Détermination des densités de charge d'espace dans les isolants solides par la méthode de l'onde thermique

HAL Id: jpa-00248561

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00248561

Submitted on 1 Jan 1991

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Détermination des densités de charge d’espace dans les

isolants solides par la méthode de l’onde thermique

A. Toureille, J.-P. Reboul, P. Merle

To cite this version:

J.

Phys.

III1

(1991)

111-123 JANVIER 1991, PAGE ii1

Classification

Physics

Abstracts

61.40K 77.50 72.20J 66.70

Dktermination

des

densitks

de

charge

d'espace

dans

les

isolants

solides

_par

la

mkthode

de

l'onde

thermique

A.

Toureille,

J.-P. Reboul et P. Merle

Laboratoire

d'Electrotechnique

de

Montpellier,

Universitb des

Scieilces

et

Techniques

du

Languedoc,

place

Eug6ne

Bataillon, 34095

Montpellier

Cedex 5, France

(Repu

le 2

fJvrier1990,

rJvbJ le19 juin 1990, acceptJ le ii octobre

1990)

Rksumk. Une nouvelle

mbthqde

non destructive, pour la mesure des densitbs de

charges

d'espace

dans les isolants

silides,

est dbciite. Cette

mbthode,

dite de l'onde

thermique

est

basbe _sur la diffusion,d'un front de chaleur

appliqub

h une des faces de

l'bprouvette

et sur la

dilatation non unifoime

qui

en rbsulte. A

pariir

de la rbsolution de

l'dquation

de la chaleur, nous

avins

_dtabli les relations entre le courant mesurb et les densitbs de

charges.

Nous

indiquons

ensuite _un

procbdb

de dbconvolution permettant de calculer ces densitds de

charge.

Quelques

rdsultats obtenus _par cette mdthode, sur des

plaques

de

polybthyldne

rbticulb et

polypropyldne

sont donnbs.

Abstract. A non-destructive method for the measurement of space

chargb

densities in solid

insulating

materials is described. This method called _« the thermal step

technique

» is concerned

with the diffusion of a step of heat

applied

to one side of the

sample

and with the

resulting

non-uniform thermal expansion. From the solution of the

equation

of heat, we have set up the

relations between the mea#ured durrent and the space

charge

densities. The deconvolution

procedure

leading

to these

charge deniities

is

presented.

Some results obtained with this method

on XLPE and

polypropylene

slabs are

given.

1. Introduction,

Dans les isolants Solides soumis I des contraintes

blectriques

blevbes,

un certain nombre de mbcanismes encore mal connus conduisent trds souvent I l'btablissement d'une

charge

d'espace

ill qui

rompt

la neutralitb

blectrique

de certaines

rbgions

de l'isolant. Cette situation

se maintient ou bvolue

lentement,

mdme

aprds

la coupure de la contrainte

blectrique

extbrieure

qui

lui _a donnb naissance. La

charge d'espace

accumulbe dans _ces

rdgions

_{a pour}

effet d'introduire une

rbpartition

non uniforme du

champ

blectrique

qui

accentue )es

phdnomdnes

de

ddgradation

et de vieillissement du matbriau et rbduit la durde de vie des

dispositifs

travaillant _sous tension dlevde _comme les cibles et )es condensateurs.

Depuis

quelques

annbes,

de nombreuses btudes ont donc dtb

entreprises

pour dlucider )es

mbcanismes

qui

rbgissent

l'btablissement de cette

charge

d'espace

afin de tenter d'en inhiber les _{processus ou}

d'agir

_sur ieur

cinbtique.

Mais _pour aborder ces

recherches,

il est

112 JOURNAL DE PHYSIQUE III M

fapon

I mettre en Evidence l'influence dventuelle de

chaque

facteur

physique

ou

l'aptitude

propre de

chaque

matbriau. Diverses mbthodes de mesure ont

ddji

dtd

proposdes.

Nous

rappelons

bridvement,

dans la deuxidme

partie

de _ce

travail,

)es

principales

d'entre elles.

Nous _avons,

quant

I _nous,

ddveloppd

et

perfectionnd

une nouvelle mdthode de mesure non

destructive,

dite de l'onde

thermique

_», dont nous avons

ddji prbsentd

les

premiers

rdsultats

[2-3J

et

qui s'applique

aussi bien I des structures

planes

telles que des feuilles ou des

plaques

d'isolant,

qu'i

des structures

cylindriques

cornrne les cibles

[4J.

La

description

compldte

de

cette mbthode et le

dbve19ppement

de la thborie _et des

calcu]s

qu'elle nbcessite,

dans le _cas de

structures

planes,

font

l'objet

de la troisidme

partie

de _ce travail.

