Modèles d’écoulements incompressibles en plan vertical

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Thèse présentée en vue de l’obtention du titre de Docteur en Sciences de l’Ingénieur

Septembre 2011

Sylvain DETREMBLEUR

Ingénieur Civil des Constructions - DEA en Sciences Appliquées

Université de Liège - Faculté des Sciences appliquées

Modèles d’écoulements incompressibles en plan vertical

appliqués aux structures du génie civil

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Table des matières

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières ... i

I Introduction générale ... 1

I.1 Contexte ... 1

I.2 Objectifs de la thèse ... 2

I.3 Canevas des développements ... 3

II Modèles hydrodynamiques et méthodes de résolution ... 7

II.1 Introduction ... 7

II.2 Modèles hydrodynamiques pour les écoulements à surface libre ... 7

II.2.1 Préambule ... 7

II.2.2 Principes de base ... 8

II.2.2.1 Principe de conservation de la masse ... 8

II.2.2.2 Principe de conservation de la quantité de mouvement ... 9

II.2.2.3 Equation d’énergie ... 9

II.2.2.4 Equations de Navier-Stokes ... 10

II.2.2.5 Equations de Navier-Stokes moyennées (RANS) ... 10

II.2.3 Equations explicitées en trois dimensions ... 11

II.2.4 Equations en plan vertical ... 12

II.2.5 Equations intégrées sur la hauteur ... 13

II.3 Discrétisation spatiale – La méthode des volumes finis ...14

II.3.1 Généralités ... 14

II.3.2 Formulation conservative ... 15

II.3.3 Principes généraux de la méthode des volumes finis ... 15

II.3.4 Forme des maillages ... 17

II.3.5 Choix du type de volumes finis ... 17

II.3.6 Evaluation des erreurs sur les flux ... 18

II.3.6.1 Evaluations des erreurs lors de l’intégration sur le contour ... 18

II.3.6.2 Evaluations des erreurs lors de la reconstruction ... 19

II.3.6.3 Erreur globale ... 19

II.3.6.4 Méthodes d’extrapolation des inconnues sur les faces ... 20

II.3.6.5 Evaluation du gradient des inconnues sur les faces ... 21

II.3.7 Evaluation des flux ... 22

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Table des matières

II.3.7.1 Evaluation des flux convectifs ... 22

II.3.7.2 Evaluation des flux diffusifs ... 22

II.3.8 Modes d’imposition de valeurs ... 22

II.4 Discrétisation temporelle ... 23

II.4.1 Deux grands types de méthodes ... 23

II.4.2 Description des méthodes explicites employées ... 24

II.4.2.1 Schémas explicites de Runge-Kutta ... 24

II.4.2.2 Notion de nombre de Courant ... 26

II.4.2.3 Pas de temps admissible ... 26

II.5 Conclusions ... 27

III Modèle bidimensionnel intégré sur la hauteur : développement de la méthode cut-cell 29 III.1 Introduction ... 29

III.2 Implémentation du formalisme cut-cell dans le code WOLF2D ... 30

III.2.1 Approche 1D ... 30

III.2.2 Généralisation aux équations des eaux peu profondes ... 32

III.2.3 Calcul des taux de remplissage et des longueurs d’échange aux bords ... 34

