Le Processus Autorégressif d'Arrondi d'Ordre p ( RINAR(p) )

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Le Processus Autorégressif d’Arrondi d’Ordre p ( RINAR(p) )

Maher Kachour

To cite this version:

Maher Kachour. Le Processus Autorégressif d’Arrondi d’Ordre p ( RINAR(p) ). 41èmes Journées de

Statistique, SFdS, Bordeaux, 2009, Bordeaux, France, France. �inria-00386732�

M.Kahour

IRMAR, UniversitédeRennes1,Frane.

UMR 6626/ UniversitéRennes1

ampussientiquede Beaulieu

263Avenuede Général Leler

35042 RENNESCEDEX

Email :

maher.kahour@univ-rennes1.fr Tel :

00.33.(0)2.23.23.63 .9 8

Résumé : Nous présentonsle proessus RINAR(p)pourmodèliserdes séries temporelles àvaleurs

entières.LeRINAR(p)est basésurl'opérateurarrondi.ComparéauxmodèlesINAR(p)bienonnus

dans lalittérature, lenouveaumodèle possède plusieursavantages : une simplestruture d'innovation,

des oeients autorégressifsave des signesarbitraires, des possibles valeursnégatives pour les séries

hronologiques, des possibles valeurs négatives pour les fontions d'autoorrélation. Nous donnons les

onditionsdestationnaritéetd'ergodiitédumodèle.Pourl'estimationdesparamètres,nousonsidérons

l'estimateur des moindresarréset nous montronssa onsistane forte sousdes onditionsonvenables

d'identiabilité.

Abstrat : An extension of theRINAR(1) proess formodelling disrete-timedependent ounting

proesses is onsidered. Compared to lassial INAR(p) models based on the thinning operator, the

new models have several advantages : simple innovation struture; autoregressiveoeients with ar-

bitrary signs; possible negative values for time series; possiblenegativevalues for the autoorrelation

funtion. The onditions for the stationarity and ergodiity, of the RINAR(p)model, are given. For

parameterestimation,weonsidertheleastsquaresestimatorandweproveitsonsistenyundersuitable

identiabilityondition.

Mots-lés : Séries temporelles à valeurs entières, les modèles INAR, l'opérateur arrondi, le modèle

RINAR(p),l'estimateurdesmoindresarrés,laonsistane forte.

1 Introdution

Lessérieshronologiquesàvaleursentièressontfréquentesdanslapratique.Avantlandesannées80

detellesobservationsétaienttraitéespardesmodèlesréels(e.g.ARMA,VAR,ARCH,...)bienonnus

dans la littérature, sans tenir ompte de la nature entière de es observations. Plus tard, des auteurs

tel MKenzie [5℄ and Al-osh &^{Alzaid [1℄ ont introduit deslasses de modèlequi possèdent les mêmes}

propriétésquedesmodèlesréelsenrespetantlanaturedesobservations.Enpartiulier,nousprésentons

lalasseINAR.Ces modèlessontinspirésdeladynamique depopulationet sontbaséssur l'opérateur

binomiald'aminissement,noté◦^.

UnproessusINAR(p)est dénipar

Xt=a1◦Xt−1+a2◦Xt−2+. . .+ap◦Xt−p+εt, ∀t∈Z, ⁽¹⁾

où,pouri= 1, . . . , p,

ai◦Xt−i=

X_t−i

X

k=1

ξik.

Ii, pour tout i ∈ {1, . . . , p} ^and k ∈ N^{∗, la série de omptage} (ξik) ^{est une suite i.i.d. de variables}

aléatoiresdeBernoulliaveune probabilitédesuès ai^.Parsuite,ai◦Xt−i ^{est unevariableBinomiale}

ayantai ^etXt−i^ommeparamètres,ai◦Xt−i B(Xt−i, ai)^.

Ainsi,(εt)^{estune suitei.i.d.devariablesaléatoiresàvaleursdans}N^et indépendante detoutelesséries deomptage.

Nousdistinguonsdeuxspéiationsdiérentes.Chaquespéiationdépenddessériesdeomptage

hoisies.LemodèleINAR(p)-AAestintroduitparAl-osh&^{Alzaid[1℄oùsastruture}d'autoorrélation orrespondàelle d'unmodèleARMA(p, p-1)réel.Du&^{Li[2℄ (}1991^{)ontproposéun modèle,noté}

INAR(p)-DL,oùsastruture d'autoorrélationest lamêmequ'unAR(p)réel.

Les modèles INAR(p) ontplusieurs limites. Leur struture d'innovation est omplexe, dépendant

nonseulementdubruit(εt)^{,maiségalementdesvariablesdeomptage}(ξik)^,i= 1, . . . , p^.Lesoeients

autorégressifs sont limités à l'intervalle [0,1]^{. Dans le as d'un modèle INAR(1) par exemple, ette}

restritionexlutlesautoorrélationsnégatives.

