PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦4 - 29/11/16 - CORRIGÉ A. MARTIN
ÉLECTRICITÉ : Régimes transitoires et sinusoïdal forcé
I. Modélisation électrique d’une isolation thermique
(d’après CCP MP 2016) 1.En régime stationnaire, un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Le circuit se limite donc aux deux résistancesR1etR2.
On a donc : u2∞(t) =R2i(t) .
2. On utilise des associations dérivation et série :Z = jωC1+
R1+jωC2+R1
2
−1−1!−1
, d’où en développant :
Z=
jωC1+ jωC2R2+ 1 jω C2R2R1+R1+R2
−1
donc Z= R1+R2+jω C2R2R1
1 +jω((R1+R2)C1+R2C2) + (jω)2C1C2R1R2
.
3. a)On aU1(jω) =Z I0etU1(0) = (R1+R2)I0donc
H(jω) = 1 +jωCR2R2R1
1+R2
1 +jω((R1+R2)C1+R2C2) + (jω)2C1C2R1R2
.
b)On a lim
ω→0H= 1 et lim
ω→∞H= 0 . Il s’agit donc d’unfiltre passe-bas.
c)En notant le gainG(ω) =|H(jω)|, on a par définitionG(ωc) =G√max2 . En échelles logarithmiques cela s’écritGdB(ωc) =GdB max−20 log√
2 =GdB max−3,0 dB. Graphiquement, on aGdB max≈0 et donc GdB(ωc)≈ −3dB. On obtientωc≈8×10−5rad.s−1.
4. a)On a en régime sinusoïdal forcéu1=Z idonc d’après2.: 1 +jω((R1+R2)C1+R2C2) + (jω)2C1C2R1R2
u1= (R1+R2+jω C2R2R1)i , ce qui conduit d’un point-de-vue temporel à l’équation différentielle linéaire à coefficients constants:
1 ω20
d2u1
dt2 + 1 ω0Q
du1
dt +u1= (R1+R2)i+C2R2R1
di dt
avec ω0= 1
√R1R2C1C2
et Q=
√R1R2C1C2
(R1+R2)C1+R2C2
.
b)Pour un régime pseudopériodique, le temps caractéristique estτ=2Qω
0donc ici τ= 2R1R2C1C2
(R1+R2)C1+R2C2
. c)On peut ré-écrireτ = C12C1C2
R2+C1+C2 R1
.Ainsi, en augmentant R2 on augmenteτ. Donc l’isolation par l’extérieurrallonge la durée de vie des régimes transitoires, donc rend le système plus lent à atteindre un régime permanent recherché donné.
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II. Détermination des caractéristiques d’un circuit
1. Ent= 0−et ent→+∞, le régime est stationnaire donc le condensateur est assimilable à un interrupteur ouvert et la bobine à un fil. Donc le couranticircule aussi dans la résistanceR. La loi des mailles impose ur−uR= (r+R)i= 0. Donc i(0−) = lim
t→∞i= 0 .
Par ailleurs la bobine impose la continuité deidonc i(0+) = 0 .
2. Il y a deux mailles indépendantes. L’application de la loi des noeuds suivie des deux lois de maille conduit à
i=Cduc dt −uR
R =Cd
dt(E−uL−ur)−1
R(uL+ur) =−CLd2i dt2−rCdi
dt−L R
di dt− r
Ri= 0 On en déduit
d2i dt2+ω0
Q di
dt+ω02i= 0 avec ω0= 1
√ LC
r 1 + r
R et Q=
√ LC rC+RL
r 1 + r
R .
3. Le régime est pseudo-périodique si les racines de l’équation caractéristique x2+ ωQ0x+ω02 = 0 sont complexes conjuguées, donc si le discriminant ∆ = ω021
Q2−4 <0 ⇔Q > 12, donc à la condition
√LC rC+RL
r 1 + r
R>1 2.
4. La forme générale de la solution est i(t) = e−tτ (Acos(Ωt) +Bsin(Ωt)) avec τ=2Q ω0
= 2LC
rC+LR et Ω =ω0
s 1− 1
4Q2 . L’application des conditions initiales conduit à :
• i(0+) = 0 =Adonci(t) =B e−tτ sin(Ωt).
• didt(0+) =uL(0L+)=L1 E−uc(0+)−ur(0+)donc di dt(0+) =E
L . Ordidt=h−1τ sin(Ωt) + Ω cos(Ωt)iB e−τt, doncB=LΩE. Finalement i(t) = E
LΩe−tτ sin(Ωt) .
5. On mesure la pseudo-période sur les zéros montant du signal : 6T= 6,0 ms doncT= 1,0 ms.
Le signalur=riest un régime transitoire. Le décrément logarithmique peut être défini parδ= lnuur(tm)
r(tm+T)
oùtmreprésente un maximum (ou un minimum) du signal. En prenant les 2 premiers maxima, on obtient δ= ln0,420,21= ln 2,0 doncδ= 0,69.
6. On aur(tm+T) =rELΩe−tm+Tτ sin(Ω(tm+T)) =e−Tτ LΩrEe−tmτ sin(Ωtm) =e−Tτur(tm) car ΩT= 2π, donc δ=T
τ =2πω0
Ω2Q= π Q
1− 1
4Q2 −12
.
On inverse cette relation pour obtenir Q= s
1 4+π2
δ2 ≈4,6.
7. On en déduit ω0=2π T
1− 1
4Q2 −12
≈6,3×103rad.s−1.
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8.
L’oscilloscope mesure les différences de potentiel par rap- port à la terre. Il faut donc brancherla terre entre la bobine et la résistancercomme indiqué ci-contre par le symbole de masse, puis observer les signaux en mode XY après avoir appliqué une inversion sur la voie CH1 pour voiruret non−ur.
Toutefois cela n’est possible que si la sourceEest flot- tante (par exemple une pile ou une alimentation stabili- sée). Si c’est un GBF, l’une de ses bornes est déjà reliée à la terre donc certains dipôles seraient court-circuités.
Dans ce second cas la solution consisterait à isoler galvaniquement la sourceEdu reste du circuit avec un transformateur d’isolementou utiliser unesonde différentielle(sonde de tension avec un transformateur intégré).
9. Les 3 derniers portraits correspondent à des régimes pseudo-périodiques, le premier est apériodique donc ne convient pas. Compte tenu des conditions initiales, les portraits commencent sur l’axe des ordonnées.
Le 4ème ne tourne donc pas dans le sens horaire donc est impossible.Le seul portrait compatible est lec) compte tenu du nombre plus important de passages par 0, de même que l’ordre de grandeur du décrément logarithmique.
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