Quotients

(1)

Universit´e Claude Bernard Lyon 1 2009-2010

QUELQUES REMARQUESEL´ EMENTAIRES SUR LES QUOTIENTS´

Ce texte passe en revue la notion de relation d’équivalence et de quotient de manière assez informelle, avec l’espoir de faire disparaˆıtre un certain nombre de difficultés liées à des notions qui restent souvent trop abstraites. L’observation de quelques dessins (cf. pages 2 et 8) peut aider à dépasser ce blocage...

Pour se convaincre que l’intérêt (voire de la beauté....) de la notion de quotient, on peut défendre l’idée qu’il s’agit d’une étonnante manifestation de notre capacité à transformer nos désirs en réalité : pour faire comme si différents éléments d’un ensemble étaient égaux, il suffit d’introduire une relation d’équivalence appropriée et de construire l’ensemble quotient : tous ces éléments deviennent effective- ment égaux !

1. Relation d’´equivalence et ensemble quotient

1.1. Relations d’équivalence et partitions — La notion de relation d’équivalence sur un ensemble E est rigoureusement équivalente à la notion de partition de E en sous-ensembles deux à deux disjoints.

(i) Si R est une relation d’´equivalence sur E, alors les classes d’´equivalence constituent une partition de E :

E=^[

x∈E

cl(x) et cl(x) = cl(y) ou cl(x) ∩ cl(y) = ∅

(on a not´e cl(x) la classe de x). Connaissant cette partition de E, il est facile de retrouver la relation R : xRy si et seulement si x et y appartiennent au mˆeme sous-ensemble.

(ii) Si F est une famille de parties de E constituant une partition, alors la relation binaire RF sur E d´efinie par :

xRFy si et seulement si (x et y appartiennent au mˆeme sous-ensemble dans F ) est une relation d’´equivalence dont les classes sont exactement les parties de E figurant dans F .

Avoir deux formulations différentes de la même notion permet de choisir le point de vue le plus adéquat dans un problème donné.

Exemples standard — (a) L’égalité est une relation d’équivalence et elle correspond à la partition de E en singletons : F = {{x} ; x ∈ E}.

(b) `A l’opposé, à la partition F = {E} (un seul sous-ensemble) correspond la relation d’équivalence brutale : pour tous x, y ∈ E, xRFy.

(c) Voici un exemple plus int´eressant. Soit f : E→ F une application de E dans un ensemble quelconque F. Pour tout y∈ F, on rappelle que la fibre de f en y est le sous-ensemble

f⁻¹(y) = {x ∈ E | f (x) = y}.

Il est manifeste que les fibres de f constituent une partition de E : E=^[

y∈F

f⁻¹(y) et f⁻¹(y) ∩ f⁻¹(y^′) = ∅ si y 6= y^′.

La relation d’´equivalence Rf correspondant `a cette partition est claire : xRfy si et seulement si f(x) = f (y).

1

(2)

Application — La situation (c) se rencontre souvent dans des problèmes de dénombrement. Si E est fini, on peut calculer le cardinal|E| de E en comptant le nombre d’antécédents de chaque élément de F, c’est-à-dire en calculant le cardinal des différentes fibres de f :

|E| =

∑

y∈F

| f⁻¹(y)|,

où | f⁻¹(y)| = |∅| = 0 si y /∈ f (E). On trouvera un exemple d’une telle situation au début des notes de Serge Parmentier intitulées Dénombrements : fiche de rappel, disponibles sur le site de la préparation.

1.2. Quotient — Le quotient E/R d’un ensemble E par une relation d’équivalence R est par définition l’ensemble des classes d’équivalence modulo R. On dispose d’une application naturelleπ : E→ E/R, appelée projection canonique, associant à x sa classe d’équivalence. C’est une surjection.

