Oscillations longitudinales d'un fluide (deuxième problème de Stokes)

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Second Problème de Stokes, Licence LPA, Année 2009-2010, Daniel Huilier

Source web :http://ielnx1.epfl.ch/e-lin/Ryhming/documents/chapters/documents_published/doc6/node191.html

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Oscillations longitudinales d'un fluide (deuxième problème de Stokes)

Considérons une plaque plane d'étendue infinie effectuant un mouvement oscillatoire dans son propre plan. A cause de la viscosité du fluide (adhérence des particules fluides à la paroi), des oscillations longitudinales sont engendrées dans le fluide au-dessus de la plaque. Dans ce cas, dp/dx = 0 et u = u (y, t) où y est l'axe vertical dans un repère d'inertie (figure ci-dessous).

La condition à la limite pour la plaque plane peut donc s'écrire u(0,t) = U.exp(iωt) où U traduit l'amplitude de la vitesse de la plaque et ω la fréquence angulaire des oscillations.

Pour ce problème, les équations de Navier-Stokes prennent la forme d’une équation parabolique de diffusion de quantité de mouvement :

2 2

y u t

u

∂

= ∂

∂

∂ ν (1)

On cherche la solution par la méthode de séparation des variables en posant

u = f(t).g(y) (2)

et on obtient

'' .

' k Const

g g f

f =ν = = (3)

d'où

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

2 / 1 3

2 / 1 2

1

exp exp

) (

) exp(

) (

ν ν

y k k C

y C

y g

kt C

t f

(4)

Etant donné que y→0 quand y→ ∞, la constante C3 = 0. Par conséquent,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

2 / 1 2

1 exp

) , 0

( ν

y k kt C

C t y

u (5)

Les constantes C1, C2 et k sont définies par la condition à la limite à la paroi. On obtient )

exp(

) ( exp )

, 0

(y t C₁C₂ kt U i t

u = = = ω (6)

d'où

ω i k et U C

C₁ ₂ = = (7)

(2)

2 La solution devient donc

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

2 / 1

exp )

,

( ν

ωt y ⁱω i

U t y

u (8)

où

) 1 2 (

exp 4 .

2 / 1 2

/ 1 2

/ 1

i i

i ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

ν ω π

ν ω ν

ω (9)

d'où

Par conséquent

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

2 / 1 2

/ 1

2 exp 2

) ,

( ν

ω ω ν

ω i t y

y U

t y

u (10)

On ne gardera évidemment que la partie réelle de la solution complète

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=U t y

t y u

2 / 1 2

/ 1

cos 2 2 .

exp )

,

( ν

ω ω ν

ω

Selon cette expression le fluide au-dessus de la plaque effectue un mouvement oscillatoire avec une amplitude qui diminue avec la distance à la plaque et un déphasage (voir figure).

Pour une distance caractéristique δ = (2ν/ω)^1/2, l'amplitude est amortie à de sa valeur à la plaque même. Il s'en suit que les oscillations du fluide sont limitées à une couche proche de la plaque. L'épaisseur de cette couche est d'ordre de grandeur

−1

e

. Le déplacement L longitudinal qu'effectue la plaque se calcule sur une période d'après

∫

⁼

= ^π ^ω

ω ω

2 /

0 cos( ) 2

2 U

dt t U

L (11)

On vérifie ainsi que le rapport δ/L devient

2 / 1 2

/ 2 1

/ 1 2 2

4 Re

2 ⎟ = ₋

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

UL U

L

ν ω

ω ν

δ (12)

où Re correspond au nombre de Reynolds basé sur la distance L. Par conséquent, l'effet de la viscosité est limité à une couche d'épaisseur relative inversement proportionnelle à la racine de Re.

(3)

3

Ceci donne également un exemple de la diffusion du vecteur tourbillon Ω dans l'écoulement au-dessus de la plaque (équation simplifiée de Helmholtz), voir l'exposé dans le livre de Ryhming. En effet, dans ce cas Ω = (0,0,Ωz ), où

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

∂ =

−∂

=

Ω ω δ

ω δ δ

δ

t y t y

y U

y u

z exp cos sin

Sur la plaque même, Ωz varie avec le temps selon l'expression . Ωz

devient donc zéro pour ωt = π/4, 5π/4, ... Pour ce temps particulier on obtient un profil de vitesse qui possède une pente nulle par rapport à y à la paroi (figure (b)), un fait qui se traduit également par une valeur τP = 0 à la paroi. La distribution de Ωz à la paroi est désormais diminuée dans la direction y de façon exponentielle due à la diffusion de Ωz dans la couche, dont l'épaisseur est de 0(δ). Cette couche contient une distribution significative de Ωz. Par rapport à une équation de Helmholtz déjà simplifiée

) t sin t (cos .

Uδ⁻¹ ω − ω

z z

z

y u x

t Dt

D = ΔΩ

∂ Ω + ∂

∂ Ω

=∂

Ω υ ν 2 (13)

ce cas correspond à une situation de diffusion pure, étant donné que les termes d'advection de Ωz représentés par les termes (vr.∇)Ωz sont nuls, et que v = (u,0,0) et Ωz = Ωz (0,y,0,t). Par conséquent, Ωz vérifie pour ce cas l'équation de diffusion pure

2 2

y t

z z

∂ Ω

= ∂

∂ Ω

∂ ν

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4 Ecoulement engendré par une plaque oscillante Figure a : Déplacement de la paroi

Figure b : Profils de vitesse à différents instants (paramètre n = ωt/2π)

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