Enfin dans la

qu£tridme

pariie,

nius

donndnl

qdelques

distributions de

charge

d'espace

mesurbes _par cette mdthode sur des

plaques

de

polybthyldne

rdticulb et de

polypropyldne.

2.

Principales

mkthodes de _mesure des

charges

d'espace.

,

Les

techniques

de courants stimulds

therrniquement

[5]

ont connu un vif succds et ont btb

longtemps

les seules I

apporter

quelques

renseignements

prdcieux

sur )es mdcanismes de

pibgeage,

de

ddpidgeage,

de recombinaison et de transport des

charges.

Malheureusement,

elles

permettent

difficilement la dbtermination

quantitative

des

charges

et encore

plus

difficilement leur

localisation,

mEme _en ambliorant leur

prbcision

[6J.

Les

premidres

tentatives concemant la localisation des

charges d'espace

sont dues I Collihs

[7J.

Sa mbthode consistait

i'appliquer

_une

imfiulsioi

de lumidre _{sur une} face mbtallisbe de

l'dlectret,

ce

qui

prodi(sait

une courte

impulsion

de

chaleur.,

La,

propagation

de cette

impulsion

de chaleur

ddplapait

la

charge

d'espace

et entrainait

dis

viriations

de

potentiel

entre

lej

faces de

l'dleitret.

Le calcul des densitds de

charge

d'espace

I

.pjrtir

des variations de

potentiel

esj

qrdq

et conduit I de

grandes

imprbcisions

[8J.

D'autres

mbthodes,

bashes _{sur un}

principe

analogue

et utilisant la

propagation

d'une onde

de

compression,

ont btb

dbveloppbes

par la suite. Plusieurs variantes ont dtb

proposbes.

Elles

se

distinguent

surtout par la

fapon

de

produire

l'onde de

cqmpression.

Initialement,

on a

utilisb _uq tube I onde de choc

[9],

puis plus tdrd,

des

iripulsions

laser

[10-11-12].

On s'est servi

bgalement

dei

itrpulsions

laser _pour

pjoduire

ies

bchauffements de courte

dbrbi

[13J

ou des

bchauffements modulbs

[f4].

Les lirrites des mbthodes

dbveloppbes

actuellement concernent :

Le

pouvoir

de

rdsolution,

_car la durbe des

impulsions

doit rester faible devant le

temps

de transit de la

perturbation

I travers

l'dpaisseur

de l'dchantillon.

La ddformation de

l'impulsion

dont il faudrait tenir _compte, surtout pour des

bchantillons

bpais

afin d'bviter

l'imprkcision

des rbsultats.

Les difficultds

d'btalonnage

qui

font _que les densitbs de

charge

d'espace

sont souvent

donnbes _en unitbs arbitraires.

Le-caractdre destructif de certaines

techniques

qui

engendrent'des

bchauffements et

provoquent

.la

disparition

des

charges

d'espace

suivant un processus de thermostimulation.

3. La mkthode de l'onde

therndque.

3.I

_{PRINCIPE. Consid6rons donc}

uke

_plaque

_d'isolant

_d'bpaisseur

consiante

_D,~

_placbe

entre deux blectrodes

planes

et

paralldles,

de surface

S,

relibes entre elles par un court-circuit

ou par un

appareil

de mesure du courant.

L'bpaisseur

D btant

petite

deyant

)es autres

dimensions,

l'btude s'effectuera suivant la direction _x

perpendiculaire

aux blectrodes

(moddle

unidimensionnel).

Soit une

charge

Qi

situde I l'intdrieur du

matbriau,

dans une couche

plane

infiniment

M I DETERMINATION DE CHARGES PAR ONDE

THERMIQUE

113

inflitence

totale,

cette

charge

Qi

induit,

sur )es

61ectrodes,

des

charges

images

Qii

et

Qi~

qui dbpendent,

entre autres, des distances x et D x,

La

pbnbtration

d'une onde de chaleur I

partir

de l'une des blectrodes et la dilatation

qui

l'accompagne.

fait varier les valeurs relatives de _ces distances et modifie

l'bquilibre

des

charges

images Qii

et

Qi~.

Cornrne par ailleurs la somme

Qii

+

Qi~

doit rester constante. Les

bchanges

de

charges

entre )es blectrodes se traduisent par un courant dans le circuit

extbriefir

que l'on

peut

mesurer et

enregistrer.

Si l'on

connait,

I

chaque

instant,

la valeur du courant et la

rdpartition

de la

tempdrature

dans

l'dchantillon,

on

peut

retrouver.la valeur de la

charge Qi

et sa

position

x, comme nous

allons le voir

plus-

loin.