III.2.4 Critère temporel de stabilité ... 36

III.3 Validations ... 37

III.3.1 Réflexion d’un front raide ... 37

III.3.2 Ecoulement induit par une plaque imperméable mobile ... 38

III.4 Applications ... 41

III.4.1 Mouvement d’une porte d’écluse... 41

III.4.1.1 Contexte ... 41

III.4.1.2 Données et modélisation du problème ... 41

III.4.1.3 Résultats ... 44

III.4.1.4 Conclusions ... 48

III.4.2 Influence d’un voile structurel courbe en rivière ... 48

III.4.2.1 Contexte ... 48

III.4.2.2 Obtention d’une solution de référence ... 49

III.4.2.3 Modifications apportées à la rivière ... 58

III.4.2.4 Résultats des modélisations ... 59

III.5 Conclusions ... 62

IV Modèle bidimensionnel vertical sous pression ... 63

IV.1 Introduction ... 63

IV.1.1 Contexte de travail ... 63

IV.1.2 Formulation sous la forme d’une pression relative ... 65

IV.2 Méthodes de résolution ... 65

IV.2.1 Méthode itérative implicite ... 65

IV.2.2 Méthode de la compressibilité artificielle ... 66

IV.2.3 Méthode des projections ... 66

IV.2.3.1 Application aux équations de Navier-Stokes ... 67

IV.3 Contexte de programmation ... 68

IV.4 Ordonnancement de la résolution ... 69

IV.4.1 Célérités du modèle ... 69

IV.4.2 Etape de transport ... 71

IV.4.2.1 Discrétisation spatiale ... 71

IV.4.2.2 Stabilité temporelle ... 72

IV.4.2.3 Conditions aux limites ... 73

IV.4.3 Etape de projection ... 73

IV.4.3.1 Etablissement de l’équation de Poisson ... 73

IV.4.3.2 Valeurs nodales et valeurs de bords ... 74

IV.4.3.3 Evaluation du terme source de l’équation de Poisson ... 74

IV.4.4 Simplification du calcul du terme source ... 76

IV.4.4.1 Discrétisation de l’équation de Poisson ... 78

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Table des matières

IV.4.4.2 Conditions aux limites ... 79

IV.4.5 Résolution du système linéaire ... 80

IV.4.5.1 Méthodes disponibles ... 80

IV.4.5.2 Optimisation du temps de calcul ... 81

IV.4.6 Correction du champ de vitesse ... 82

IV.4.7 Détermination des valeurs nodales finales ... 82

IV.4.8 Valeurs des vitesses normales de bords à l’instant initial ... 83

IV.4.9 Schéma général de l’algorithme implémenté... 84

IV.5 Validations et applications ...86

IV.5.1 Simulation d’une double couche de cisaillement périodique ... 86

IV.5.1.1 Intérêt de la modélisation ... 86

IV.5.1.2 Gestion des conditions limites périodiques ... 87

IV.5.1.3 Conditions initiales ... 88

IV.5.1.4 Couche de cisaillement « épaisse » ... 90

IV.5.1.5 Couche de cisaillement « fine » ... 94

IV.5.1.6 Conclusions ... 95

IV.5.2 Ecoulement sous pression avec plafond mobile ... 96

IV.5.2.1 Géométrie ... 96

IV.5.2.2 Conditions aux limites et conditions initiales ... 97

IV.5.2.3 Paramètres des modélisations ... 97

IV.5.2.4 Modélisation pour un nombre de Reynolds de 400 ... 98

IV.5.2.5 Modélisation pour un nombre de Reynolds de 1000 ... 101

IV.5.2.6 Ordre de précision de la méthode ... 105

IV.5.3 Marche topographique inversée ... 107

IV.5.3.4 Description des résultats obtenus ... 108

IV.5.3.5 Comparaisons avec des résultats numériques ... 110

IV.5.3.6 Comparaisons avec des résultats expérimentaux ... 113

IV.5.4 Ecoulement de Blasius ... 114

IV.5.4.4 Solution analytique ... 116

IV.5.4.5 Comparaisons des résultats ... 117

IV.5.5 Ecoulement stationnaire autour d’un cylindre (Re=20) ... 121

IV.5.5.3 Paramètres de la modélisation ... 122

IV.5.5.4 Valeurs de comparaison ... 123

IV.5.5.5 Comparaison des résultats ... 123

IV.5.6 Ecoulement instationnaire autour d’un cylindre (Re=100) ... 125

IV.5.6.4 Comparaison des résultats ... 127

IV.6 Conclusions ...128

V Les méthodes de suivi d’interface : la méthode Level Set ... 131

V.1 Généralités ...131

V.2 Description des méthodes existantes ...132

V.2.1 Les méthodes lagrangiennes ... 132

V.2.2 Les méthodes eulériennes ... 132

V.3 La méthode Level Set ...133

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Table des matières

V.3.1 Principe de base ... 133

V.3.2 Analyse mathématique de l’équation de transport ... 135

V.3.3 Principe de résolution ... 135

V.3.4 Construction de la fonction distance au niveau de l’interface ... 136

V.3.5 Construction de la fonction distance dans le domaine de calcul ... 137

V.3.5.1 Résolution par itérations pseudo-stationnaires ... 137

V.3.5.2 Résolution directe par la Fast Marching Method ... 138

V.3.6 Construction d’un champ de vitesse étendu ... 145

V.3.7 Restauration d’une forme conservative de l’équation de transport ... 146

V.4 Validations et précision attendue de l’approche conservative ... 146

V.4.1 Tracé des courbes d’isovaleurs ... 147

V.4.2 Le cercle de Zalesak ... 149

V.4.3 Le serpentin ... 153

V.5 Conclusions ... 159

VI Modèle bidimensionnel vertical à surface libre ... 161

VI.1 Objectifs à atteindre ... 161

VI.2 Approche biphasique complète ou par fluide fictif ... 161

VI.2.1 Approche biphasique complète ... 162

VI.2.2 Approche monophasique avec fluide fictif ... 163

VI.3 Considérations sur la discrétisation du domaine de calcul ... 163

VI.4 Imposition des conditions aux limites ... 166

VI.4.1 Conditions limites sur les frontières fixes du domaine « eau » ... 166

VI.4.2 Conditions limites au niveau de la surface libre ... 166

VI.4.2.1 Introduction de la condition limite dans le modèle ... 167

VI.4.2.2 Approche discrète ... 167

VI.4.2.3 Approche unidimensionnelle continue ... 168

VI.4.2.4 Approche bidimensionnelle continue ... 175

VI.4.2.5 Conclusions ... 178

VI.5 Prérequis pour suivre le déplacement de la surface libre ... 179

VI.5.1 Elaboration d’un modèle de calcul pour le fluide fictif ... 179

VI.6 Ajout de la méthode Level Set ... 181

VI.6.1 Initialisation de la fonction distance ... 182

VI.6.2 Réinitialisation de la fonction distance ... 183

VI.6.3 Décentrement spatial et conditions aux limites de la variable Level Set ... 184

VI.6.3.1 Cas unidimensionnels ... 184

VI.6.3.2 Cas bidimensionnels ... 187

VI.6.4 Optimisation du temps de calcul ... 187

VI.6.5 Gestion de zones de calcul physiquement séparées ... 189

VI.7 Perfectionnement du modèle de fluide fictif ... 190

VI.7.1 Critique du modèle développé ... 190

VI.7.2 Amélioration du modèle existant ... 192

VI.7.2.1 Extrapolation des vitesses ... 193

VI.7.2.2 Restauration de la continuité et imposition des conditions limites ... 196

