Transferts thermiques

Phénomènes de transport

(Conduction thermique/Diffusion de particules)

Transferts thermiques

(Conduction, convection, rayonnement)

I) Conduction (diffusion) thermique :

1 – Les différents modes de transfert thermique :

• Conduction (diffusion thermique) :

• Convection thermique :

• Rayonnement thermique :

2 – Loi de Fourier et vecteur densité de courant de chaleur :

La présence, dans un milieu matériel sans mouvement macroscopique, d’une inhomogénéité de température fait apparaître un transfert thermique par conduction qui possède les propriétés suivantes :

• Le transfert a lieu des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides

• Il est proportionnel à la surface à travers laquelle on évalue la puissance diffusée ainsi qu’à la durée du transfert

• Il augmente de manière linéaire avec le gradient de la température

Joseph Fourier (1768 – 1830) a proposé une loi phénoménologique décrivant ce mode de transfert thermique par conduction :

A une dimension (selon (Ox)) :

) , ) (

,

; ( )

,

( u grad T x t

x t x u T

j x j

t x T dSdt

j_th δQ λ _{th th x} λ _x λ

−

∂ =

− ∂

=

∂ =

− ∂

=

=

A trois dimensions :

( , ) jth = −λgrad T M t

λ est la conductivité thermique.

* Quelques conductivités thermiques : (λλλλ en W.m^-1.K^-1)

- Gaz (λ de 0,006 à 0,18) : mauvais conducteurs

- Liquides non métalliques (λ de 0,1 à 1) : conducteurs moyens (eau)

- Solides métalliques (λ de 10 à 400) : excellents conducteurs (cuivre, acier)

- Matériaux non métalliques (λ de 0,004 à 4) : conducteurs moyens (verre, béton, bois) ou mauvais conducteurs (laine de verre, polystyrène expansé)

3 – Bilan local d’énergie à une dimension : (sans ou avec sources)

On considère un corps homogène (en fait, le plus souvent liquide ou solide) de masse volumique ρ, de conductivité thermique λ et de capacité thermique c.

On se place à 1 dimension selon (Ox).

Dans un 1^er temps, on suppose qu’il n’y a pas au sein du milieu de sources susceptibles de fournir de la chaleur localement :

x t x j

t t x

c T ^th

∂

− ∂

∂ =

∂ ( , ) ( , ) ρ

On suppose maintenant la présence de sources de chaleur au sein du milieu ; on note p_s(x,t) la puissance volumique dégagée (de manière algébrique) par ces sources :

) , ) (

, ) (

,

( p x t

x t x j

t t x

c T ^th + _s

∂

− ∂

∂ = ρ ∂

4 – Equation de la chaleur ou de la diffusion thermique à une dimension (sans ou avec sources) :

• Sans sources :

t t x T c

x t x T

∂

= ∂

∂

∂ ( , ) ( , )

2 2

λ ρ

• Avec sources :

t t x T t c

x x p

t x T

s ∂

= ∂

∂ +

∂ ( , )

) , 1 (

) , (

2 2

λ ρ λ

Il n’existe de solutions analytiques de cette équation que dans des cas particuliers que l’on étudiera dans les paragraphes suivants.

5 – Equation de la chaleur à trois dimensions : Sans sources :

D T T

t

∆ = ∂

∂

,

D diffusivité c

λ ρ

 

 = 

 

Avec sources :

( , )

( , )

( , ) T M t

c T M t p M t

ρ ^∂ t = ∆ λ +

∂

6 – Exemples de résolution de l’équation de la chaleur :

• Résistance thermique : (régime permanent dans une tige cylindrique)

S R L

soit R

T

T _{th th}

λ

2

1 − = Φ =

On définit également la conductance thermique : G^th =1/ R^th

Cas des symétries sphérique et cylindrique : (voir exercices)

2 1

1 ln

th 2 R R

h R

πλ

 

=  

 

1 2

1 1 1

th 4

R πλ R R

 

=  − 

 

Résistance thermique entre deux cylindres coaxiaux :

Résistance thermique entre deux sphères :

• Méthode dite “de séparation des variables” et analyse de Fourier des conditions initiales :

Diffusion thermique dans un solide suivant la direction (Ox).

Ni production, ni absorption de chaleur dans le milieu.

On appelle T(x,t) la température au sein du solide et K le coefficient thermique.

Résolution de l’équation de la chaleur par la méthode de séparation des variables : T(x,t) = T₀ + f(x).g(t)

où T₀ désigne une constante, f(x) une fonction de x uniquement et g(t) une fonction du temps seulement.

a) Déterminer l'expression générale des fonctions f(x) et g(t).

b) On suppose qu'à t = 0, T(x,0) = T₁ + T₂ sin(px) (T₁, T₂ et p désignant des constantes).

Montrer que la solution trouvée ci-dessus convient et déterminer complètement cette solution.