I.2

_TECHNIQUi

D.OBTENTION D'UNE ONDE THERMIQUE CONTROLtE. La

propagation

d'une onde de chaleur

accompagnde

d'une dilatation

inhomogdne

peut dtre obtenue de la

fapon

suivante :

La cellule de

i~tisure

ltant

initialement I la

tempdrature

To,

I l'instant t =

0,

on

fait circuler

un

liquide

I la

tempdrature

Ti

>

To

dans un radiateur situd contre une des Electrodes

(source

chaude).

L'autre Electrode _{par sa masse} et son inertie

therrnique

est

supposde

constituer la

source froide.

L'amplitude

du courant dans le circuit extkrieur,et par suite la

prdcision

de la mbthode sont

directement

proportionnelles

k la difEdrence de

tempbrature

ATO = T~

To,

cornrne nous le

verrons dans la thborie

ddveloppde

ci-aprds.

Mais en

fait,

l'intervalle ATO doit se situer dans une zone off les courants thermostimulds et les courants de conduction sont

nbgligeables

ce

qui

se traduira par la

reproductibilitb

de 2 mesures faites successivement.

Pour notre btude sur le

polybthyldne,

nous avons choisi de

placer

la cellule de mesure dans

une btuve

rbfrigbrbe

I To =

-10°C et de faire circuler dans le radiateur d'blectrode _un

liquide

provenant

d'un rbservoir.I

tempbrature

ambiante

(T~

= +

20 °C

).

Nous obtenons

ainsi trds commodbment _une diffbrence de

tempbrature

de 30°C dans _une

plage

off le

polybthyldne

ne fournit pas de courants

thermostimulbs,

cornrne nous,avons eu l'occasion de

le vbrifier

[6-15J,

et ne

prbsente

pas, par

consbquent,

de

changements

de

phase.

Puisque

cette

opbration

ne

dbcharge

pas

l'6chantillon,

la mesure.n'est pas destructive. Elle

peut donc Etre recommencde I

n'importe

quel

moment, sit6t que l'ensemble a dtd I nouveau

refroidi I -10 °C.

Sur le

polypropyldne,

cette

plage

semble

dgalement

convenir

puisque

les rdsultats de

2 _mesures successives sont

reproductibles.

3.3 ETABLISSEMENT DE L'EXPRESSION

THiORIQUE

DU COURANT DANS LE CIRCUIT

EXTi-RIEUR.

3.3.I

HypothJses

et notations. L'ensemble de la cellule est

supposd

I la

tempdrature

uniforme _To. A l'instant t

=

0,

une source chaude de

tempdrature

T~

apparit

I l'abscisse 0

(origine

des

abscisses).

La

premidre

interface dlectrode-dchantillon est I l'abscisse _xo xo

reprbsente

une

bpaisseur

bquivalente

de matbriau entre la source chaude et la

premidre

face de l'bchantillon.

La deuxidme blectrode est I l'abscisse _xo + D.

La source froide est I l'abscisse L L _xo D

reprbsente

_une

dpaisseur

bquivalente

de

matbriau entre la deuxidme face de l'dchantillon et la source froide.

L'dquation

de la chaleur est :

a~Tlax~

=

WaTlat,

avec

W

=

pC

IA,

p dtant la masse

volumique

de

l'isolant,

C _sa chaleur

massique

et A sa conductibilitd

thermique.

Dans le

domaine de variation de la

tempdrature

choisi et pour ies matdriaux que.nous utilisons

l14 JOURNAL DE

PHYSIQUE

III M

On remarquera

qu'une

bpaisseur

x de matbriau ayant un

paramdtre

thermique

Wpeut

dtre

remplacb

_par une

bpaisseur

x' de matbriau

ayant

un

paramdtre

thermique

W',

sans que la

solution de

l'bquation

de la chaleur soit

modifide,

pourvu que

WI

W' =

(x'/x)~.

Il

n'y

a donc aucun inconvdnient I raisonner sur des

dpaisseurs

dquivalentes

constitudes du mdme matbriau isolant _que

l'bprouvette,

situbes de part et d'autre de

celle-ci,

de

fapon

h

homogbndiser

l'intervalle entre la source chaude et la source froide.

3.3.2 Solution de

l'dquation

de la chaleur duns le cas d'un Jchelon de

tempJrature

d'amplitude

ATO = T~

To.

Si I l'instant t =

0,

une source chaude de

tempbrature

Ti

appar#t

I

l'abscisse

0,

alors

qu'une

source froide maintient une

tempbrature

To I l'abscisse

L,

la rbsolution de

l'bquation

de la chaleur donne

l'expression

de la

tempbrature

en un

point

d'abscisse _x

comprise

entre 0 et

L,

soit

T(x, t)

=

To

+

ATO(I

x/L)

2(ATolar

)

jj

_(I

_In

_exp

(-

t/T~)

sin

(narx

IL)

(I)

i

~VCC T~ =

WL~/n~

ar~

(~)

3.3.3

Expression

-des conditions

Jlectriques

imposJes

au

systJme.

