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Submitted on 1 Jan 1990
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GÉNÉRATION DE SONS MUSICAUX NON-STATIONNAIRES PAR MODÈLES PHYSIQUES. APPLICATION AUX CORDES
VIBRANTES
A. Chaigne
To cite this version:
A. Chaigne. GÉNÉRATION DE SONS MUSICAUX NON-STATIONNAIRES PAR MODÈLES
PHYSIQUES. APPLICATION AUX CORDES VIBRANTES. Journal de Physique Colloques, 1990,
51 (C2), pp.C2-849-C2-852. �10.1051/jphyscol:19902197�. �jpa-00230513�
GÉNÉRATION DE SONS MUSICAUX NON-STATIONNAIRES PAR MODÈLES PHYSIQUES.
APPLICATION AUX CORDES VIBRANTES
A. CHAIGNE
Groupe Acoustique, Département Signal, TELECOM PARIS, 46 Rue Barrault, F-75634 Paris Cedex 13, France
Résumé - Cet article présente un modèle discret de vibrations libres de cordes basé sur des techniques de différences finies. Ce modèle prend en compte certains effets non-linéaires ainsi que l'interaction avec un excitateur. La discussion théorique porte sur les conditions de stabilité des algorithmes ainsi que sur l'utilisation d'un terme de densité de force, en mettant l'accent sur les transitoires, les transitions et les parties non-stationnaires du signal. Les performances de la méthode sont illustrées par une comparaison entre des signaux réels et les formes d'onde correspondantes obtenues par synthèse.
Abstract - In this paper a discrete model for the free vibrations of strings is presented. This model is based on finite differences techniques taking non-linear effects as well as the coupling with an exciter into account. Theoretical features of the algorithms are discussed, as far as stability conditions or the use of a density force term are concerned, with focus on transients, transitions and non-stationary parts of the signals. Real string vibrations and synthesized waveforms are compared highlighting the efficiency of the method.
1 - INTRODUCTION
En synthèse sonore musicale, l'une des alternatives consiste à générer des sons en résolvant les équations qui gouvernent le mouvement des structures vibrantes constituant les instruments. Dans certains cas particuliers il est possible de trouver analytiquement la solution et de discrétiser celle-ci. Mais,.outre le fait que cette méthode est relativement coûteuse en temps, elle se prête mal à la modélisation de ruptures entre états dynamiques qui forment l'essentiel de la phrase musicale. Par ailleurs, les équations non-linéaires conduisent rarement à des solutions analytiques. Partant de ce constat, l'idée déjà ancienne / l / consiste à élaborer un modèle discret en temps et en espace de la structure vibrante. Un tel modèle peut soit reposer sur une version discrétisée de la structure elle-même /2,3/, soit découler d'une discrétisation des équations continues /1,4/. Le choix de la complexité du modèle physique sous-jacent revêt une importance centrale. Mais, compte tenu d'impératifs liés par exemple au temps de calcul ou à la souplesse d'utilisation du programme, on peut être tenté de limiter cette complexité. On constate en effet que les divers systèmes disponibles à ce jour privilégient à des degrés divers soit l'un ou l'autre aspect de la description physique, soit encore telle ou telle performance sur le plan informatique. La technique de synthèse présentée ici utilise comme point de départ un modèle physique continu relativement développé de la corde vibrante 151 qui illustre notamment à quel point l'absence de concession quant à la complexité du modèle est nécessaire pour rendre compte de non-stationnarités prégnantes sur le plan perceptif. L'accent est mis tout particulièrement sur certains aspects non-linéaires du comportement vibratoire de la corde, ainsi que sur les discontinuités de régime. Ces investigations poussées sur la corde seule s'effectuent au détriment d'autres aspects essentiels du fonctionnement des instruments à cordes comme , par exemple, le couplage avec le résonateur et le rayonnement sonore que l'on ne pourra manquer d'aborder dans le futur si l'on veut prétendre produire des sons évoquant un instrument complet.