VI.8 Schéma général du code... 197

VI.9 Validations et applications ... 199

VI.9.1 Vidange de fond du barrage Tala en Inde ... 199

VI.9.1.1 Géométrie et conditions limites du problème ... 199

VI.9.1.2 Résultats ... 200

VI.9.1.3 Enseignements ... 208

VI.9.2 Déversoir du barrage Parbati en Inde ... 208

VI.9.3 Ecoulement par une vanne de fond ... 213

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Table des matières

VI.9.4 Ecoulement sur une marche topographique ... 218

VI.9.4.1 Géométrie et conditions aux limites ... 218

VI.9.5 Ecoulement sur un seuil large ... 224

VI.9.6 Ecoulement sur un déversoir à seuil mince ... 230

VI.9.7 Ecoulement dans un bac oscillant ... 236

VI.9.8 Ecoulement suite à une rupture de barrage ... 241

VI.9.8.1 Rupture en domaine limité ... 241

VI.9.8.2 Rupture en domaine illimité sur fond sec et lisse ... 244

VI.10 Conclusions ...249

VII Modèle tridimensionnel sous pression ... 251

VII.1 Introduction ...251

VII.2 Modèle tridimensionnel sous pression ...251

VII.2.1 Modifications apportées au code bidimensionnel sous pression ... 251

VII.2.1.1 Initialisations ... 253

VII.2.1.2 Reconstruction des variables ... 253

VII.2.1.3 Choix des valeurs de calcul et imposition des conditions limites ... 253

VII.2.1.4 Calcul des flux, des bilans et des termes sources ... 253

VII.2.1.5 Modifications de la phase de projection ... 253

VII.2.2 Outils supplémentaires développés ... 254

VII.3 Validations ...258

VII.3.1 Ecoulement stationnaire autour d’un barreau (Re=20) ... 259

VII.3.1.1 Géométrie ... 259

VII.3.1.2 Conditions aux limites et paramètres de modélisation... 260

VII.3.1.3 Valeurs de comparaisons ... 260

VII.3.1.4 Résultats ... 261

VII.3.2 Ecoulement instationnaire autour d’un barreau (Re=100) ... 268

VII.3.3 Ecoulement stationnaire sous pression dans un cube avec faces mobiles ... 270

VII.3.4 Ecoulement instationnaire sous pression dans un cube avec faces mobiles ... 282

VII.4 Conclusions ...284

VIII Conclusions générales ... 287

VIII.1 Synthèse de la recherche ...288

VIII.2 Perspectives ...290

Annexe A : Système intégré de gestion des données géographiques ... 293

Contexte de développement du système de gestion ...293

Types de données archivées ...294

Modèle numérique de terrain ... 294

Bathymétrie ... 294

Plans terriers ... 296

Cartes géographiques complémentaires ... 297

Données récoltées in situ ... 298

Photographies de validation des crues ... 300

Stockage des résultats de modélisation ... 301

Annexe B : Résolution de grands systèmes linéaires : la méthode GMREs ... 305

Description de la méthode ...305

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Table des matières

Préconditionnement ... 306

Annexe C : Propagation d’une onde unidimensionnelle sur fond sec et lisse ... 309

Notations principales ... 313

Symboles latins ... 313

Symboles grecs ... 314

Bibliographie ... 317

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I - Introduction générale

I INTRODUCTION GÉNÉRALE

I.1 Contexte

Force est de constater que les ressources en eau de notre planète ont toujours constitué un pan incontournable de toute civilisation. Elles ont toujours été à la base du développement des villes et des industries mais aussi, plus fondamentalement, de l’apparition et du maintien de la vie. L’intérêt porté par les hommes à l’or bleu transparaît au travers des nombreuses constructions érigées depuis des siècles pour apprivoiser l’eau.

Cette volonté de maîtrise et de construction a bien entendu joué un rôle primordial dans le développement des techniques de l’ingénieur qui s’est attaché à la fois à préserver l’eau pour les besoins de l’homme (irrigation, eau potable), mais aussi à la gérer lors d’épisodes de crues ou, encore, à optimiser sa gestion pour la création d’hydroélectricité.

L’ensemble de ces structures et leur interaction intime avec l’ensemble du bassin versant des cours d’eau conduit à des processus et à des fonctionnements très complexes qui ont rapidement requis l’intervention de modélisations, d’abord expérimentales, pour ensuite s’adjoindre les apports de modélisations numériques qui ne cessent d’être de plus en plus sophistiquées.

De plus, de nombreuses conscientisations relativement récentes de scientifiques et de la population en général ont mené l’ingénieur hydraulicien à faire face à des problématiques de plus en plus complexes. Ces prises de conscience récentes se matérialisent au travers du changement climatique, du développement durable ou encore par les interrogations liées aux risques que présentent les grands ouvrages de retenue. Il en résulte également des attentes toujours plus grandes sur la précision des modélisations menées et sur les phénomènes qui sont pris en compte par des modèles de plus en plus élaborés et aptes à reproduire fidèlement l’hydrodynamique réelle.

