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Le dilemme des deux états de connaissance du paradoxe des deux enveloppes
Léo Gerville-Réache
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Léo Gerville-Réache. Le dilemme des deux états de connaissance du paradoxe des deux enveloppes.
2014. �hal-00974031�
Le dilemme des deux états de connaissance du paradoxe des deux enveloppes
Léo Gerville-Réache - Université de Bordeaux -UMR 5251
Le problème
Vous êtes face à deux enveloppes non-distinguables qui contiennent de l'argent. L'une contient le double de l'autre. Vous choisissez une enveloppe et avez la possibilité de partir avec la somme qu'elle contient. Mais, on vous propose maintenant d'échanger avec l'autre enveloppe. Que faites-vous?
Première conséquence
Il est clair que quelque soit l'enveloppe que j'ai en main, en changeant :
• soit je gagne et je repars avec le double du montant de l'enveloppe que j'ai en main.
• soit je perds, je repars avec la moitié de la somme que j'ai en main.
Pourtant cette conséquence ne se traduit pas de la même façon si je connais ou pas le montant de l'enveloppe que j'ai en main.
Deux états de connaissance
- Si je n'ouvre pas l'enveloppe que je possède, ce que je peux dire c'est que l'une des enveloppes contient un certain montant inconnu N et l'autre 2N.
• Si en changeant je gagne, alors c'est que j'avais en ma possession le plus petit montant inconnu N et que l'autre contient 2N. Je gagne donc N et je repars avec le double du montant que j'avais en main.
• Si en changeant je perds, alors c'est que j'ai en ma possession le plus gros montant inconnu 2N et que l'autre contient N. Je perds donc N et je repars avec la moitié du montant que j'avais en main.
N'ayant aucune raison de croire que j'ai en main le plus petit ou le plus gros montant, je n'ai aucune raison de changer d'enveloppe. En effet, si je change, la somme inconnue que je pourrais gagner est égale à la somme inconnue que je pourrais perdre. Pour autant, on doit remarquer que curieusement, cette somme inconnue (que je pourrais gagner ou perdre) n'est pas égale au montant inconnu de l'enveloppe que j'ai en main.
- Si j'ouvre l'enveloppe que je possède et que je découvre le montant X, je peux dire c'est que :
• Si en changeant je gagne, alors c'est que X, le montant connu que j'ai en ma possession, est le plus petit montant et que l'autre contient 2X. Je gagne donc X et je repars avec le double du montant que j'avais en main.
• Si en changeant je perds, alors c'est que X, le montant connu que j'ai en ma possession, est le plus gros montant et que l'autre contient X/2. Je perds donc X/2 et je repars avec la moitié du montant que j'avais en main.
N'ayant aucune raison de croire que j'ai en main le plus petit ou le plus gros montant, j'ai une raison de changer d'enveloppe : En effet, si je change, la somme connue que je pourrais gagner est égale à la somme connue que j'ai en main et la somme connue que je pourrais perdre est égale à la moitié de cette même somme connue que j'ai en main.
La source du paradoxe
Il y a une différence fondamentale entre le fait de prendre connaissance ou pas du montant de l'enveloppe en main. La source du paradoxe réside dans l'amalgame de ces deux états de connaissance aux conséquences distinctes. Sans connaitre le montant de l'enveloppe en main, je n'ai pas de raison de changer mais, connaissant le montant de l'enveloppe en main, quelque soit ce montant, j'ai une raison de changer.
Ce qui est particulièrement troublant, c'est que la décision qui consiste à changer sachant le montant X de l'enveloppe en main ne dépende pas de la valeur de X mais seulement de l'état de connaissance qu'il engendre. En effet, si, quelque que soit la valeur que je découvrirai, il sera rationnel de changer alors pourquoi aurais-je besoin de connaitre cette valeur pour qu'il soit rationnel de changer?
Il s'agit en réalité de bien identifier la différence entre une décision prise dans un état de connaissance où cette valeur est inconnue avec une décision prise dans un état de connaissance où cette valeur est connue quelque soit cette valeur. Le premier état de connaissance ne qualifie que le rapport des sommes entre les deux enveloppes dans le grand ensemble des mondes imaginables des montants des enveloppes alors que le deuxième état de connaissance fixe précisément le montant de l'enveloppe en main et donc les deux mondes possibles pour le montant de l'autre enveloppe.