Equation de la chaleur : (Temps de diffusion : τ ≈ ^{L / D )2}

2 2

T( x,t ) T( x,t )

t D x

∂ ∂

∂ = ∂

Avec :

2 0

1 g( t ) f "( x )

T( x,t ) T f ( x )g( t ) cste k 0

D g( t ) f ( x )

= + ⇒ ɺ = = = − <

Deux équations à résoudre :

2

2

2 Dk t

f "( x ) k f ( x ) f ( x ) Acos( kx ) B sin( kx ) g( t ) Dk g( t ) g( t ) e⁻

= − ⇒ = +

= − ⇒ =

ɺ

Finalement :

( )

Dk t2

T( x,t ) T= 0 +e⁻ Acos( kx ) B sin( kx )+ Avec les conditions initiales :

Dp t2

1 2

T( x,t ) T= +T e⁻ sin( px )

Des conditions initiales plus réalistes :

p 0

2 2

p 0

8T ( 1 ) x

T( x,0 ) sin ( 2 p 1 )

( 2 p 1 ) L

π π

∞

=

−  

=

∑

2 2 2

( 2 p 1 ) D

p t

0 L

2 2

p 0

8T ( 1 ) x

T( x,t ) sin ( 2 p 1 ) e

( 2 p 1 ) L

π π

π

∞ − +

=

−  

=

∑

T0

T(x,0)

T0/2 T0

t

x T(x,t)

• Onde thermique (température d’une cave) :

Le sous-sol est considéré comme un milieu semi-infini, homogène, de conductivité thermique K, de masse volumique ρ, de capacité thermique massique c, situé dans le demi-espace x > 0. On suppose que la température de la surface du sol (plan x = 0) est soumise à des variations sinusoïdales :

t T

t

T_s( ) = ₀ +θ₀ cosω

a) Déterminer la température T(x,t) à la profondeur x en régime permanent.

b) Exprimer la vitesse v de l’onde thermique ainsi obtenue.

c) On considère des variations journalières de la température, la température au niveau du sol variant entre 0°C la nuit et 16°C le jour. A partir de quelle profondeur les variations de température sont-elles inférieures à 1°C ? Calculer la vitesse v. On donne :

1 2

7 .

10 .

6 ^{− −}

=

= m s

c a K

ρ

On considère des variations annuelles de température, la température variant de – 10°C à 26°C. Répondre aux mêmes questions.

Exercice : ” An experimental setup : how to measure the thermal conductivity of the copper ?”

Temperature 100°C

Thermal

insulation Copper rod Water

_____________________________

1) Matériau isolant (heat insulating materials) : mousse de polystyrène (polystyrene sponge), laine de verre (glass wool), …

2) L’équation de la conduction thermique est :

2 2 Cu

T K T

t µc x

∂ ∂

∂ = ∂

2 1

1 1

T T

T( x ) T ( x x ) e

= + − −

3) La puissance thermique est :

2 1

T T

KS e

Φ = − ⁻

4) Le 1^er principe de la thermodynamique donne :

3 4 th

dU ≈ dH = dm c (

θ θ

δ

δ

th m 3 4

P = D c( θ θ − )

5) L’échangeur est parfait :

2 1

th m 3 4

T T

P D c( ) KS

θ θ Φ ⁻e

= − = = −

m 3 4

1 2

K D ce S

θ θ θ θ

= −

−

K ? K

⇒ ∆ =

AN : K = 374 W .m .K^{−1 −1}_.

6) Incertitudes sur les mesures : températures et longueurs

Validité des hypothèses :

* Régime permanent

* Isolation latérale

* Matériau homogène

* Echangeur parfait

II) Transfert thermique convectif (convection) : 1 – Transfert conducto-convectif :

Fluide

Paroi O x O x

T_P

T_F

e Couche

limite

2 – La loi de Newton :

Les transferts thermiques entre un corps et le milieu extérieur suivent la loi de Newton si la densité de flux thermique sortant algébriquement à travers la surface du matériau est proportionnelle à l’écart de température entre celle de la surface du matériau et celle de l’extérieur.

j

= h(T

– T

)

h est appelé le coefficient de transfert thermique de surface.

On peut montrer que :

h λe^F

=

où λ_F est la conductivité thermique du fluide et e l’épaisseur de la couche limite.

3 – Un 1^er exemple ; l’ailette de refroidissement :

On se propose de déterminer le profil de température T(x) atteint en régime permanent dans une tige cylindrique (de rayon R et d’axe (Ox)) dont une extrémité est maintenue à la température T₀.

La tige n’est pas isolée latéralement :

On suppose que le transfert thermique sur la surface latérale avec l’atmosphère (de température constante T_a < T₀) est du type conducto-convectif (il vérifie la loi de Newton).

On supposera l’ailette de longueur infinie.

III) Diffusion de particules :

* Vecteur densité volumique de courant de particules :

* Loi de Fick à 3 dimensions :

* Equation de la diffusion à une dimension :

• Sans sources :

2 * *

2

n ( x,t ) n ( x,t )

D x t

∂ ∂

∂ = ∂

• Avec sources :

2 * *

2 s

n ( x,t ) n ( x,t )

D ( x,t )

x σ t

∂ ∂

+ =

∂ ∂

* Equation de la diffusion à trois dimensions :

Sans sources :

*

* n

D n t

∆ = ∂

∂

Avec sources :

*

( , )

( , )

( , ) n M t

n M t M t

t σ

∂ = ∆ +

∂