Les avancées informatiques fulgurantes de ces dernières années permettent de répondre efficacement à ces attentes en permettant le développement de modèles finement discrétisés, notamment tridimensionnels, qui décrivent explicitement l’hydraulique des structures gérées par l’ingénieur.

C’est dans ce contexte que s’inscrivent les développements réalisés dans cette thèse de doctorat. Ils visent à contribuer à la mise au point de techniques de modélisation capables de décrire explicitement et de manière plus précise les écoulements de surface et sous pression qui peuvent se développer aux abords des structures hydrauliques élaborées par l’ingénieur hydraulicien.

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I.2 - Objectifs de la thèse

Il faut d’emblée préciser que les recherches et les développements originaux présentés dans cette thèse s’intègrent dans la continuité de la suite logicielle WOLF, développée depuis plus de dix ans au sein du HACH (Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques) de l’Université de Liège. Cette suite logicielle (Figure I-1) est un ensemble de codes de calcul dédiés à l’hydraulique de surface ou sous pression qui permet de retracer une grande partie du cycle hydrologique depuis l’écoulement sur les bassins versant jusqu’à la propagation en rivière. Son architecture se décline actuellement en trois types de modèles qui vont de l’hydrologie physiquement basée (WOLFHYDRO) à l’hydraulique de surface bidimensionnelle (WOLF2D) en passant par un modèle filaire (WOLF1D). Par ailleurs, ces trois composantes peuvent être pilotées par un module d’optimisation basé sur les algorithmes génétiques et qui permet de réaliser le paramétrage automatique des trois modèles (WOLFHYDRO, WOLF1D et WOLF2D). Finalement, ces codes de calcul permettent de réaliser des modélisations en eau pure ou encore dans le cadre d’écoulements chargés en air ou en sédiments.

L’ensemble de ces modules est en outre chapeauté par une interface graphique très élaborée qui s’apparente, au fil des développements introduits par l’équipe du HACH, à un véritable système d’information géographique qui gère, de manière totalement automatisée, des bases de données de taille relativement conséquente.

Figure I-1 : Organigramme existant de la suite logicielle WOLF

L’ensemble de ces codes de calcul ont intégralement été écrits par les membres du HACH, en évitant systématiquement le recours à des codes commerciaux compilés. Ce choix correspond à la philosophie de conserver systématiquement un contrôle total sur le contenu des codes mais aussi sur leur évolution presque quotidienne.

I.2 Objectifs de la thèse

Le travail entrepris s’intègre complètement dans la filière d’étude propre au HACH, à savoir une interaction étroite entre modèles numériques et validation sur bases d’éléments issus de la modélisation physique. L’intégration des recherches est également calquée sur l’organigramme de la Figure I-1 où les hypothèses restrictives du modèle intégré sur la hauteur (WOLF2D) ont été gommées par l’ajout de deux nouveaux modules permettant de calculer explicitement la distribution des variables hydrodynamiques sur la hauteur de l’écoulement.

L’utilisation intensive du code bidimensionnel horizontal et les modélisations diverses et variées menées au moyen de ce module ont conduit à de nombreuses implémentations nouvelles dans ce code, permettant de traiter un nombre grandissant de situations complexes.

L’utilisation d’un maillage structuré, même différentiable spatialement au moyen d’une technique multiblocs, ne permet cependant pas à l’utilisateur de représenter adéquatement

Hydrodynamique pure Hydrodynamique couplée avec du transport d’air ou de sédiments WOLF AG

WOLF HYDRO WOLF 1D WOLF 2D

Optimisation de paramètres

Ruissellement hydrologique Réseaux de rivières naturelles Simulations quasi-3D

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certaines géométries complexes. Il ressort de ce constat que les techniques numériques à même de supprimer cette dépendance ont fait l’objet d’une partie de cette recherche, en permettant l’utilisation de contours quelconques qui ne respectent pas nécessairement la structure cartésienne du maillage. Ces développements ont tout naturellement conduit à la modélisation d’interactions de structures solides sur le fluide.

D’autre part, le grand nombre de modèles hydrodynamiques spécifiques implémentés dans le code WOLF2D trahissent une volonté d’intégrer les variations verticales des composantes hydrodynamiques agglomérées par l’intégration sur la hauteur [20]. Ces distributions peuvent, certes, être maîtrisées dans une certaine mesure, mais ne peuvent en aucun cas reproduire la dynamique complexe qui est observée dans la direction d’intégration de ce type de modèle.

Par conséquent, la partie principale des recherches entreprises dans cette thèse est concentrée sur le développement d’un modèle bidimensionnel explicitement discrétisé sur la verticale (WOLF2DV) qui permet de combler le manque d’informations distribuées induit lors de l’élaboration d’un modèle bidimensionnel horizontal (Figure I-2). L’obtention de ces informations a cependant un coût, puisque la structure et la technique de résolution du système d’équations est différente des modèles intégrés sur la hauteur ou sur la section et engendre des coûts de calcul supplémentaires. Afin de conserver la philosophie générale de la suite logicielle WOLF, qui se veut polyvalente et efficace même sur de grandes applications réelles, un effort considérable a été consenti lors de l’évaluation des techniques de résolution et de leur implémentation et ce, afin de conserver des temps de calcul acceptables.

En outre, la volonté de s’affranchir de la discrétisation sur des maillages structurés transparaît également au niveau des recherches entreprises pour ce code explicitement discrétisé sur la verticale puisqu’un second challenge important a consisté en l’élaboration d’une technique de suivi d’interface adaptée.