Si l'on accepte ce point de vue, alors le paradoxe des deux enveloppes pointe en réalité la subtile distinction qu'il convient de faire entre "l'une est le double de l'autre" et "sachant l'une, l'autre est soit la moitié soit le double". Ce que l'on peut dire c'est que "l'une est le double de l'autre" n'implique pas que l'autre enveloppe contient soit la moitié soit le double du montant inconnu que j'ai en main mais implique que l'autre enveloppe contient soit la moitié soit le double du montant connu que j'ai en main. La connaissance du montant de l'enveloppe en main modifie ma connaissance du jeu, fixe les possibles et me conduit à pouvoir appliquer ma stratégie.
Conclusion
Si l'on se rappelle par exemple du paradoxe du Monty-hall, après avoir choisi une porte, ne sachant pas encore quelle porte va ouvrir le présentateur, je n'ai aucune raison de changer de porte. Pourtant je sais déjà que quelque soit la porte qu'ouvrira le présentateur, alors je changerai car je pourrai alors appliquer ma stratégie. Aussi, quelque soit la porte ouverte par le présentateur, je changerai mon choix. Pour autant, je ne change pas encore, je dois attendre l'information du présentateur. Dans les deux enveloppes, je sais que je changerai d'enveloppe mais je dois attendre de connaitre le montant de l'enveloppe en main car celui-ci m'est indispensable pour rendre mon action rationnelle.
On peut voir dans le paradoxe des deux enveloppes la différence entre un raisonnement dans un espace d'hypothèses et un raisonnement conditionnellement à un fait. En effet, ne connaissant pas le montant de l'enveloppe en main, je peux toujours imaginer ce que je devrais faire si le montant était 10, 15.5, 30... Mais ma stratégie devra couvrir l'espace généré par la conséquence de cet espace d'hypothèses sur l'espace des montants hypothétiques de l'autre enveloppe. Malheureusement, dans mon état de connaissance du jeu, ce dernier espace d'hypothèses est indéfinissable. Il n'est même pas probabilisable par une loi équiprobable si on tentait de le modéliser par un ensemble infini d'hypothèses. En revanche, connaissant le montant de l'enveloppe que j'ai en main, l'espace des hypothèses pour le montant de l'autre enveloppe est réduit à deux éléments. Cet espace est alors probabilisable par une loi équiprobable qui correspond exactement à mon nouvel état de connaissance.
La symétrie initiale du jeu, qui persiste après avoir choisi une des deux enveloppes, est rompue au moment précis où je découvre le montant de l'enveloppe que j'ai choisie. Aussi, tant que le montant de mon enveloppe m'est inconnu, je n'ai aucune raison de décider de changer même si je sais déjà qu'à l'ouverture de mon enveloppe, je regretterai ma décision. Sacré dilemme!
Bibliographie (Wikipédia)
1943
Maurice Kraitchik, Mathematical Recreations, George Allen & Unwin, London. (2nd edition, 1953, Dover publications, New York).
1953
J E Littlewood, A Mathematician's Miscellany, Methuen & Co, London.
1982
Martin Gardner, Aha! Gotcha: Paradoxes to Puzzle and Delight, W.H. Freeman and Company, New York, p 106.
1987
Carlos Rodriguez, Understanding Ignorance, Maximum Entropy and Bayesian Methods, pages 189–204. G Erickson and C R Smith (eds.), Kluwer Academic Publishers.
Thomas M Cover, Pick the largest number, Open Problems in Communication and Computation, T Cover and B Gopinath, eds., Springer Verlag, p 152.
Laurence McGilvery, 'Speaking of Paradoxes . . .' or Are We?, Journal of Recreational Mathematics 19: 15-19.
1988
Sandy Zabell, Loss and gain: the exchange paradox, J M Bernardo, M H DeGroot, D V Lindley, and A F M.
Smith, editors, Bayesian statistics 3, Proceedings of the third Valencia international meeting, pages 233–236.
Clarendon Press, Oxford.
Sandy Zabell, Symmetry and Its Discontents, Brian Skyrms, William Harper, editors, Causation, Chance, and Credence: Proceedings from the Irvine Conference on Probability and Causation, Volume 1, pages 155-190.