L’ensemble quotient E/R semble de prime abord plus compliqué que E puisqu’il s’agit d’un ensemble de sous-ensembles de E. C’est en fait l’inverse qui est vrai : vu que le passage de E à E/R consiste précisément à identifier tous les éléments équivalents — pour tous x, y ∈ E,π(x) =π(y) si et seulement si xRy — un certain nombre de propriétés de E tendent à disparaˆıtre en passant au quotient et E/R est généralement plus simple que E.

Exemple — Si E est une sphère avec un pôle nord et un pôle sud marqué et si F est la collection des parallèles (i.e. les cercles tracés sur E et centrés sur l’axe des pôles), alors le quotient E/RF est incon- testablement plus simple que E : il est en effet en bijection avec un segment via la fonction^≪latitude^≫. En d’autres termes : les parallèles sont précisément les fibres de l’application latitude.

E

*

* π

latitude

segment E/RF ≃

Observons également que remplacer E par E/R a pour effet de transformer la relation d’équivalence R en la relation d’égalité (des classes d’équivalence).

1.3. Propriété fondamentale du quotient — On peut interpréter la construction des ensembles quo- tients de la manière suivante :

toute relation d’équivalence R sur un ensemble E peut se réaliser comme la relation R_f associée à une application f : E→ F convenable.

Il suffit de poser F= E/R et f =π: en effet, par définition même, les fibres de la projection canonique π sont précisément les classes modulo R !

En pratique, on rencontre la plupart du temps la situation suivante : on dispose d’une relation d’´equiva- lence R sur E et d’une application f : E→ F, et l’on se demande s’il y a un lien entre les deux ; de mani`ere

équivalente, on cherche à comparer les deux relations d’équivalence R et R_f. La réponse est toujours donnée par le théorème suivant.

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Théorème fondamental — Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E et soit π: E→ E/R la projection canonique, faisant correspondre à tout x∈ E sa classe cl(x) modulo R.

Soit f : E→ F une application.

Si f est constante sur les classes modulo R, c’est-à-dire si f(x) = f (y) chaque fois que xRy, alors il existe une application f : E/R → F uniquement déterminée telle que f = f ◦π. En outre :

– l’application f est injective si et seulement si f prend des valeurs distinctes sur des classes modulo R distinctes ;

– l’application f est surjective si et seulement si f est surjective.

Démonstration. On définit f par f(c) = f (x) pour toute classe c modulo R et tout x ∈ c ; cela à un sens précisément parce que f(x) = f (y) quels que soient x, y ∈ c.

Par construction, ( f ◦π)(x) = f (π(x)) = f (x) puisque x ∈π(x) ; on a donc bien f = f ◦π. Cette identit´e se repr´esente plus visuellement sous la forme d’un diagramme

E ^f ^//

π

F

E/R

f

==

{{ {{ {{ {{

que l’on dit commutatif : les deux chemins possibles pour aller de E `a F, en l’occurence f et f◦π, sont

´egaux.

L’application f est injective si et seulement si f(π(x)) = f (x) 6= f (y) = f (π(y)) chaque fois que x et y ne sont pas équivalents, donc si et seulement si f prend des valeurs différentes sur des classes modulo R différentes.

Les applications f et f ont la même image, donc f est surjective si et seulement si f est surjective. Exemples — (a) La fonction ^≪latitude^≫de l’exemple 1.2 est constante sur les parallèles et elle prend des valeurs différentes sur des parallèles différents. Elle donne donc naissance à une application injective latitude entre l’ensemble quotient et R. On obtient une bijection si l’on remplace R par le segment image.

(b) Si E est un plan affine, sa direction −→

E peut être retrouvée en considérant le quotient de l’ensemble E× E par la relation d’équivalence

(A, B) ∼ (C, D) ⇐⇒ le quadrilat`ere ABDC est un parall´elogramme

(´equipolence). Je renvoie au deuxi`eme exercice de la fiche 1 pour une description de la structure d’espace vectoriel sur−→

E de ce point de vue.