Pour une

charge

Qi

sitube dans _un

plan paralldle

aux

blectrodes,

I l'abscisse x, la condition d'influence totale

impose

_que la somrne des

charges

soit nulle :

Qll+Q12+Ql

"°.

La condition blectrodes _en court-circuit

impose

qUe

la circulation du

ihamp

blectrique

E _sur l'intervalle

(xo,

xo+D)

soit nulle

bgalement.

Par

ailleurs,

l'induction

blectrique

SE doit dtre constante en l'absence de

charges,

de sorte que l'on

peut

bcrire

sur l'intervalle

(xo,

x),

SE =

Qi

i

sur l'intervalle

(x,

xo + D

),

SE =

Qi

i +

Qi

=

Qi

~

Il

s'ensuii

_que

lx

(ile)

Qii.du+

~+D

(ile)(Qii

₊

Qi)du

=

o.

~

x

D'ofi l'on tire

~+D ~+D

Qii

=

-Qi

(lie)du'/

(lie)du

(3)

x

x

x ~+D

Qi~

=

Qi

(lie)

du/

(lie)

du.

(4)

~

~.

3.3.4 Prise en compte de

l'inflluence

de la

tempJrature.

A cause de la

dilatation,

)es

distances ou les

bpaisseurs

dbpendent

de la

tempbrature.

On bcrira donc

du

=

duo(I

+

aD(T

To)),

~y~ btant le coefficient de dilatation linbaire du matbriau dans la direction x et dans les

M

DtTERMINATION

DE CHARGES PAR ONDE

THERMIQUE

115

La

perrnittivitb

e

dbpend,

elle

aussi,

de la

tempbrature,

ce que l'on traduira par

e =

e~(1+ «~(T-

To)),

a~ dtant le coefficient de variation de

e avec la

tempkrature,

dans les conditions de

l'expdrience.

La

quantitd

du

Is

qui

intervient dans )es

expressions (3)

et

(4) s'dcrit,

au

premier

ordre,

en

posant

_{a~ a~} = a et T-

To

= d du

Is

m

duo(I

+ ad

)le~.

(5)

L'expression

(4)

devient alors _:

Qi~

m

Qi

(i/D)(x

J~)

i

+

(«

/(x

J~))

j~

o

duo

(«

ID)

j'~~~

o.

uo)

3.3.5

Expression

du courant.

L'expression

du courant

qui

apparaitra

dans le circuit

extkrieur,

dans

l'hypothdse

de la seule

charge

d'espace

Qi,

sera

1(t)

#

~Ql

2/~~

Soit

I(t)

=

Qi

(I

ID)

a

(ad

/dt) duo

((x

J~)

ID)

(ad

/dt)

duo

~~

~~~

Dans le cas d'une

charge

d'espace

de densitd

dquivalente

p

(x)

(tenant

compte

des

charges

libres et

likes),

rdpartie

dans

l'dpaisseur

du

matdriau,

on

remplacera

Qi

par

~+ D

S p

(x).

dx. D'ofi

l'expression

du courant total

~

1(t)

=

s«(i

ID

j~~~

p

(x)

j~

(ad

tat)

duo

((x

~)/D)

~°~~

(do

tat)

u~j

dx.

xo xo xo

Ce courant est de la forme

1(t)

= Sa

(I

ID

~~~

~ p

(x)

f

(x, t)

dx,

xo avec

f(x, t)

=

j~

(ad

tat).

duo

((x

xo)/D)

~°~~

(ad

tat).

duo.

xo ~

Il

s'agjt

d'une

bquation

intdgrale

off

p(x)

est l'inconnue et

f(x,

t)

le _noyau. 3.4 RiSOLUTION DE

L'iQUATION

INTLGRALE.

3.4.I

Changement

de variable. d

= T-

To

est une fonction

de _x et de t donnbe par la

relation

(I).

On en tire :

«

l16 JOURNAL

DE'PHYSIQUE

III M1

L'expression

de

f(x,

t)

devient alors :

f(x,

t)

= 2

ATO(I /WL)

£

exp(-

t/T~).

g

(x, n),

avec

g(x,

_n

)

= cos

(narxo

IL

)

_cos

(narx

IL

)

(x

xo)(I

ID

)

x

x

(cos (narxo

IL

)

cos

(nor

(xo

+ D

IL

))

Notons _{que pour} x = xo et x = xo +

D,

la fonction

g(x,~n

est nulle et par suite la fonction

f(x, t)

est nulle aussi. Cette remarque

permet

de

simplifier

le rbsultat d'une

intbgration

par

~ +D

parties

de la

quantitb

_p

(x).

f(x,

t),

dx off

p(x)

= a

(SE)

lax,

SE btant l'induction

~

blectriiue.