Finalement, les résultats probants et prometteurs fournis ont amené tout naturellement à étendre ce module bidimensionnel vers la troisième dimension et à ainsi représenter explicitement un écoulement tridimensionnel (WOLF3D). Compte tenu de la lourdeur de développement dans la troisième dimension, ce module est limité aux écoulements sous pression et constitue la base de recherches futures qui viseront à adjoindre à ce code une gestion de surface libre ou encore des modèles de turbulence.

Ainsi est donc née une chronologie de recherche permettant d’améliorer (Figure I-2) la suite logicielle existante (Figure I-1) tant du point de vue de la complexité des structures modélisées que de la connaissance de champs hydrodynamiques complets de l’écoulement.

Figure I-2 : Nouvel organigramme de la suite logicielle WOLF

I.3 Canevas des développements

Le chapitre II de cette thèse s’attarde tout d’abord à décrire les systèmes d’équations mis en jeu et exploités dans ce travail. La seconde partie de ce chapitre est consacrée à la description

Hydrodynamique pure Hydrodynamique couplée avec du

transport d’air ou de sédiments

WOLF AG

WOLF HYDRO WOLF 1D WOLF 2D

Optimisation de paramètres

Ruissellement hydrologique Réseaux de rivières

naturelles Simulations quasi-3D

WOLF 2DV WOLF 3D

Simulations explicites

sur la verticale Simulations 3D

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I.3 - Canevas des développements

des techniques de résolution par volumes finis ainsi que de la variante spécifique qui est retenue pour la résolution des équations hydrodynamiques des modèles WOLF. Cette synthèse est volontairement limitée en volume et en détails puisque ces techniques ont déjà été largement décrites lors des précédentes recherches du HACH [3,20,23] et qu’il est dès lors plus opportun de focaliser ce texte sur les développements originaux entrepris dans cette thèse.

Le chapitre III est consacré à l’implémentation et à la validation de la méthode « cut-cell » dans le cadre du code bidimensionnel horizontal. Au travers de la prise en compte d’un taux d’occupation des cellules de calcul par le fluide et le solide, cette technique permet de s’affranchir du maillage cartésien initial et de représenter des contours de structures complexes qui peuvent être mobiles ou non. La méthode est tout d’abord validée sur deux problèmes académiques où le contour est tout d’abord fixe puis mobile. Ensuite, cette technique est utilisée pour modéliser deux applications à grande échelle. La première démontre l’apport de la méthode « cut-cell » lors du dimensionnement de structures fixes dans une rivière en crue tandis que la seconde démontre l’efficacité du procédé pour modéliser l’effet d’une porte busquée d’écluse lors de son mouvement de fermeture et d’ouverture. Au travers de ces exemples, les avantages indéniables fournis par la technique seront mis en évidence au même titre que les inconvénients liés à la sous-division des cellules et au temps de calcul devenant parfois prohibitif.

Le chapitre suivant permet d’entrer directement dans la conception du modèle bidimensionnel sous pression explicitement discrétisé sur la verticale. Une première partie théorique est tout d’abord consacrée aux méthodes de résolution spécifiques relatives à la structure des équations utilisées, puisque le terme temporel disparaît de l’équation de continuité dans l’hypothèse d’un écoulement incompressible. Au terme du choix de la méthode de résolution la plus adaptée par rapport aux attentes, l’implémentation des deux parties génériques qui la constituent est détaillée avec une attention particulière accordée à la conservation de la masse et à l’optimisation du temps de calcul. Ce chapitre IV se termine par une série de validations permettant de confirmer la robustesse et la représentativité des écoulements sous pression dans le plan vertical par ce nouveau module de la suite WOLF.

Le chapitre V est dédié à la mise au point d’une technique de suivi d’interface qui permettra d’étendre le champ d’action du module développé au chapitre précédent. Dans la continuité des idées développées au troisième chapitre et parmi les nombreuses techniques recensées dans la littérature, le choix s’est porté sur les méthodes qui permettent de décrire explicitement et de manière naturelle toute position de la surface libre indépendamment du maillage sous jacent. Le choix s’est finalement porté sur la technique Level Set pour laquelle des développements et de nombreuses validations ont été entrepris dans le but d’assurer au mieux la conservation de la masse.

Le chapitre suivant réalise le lien entre les deux précédents en proposant une technique originale dont le but est d’intégrer le concept de la méthode Level Set au module de calcul hydrodynamique sous pression. Force est de remarquer que cette intégration a demandé un travail conséquent pour assurer une robustesse suffisante au code. Le module obtenu, désormais capable de gérer une surface libre, a ensuite été testé avec succès sur plusieurs cas de validation présentés volontairement dans un ordre de difficulté croissant allant des écoulements stationnaires à surface libre à faible courbure vers les écoulements instationnaires à surface libre plus complexe.

Le chapitre VII permet de mettre à profit bon nombre de développements engrangés dans cette recherche doctorale en étendant le développement du code sous pression vers la troisième dimension. Toutefois, l’extension vers un code tridimensionnel à surface libre n’a pas été réalisée car ce type d’algorithme représente à lui seul une matière plus que suffisante pour une thèse de doctorat complète. Dans la philosophie des valeurs propres au HACH et de

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façon à présenter des résultats concrets, le développement de ce dernier pan de la recherche a été précédé de l’élaboration d’un mailleur tridimensionnel ainsi que d’un interfaçage des données vers un logiciel de visualisation commercial. Ce chapitre se termine par un ensemble de validations tant stationnaires qu’instationnaires mettant en exergue la validité de la méthode de résolution employée.