(c) Angles orientés dans un plan vectoriel euclidien P — Notons U l’ensemble des vecteurs unitaires de P. On considère l’ensemble U× U des couples (u, v) de vecteurs unitaires de P, que l’on munit de la relation d’équivalence

(u, v) ∼ (u^′, v^′) ⇐⇒ ∃ρ∈ SO(P) |ρ(u) = u^′,ρ(v) = v^′ .

La classe du couple(u, v) est not´ee(u, v).[

Par ailleurs, étant donné un couple (u, v) ∈ U × U, on démontre qu’il existe une unique rotation r ∈ SO(P) telle que v = r(u). On déduit alors de la commutativité du groupe SO(P) que deux couples (u, v) et(u^′, v^′) dans U × U sont équivalents si et seulement si les rotations associées r et r^′ sont les mêmes.

Autrement dit, les classes modulo ∼ sont précisément les fibres de l’application f : U × U → SO(P), définie en associant à(u, v) l’unique rotation r telle que v = r(u).

Cette application est surjective : chaque rotation r∈ SO(P) est l’image du couple (u, r(u)), o`u u est un vecteur unitaire quelconque.

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v’

u’

u v

ρ

On en d´eduit une bijection

f : U× U/ ∼ −→ SO(P).

Le gain immédiat que l’on tire de cette construction est l’existence d’une structure de groupe commutatif sur l’ensemble A = U × U/ ∼, ce qui n’était certainement pas évident à la simple vue de la relation∼. La somme de deux classes(u, v) et[ (u\^′, v^′) est définie par la condition

f

[

(u, v) +\ (u^′, v^′)

= f ([

(u, v)) ◦ f (\ (u^′, v^′)).

On dit usuellement que l’on transféré la structure de groupe commutatif de SO(P) sur l’ensemble A via la bijection f . Il s’agit certes d’une construction abstraite, mais il est important de noter que l’on n’a pas eu besoin de choisir une base ou une orientation de P pour obtenir ce résultat. La loi de groupe ainsi obtenue sur l’ensemble A donne à la notion d’angle orienté toute sa puissance.

Pour calculer effectivement (u, v) +[ (u\^′, v^′), on note r = f (u, v) la rotation envoyant u sur v, r^′ = f(u^′, v^′) celle envoyant u^′ sur v^′. Par définition,(u, v) +[ (u\^′, v^′) est l’antécédent de r^′◦ r dans U × U/R.

r’ r

r’

u v

u^′ v^′ r’◦ r

w

Posons w= r^′(v). On a d’une part(v, w) =[ (u\^′, v^′), car f (v, w) = r^′= f (u^′, v^′), et d’autre part w = r^′(v) = (r^′◦ r)(u), donc f (u, w) = r^′◦ r. On obtient ainsi

(u, v) +[ (u\^′, v^′) =(u, v) +[ (v, w) =[ (u, w),[ ce qui d´emontre par la mˆeme occasion la relation de Chasles.

(d) (cf. Fiche 4, problème 2) SoitΠun plan affine euclidien et soit T l’ensemble de tous les triangles non plats de Π, c’est-à-dire l’ensemble des triplets (A, B, C) de points non alignés. On introduit une relation d’équivalence ∼ sur T en déclarant que deux triangles (A, B, C) et (A^′, B^′, C^′) sont équivalents s’il existe une similitude f ∈ Sim(Π) transformant le premier en le second : f (A) = A^′, f (B) = B^′ et

f(C) = C^′. Deux triangles ´equivalents en ce sens sont dits semblables.

On dispose d’autre part d’une application Θ: T → R³ associant à tout triangle (A, B, C) ses trois angles géométriques :

Θ(A, B, C) = ( dBAC, [ABC, [BCA).

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Le théorème classique disant que deux triangles sont semblables si et seulement s’ils ont les mêmes angles peut se reformuler en disant que les classes de similitude dans T sont précisément les fibres de l’applicationΘ:

(A, B, C) ∼ (A^′, B^′, C^′) ⇐⇒ Θ(A, B, C) =Θ(A^′, B^′, C^′).

