ⇔ 2 3) 2 3) =

⇔ 2 3) 2 3) ) = ⇔ 2 3) 12 ) =

⇔ 2 3) 2 ) = ⇔ 2 3) 2 5) = ⇔ = = 3

2 = 5 2 S={𝟎;

^𝟑_𝟐

;

^𝟓_𝟐

}

15) 𝒙 + 𝟑)

^𝟐

= 𝒙

^𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟏 ⇔ + 3) = + 1) ⇔ + 3) + 1) =

⇔ ( + 3) + 1)) + 3 + + 1) = ⇔ 2 2 + ) = ⇔ + 2) = ⇔ = 2 S={ 𝟐} Ici tu pouvais aussi distribuer et puis simplifier et tu arrivais évidement au même résultat.

Exercices 5 bis : Fractions algébriques Effectue et énonce les conditions d’existence : 1.

₋₁

+

₊₁⁴

=

+1)+4 −1)

−1) +1)

=

^{+ +4 −4}_{−1) +1)}

=

_{−1) +1)}⁻

=

_{−1) +1)}^{3 −1)}

CE : x≠ 1 ≠ 1

2.

₋₁ ₊₃³

=

_{−1) +3)}⁺³⁾ _{−1) +3)}^{3 −1)}

=

^{+ −3 +3}_{−1) +3)}

=

_{−1) +3)}⁻

CE : x≠ 1 ≠ 3

3.

₂⁴₋

+

₊₃₎³ ₂

=

_{−3) +3)}⁴

+

₊₃₎³ ₂

=

4 +3)+3 −3)

−3) +3)²

=

^{4 +1 +3 −}_{−3) +3)}₂

=

_{−3) +3)}^{7 +3} ₂

CE : x≠ 3 ≠ 3

4.

₂₋ ₋¹

=

_{−3) +3)} ₋₃₎¹

=

−3) +3)^{− +3)}

=

−3) +3)⁻³

=

₊₃₎¹

CE : x≠ 3 ≠ 3

5.

₂_{− +1}¹

+

₋₁¹

=

¹

−1)²

+

₋₁¹

=

^{1+ −1}

−1)²

=

−1)²

CE : x≠ 1

6.

2+ +4

2+ +1

5 ²+15

=

+3) +4)²

+4)5 +3)

=

⁺⁴⁾₅

CE : x≠ ≠ 3 ≠

(8)

8 7.

⁻⁴₊₃ ²^{+ +}₂₋₄

=

− ) +3)²

+3) − ) + )

=

⁺³⁾₊

CE : x≠ 3 ≠ 2 ≠ 2

8.

₂⁻⁴_{+ +}

÷

²₂⁻⁴₋

=

^{− )}₊₃₎₂ ^{−3) +3)}_{− ) + )}

=

_{+3) + )}⁻³⁾

CE : x≠ 3 ≠ 3 ≠ 2 ≠ 2

9.

₊₅¹

+

₋₅¹

=

_{+5) −5)}⁻⁵

+

_{+5) −5)}⁺⁵

=

_{+5) −5)}

CE : x≠ 5 ≠ 5

10.

⁺¹₂₋₄ ⁻₊

=

_{− ) + )}⁺¹ _{+ )}⁻

=

^{+1− − )}_{− ) + )}²

=

⁺¹⁻⁽_{− ) + )}²^{−4 +4)}

=

⁺¹⁻_{− ) + )}²^{+4 −4}

=

_{− ) + )}⁻²^{+5 −3}

CE : x≠ 2 ≠ 2

Exercices 6 : Inéquations du premier degré Résous, dans R, les inéquations suivantes :

Rappel important : il faut changer le « sens » de l’inéquation quand on multiplie ou qu’on divise par un nombre négatif.

Exemple : 𝟑 < 𝟓 𝒎𝒂𝒊𝒔 𝟑 > 𝟓 𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆

^𝟑_𝟐

>

^𝟓_𝟐

1) 3 + 2 ≥ ⇔ 2 ≥ + 3 ⇔ ≥

¹⁰

⇔ ≥ 5 𝑆 = [5; +∞[

2) 5 ≤ 11 ⇔ ≤ 11 5 ⇔ ≤ 16 ⇔ ≥

⁻¹₋₄

⇔ ≥ 𝑆 = [ ; +∞[

3) 3 2 > ⇔ 2 > + 3 ⇔ <

₋¹⁰

⇔ < 5 𝑆 = ] ∞; 5[

4) + 2) > 5 + ⇔ > 5 + ⇔ > 5 + ⇔ 5 > 3 ⇔ < 3

5 𝑆 = ] ∞; 3/5[

5) +

₃ ₄

> ⇔

1 − +4 −3

1

> ⇔

⁷₁

> ⇔ >

^{70 1}₇

⇔ > 12 𝑆 = ]12 ; +∞[

(9)

9 Exercices 7 : Equations de droite

1) a, si 2 est son coefficient angulaire et qu’elle passe par (-1 ;3) ;

a. soit graphiquement : tu places le point et à partir de ce point tu dessines le triangle rectangle b. soit algébriquement tu trouves donc l’équation de la droite car y=2x+p puis pour trouver p tu

remplaces x par –1 et y par 3 ce qui fait 3=2.(-1)+p donc p=3+2=5 et tu trouves y=2x+5 et puis tu fais un tableau de signe

y

1

1 0 x

2) b, si (1 ;-4) et (2 ;5) sont les coordonnées de deux points de b, tu places les deux points et tu les relies

y

1

1 0 x

3) c, si (1 ;3) sont les coordonnées d’un point de c et c//k et

𝑘 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 = 3)

y

1

1 0 x

(10)

10 4) d, si 2 3 + 6 = , tu dois mettre l’équation sous la forme y =mx+p, donc =

₃

+ 2,

ensuite tu fais un tableau de signe, ou méthode du triangle rectangle à partir du point (0,2) facile à calculer.

y

1

1 0 x

Exercices 8 : Système d’équations

Il faut mettre les équations sous la forme y = mx+p (si ce n’est pas déjà le cas) Faire un tableau de valeur par droite

Tracer les deux droites

Trouver le point d’intersection Indiquer la solution

{ = 3 2

= + 3 je trouve pour la première droite (par exemple) les points (0 ;-2) et (1 ;1) et pour la seconde droite les points (0 ;3) et (1 ;2)

y

1

1 0 x

La solution ne semble pas être un nombre entier, je résous donc le système de manière algébrique :