http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/la2-ss08.html Prof. St. Schwede
Sommersemester 2008 Dr. Ch. Ausoni
UBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA II ¨
Blatt 2
∗, 11.04.2008
Aufgabe 2.1. Sei K ein K¨ orper, n ≥ 1 und A ∈ M
n(K). Sei E
n∈ M
n(K) die Einheitsmatrix.
Beweise :
(a) F¨ ur m ≥ 1 ist E
n− A ein Teiler von E
n− A
m.
(b) Falls m ≥ 1 und A
m= 0 gilt, dann ist E
n− A invertierbar. Wie sieht (E
n− A)
−1aus ?
Aufgabe 2.2. Zeige : f¨ ur m, n ≥ 1 sind M
mn(K ) und M
mM
n(K)
als Ringe isomorph.
Aufgabe 2.3. Sei R ein kommutativer Ring. Beweise, dass det(AB) = det(A) det(B) f¨ ur A, B ∈ M
n(R) gilt.
Aufgabe 2.4. Sei λ, µ ∈ K und A
n= (a
ij) ∈ M
2n(K) die Matrix, die durch
a
ij=
λ falls i = j,
µ falls i + j = 2n + 1, 0 sonst
definiert ist. Berechne det(A
n).
Aufgabe 2.5. Sei n ≥ 1, und seien z
1, . . . , z
nkomplexe Zahlen. Wir definieren
A =
z
1z
2. . . z
n−1z
nz
2z
3. . . z
nz
1.. . .. . . .. .. . .. . z
n−1z
n. . . z
n−3z
n−2z
nz
1. . . z
n−2z
n−1
∈ M
n( C ) .
Beweise, dass
det(A) = (−1)
n(n−1)2y
1. . . y
nmit y
k= P
ni=1
ξ
nikz
i, wobei ξ
n= e
2πin.
Hinweis : Multipliziere A mit B = (b
k`), wobei b
k`= ξ
nk`∈ C .
Kennen Sie schon das Berufspraktische Kolloquium? In dieser Veranstaltungsreihe werden in Un- ternehmenspr¨ asentationen und Fachvortr¨ agen Berufsfelder f¨ ur Mathematiker beschrieben. Außerdem gibt es Workshops rund um die Themen Jobsuche und Bewerben. Einige der Veranstaltungen k¨ onnen in Hinblick auf ein Industriepraktikum auch f¨ ur Bachelor-Studierende interessant sein. Weitere Infos unter http://www.math.uni-bonn.de/people/welter/bk.html
∗