D’après le théorème fondamental, on en déduit queΘinduit une bijection Θentre l’ensemble quotient T/ ∼ et l’image deΘ, laquelle est précisément l’ensemble des triplets(α,β,γ) de nombres réels stric- tement positifs tels queα+β+γ=π.

L’ensemble T/ ∼, que l’on vient d’identifier à l’intérieur d’un triangle dans R³, est manifestement plus simple que T ; ceci est mis à profit dans le problème 2 de la fiche 4 pour étudier une question d’optimisation sur l’ensemble de tous les triangles du plan.

2. Groupes et relations d’´equivalence

Les relations d’équivalence que l’on rencontre le plus souvent sont associées à des groupes.

2.1. Action d’un groupe sur un ensemble — Supposons qu’un groupe G agissent sur un ensemble E.

Rappelons que l’on peut exprimer cette notion en disant que l’on s’est donné un morphismeρ de G dans le groupe S(E) des bijections de E. Étant donné g ∈ G et x ∈ E, on note généralement g · x au lieu de ρ(g)(x) l’image de x par la bijectionρ(g) si cela ne crée pas d’ambiguité.

Il existe dans cette situation d’une relation d’´equivalence naturelle R_G,_ρsur E : xRG,ρy si et seulement s’il existe g∈ G tel que y = g · x.

La vérification du fait qu’il s’agisse bien d’une relation d’équivalence est instructive : – la transitivité découle directement de la multiplication (loi interne) dans G ;

– la réfléxivité provient de l’existence d’un élément neutre dans G ;

– la symétrie découle de l’existence d’un inverse pour chaque élément de G.

La classe modulo R_G,_ρ d’un élément x de E est l’ensemble de tous les éléments de E que l’on peut

´ecrire sous la forme g· x avec g ∈ G ; il s’agit par d´efinition de l’orbite de x sous G.

Interprétation — Il est bon de voir l’action d’un groupe G sur un ensemble E d’un point de vue dy- namique : les éléments de G définissent des transformations de E qui en ^≪déplacent^≫les éléments et l’orbite de x n’est autre que sa^≪trajectoire^≫. Ceci est parfaitement clair sur l’exemple suivant : E est un plan affine euclidien et G est le groupe des rotations de centre o∈ E, que l’on fait agir de manière naturelle sur E (c’est-à-dire : r· x = r(x)) ; l’orbite d’un point x sous G est alors le cercle de centre o qui passe par x.

Exemples — (a) Reprenons l’exemple 1.2. Le groupe des rotations autour de l’axe des pôles agit natu- rellement sur la sphère et les parallèles sont précisément les orbites.

(b) Reprenons l’exemple 1.3 (c). La relation d’équivalence que l’on a considérée sur l’ensemble U× U des couples de vecteurs unitaires est précisément celle provenant de l’action naturelle du groupe SO(P) sur U× U. L’orbite d’un couple (u, v) est donc l’ensemble de tous les couples (u^′, v^′) tels que(u, v) =[ (u\^′, v^′).

(c) Reprenons l’exemple 1.3 (d). La relation de similitude sur l’ensemble T des triangles (non plats) du planΠest la relation d’´equivalence provenant de l’action naturelle du groupe Sim(Π) des similitudes de Π.

(d) Soit Sym₂(R) l’ensemble des matrices 2 × 2 symétriques à coefficients réels. L’application GL2(R) × Sym₂(R) → Sym₂(R), (P, A) 7→^tPAP

(6)

d´efinit une action du groupe GL2(R) sur Sym₂(R) dont on sait d´ecrire les orbites. Il y en a exactement cinq, contenant chacune une et une seule des matrices suivantes :

0 0 0 0

,

1 0 0 0

,

1 0 0 1

,

−1 0

0 −1

et

1 0

0 −1

. Une façon de démontrer ceci est de considérer la forme quadratique

(x, y)A^t(x, y) = ax²+ 2bxy + cy² associ´ee `a une matrice A=

a b b c

∈ Sym₂(R) et d’appliquer l’algorithme de Gauß pour l’écrire comme une somme (ou une différence) de carrés.