On obtient alors

1(t)

= Sa

(I

ID

)

~~~

SE.

(a

flax)

dx « Mais

al

lax

=

2

ATO(

II

WL)

£

exp(-

t

/T~).

ag

lax,

et par ailleurs :

ag

lax

= i

(nor

IL

)

sin

(narx

IL

)

₊

K,

K

quantitb

indbpendante

de _x. Donc _:

xo+ D

I(t)

=

Sa

(I

ID)

2

ATO(I/WL)

SEX

x~

x

£

(exp (-

t/T~)

((nor

IL)

sin

(narx

IL

)

+

K))

dx

Or,

au

premier

ordre,

Jb

+ D Jb + D SE. dx m e E. dx = 0 ,

(condition

de

court-circuit)

~

~

Il restera donc :

1(t)

=

(2

Sa

ATO/WLD)

j~~~

SE.

jj

(exp(-

t/T~).

(nor

IL)

sin

(narx/L))

dx.

(7)

xo

3A.2 Rdsolution _par les sdries de Fourier. Soit _une fonction

h(x),

dbfinie _sur l'intervalie

(0,

L),

dgale

I

eEle~

sur l'intervalle

(xo,

xo +

D)

et nulle ailleurs.

Dans

l'expression

(7),

il

n'y

_a donc _aucun inconvdnient I

remplacer

SE _{par e~}

h(x)

et k

btendre l'intervalle

d'intdgration

k

(0, L),

soit.:

IL

m

I(t)

=

(2

Sa ATO

e~/WLD)

h(x).

~j

(exp(-

t/r~).

(nor

IL)

sin

(narx/L))

dx.

0

On _{remarquera que} la valeur _moyenne de

h(x)

est nulle .sur l'intervalle

(xo,

xo + D en

raison du court-circuit et

qu'elle

est nulle

bgalement

sun l'intervalle

blargi (0,

L

).

En outre on a

h(x)

=

0 _pour x = 0 et pour x = L.

Dans ces

conditions,

la

dbiompositioh

en sbrie de

Fourier de la fonction

h(x)

peut

se mettre sous la forme

«

h

(x)

=

Eo ~j b~

M I

D#TERMINATION

DE CHARGES PAR ONDE

THERMIQUE

II?

En

remplapant

h

(x)

_par sa sdrie de Fourier dans

l'expression

de

I(t)

et en

ddveloppant,

on obtient des termes du

type

sin

(narx/L).

sin

(marx/L).

L'intdgrale

de ces termes sur

l'intervalle

(0,

L est nulle sauf

quand

n = m,

auquel

cas, elle vaut

L/2.

Ceci permet d'bcrire

«

1(t)

=

(arsa

ATO

Eo

e~/WLD).

~j

n.

b~.

exp

(-

t/r~),

ou encore :

I(t)

=

~jI~(t)

avec

I~ (t)

=

Io.

n b ~ exp

(-

t/r~

et I

o =

arsaEo

ATO

e~/

WLD

3.5 ETALONNAGE DU DISPOSITIF EXPtRIMENTAL.

3.5.I

Principe.

Dans la thborie

ci-dessus,

l'expression

du courant dans le circuit extbrieur

fait intervenir I la fois des

caractdristiques

du matbriau et des

paramdtres

lids I la cellule de mesure et aux conditions

expdrimentales

(a,

W,

xo,

L).

Ces

quantitbs

doivent dtre connues avec

prbcision.

Nous avons donc mis au

point

une mesure

d'btalonnage

permettant de les

dbterminer.

Cette mesure s'efEectue de

prbfbrence

sur

l'dprouvette

qui

doit dtre

btudibe,

avant de la

charger,

ou alors sur

une'6prouvette

identique.

Dans tous )es cas, il ne doit subsister aucune

charge

d'dspace

dans le matdriau. On s'en _{assure en}

appliquant

la mdthode de l'onde

therrnique

qui

_ne doit donner _aucun courant. Dans le cas

contraire,

l'dchantillon

court-circuitb est chauffd dans une

dtuve,

de

fapon

k le

ddcharger

compldtement

pal

thermostimula-tion.

L'dchantillon _se trouvant dans la cellule de _mesure et

ayant

dtd refroidi k 10

°C,

on lui

applique

un

champ

continu constant et

stable,

de l'ordre du

kv/mm.

Dans de telles conditions

d'expdrimentatioh,

ii _a dtd vdrifid

qu'il

n'y

a pas

d'injection

de

charges

et que

l'bprouvette

se

comporte

comme un condensateur

plan

ayant

une tension constante I ses

bornes,

c'est-k-dire

que toute la

charge

est localisbe aux interfaces isolant-blectrodes.

On

applique

l'dchelon de

tempdrature

dans )es conditions habituelles de la mbthode et on

enregistre

le courant

qui

se met k circuler dans le circuit

extbrieur,

entre

l'bprouvette

et la source de tension,

3.5.2

Expression

du courant

d'Jtalonnage.

Soit C la

capacitb

de

l'bprouvette.

Cette

capacitb

peut dtre considbrbe _cornrne la _somme de condensateurs blbmentaires

