(1)% Exercice 1 % Ici on va uniquement changer quelques paramètres pour l'affichage des % figures

(1)

% Exercice 1

% Ici on va uniquement changer quelques paramètres pour l'affichage des

% figures.

set(0,'defaulttextinterpreter','latex') set(0,'DefaultAxesFontSize', 60) set(0,'DefaultTextFontSize', 60)

% On définit les paramètres du problème.

Q = 6;

B = 4;

q = Q/B;

g = 9.81;

i1 = 0.2;

i2 = 0.005;

K = 30;

% On calcule et affiche les hauteurs normales et critique.

hn1 = (Q/(B*K*i1^0.5))^(3/5) hn2 = (Q/(B*K*i2^0.5))^(3/5) hc = (Q/(B*g^0.5))^(2/3)

% On va résoudre numériquement l'équation de courbe de remous à l'aide du

% solver ode45 (pour plus d'informations à son sujet, taper "help ode45"

% dans le terminal de Matlab. La résolution se fait d'amont en aval car

(2)

% l'écoulement est supercritique au niveau de la rupture de pente, la

% hauteur d'eau initiale h0 est égale à la hauteur d'eau en fin de

% première partie. On va résoudre arbitrairement de 0 à 30 m , c'est la

% variable xspan = [0 30] qui spécifie les bornes de résolution et le

% sens de résolution (de 0 vers 30).

xspan = [0 30];

h0 = hn1;

[x2, h2] = ode45(@(x, h) i2*(1 - (hn2/h)^(10/3))/(1 - (hc/h)^3), xspan, h0);

figure

plot(x2, h2, '-o', 'MarkerSize', 16, 'LineWidth', 4) xlabel('$x$ [m]')

ylabel('$h(x)$ [m]')

% On voit que la résolution "capote" vers x = 15 (ode45 nous retourne des

% valeurs de h complexes). On va se limiter à résoudre sur xspan = [0 14]

% et aussi calculer la courbe conjuguée sur cet intervalle.

xspan = [0 14];

h0 = hn1;

% Calcul du nombre de Froude.

Fr1 = q./sqrt(g*h2.^3);

% Calcul de la hauteur conjuguée.

h2c = h2.*0.5.*(-1 + sqrt(1 + 8*Fr1.^2));

(3)

figure

plot(x2, h2, '-o','MarkerSize', 16, 'LineWidth', 4) hold on

plot(x2, h2c, '-o','MarkerSize', 16, 'LineWidth', 4) xlabel('$x$ [m]')

legend('Courbe de remous', 'Courbe conjuguée')

% On va maintenant calculer la courbe de remous en aval du ressaut,

% c'est-à-dire dans le régime subcritique. Dans ce cas, il faut mettre la

% condition limite en aval (à la fin de la courbe) et résoudre l'équation

% de l'avalvers l'amont. Pour cela on va spécifier à ode45 que les bornes

% d'intégration sont inversée, xspan = [20 0]. On met la condition limite

% en aval h0 = hn2; on suppose que loin du ressaut l'écoulement est en

% régime permanant et uniforme.

xspan = [20 0];

h0 = hn2;

figure

plot(x3, h3, '-o','MarkerSize', 16, 'LineWidth', 4) xlabel('$x$ [m]')

% Calcul du nombre de Froude.

Fr3 = q./sqrt(g*h3.^3);

(4)

% Calcul de la hauteur conjuguée.

h3c = h3.*0.5.*(-1 + sqrt(1 + 8*Fr3.^2));

% On affiche la courbe de remous ainsi que sa courbe conjuguée.

figure

legend('Courbe de remous', 'Courbe conjuguée')

% On va maintenant afficher toutes les courbes de remous ainsi que leur

% courbes conjuguée afin de déterminer la position du ressaut.

figure

plot(x2, h2c, '-o','MarkerSize', 16, 'LineWidth', 4) hold on

legend('Courbe de remous avant ressaut', 'Courbe conjuguée avant ressaut',...

'Courbe de remous après ressaut', 'Courbe conjuguée après ressaut')

% On détermine graphiquement la position du ressaut comme étant x = 10 m