Le dernier chapitre de ce travail synthétise les conclusions des développements entrepris et dégage certaines perspectives innovantes pour des recherches ultérieures.

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VIII - Conclusions générales

VIII CONCLUSIONS GÉNÉRALES

Ce travail s’inscrit directement dans la philosophie de recherche suivie au HACH, à savoir une interaction importante entre modélisation numérique, expérimentale et appliquée. La chronologie de la recherche s’est basée sur les acquis mais aussi sur les constats qui ressortent des développements existants avant la réalisation de ce travail.

D’un point de vue théorique, le travail a d’abord porté sur les moyens de s’affranchir de la discrétisation par maillages cartésiens et sur la manière d’intégrer l’interaction entre un solide et l’écoulement.

Des concepts mathématiques efficients ont ensuite été développés pour résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles en plan vertical. Une gestion du suivi d’interface a complété ce premier modèle sous pression pour permettre la modélisation d’écoulements à surface libre. Un grand soin a été apporté pour maîtriser la technique Level Set et pour assurer une conservation optimale de la masse au travers d’une formulation conservative originale.

Finalement, l’extension vers la troisième dimension a été réalisée afin de mesurer les performances de la méthode de résolution retenue pour les équations de Navier-Stokes. Ce type de modèle est en effet de plus en plus requis, en complément de modèles expérimentaux, afin d’obtenir une vision très détaillée des écoulements complexes qui peuvent se développer sur les structures hydrauliques.

Ces différents points ont donné lieu à une implémentation numérique où certaines problématiques été surmontées. La méthode cut-cell, employée pour réaliser un sous- découpage du maillage cartésien dans le modèle WOLF2D, a notamment fait l’objet de développements spécifiques pour conserver des pas de temps acceptables.

Le modèle sous pression en plan vertical a fait l’objet d’une implémentation spécifique visant à conserver exactement la masse lors de la résolution du système par la méthode des projections. Une attention particulière a également été requise pour optimiser les différents algorithmes de résolution implémentés.

L’utilisation d’une forme conservative de l’équation décrivant la méthode Level Set a nécessité l’implémentation d’un modèle spécifique pour l’air. Il exploite une extrapolation des vitesses du liquide et une correction de ces dernières pour vérifier la continuité.

Enfin, l’implémentation de la troisième dimension a permis de vérifier la robustesse de l’algorithme déjà développé et de chiffrer les ressources nécessaires à son utilisation.

L’application de ces outils à différents exemples d’écoulement a finalement permis de vérifier leur représentativité et leur robustesse. Un exemple de structure courbe au sein d’un

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VIII.1 - Synthèse de la recherche

écoulement et le mouvement d’une porte busquée d’écluse ont été modélisé à l’aide de la méthode cut-cell. Différents exemples à caractère académique ont permis de confirmer la qualité du modèle sous pression en plan vertical, tant en écoulements stationnaires qu’instationnaires. Ensuite, le suivi d’interface implémenté a été exploité pour représenter avec succès de nombreux écoulements sur des structures hydrauliques. Finalement, deux cas académiques ont permis de vérifier la robustesse du code tridimensionnel sous pression.

VIII.1 Synthèse de la recherche

Approche par sous-découpage du maillage et interaction fluide-structure

Ce travail s’est d’abord focalisé sur l’implémentation, la validation et l’application au sein du code bidimensionnel horizontal d’une technique originale permettant de s’affranchir de la discrétisation cartésienne. Les modélisations actuelles ne permettent pas de représenter correctement les limites courbes ou inclinées sur les axes de discrétisation. Cette problématique influence les résultats de calcul et rend parfois leur interprétation difficile. Il est dès lors nécessaire de s’en affranchir pour représenter plus fidèlement certains écoulements spécifiques. La méthode « cut-cell » a été retenue pour résoudre ce problème.

Son implémentation dans les algorithmes déjà existants ne modifie que partiellement le code actuel et n’alourdit pratiquement pas la résolution des équations. Le calcul des fractions remplies des cellules de calcul est réalisé par une approche originale par sous-maillage. Cette technique permet de conserver la maîtrise des temps de calcul qui peuvent s’avérer prohibitifs avec la méthode originelle. Les validations à grande échelle, réalisées tant avec l’utilisation de frontière fixes que mobiles dans le temps, ont démontré l’apport non négligeable de ce type d’approche pour obtenir des résultats plus proches de la réalité.

Il faut néanmoins constater que certaines limitations subsistent lors de l’utilisation de cette méthode. D’une part, l’enrichissement supplémentaire de la solution est conditionné à un temps de calcul fortement augmenté en dépit de l’approche par sous-maillage. Néanmoins, le modélisateur reste maître de ce temps qui est directement lié au choix du découpage réalisé.

D’autre part, certains artéfacts, très locaux, subsistent lors d’un calcul avec frontière mobile.