La discrétisation des modèles continus pose de nouveaux problèmes d'analyse numérique. Ruiz / l / a évoqué la question de la stabilité des algorithmes sans l'approfondir dans le cas des cordes réelles. Pour notre part, nous avons montré 151 dans le cas des cordes raides que le choix d'un schéma numérique n'est pas neutre sur le plan de la dispersion fréquentielle. Nous abordons ici tout d'abord le problème de la stabilité des schémas de différences finies pour la corde vibrante en régime de grande amplitude. Dans un deuxième temps nous présentons la technique retenue pour la modélisation des attaques et des transitions entre notes basée sur l'introduction d'un terme de densité de force 161. Nous renvoyons aux précédents articles /4,5/ pour la présentation des bases de la technique de discrétisation.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902197
COLLOQUE DE PHYSIQUE
2
-
CORDE VIBRANTE EN REGIME DE GRANDE AMPLITUDE.Si l'on néglige par souci de clarté les termes de raideur et d'amortissements sans que cela ne nuise à la généralité du propos, on montre /7"7 que les équations de vibrations libres bidimensionnelles de la corde dans les deux plans transversaux perpendiculaires xOy et xOz s'écrivent respectivement pour une corde de longueur L :
ytt = c2 yxx
+
(~1,212 L), [ bx2 + -2) dx 1
YXX (1)
On note dans la suite
h
--
cL2 / (2 c2) (3)où c est la célérité des ondes transversales et CL celle des ondes longitudinales, et
I(t) = ( 1 ( y 2
+
z.2) dxl'intégrale de couplage non-linéaire entre les polarisations y(x,t) et z(x,t). Pour des cordes de guitare usuelles en nylon, par exemple,
h
est compris entre 10 et 50 environ. En supposant, par ailleurs, que l'élongation maximale de la corde pincée à l'instant initial est égale à y~ au point d'attaque x = xo sous l'action d'une force Fo, on montre sans difficultés que la valeur maximale de 1 vaut alors sensiblementoù To est la tension de la corde au repos. Compte tenu des valeurs usuelles de ces divers paramètres, on peut estimer que le produit hl est compris entre 1 0 - ~ et l'unité, et iI est justifié de tenir compte de ce terme surtout au moment de l'attaque. Ce terme est par ailleurs responsable d'un accroissement de la tension qui s'écrit :
Les variations de la tension sont responsables de fluctuations lentes de la fréquence, particulièrement sensibles au cours des premières millisecondes dans le cas des sons percussifs. La figure 1, qui reprksente l'évolution temporelle de l'intégrale, met par ailleurs en évidence les fluctuations lentes de l'enveloppe de la forme d'onde résultant des échanges d'énergie entre les modes y et z. Ces deux types de non-stationnarités sont caractéristiques du fonctionnement non-linéaire de la corde en régime de &de amplitude.
En discrétisant (1) et (2) à l'aide d'un schéma de différences finies centrées 181, on montre que l'erreur de troncature (due au remplacement des dérivées continues par les premiers termes du développement de Taylor) est minimale à condition que
Par ailleurs, le système reste stable si r reste inférieur ou égal à cette même quantité. Etant donné que 1 évolue au cours du temps, cela signifie qu'il faudrait pouvoir modifier en permanence les pas de discrétisation en espace (Ax) et en temps (At) ce qui est irréalisable en pratique. La solution consiste donc à estimer une borne supérieure IM de l'intégrale, à l'aide de (5) par exemple, ce qui conduit à adopter pour r une valeur optimale, au vu des critères de précision et de stabilité. Ce paramktre est obligatoirement inférieur à 1 si l'on utilise un schéma de discrétisation explicite. En conséquence, on obtient une dispersion oscillante au cours du temps, ce qui signifie que les fréquences propres d'ordre élevé sont moins bien estimées 151. On peut s'affranchir de ce
termes de raideur et d'amortissements. La borne supérieure de l'intégrale est calculée par (S), ce qui conduit par exemple à une valeur de 0,0887 pour le facteur lorsque y~ vaut 1.84 cm, L = 65 cm, lorsque l'attaque a lieu à environ 24 cm de l'une des extrémités, et en adoptant une valeur de 25 pour
h.