Kluwer, Dordrecht.
Randall Barron, The paradox of the money pump: a resolution, Maximum Entropy and Bayesian Methods, ed J Skilling.
Barry Nalebuff, Puzzles: Cider in Your Ear, Continuing Dilemma, The Last Shall Be First, and More, The Journal of Economic Perspectives, 2, 149-156.
1989
Barry Nalebuff, Puzzles: The Other Person’s Envelope is Always Greener, Journal of Economic Perspectives 3(1): 171–181
Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers and the Return of Dr Matrix, The Mathematical Association of America, W H Freeman, New York, p 148.
1990
R Guy, Where the Grass is Greener, contributed to column Flaws, Fallacies and Flimflam, College Mathematics Journal, January, p. 35. Included in the book Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam by column editor Edward J. Barbeau (2000), pp. 78-81, published by Mathematical Association of America.
1991
Christensen and Utts, Bayesian Resolution of Classical Paradoxes: Two Examples, Technical Report 220, University of California, Davis, Division of Statistics.
1992
Ronald Christensen, Jessica Utts, Bayesian Resolution of the 'Exchange Paradox', The American Statistician 46(4): 274–76.
Raymond Smullyan, Satan, Cantor, and Infinity Alfred A. Knopf. Oxford: Oxford University Press.
James Cargile, On a Problem about Probability and Decision, Analysis, 52(4): 211-16.
Ruma Falk and Clifford Konold, The Psychology of Learning Probability, pp. 151-164 in F.S. and S.P. Gordon (eds), Statistics for the Twenty-First Century, The Mathematical Association of America.
Marilyn Vos Savant, column Ask Marilyn, September 20, Parade Magazine.
Deborah Hecht, contribution to column Reader reflections, Mathematics Teacher, 85, pp. 90-91.
1993
David A Binder, Comment on Christensen and Utts (1992), The Amercian Statistician 47(2): 160.
Ronald Christensen, Jessica Utts, Reply to Binder, The American Statistician 47(2): 160.
Terry Ridgway, Comment on Christensen and Utts (1992), The American Statistician 47(4): 311.
Ronald Christensen, Jessica Utts, Reply to Ridgway, The American Statistician 47(4): 311.
Paul Anand, The Philosophy of Intransitive Preference, The Economic Journal 103(417): 337-346.
1994
Jordan Howard Sobel, Two Envelopes, Theory and Decision, 36: 69–96.
Frank Jackson, Peter Menzies, Graham Oppy, The Two Envelope 'Paradox', Analysis 54(1): 43–45.
Paul Castell, Diderik Batens, The Two Envelope Paradox: The Infinite Case, Analysis 54(1): 46–49.
Piers Rawling. A note on the two envelopes problem Theory and Decision 36(1): 97-102.
Elliot Linzer, The Two Envelope Paradox, The American Mathematical Monthly 101(5): 417-419.
Sheldon M Ross, Comment on Christensen and Utts (1992), The American Statistician 48(3): 267.
Ronald Christensen, Jessica Utts, Reply to Ross, The American Statistician 48(3): 268.
David J Chalmers, The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis?, published online 1995
John Broome, The Two-envelope Paradox, Analysis 55(1): 6–11.
Charles Chihara, The Mystery of Julius: A Paradox in Decision Theory, Philosophical Studies 80: 1–16.
Steven Brams, Marc Kilgour, The box problem: To switch or not to switch, Mathematics Magazine 68(1): 27-34.
Kyung Chae, A resolution of the ’exchange paradox’, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 26(4): 553-558.
1996
Nelson Blachman, Ronald Christensen and Jessica Utts, Comment on Christensen and Utts, Bayesian resolution of the ‘Exchange Paradox’(1992), The American Statistician 50(1): 98–99.
Thomas Bruss, The Fallacy of the Two Envelopes Problem, The Mathematical Scientist 21(2): 112–119.
1997
Timothy McGrew, David Shier, Harry Silverstein, The Two-Envelope Paradox Resolved Analysis 57(1): 28–33.
Alexander Scott, Michael Scott, What’s in the Two Envelope Paradox? Analysis 57(1): 34–41.