d'bpaisseur

du,

placbs

en sbrie. On a donc

l~

+ D

I

/C

=

(lies)du.

~

En

remplapant

du

Is

_par

l'expression

(5),

on obtient :

xo+D

I/C

m

(lle~

S)(I

+

ad)

duo,

x~

ce

qui

donne :

Jb

+D

C

m

Se~ ID

(Se~ ID

~) a

p

duo.

l18 JOURNAL DE PHYSIQUE III M

La

charge

de cette

capacitb,

sous la tension constante

V,

vaut CV d'ofi

l'expression

du

courant mesurb dans le circuit extbrieur

~+D

I~(t)

= V.

aC

tat

=

(Se~

a

V/D~)

(ad

tat). duo

~

En

remplapant

ad

tat

par son

expression

tirbe de

(6),

on obtient :

I~(t)

=

2

ATO

Se~

a

V(I

/WLD~)

x x

(

exp

(-

t

/r~)

(cos (narxo

IL

)

cos

(nor (xo

+ D

)

IL

))

Posons

I~o = 2 A

To

Se~

a

VI

WLD~

_et

c

~ = cos

(narxo

IL

cos

(nor (xo

+

D

IL

)

On a alors :

I~(t)

=

I~o

£

c~ exp

(-t/r~).

(8)

3.6 MtTHODE DE TRAITEMENT

NUMLRIQUE

ET VLRIFICATION DES RtSULTATS. Le

courant dans le circuit extbrieur est mesurb par un blectromdtre

Keithley

610 C dont la sortie

analogique

fournit _une tension maximum de 3 volts _pour le maximum de, dbviation de

l'appareil.

Une carte

analogique-numbrique,

k

plusieurs

entrbes,

permet

d'bchantillonner le

signal

de sortie de l'dlectromdtre ainsi _que )es

signaux

fournis _par des ddtecteurs de

tempdrature

signalant

l'arrivde du

liquide

dans le radiateur

(repdrage

de l'instant t =

0).

Ces

signaux

sont

enregistrbs

sur un

ordinateur,

puis

ils sont

repris

et traitds en tenant compte de la thborie

ddveloppbe

ci-dessus.

Nous avons vu que )es courants

obtenus,

aussi bien dans la mesure que dans

l'btalonnage,

sont des sornrnes de termes

exponentiels

off interviennent des constantes de temps

qui

dbpendent

toutes de _ri

qui

est la

plus grande

ri =

4 _r~

= 9 r~,.. ,

etc.,

d'aprds

la relation

(2).

La dbtermination de ces constantes de

temps

ne

prbsente

pas de difficultbs

puisque

ri peut dtre calculbe avec

beaucoup

de

prbcision

par l'btude de la dbcroissance.du courant

lorsque

t est

grand.

Pour le courant

d'btalonnage,

on a ainsi

I~(t)

m

I~o

ci exp

(-

t/ri)

Pour nos bchantillons dont

l'bpaisseur

est de 2 mm, nous avons trouvb des valeurs de

ri de l'ordre de 10 secondes.

Avec _une valeur aussi

grande

de _ri, le nombre des coefficients _c~

qui

peuvent dtre

dbterminbs est

important.

En

effet,

le temps de

rbponse

de notre ddtecteur btant de

20millisecondes,

)es terries dont la constante de

temps

r~=

Ti/n~

est

supdrieure

I

20 millisecondes sont

pris

en compte par

l'appareillage

et leur contribution

apparait

dans la

courbe

expdrimentale

du courant. Ceci

correspond

environ I une

vingtaine

de termes, I

condition toutefois que leur

amplitude

soit

supbrieure

au bruit de fond des

appareils

qui

est de

l'ordre de

0,05picoampdre.

On arrive h dbterminer une

quinzaine

de coefficients

c~ de la sbrie de Fourier dans

l'expression

du courant

(8),

en utilisant un

algorithme

rbpbtitif

convergent

qui

permet

de retrouver la courbe

expbrimentale

avec

prbcision

en faisant une

M I

DtTERMINATION

DE CHARGES PAR ONDE

THERMIQUE

119

c~ et de _ri servent I dbterminer _xo,

L,

Wet _a. On notera que nous avons

beaucoup plus

d'dquations

que

d'inconnues,

ce

qui

permet

de vdrifier l'exactitude de la thdorie.

Pour traiter le courant

expdrimental

donna par un dchantillon renfennant de la

charge

d'espace,

la mbthode est

analogue.

On reconstitue le

signal

par une somme de terries

exponentiels

dont )es constantes de

temps

sont _connues, en commenpant par la fin de la

courbe,

off intervient seulement le terme en ri,

puis

en remontant le temps et en

rajoutant

les

contributions successives relatives _aux termes en r~, r~,