C’est ce r´esultat qui sous-tend la classification affine des coniques (Fiche 2, exercice 10).

(e) Reprenons l’exemple précédent mais restreignons-nous maintenant à l’action du groupe orthogonal O₂(R) sur Sym₂(R) :

O2(R) × Sym₂(R) → Sym₂(R), (P, A) 7→^tPAP= P⁻¹AP.

Le fait de restreindre le groupe augmente le nombre d’orbites ; il y en a maintenant une infinité. On est encore en mesure de les décrire en utilisant le fait que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée :

(i) deux matrices A, A^′∈ Sym₂(R) sont dans la mˆeme orbite si et seulement si elles ont les mˆemes valeurs propres ;

(ii) chaque orbite contient une et une seule matrice diagonale diag(a, b) =

a 0 0 b

,

où a et b sont deux nombres réels vérifiant l’une des six conditions suivantes :

( 0 < b 6 a ), ( b < 0 < a ), ( a 6 b < 0 ), ( 0 = b < a ), ( a < b = 0 ), ( a = b = 0 ).

Pour d´eterminer l’orbite d’une matrice A, il suffit de calculer ses valeurs propres.

(f) (Plus difficile) Quel que soit le corps k, l’application

GL_n(k) × M_n(k) → M_n(k), (P, M) 7→ P⁻¹MP

définit une action du groupe GL_n(k) sur l’ensemble Mn(k) des matrices carrées n × n. On sait décrire les orbites lorsque k= C : deux matrices sont dans la même orbite si et seulement si elles ont la même décomposition de Jordan.

Cas particulier : deux matrices diagonalisables appartiennent à la même orbite si et seulement si elles ont les mêmes valeurs propres (comptées avec leurs multiplicités géométriques).

2.2. Classes modulo un sous-groupe, groupe quotient — Je me borne ici `a souligner quelques points importants et renvoie aux notes de Serge Parmentier sur les groupes (disponibles sur le site de la pr´eparation).

Soit G un groupe et soit H un sous-groupe. On note G/H l’ensemble des classes `a gauche gH, qui n’est autre que le quotient de G par la relation d’´equivalence

g∼ g^′⇐⇒ gH = g^′H⇐⇒ g⁻¹g^′∈ H,

et l’on d´esigne parπ: G→ G/H, g 7→ gH la projection canonique correspondante.

(i) La multiplication à gauche (resp. à droite) par g fournit une bijection entre H et gH (resp. entre H et Hg), donc toutes les classes modulo H, à gauche ou à droite, ont le même cardinal que H. En particulier : si G est fini, alors G est la réunion disjointe des|G/H| classes à gauche modulo H et donc

|G| = |G/H| · |H|

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(équation aux classes). On peut également voir cette formule comme un cas particulier de la formule générale de dénombrement mentionnée dans l’exemple 1.1 : la projection canoniqueπ est surjective et toutes ses fibres ont le même nombre d’éléments|H|.

(ii) Il est naturel de se demander si l’on peut déduire de celle de G une loi de groupe sur G/H. Pour que cela ait un intérêt, il faut évidemment que ces deux lois soient compatibles, ce qui revient à demander que l’application π soit un morphisme de groupes. Remarquons que, si elle existe, cette loi de groupe sur G/H est unique : en effet, si c et c^′sont deux classes à gauche modulo H, on peut écrire c=π(g) et c^′=π(g^′) avec g, g^′∈ G et alors, nécessairement cc^′=π(g)π(g^′) =π(gg^′) doit être la classe de gg^′!