Nousintroduisonslemodèlesuivant

Xt=h

p

X

j=1

αjXt−j+λi+εt, t∈Z, ⁽²⁾

où hxi ^{est la valeurarrondie d'unréel} x^{au nombre entier leplus prohe et} (εt)^{est une suite i.i.d. de}

variablesaléatoiresàvaleursdansZ^{telle que}E[εt] = 0^{.CemodèleestappeléRINAR(p).}

Cemodèlepossèdedenombreuxavantages.Sastrutured'innovationestsimple,généréeuniquement

parlebruit(εt)^{.Saprévisionàunpasestdonnéepar} XˆT+1 =E(XT+1|Xs, s≤T) =h

p

X

j=1

αjXT+1−j+λi, ⁽³⁾

quiestunevaleurentièreparonstrutiondumodèle.NousverronségalementquelemodèleRINAR(p)

peut produire des autoorrélationsaussi rihes que elles d'un AR(p) réel, yompris les autoorréla-

tionsnégatives.D'ailleurs,paronstrutionRINAR(p)peutanalyserdessérieshronologiquesavedes

valeursnégatives,unesituationqui n'estouverteparauunmodèleINAR.

LemodèleRINAR(p)estunegénéralisationdiretedumodèleRINAR(1)introduit parKahour

&^{Yao[4℄.Àlasuite,nousétudionslespropriétésdumodèleenpartiulierla}stationnaritéetl'ergodiité.

Dans leadrede l'estimation desparamètresnousproposons l'estimateurdes moindresarrés.À ause

de l'opérateur h·i^, l'identiabilité du modèle a un omportement non-standard. Ainsi, omme pour le RINAR(1),nousdistinguonsdeuxasdépendantdelanaturedesα^∗_j^{,lesvraiesvaleursdesparamètres} αj ^{dumodèleRINAR(p).}Finalement,nousmontronslaonsistanefortedel'estimateurdesmoindres arréspourlesdeuxas.

2 La stationnarité et l'ergodiité

ÉtudierleproessusRINAR(p)revientàétudierleproessus vetorielsuivant

Yt=









 Xt

Xt−1

.

.

.

Xt−p+1











=









 hPp

j=1αjXt−j+λi+εt

Xt−1

.

.

.

Xt−p+1











. ⁽⁴⁾

Le proessus (Yt) ^{forme une haîne de Markov homogène ave} E = Z^{p omme espae d'état et une}

probabilitédetransitiondéniepar

π(x, y) =P(ε1=y1− h

p

X

j=1

αjxj+λi) 11{y2=x1,...,y_p=x_p−1}, ∀x= (xj), y= (yj)∈E. ⁽⁵⁾

Nousrappelons,pourtout x= (x1, . . . , xp)∈R^p,kxk1=|x1|+. . .+|xp|^.

Proposition1. Supposonsque:

1. (Yt)^{est une haînede Markov} irrédutible; 2. pourunertaink >1^,E[|εt|^k]<+∞^;

3.

Pp

j=1|αj|<1^.

Alors

1. Le proessus (Yt)^{a une uniquemesure de} probabilité invariante µ ^{qui possède unmoment d'ordre} k^(i.e. µ(k.k^k1)<∞^).

2. Pourtouty∈E ^et f ∈L¹(µ) ^ona 1 n

n

X

k=1

f(Yk)−→µ(f), Py a.s.

oùPy ^{représentela} probabilité onditionnelle P(.|Y0=y)^.

3 L'estimation des paramètres

Soitθ= (α1, . . . , αp, λ)∈R^{p+1. Dansettesetion, noussupposonsque}θ ^{appartientàunespaede}

paramètresΘsous-ensembeompatde]−1,1[^p×R^.Nousnotons f(x;θ) =f(x1, . . . , xp;θ) =h

p

X

j=1

αjxj+λi.

Soitx= (x1, . . . , xp)∈R^{p,ondénitl'arrondiduveteur}x^parhxi= (hx1i, . . . ,hxpi)^.

Ensuite, lemodèleRINAR(p)peutêtreéritsouslaformesuivante

Yt=











f(Yt−1;θ) Xt−1

.

.

.

Xt−p+1









 +









 εt

0

.

.

.

0











=hM Yt−1+ξi+ηt=F(Yt−1;θ) +ηt,

où

θ= (M, ξ)^aveM =

α1. . . αp

Ip−1 0

, ξ=









 λ 0

.

.

.

0











, F(y;θ) =hM y+ξi, ∀y∈E ^et ηt=









 εt

0

.

.

.

0









 .