..., r ~,

jusqu'i

la limite

significative

imposbe

par )es

appareils

de mesure. On obtient

ainsi,

suivant

l'amplitude

du

signal

mesurb,

et

l'bpaisseur

de l'bchantillon entre 12 et 18 coefficients

b~.

La fonction

h(x)

est donc reconstitube _par les 12 _ou 18

premiers

termes de sa

dbcomposition

en

sbrie,

ce

qui

donne une

prbcision

suffisante,

sauf aux endroits off la fonction

prdsente

des discontinuitds _ou des variations

brutales,

ce

qui

est le cas sur les blectrodes.

Les valeurs de _p

(x)

sont dbduites par dbrivation de

h(x).

A

partir

de la densitd

p(x)

qui

est ainsi

ddtermin6e,

une simulation que nous avons

bgalement

mise au

point,

reconstitue le courant

thborique

I~(t).

que cette densitb

p(x)

donnerait;

si _on lui

appliquait

l'bchelon de

tempdrature

d,

dans )es conditions de

l'expdrience.

La concordance entre le courant simuld et le courant

expkrimental

est la

meilleure _preuve de la

prdcision

des rbsultats et de l'efficacitb de la mdthode de

ddconvolu-tion.

Afin de vbrifier la validitb de la

mdthode,

l'onde

therrnique

a btb

appliqube

tour h tour des

2 c6tbs de l'bchantillon ainsi )es distributions trouvbes ont pu dtre contr61bes.

4. Rksultats sur des

plaques.

Nous _avons

appliqub

la mdthode de l'onde

thermique

que nous venons de

ddcrire,

I des

plaques

de

polydthyldne

rdticuld

chirniquement

(PRC)

et de

polypropyldne

(PP)

que nous avions

prdalablement

polarisdes

».

Les

dimensions,

)es conditions de

polarisation

et de conservation des

bprouvettes

sont )es

suivantes

Plaques

carrbes de 20 _cm de c6tb.

Epaisseur

de l'isolant

(entre

blectrodes)

D

1,5

I 4 _mm.

Nature des blectrodes

disques

de

polymdre

semiconducteur de

0,20

mm

d'bpaisseur

et

40 mm de

diamdtre,

appliqubs

I chaud au centre de la

plaque.

Champ

de

polarisation

_E~

10

kV/mm.

Temps

d'application

_t~: 3

jours.

Tempbrature

de

polarisation

_T~ : 70 °C.

Conservation des

bprouvettes

en court-circuit et h

tempbrature

ambiante

aprds

polarisation,

pendant

un temps t~, avant de faire la mesure.

Les

figures

I et 2 donnent )es

rbpartitions

respectives

de la densitb de

charge

d'espace

et du

champ

blectrique

qui

subsistent dans

l'bpaisseur

d'une

plaque

de PRC

(1,80 mrn),

la cathode dtant I _x

= 0 avec t~~ = 3

jours.

On _remarque la

prksence

d'homocharges

prds

de la

cathode,

suivie d'une couche de

signe

contraire,

alors

qu'i

l'anode _peu de

charges

apparaissent.

Les

figures

3 et 4 donnent les

rbpartitions

respectives

de la densitd de

charge

d'espace

et du

champ

blectrique

qui

subsistent dans

l'bpaisseur

d'une

plaque

de PP

(4,0 mm),

la cathode btant I _x

=

0 avec t~ =

2 heures. '

Bien

sitr,

en fonction de t~ croissant les

charges

disparaissent

par recombinaison comrne

nous avons pu le vbrifier ; mais ce

phbnomdne

est si lent

qu'il

ne donne pas de courant

120 JOURNAL DE

PHYSIQUE

III M ~c/N3 300 iso iso -3oo , ig. I. - istribution mrn

3

ours 70 °C.Cathode h x ₌ 0

et

_anode

_h

_x

₌

1,80

Distribution of space density obtained

in 1.8 mm thick

sample

for

a short

circuiting

time

t~ = 3 days.

: plied

oltage 18 kV uring 3 days at

70

C. Cathode

M I

DtTERMINATION

DE CHARGES PAR ONDE

THERMIQUE

121 zCAN3 1000 soo o -soo -iooo 2 4 Rm

Fig.

3. Distribution de

charge d'espace

dans un bchantillon de PP

~polypropyldne)

bpais

de 4,0 mm

conservb 3

jours

en court-circuit ; conditions de formation

voltage

appliqub

40 kV pendant 3

jours

h

70 °C. Cathode h x = 0 et anode h x = 4,0 mrn.

Stockage

h l'ambiante.

[Distribution

of space

charge density

obtained in a 4.0 mm thick PP