Frank Arntzenius, David McCarthy, The two envelope paradox and infinite expectations, Analysis 57(1): 42–50.
Piers Rawling, Perspectives on a pair of envelopes, Theory and Decision 43: 253–277.
Kent Merryfield, Ngo Viet, Saleem Watson, The Wallet Paradox American Mathematical Monthly 104(7): 647- 649.
Raymond Smullyan, The Riddle of Scheherazade, and Other Amazing Puzzles, Ancient and Modern Knopf, New York.
1998
John Norton, When the sum of our expectations fails us: The exchange paradox, Pacific Philosophical Quarterly 79: 34–58.
Steven Brams, Marc Kilgour, The fallacy of the two envelopes problem, Mathematical Scientist 23: 58–59.
1999
Carl Wagner, Misadventures in conditional expectation: The two-envelope problem, Erkenntnis 51: 233–241.
2000
Michael Clark, Nicholas Shackel, The Two-Envelope Paradox, Mind 109(435): 415–442.
Wilfried Hausmann, On The Two Envelope Paradox, Friedberger Hochschulschriften, volume 5.
Fachhochschule Giessen-Friedberg.
Terry Horgan, The Two-Envelope Paradox, Nonstandard Expected Utility, and the Intensionality of Probability, Noûs 34(4): 578-603.
Z Schuss, To switch or not to switch, this is the question!, unpublished.
Ian Stewart, Mathematical Recreations: Paradox Lost Scientific American 6: 88–89.
Christopher M. Langan, Paradox Resolved: The Kraitchik and 2-Envelopes Paradoxes, unpublished.
Niall Shanks, Robert B Gardner (ed) Logic, Probability and Science, pp. 49-76.
Thomas Bruss, Ludger Rüsendorf, The Switching Problem and Conditionally Specified Distributions, Mathematical Scientist 25: 47-53.
Piers Rawling, The Exchange Paradox, Finite Additivity, and the Principle of Dominance, Poznan Studies in the Philosophy of the Sciences and the Humanities 71: 49-76.
2001
Olav Gjelsvik, Can Two Envelopes Shake The Foundations of Decision Theory?, unpublished.
Terry Horgan, The Two-Envelope Paradox and the Foundations of Rational Decision Theory, unpublished.
Nelson Blachman, Marc Kilgour, Elusive optimality in the box problem, Mathematics Magazine 74: 171-181.
Peter Winkler, Murray Hill, Games people don't play, Puzzlers' Tribute, David Wolfe and Tom Rodgers (eds), A K Peters Ltd.
Yudi Pawitan, In All Likelihood: Statistical Modeling and Inference Using the Likelihood, Oxford University Press, Oxford.
2002
Jeff Speaks, The two-envelope paradox and inference from an unknown, unpublished.
David Chalmers, The St. Petersburg Two-Envelope Paradox, Analysis 62(2): 155-57.
James Chase, The Non-Probabilistic Two Envelope Paradox, Analysis 62(2): 157–60.
Aaron S Edlin, Forward Discount Bias, Nalebuff’s Envelope Puzzle, and the Siegel Paradox in Foreign Exchange, Topics in Theoretical Economics 2(1).
Olav Gjelsvik, Paradox lost, but in which envelope? Croatian Journal of Philosophy II(6): 353–62.
Edwin F Meyer, Risk Management and the Two Envelope Paradox, Journal of Recreational Mathematics 31 (4) 2002-03 275-279.
Mikelis Bickis, Eric Neufeld, A Variation on the Paradox of Two Envelopes, FLAIRS Conference.
William L Vanderburgh, A Commentary on Cook's “Getting Clear on the Two-Envelope Paradox”, Southwest Philosophy Review 18 (2): 95-99.
2003
Friedel Bolle, The Envelope Paradox, the Siegel Paradox, and the Impossibility of Random Walks in Equity and Financial Markets, unpublished.
Graham Priest, Greg Restall, Envelopes and Indifference, published online.
Casper Albers, Trying to resolve the two-envelope problem, Chapter 2 of his thesis Distributional Inference: The Limits of Reason, March 2003. (Has also appeared as Albers, Kooi, and Schaafsma, Trying to resolve the two- envelope problem, Synthese 145(1): 89–109.
Gary Malinas, Two envelope problems and the roles of ignorance, Acta Analytica 18(30/31): 217–225.