Ils sont inhérents à la gestion par sous-maillage mais n’affectent pas les résultats de manière sensible. Cette technique doit donc être essentiellement privilégiée dans certaines études spécifiques où des influences locales sont attendues mais ne doit pas être généralisée à tous les types d’applications traités.

Modèle sous pression discrétisé dans le plan vertical

La représentation d’écoulements où les vitesses verticales sont du même ordre de grandeur que les vitesses horizontales (écoulement sur des déversoirs, rupture de barrage,…) sortent du cadre d’application du modèle intégré sur la hauteur. Ce dernier peut toutefois être aménagé pour combler ces manquements mais il est plus pertinent d’utiliser un modèle bidimensionnel discrétisé dans le plan vertical. Ce type de modèle demande la résolution des équations de Navier-Stokes incluant, dans cette thèse, une hypothèse d’incompressibilité. Cette dernière modifie le système initial d’équations en supprimant le terme temporel de l’équation de continuité. Il en ressort que les techniques de résolution habituellement utilisées dans le code intégré sur la hauteur ne sont plus exploitables dans leur entièreté. Parmi les différentes méthodes de résolution spécifiques disponibles, la méthode des projections a été retenue essentiellement pour son principe de fractionnement du système initial d’équations, la simplicité apparente de sa structure et sa parfaite adéquation avec les schémas temporels explicites. Il n’empêche qu’un travail original conséquent a été mené sur la discrétisation des différents termes pour assurer une parfaite conservation de la masse. Un effort conséquent a également été mené pour limiter au maximum la dissipation numérique qui est un problème lié à cette méthode de résolution fractionnée.

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Le code a été validé avec succès sur de nombreux exemples académiques, principalement en écoulements stationnaires ou instationnaires à faible nombre de Reynolds. Ils ont permis de vérifier la robustesse et la précision du code dans différentes configurations tout en conservant des temps de calcul acceptables, même sur des domaines de calcul finement discrétisés.

Extension des capacités du modèle bidimensionnel par la gestion de la surface libre Ce dernier modèle sous pression représente certes un outil très utile et fiable mais est limité dans son utilisation pratique par l’absence de la gestion d’une surface libre. Bon nombre d’écoulements présentent en effet une frontière avec l’air et ne sont pas limités à un écoulement sous pression. Il est donc indispensable, pour obtenir un outil général, d’intégrer ce concept au code sous pression. Le positionnement numérique de cette surface libre est particulièrement ardu puisqu’aucune variable des équations ne décrit directement la position de cette dernière, comme c’est le cas dans un modèle intégré sur la hauteur. A nouveau, de nombreuses méthodes existent pour réaliser le suivi d’une interface. Celle qui a été retenue, la plus contemporaine, est la technique Level Set. Elle présente l’avantage de décrire directement, contrairement aux autres méthodes, la position d’une interface de manière continue au moyen d’une équation de convection alimentée par la vitesse du fluide.

Cependant, elle présente un inconvénient majeur puisque les propriétés de la variable convectée s’altèrent durant le calcul et introduisent des imprécisions sur la position de l’interface. La formulation non conservative habituelle a été réécrite sous une forme conservative moyennant l’hypothèse d’un fluide à divergence nulle. La vérification numérique de cette hypothèse, immédiate dans l’eau, a pu être obtenue dans l’air grâce à des algorithmes spécifiques. Différents tests quantitatifs ont ensuite permis de définir les paramètres qui minimisent les erreurs de positionnement de l’interface introduites par cette approche.

Suite à ces développements généraux qui permettent de décrire la position d’une interface quelconque entre deux milieux, la méthode Level Set a été couplée au code sous pression. La position de la surface libre, approchée de manière continue, permet d’intégrer dans le modèle une vision originale de la condition limite de pression à la surface libre. Cette dernière fait abstraction du maillage et est représentée de manière continue par une approche discrétisée au second ordre de précision, indispensable pour assurer la cohérence du calcul. Ce procédé permet, notamment, d’approcher finement les niveaux de charge des déversoirs.

Finalement, une approche originale a été réalisée pour modéliser l’air. La résolution des équations de Navier-Stokes dans les deux fluides (air et eau) présente en effet des inconvénients puisqu’il est très ardu de gérer le saut de densité à la surface libre. Une approche particulière a dès lors été retenue en considérant l’air comme un fluide fictif où seul un champ de vitesse doit être déterminé. Ce modèle original simplifié fait appel à une extrapolation du champ de vitesse de l’eau et à une correction permettant de lui rendre des propriétés de divergence nulle. Ce procédé, adjoint d’une gestion spécifique de la condition limite de pression et complété de la méthode Level Set permet de modéliser des applications courantes telles que des écoulements sur des déversoirs ou encore suite à la rupture d’un barrage. Les enseignements retirés des différentes modélisations réalisées démontrent l’apport considérable de ce type de modèle pour décrire les champs de vitesse et de pression parfois difficilement mesurables sur des modèles expérimentaux. Il est également un outil complémentaire du modèle physique puisque, après validation, il permet de tester rapidement de nombreuses variantes de configurations.

Elaboration et validation d’un modèle tridimensionnel sous pression

Un dernier pas important est franchi en étendant au tridimensionnel certains des développements précédents pour traiter les écoulements incompressibles sous pression. Ce

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VIII.2 - Perspectives

type de modèle est encore fort peu utilisé à l’heure actuelle car il demande des données en grande quantité et il est fort coûteux en temps de calcul. Néanmoins, les résultats obtenus peuvent conduire à une compréhension accrue des écoulements et à une optimisation des designs de structures hydrauliques.