Expérimentalement on trouve une valeur de 0,0853 pour ce même facteur, ce qui témoigne d'un accord satisfaisant avec l'expression approchée. h s termes supplémentaires ne modifient pas l'estimation de la borne de façon sensible. Sur environ 200 essais, avec des valeurs extrêmement variables pour les paramètres physiques de la corde, nous d'avons pas observé d'écarts supérieurs à 10 % entre la formule approchée et la valeur expérimentale de XIw3
-
DESACCORDS. ATTAOUES & TRANSITIONS.Parmi les autres causes de non-stationnarités à caractère musical, il en est une qui est facilement observable dans le cas des cordes vibrantes réelles et qui est due principalement aux imperfections des conditions aux limites. En effet, sous l'action d'un déplacement transversal ou latéral, la longueur vibrante de la corde est susceptible de varier légèrement au cours du temps. En excitation forcée, on observe des doublements de pics dont l'écartement fréquentiel varie avec le rang du partiel. Tout se passe comme s'il y avait juxtaposition de deux cordes légèrement désaccordées du fait d'un écart de longueur 6L égal à
Nous avons observé sur un banc de mesure des écarts relatifs de fréquence de l'ordre de 0,2 %, ce qui correspond à une variation de longueur de l'ordre de 1 millimètre dans le cas d'une corde de guitare (La = 110 Hz) de longueur égale à 65 cm. Cet écart très faible produit néanmoins de multiples battements simultanés de périodes lentes qui affectent les amplitudes et que l'on perçoit distinctement. Nous avons vérifié par la synthèse l'importance perceptive de ce phénomène en effectuant la somme de deux vibrations légèrement décalées en fréquence en jouant sur le paramètre r défini en (7).
La modélisation de l'attaque peut s'effectuer en étudiant le couplage mécanique entre deux smictures /3/. Nous avons choisi pour notre part de privilégier la description de la corde elle-même en adjoignant au second membre de l'équation des cordes idéales (ECI) un terme de densité de force fo(x,t). On obtient alors, en négligeant les termes de non-linéarité, de raideur et d'amortissement pour les besoins de la démonstration :
Ytt = T o Yxx + fo(xf)
où p = m / L est la masse linéique de la corde. En supposant I'attaque concentrée au point d'abcisse x = xo sous l'action d'un excitateur de masse M, on a
La solution de (9) dans le cas continu n'est pas triviale car il faut tenir compte, sur une corde de longueur finie, de toutes les ondes qui se propagent sur les deux segments ainsi délimités. il est néanmoins possible d'avoir une idée de la solution continue en négligeant ces régimes secondaires compte tenu de leurs amplitudes, hypothèse vérifiée a posteriori sur le modèle discret. Dans le cas simple où Fo(t) = Fo, on peut considérer que l'ensemble cordelexcitateur, uniquement constitué de termes massiques (p, M) et éIastique (To), forme un oscillateur harmonique de pulsation Q en régime libre jusqu'à l'instant de rupture du contact. Portant (10) dans (9), posant y(x,t) = Y(x) (A sinRt
+
B cosRt) puis en intégrant les deux membres sur toute la longueur de la corde, on trouveCOLLOQUE DE PHYSIQUE
Un ordre de grandeur de la durée d'interaction est donné par
qui correspond à l'annulation de la vitesse. Pour une corde de masse linéique p = 5 1 0 - ~ kglm et un excitateur de masse M = 10-2 kg, on trouve que ta vaut sensiblement 20 ms. En pratique, la durée observée sur la corde réelle est plus longue (typ. 40 ms) en raison de l'évolution temporelle de la force d'attaque.
Pour la modélisation des transitions entre notes on utilise le modèle précédent accompagné de discontinuités de longueur. On rappelle 141 que le fondamental f 1 de la vibration est donné par
où f, est la fréquence d'échantillonnage et n le nombre de pas d'espace. On fait varier n d'une note à l'autre par valeurs entières, et on effectue un réglage fin en jouant sur r. Les figures 2.a et 2.b permettent de comparer le signal-force capté à l'une des extrémités de la corde par une tête d'impédance B&K8001 et le signal synthétique obtenu à partir des paramètres physiques mesurés sur la même corde, dans le cas d'une attaque double.
Fig. 1
-
Evolution temporelle de l'intégrale de Fig.2-
Forme d'ondes pour un système non-linéarité. = 0.03 ; durée 800 ms; excitateur massique/corde. Attaque double.f i = 400 Hz;
h~~
= 0.05. L = 64 cm; p = 6lad
~ g / r n ; T~ = 77 N; ta = 40 ms;xo = 13 cm. a) corde réelle; b) synthèse.
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