Christoffer Meacham, Jonathan Weisberg, Clark and Shackel on the Two-Envelope Paradox, Mind 112(448):
685-689.
Michael Clark, Nicholas Shackel, Decision Theory, Symmetry and Causal Structure: Reply to Meacham and Weisberg, Mind 112(448): 691-701.
Terry Horgan, The Two-Envelope Paradox and the Foundations of Rational Decision Theory, unpublished.
Frank Arntzenius, Adam Elga, John Hawthorne, Bayesianism, Infinite Decisions, and Binding, unpublished draft 2004
Eric Schwitzgebel, Josh Dever, Using Variables Within the Expectation Formula, Kluwer Academic Publishers.
Dov Samet, Iddo Samet, David Schmeidler, One Observation behind Two-Envelope Puzzles, The American Mathematical Monthly 111(4): 347–51.
R Jeffrey, Subjective probability: The real thing, Cambridge University Press.
Bruce Langtry. The Classical and Maximin Versions of the Two-Envelope Paradox, Australasian Journal of Logic 2: 30–43.
Robert A Agnew, On the Two-Box Paradox, Mathematics Magazine 77(4): 302–308.
Keith Devlin, The Two Envelopes Paradox, published online
Brian Weatherson, How Surprising is the Two Envelope Paradox, unpublished Tom Loredo, The Two-Envelope Paradox, unpublished.
2005
Jan Poland, The Two Envelopes Paradox in a Short Story, unpublished.
Casper Albers, Barteld Kooi, Willem Schaafsma, Trying to resolve the two-envelope problem, Synthese 145:
89–109.
Franz Dietrich, Christian List, The Two-Envelope Paradox: An Axiomatic Approach, Mind 114(454): 239-248.
Richard Harter, The two envelopes puzzle, unpublished
Amos Storkey, Money Trouble and Money Trouble – Solution, unpublished.
P Rawling, A note on the two envelopes problem, Theory and Decision 36(1): 97-102.
John Williams, Simply Avoid Being Enveloped by Paradox, Research Collection School of Social Sciences, paper 69. Singapore Management University, Cognitive Psychology.
2006
Rich Turner and Tom Quilter, The Two Envelopes Problem, published online Adom Giffin, The Error in the Two Envelope Paradox, arXiv:physics/0608172v1
Raymond Nickerson and Ruma Falk, The exchange paradox: Probabilistic and cognitive analysis of a psychological conundrum, Thinking & Reasoning 12(2): 181–213.
Dennis V Lindley, Understanding Uncertainty, Wiley, NY, pp 217-220.
D R Cox, Principles of Statistical Inference, Cambridge University Press.
Randall Barron, Continuous Version of the Two Envelopes Puzzle, published online John Kay, Don’t box yourself in when making decisions, Financial Times, August 22.
Graham Oppy, Philosophical Perspectives on Infinity, Cambridge University Press, pp 185-194.
Gary Malinas, Two Envelope Problems, The Proceedings of the Twenty-First World Congress of Philosophy, volume 9, pp 153-158.
2007
Jeff Chen, The Puzzle of the Two-Envelope Puzzle—a Logical Approach, published online Bernard D Katz, Doris Olin, A Tale of Two Envelopes, Mind 116(464): 903-926.
Igor Douven, A Three-step Solution to the Two-envelope Paradox, Logique et Analyse 50(200) Aris Spanos, The Exchange (or Two Envelope) Paradox Revisited, published online.
Moshe Sniedovich, The Two-Envelope Paradox: A Primer for Dummies, unpublished draft.
Peter Olofsson, Probabilities: the little numbers that rule our lives, John Wiley & Sons, New Jersey, pages 129- 132.
Eric Schwitzgebel and Josh Dever, The Two Envelope Paradox and Using Variables Within the Expectation Formula, Department of Philosophy, UC Riverside, prepublication [pdf] (see also journal published version, 2008)
John Simons, Almost always swapping can be profitable, not the final word on the box paradox, unpublished?
2008
Ruma Falk, The Unrelenting Exchange Paradox, Teaching Statistics 30(3): 86-88.
Susan F Butler, Raymond S Nickerson, Keep or Trade? An Experimental Study of the Exchange Paradox, Thinking and Reasoning 14(4): 365–394.