SoientX−p+1, . . . , X0, . . . , Xn^desobservationsduproessusRINAR(p).Pourl'estimationduparamètre

θ^{,nousonsidérons}l'estimateurdesmoindresarrésdénipar

θˆn:= arg min

θ∈Θϕn(θ), ⁽⁶⁾

ϕn(θ) = 1 n

n

X

t=1

(Xt−f(Yt−1;θ))²= 1 n

n

X

t=1

(kYt−F(Yt−1;θ)k1)². ⁽⁷⁾

Quelquesnotationset remarques sontnéessaires.Nous notons θ0 = (α^∗1, . . . , α^∗p, λ^∗)^{lavraie valeur}

desparamètresdumodèleet Pθ0 ^{représentela}distributiondeprobabilitésousθ0^.

Parlasuite,noussupposonsque,sousPθ0^{,leshypothèsessuivantessontvériées:}

(Yt)^estirrédutible;E[|εt|^k]<+∞^oùk≥2^;Pp

j=1|α^∗j|<1^etΘ^estompat.

Avantd'examinerl'identiabilitéduRINAR(p),nousrappelonslesrésultatsobtenusonernante

problèmepourleRINAR(1)[4℄.Soitα0^etλ0^{lesvraiesvaleursdesparamètresdumodèleRINAR(1).}

Àausedel'opérateurh·i^,nousdistinguonsdeuxas: Si α0∈R\Q^{,alorspourtout}θ∈Θ^nousavons

hαx+λi=hα0x+λ0i, ∀x∈Z⇔α=α0 ^etλ=λ0. ⁽⁸⁾

Si α0= ^p_q ^oùp∈Z^,q∈N^∗et p^andq ^{sontpremiersentreeux,alorspourtout} θ∈Θ^nousobtenons hαx+λi=hα0x+λ0i, ∀x∈Z⇔α=α0 ^etλ∈I0. ⁽⁹⁾

Ii, I0 ^{estunintervalleontenant}λ0 ^etdetaille 1 q ^ou

1 2q^.

RevenonsaumodèleRINAR(p),nousdistinguonsaussideuxas:

Si unaumoinsdesα^∗_j ^estirrationnel,alorsilest simpledevérierquel'équivalentdel'équation(8), pourunordrep >1^{,restevalable.Ainsi,poureasnousdonnonslethéorèmesuivant[3℄.}

Théorèm 1. S'il existe j ∈ {1, . . . , p} ^{tel que} α^∗_j ^{est un nombre} irrationnel. Alors l'estimateur des moindres arrésest fortementonsistant, i.e.

θˆn→θ0, Pθ0−a.s.

Maintenant, nous supposons que,pourtout j = 1, . . . , p^,α^∗_j = ^a_b^j

j

où aj ∈ Z^, bj ∈N^{∗ et} aj ^and bj

sontpremiersentre eux. Pourxer lesidéesnous onsidéronsle modèle RINAR(2).Notre but est de

montrerquel'étudeduproblèmed'identiabilitéduRINAR(2)estéquivalenteàelled'unRINAR(1)

oùα0^est irrationnel.Soity= (x1, x2)∈E=Z^2.Don, α^∗₁x1+α^∗₂x2= 1

b1b2

(a1b2x1+a2b1x2). ⁽¹⁰⁾

D'aprèslethéorèmedeBézout,nousavons

a1b2Z+a2b1Z=dZ, ^où d=a1b2∧a2b1. ⁽¹¹⁾

Alorsilexistex∈Z^telsque

α^∗1x1+α^∗2x2=α0x, ^où α0= d b1b2

. ⁽¹²⁾

Danslebutderesterdèleànosnotations,nousrérivonsα0 ^{sousformedefration}irrédutible

α0= d b1b2

=a

b, ^où a∈Z, b∈N^{∗ et} a∧b= 1. ⁽¹³⁾

Finalement,nousdonnonslethéorèmesuivantonernanteas[3℄.

Théorèm 2. Si, pour j = 1,2^, α^∗_j = ^a_b^j

j

où aj ∈ Z^, bj ∈ N^{∗ et} aj∧bj = 1^{. Alors} αˆn ^{est fortement}

onsistanttandis queλˆn ^{onvergevers unintervalle} I₀^{∗ ontenant}λ^{∗ etde taille 1}_b ^ou _2b^1.

[1℄ A. A. Alzaid andM. Al-Osh. First-order integer-valued autoregressive(INAR(1^{)) proess. J. Time}

Ser.Anal. ,8(3):261275,1987.

[2℄ J.-G. Du and Y. Li. The integer-valued autoregressive (INAR(p)^{) model. J. Times Ser. Anal.,}

12:129142,1991.

[3℄ M.Kahour.p-orderroundedinteger-valuedautoregressive(RINAR(p)^{)proess.Preprint,University}

of Rennes1,2008-2009.

[4℄ M. Kahourand J.F. Yao. First-order rounded integer-valued autoregressive(RINAR(1)^)proess.

Preprint,UniversityofRennes1,2008.

[5℄ E. MKenzie. Some simple models for disrete variate time series. Water Resoures Bulletin,

21(4):645650,1985.