Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨ unster, Sommersemester 2012
UBUNGEN ZUR VORLESUNG “DIE STEENROD-ALGEBRA” ¨
Blatt 4 ∗ , 02.05.2012
Definition. Sei A eine abelsche Gruppe und n ≥ 1. Ein Moore-Raum vom Typ (A, n) (oder ein Raum vom Typ M (A, n)) ist ein Paar (X, φ), wobei X ein punktierter CW -Komplex ist, mit reduzierter Homologie H m (X; Z ) = 0 f¨ ur m 6= n, und φ ein Isomorphismus H n (X; Z ) → A ist.
Aufgabe 4.1. Sei A eine abelsche Gruppe und n ≥ 1. Beweise die Existenz eines Moore- Raumes vom Typ (A, n). Unter welchen Bedingungen sind zwei Moore-R¨ aume vom selben Typ homotopie¨ aquivalent ?
Aufgabe 4.2. Sei A eine abelsche Gruppe und sei n ≥ 1. Sei X ein Raum vom Typ M (A, n) und sei Y ein Raum vom Typ K(A, n).
(a) Beweise die Existenz einer kanonischen Abbildung f : X → Y , bis auf Homotopie, die einen Isomorphismus auf H n (−; Z ) induziert.
(b) Unter welcher Bedingung induziert f auch einen Isomorphismus auf π n (−) ?
(c) Wenn n = 1, unter welcher Bedingung an A kann man X so w¨ ahlen, dass f ein π 1 - Isomorphismus ist ?
Aufgabe 4.3. Sei m ≥ 2. Wir w¨ ahlen den Abbildungskegel W 1 = C(m) einer Abbildung m : S 1 → S 1 von Grad m als Raum vom Typ M ( Z /m, 1), mit Isomorphismus H 1 (W 1 ; Z ) ∼ = Z /m von dem Erzeuger ι 1 ∈ H 1 (S 1 ; Z ) bestimmt. Wir k¨ onnen offensichtlich W n = Σ n−1 W 1 mit der Struktur eines Raumes vom Typ M ( Z /m; n) versehen, f¨ ur alle n ≥ 1. Ist X ein punktierter Raum, so definieren wir
π n (X; Z /m) = [W n−1 , X ] ∗
f¨ ur alle n ≥ 2. Bemerke, dass π n (X; Z /m) mit einer nat¨ urlichen Gruppenstruktur versehen ist, falls n ≥ 3 gilt (sie ist abelsch f¨ ur n ≥ 4). Die “Gruppe” π n (X; Z /m) (f¨ ur n ≥ 2) heißt die n-te Homotopie-Gruppe von X mit Koeffizienten in Z /m.
Beweise die Existenz einer na¨ urlichen kurzen exakten Folge
0 → π n (X) ⊗ Z Z /m → π n (X; Z /m) → Tor Z 1 (π n−1 (X); Z /m) → 0 f¨ ur n ≥ 5.
Aufgabe 4.4. Sei n ≥ 4, und sei W n ein Raum vom Typ M ( Z /2, n), wie zum Beisiel in der vorigen Aufgabe festgelegt. Beweise, dass wir einen Isomorphismus
π n+1 (W n ; Z /2) ∼ = [W n , W n ] ∗ ∼ = Z /4 haben. Was folgerst Du aus dieser Berechnung ?
Hinweis: Identifiziere die Abbildung 2id Wn mit
2 ∧ id : S 1 ∧ W n−1 → S 1 ∧ W n−1
und bestimme Sq 2 auf der Homotopie-Kofaser dieser Abbildung.
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