Eric Schwitzgebel, Josh Dever, The Two Envelope Paradox and Using Variables Within the Expectation Formula, Sorites 20: 135-140.
Graham Priest, Greg Restall, Envelopes and indifference, C Dégremont, L Keiff, H Rückert (eds.), Dialogues, Logics and Other Strange Things: Essays in Honour of Shahid Rahman, London: College Publications, 277-284.
Aris Spanos, The Two Envelope (Exchange) Paradox Revisited, Department of Economics, Virginia Tech, 2009
Mark D McDonnell, Derek Abbott, Randomized switching in the two-envelope problem, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 465: 3309–3322.
Don Fallis, Taking the Two Envelope Paradox to the Limit, Southwest Philosophy Review 25(2).
Byeong-Uk Yi, The Two-envelope Paradox With No Probability, unpublished draft
Melinda Roberts, The Nonidentity Problem and the Two Envelope Problem: When is One Act Better for a Person than Another? Chapter 10 of M A Roberts, D T Wasserman (eds.), Harming Future Persons, International Library 201 of Ethics, Law, and the New Medicine 35.
Tad Boniecki, Two Envelope Paradox Solution, unpublished
Ruma Falk, Raymond Nickerson, An inside look at the two envelopes paradox, Teaching Statistics 31(2): 39-41.
Martin Peterson, An Introduction to Decision Theory, Cambridge University Press, Chapter 4.7: 86-90.
2010
Peter Sutton, The Epoch of Incredulity: A Response to Katz and Olin’s ‘A Tale of Two Envelopes’ Mind 119(473): 159-169.
Bernard Katz, Doris Olin, Conditionals, Probabilities, and Utilities: More on Two Envelopes Mind 119(473):
172-183.
Federico O’Reilly, Is there a two-envelope paradox?, published online Paul Syverson, Opening Two Envelopes, Acta Analytica 25:479–498.
Martin Cooke, Two Envelopes, two paradoxes, The Reasoner 4(5): 74 - 75
Derek Abbott, Bruce Davis, Juan Parrondo, The two-envelope problem revisited, Fluctuation and Noise Letters 9(1): 1–8
Jeremy Gwiazda, Repeated St Petersburg two-envelope trials and expected value, unpublished draft.
William Briggs, The Two-Envelope Problem Solution: Part I & II, published online Part I Part II
Robert Marks, Jawdropping Probability: The Two Envelope Problem & Bermoulli’s Wager, published online [pdf]
2011
Mark D McDonnell, Alex J Grant, Ingmar Land, Badri N Vellambi, Derek Abbott, Ken Lever, Gain from the two-envelope problem via information asymmetry: on the suboptimality of randomized switching, Proceedings of the Royal Society
Richard D Gill, Anna Karenina and The Two Envelopes Problem, unpublished draft
Raam Gokhale, The Two Envelopes Problem: a ‘Back of the Envelope’ Solution, published online
Bruce D Burns, Adaptive uses of random criterion: The largest number problem, the two- envelope problem, and the anchoring and adjustment heuristic, in L Carlson, C Hoelscher, & T F Shipley (Eds.), Proceedings of the 33rd Annual Conference of the Cognitive Science Society: 978-983, Austin, TX: Cognitive Science Society Ned Markosian, A Simple Solution to the Two Envelope Problem, Logos & Episteme, II, 3: 347-357
2012
Eric Bliss, A Concise Resolution to the Two Envelope Paradox, arXiv:1202.4669v3
R A Vázquez, The two envelopes probability paradox: Much ado about nothing, arXiv:1206.4805v1 2013
William Eckhardt, The Two-Envelopes Problem, Chapter 8 of his book Paradoxes in Probability Theory, pp 47- 58, SpringerBriefs in Philosophy.
Aris Spanos, The Two Envelope Problem: a Paradox or Fallacious Reasoning?, arXiv:1301.0118.
Chunghyoung Lee, The Two-envelope Paradox: Asymmetrical Cases, Mind, Volume 122, Issue 485, pp 1-26.
2014
Leo Gerville-Réache, Why do we change whatever amount we found in the first envelope: the Wikipedia two envelopes problem commented, arXiv:1402.3311