La réponse est donnée par le résultat fondamental suivant (dont on trouvera par exemple la preuve dans les notes de Serge Parmentier, mais qu’il mieux de démontrer soi-même).

Théorème — Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) il existe une loi de groupe sur G/H telle queπsoit un morphisme de groupes ; (ii) la relation d’´equivalence∼ est compatible `a la loi de groupe :

si g₁∼ g^′₁et g₂∼ g^′₂, alors g₁g₂∼ g^′₁g^′₂;

(iii) les classes à gauche et à droite sont les mêmes : gH= Hg pour tout g ∈ G ; (iv) le sous-groupe H est distingué.

On dispose dans ce contexte d’un analogue du th´eor`eme 1.3 portant sur les morphismes.

Th´eor`eme — Soit G, G^′deux groupes et f : G→ G^′un morphisme de groupes.

(i) Le noyau Ker( f ) est un sous-groupe distingu´e de G.

(ii) Soit π la projection canonique de G sur G/Ker( f ). Il existe un unique morphisme de groupes f : G/Ker( f ) → G^′tel que f = f ◦π.

(iii) Le morphisme f est injectif. Si f est surjectif, alors f est un isomorphisme du groupe G/Ker(f) sur le groupe G^′.

Pour l’essentiel, la démonstration conciste à vérifier que les fibres de f sont précisément les classes (à gauche ou à droite, c’est pareil) modulo Ker( f ), puis que l’application f fournie par le théorème 1.3 est un morphisme de groupes.

Exemple : le groupe des isométrie du cube — Ce qui précède peut être mis en œuvre pour déterminer l’ordre (cardinal) du groupe G des isométrie d’un cube dans l’espace euclidien usuel. En considérant l’action sur les diagonales, on démontre qu’il existe un morphisme de groupes surjectif f de G dans le groupe symétrique S4dont le noyau est d’ordre 2 ; on en déduit :

|G| = |G/Ker( f )| · |Ker( f )| = |S4| · |Ker( f )| = 24 × 2 = 48.

Voir l’exercice 1 de la fiche 5 pour les d´etails.

2.3. Le cas des espaces vectoriels — Ce qui a été dit sur les groupes s’applique aux espaces vectoriels sur un corps (commutatif) k : la multiplication du groupe (resp. les sous-groupes ; resp. les morphismes de groupes) sont remplacés par l’addition des vecteurs (resp. les sous-espaces vectoriels ; resp. les applications linéaires). Tous les sous-espaces vectoriels sont distingués puisque l’addition est commutative.

Etant donn´e un espace vectoriel V et un sous-espace W, l’espace vectoriel quotient V/W a pour´

´el´ements les classes v+ W = W + v modulo W et

λ(v + W) +µ(v^′+ W) = (λv+µv^′) + W pour tous v, v^′∈ V etλ,µ ∈ k.

Il est important d’observer que ces classes ne sont pas autre chose que les sous-espaces affines de V de direction W, ce qui permet de visualiser tr`es facilement l’espace vectoriel quotient lorsque dim(V) 6 3.

La figure ci-dessous illustre le cas dim(V) = 3 et dim(W) = 2.

(8)

+ 0

W

W’

v + w’

v+W

Si W^′est un supplémentaire de W dans V, alors la restrictionπ|W^′ de la projection canoniqueπ: V→ V/W, v 7→ v + W à W^′induit un isomorphisme entre les espaces vectoriels W^′ et V/W : c’est en effet une application linéaire

– injective, car Ker(π|W^′) = Ker(π) ∩ W^′= W ∩ W = 0 ;

– surjective, carπ(v) = v + W = w^′+ W =π(w^′), où w est le projeté de v sur W parallèlement à W^′. Le choix d’un supplémentaire de W dans V peut ainsi être vue comme une réalisation de l’espace vectoriel quotient V/W dans V. Parce qu’il n’y a en général pas de manière naturelle d’effectuer un tel choix, il est souvent plus commode de travailler directement avec V/W.