Le but poursuivi a été de valider la méthode de résolution des équations de Navier-Stokes en l’étendant à la troisième dimension. La gestion de surface libre n’a pas été traitée car son implémentation en trois dimensions devrait constituer une étape substantielle de thèse future.

Un regard critique a été porté sur les capacités informatiques importantes requises pour ce type de modèle tout en développant les outils de connexion nécessaires pour la visualisation des résultats. Ce modèle a finalement été validé avec succès sur base de deux exemples particuliers référencés dans la littérature. Ces validations, basées sur des écoulements tant stationnaires qu’instationnaires ont permis de conclure à l’applicabilité de la méthode de résolution retenue mais aussi de définir les limites de modélisation liées aux capacités informatiques actuelles. Ces limites sont assez rapidement atteintes dès lors que le maillage est quelque peu raffiné.

VIII.2 Perspectives

Au terme de cette recherche, de nombreuses perspectives peuvent être dégagées dans la continuité des différents points abordés dans cette thèse. Chaque problématique ou avancée suscite d’elle-même de nouvelles pistes de recherche.

L’apport au modèle bidimensionnel intégré sur la hauteur a consisté en des améliorations par rapport à la modélisation de problème par des mailles carrées. La méthode de sous-découpage local du maillage suivant des frontières quelconques pourrait également être envisagée dans le cadre du modèle en plan vertical. Ce travail reste conséquent dans la mesure où la structure des équations est différente d’un modèle en eaux peu profondes et cela demande de développer un formalisme spécifique. Cette amélioration pourrait néanmoins conduire à des applications d’utilité directe comme le mouvement de portes d’écluses basculantes ou encore la modélisation de glissements de terrain dans des retenues de barrages.

La résolution du modèle sous pression montre que la vitesse de résolution du système linéaire demeure le point névralgique pour un code de calcul efficient. Des techniques encore plus évoluées (PARDISO²⁰) que la méthode GMRes pourraient être mises en œuvre pour améliorer ce point. Il apparaît en outre opportun de travailler à l’intégration de lois de paroi spécifiques permettant de décrire d’une manière intégrée les effets de couche limite qui apparaissent pour des écoulements à haut nombre de Reynolds. Bien que certaines applications pratiques ne nécessitent pas la présence d’un modèle turbulence (seuil mince) pour reproduire les écoulements, certaines d’entre elles (vanne de fond) peuvent se contenter de modèles simples tels que celui utilisé dans cette thèse. Cependant, des modèles de turbulence plus élaborés pourraient être requis pour modéliser certains écoulements où des recirculations locales se développent (conduite avec divergent, seuil épais).

La technique de suivi d’interface développée et intégrée au modèle sous pression suggère, elle aussi, certaines pistes de recherche. La précision atteinte sur la conservation du volume, bien que très bonne, pourrait être améliorée par l’utilisation de schémas de discrétisation d’ordre supérieur. Il faut néanmoins garder à l’esprit les difficultés qu’engendrent ces derniers. La voie la plus porteuse serait sans doute la gestion d’un maillage raffiné localement autour de l’interface eau-air. Un raffinement important conduit en effet à des gains substantiels sur la précision avec laquelle la surface libre est prédite. Bien que le modèle ait été extensivement validé, certaines études expérimentales pourraient être menées afin d’alimenter des comparaisons au niveau de la prise en compte de ressauts hydrauliques, qui ont été très peu

20 PARDISO est l’acronyme de PARallel Direct Solver

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validés quantitativement dans cette thèse. Ces études expérimentales pourraient décrire précisément des écoulements sur une marche topographique avec transition d’état.

Finalement, l’extension du modèle sous pression vers la troisième dimension laisse entrevoir de multiples perspectives de recherche. L’utilisation intensive des capacités informatiques demandées suggère d’emblée, comme dans le cas du modèle bidimensionnel, de s’intéresser à la rapidité de résolution du système linéaire issu de l’équation de Poisson. Par ailleurs, il a été mis en avant que le nombre maximum de cellules calculables est rapidement atteint. Des perspectives intéressantes ressortent de ce constat tel que le découpage du domaine en zones possédant des mailles de tailles différentes. En dernier lieu, la piste de recherche la plus importante consiste sans aucun doute à étendre le modèle tridimensionnel sous pression vers un code à surface libre. Cependant, de nombreux challenges y sont liés puisque les techniques de gestion de l’interface et d’imposition des conditions limites de pression, développées dans le code bidimensionnel, se complexifient nettement en ajoutant la troisième dimension.

Toutefois, la filière générale de résolution déjà établie constitue un fil conducteur à prospecter davantage.

Pour conclure, les développements entrepris durant plusieurs années de recherche, qui ont mené à la rédaction de cette thèse et qui ont permis de dégager différents éléments de perspective, montrent qu’il est fondamental de privilégier une approche de travail couplée numérique-expérimental. Il est en outre indéniable que le développement de modèles de plus en plus détaillés et complexes continuera dans l’avenir. Leur validation et l’appréciation de leur robustesse sont indissociables de l’expertise à analyser leur capacité à correctement reproduire toutes les spécificités des phénomènes physiques qu’ils sont censés reproduire.

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