sample

for a short

circuiting

storage

time t~ =

2 hours.

Forming

conditions

Applied

voltage

40 kV

during

3

days

at 70 °C. Cathode at

x =

0, Anode at x =

4.0 _mrn.

Storage

at room temperature.]

KV/N

sooo

o

-sooo

0 2 4

Fig.,

4. Distribution du

champ

dlectrique

dans un bchantillon de PP

bpais

de 4,0 mm conservk 3

jours

en

cjurt-circuit

; conditions de formation

voltage

appliqub

40 kV

pendant

3

jours

h 70 °C. Cathode h

x =

0 et anode h x = 4,0 mm. Stockage h

l'ambiante.

[Distribution of electric field obtained in _a 4.0 _mrn thick PP sample for _a short

circuiting

storage time

t~=2

hours. >Forming conditions: Applied voltage 40kV

during

3

days

at 70°C. Cathode at x =

122 JOURNAL DE

PHYSIQUE

III M

Sur ces 2

exemples,

on note la

prbsence

de zones successives de

signes

contraires des

alternances de

rbgions positives

et

nbgatives

ont dtd trouvbes rbcemment dans des dlectrets de

cire par un autre auteur

[16] qui

a utilisb une mbthode tout I fait diffbrente.

La

figure

5 donne un courant

expbrimental

mesurb et le courant simulb en

partant

des rbsultats trouvbs pour la densitb de

charge.

La concordance entre )es deux courbes confirme la

validitb de notre mbthode de dbconvolution et la

prbcision

des rbsultats.

~ msnr6 Vi ~ liecalcu16 2o o -ao -40 o a-E 5 7.5 sEc

Fig.

5.

Comparaison

entre le courant mesurb et le courant calculb h

partir

de la distribution trouvde

dans un bchantillon de PRC de 1,50 mm

d'bpaisseur.

Conditions de formation tension de 30 kV

pendant

2

jours

I 70 °C, conservation en court-circuit 8

jours

I l'ambiante.

[Comparison

between the measured current and the theoric one calculated -from the space

charge

distribution found in a 1.50 nun thick ARC

sample.

Forming

conditions 30 kV

during

2

days

at 70 °C

the short circuiting storage time is 8

days

at room

temperature.]

5. Conclusion.

Nous venons de dbcrire la mbthode de l'onde

thermique

que nous avons mise au

point

et

perfectionnbe

ces deux dernidres annbes. C'est une mbthode

simple

dans son concept et peu

cofiteuse dans sa rbalisation. Une

partie

importante

du travail a rbsidd dans le

ddveloppement

de relations

mathdmatiques

exploitables

entre le courant mesurb et les densitbs de

charge

d'espace.

L'autre

partie

importante

du travail a consistb h

dbvelopper

des

logiciels

adaptbs

au

traitement

numbrique

de dbconvolution d'une

bquation

intbgrale

faisant intervenir

l'bquation

de la chaleur. Ce5

logiciels

permettent

d'obtenir la densitb de

charge

_p

(x)

dans un isolant I

partir

du courant

I(t)

que

produit,

dans le circuit

extbrieur,

la diffusion d'un front

thermijue

dont )es

caractbristi(ues

sont dbterminbes par unb mesure

d'btalonnage.

Par

ailleurs,

une fois

la distribution de

charge

_p

(x)

calculbe,

_ces mimes

logiciels

permettent une vbrification de la validitb des rbsultats en recalculant le courant

(simulb)

que

produirait

la diffusion du front

thermique

considbrb,

sur cette distribution de

charges.

Il doit y avoir coincidence entre le

M I DtTERMINATION DE CHARGES PAR ONDE

THERMIQUE

123

Cette mbthode est

particulidrement

bien

appropride

aux Etudes d'dvolution de la

charge

d'espace

likes _aux

probldmes

de vieillissement des

isolants,

puisqu'elle

est non destructive.

Son

application

I des structures en vraie

grandeur

comrne les cibles a

ddji

dtd

entreprise

[17J.

Bibfiographie

[lJ CROITORU Z.,

Space

Charges

in Dielectrics, Progr. Dielectr. 6 (1965) 105.

[2] TOUREILLE A., 2~ Conf. int. JICABLE Versailles, Sept. 1987, _p. 98.

[3] TOUREILLE A., REBOUL J. P., Communication, 6th

Symp.

on Electrets

(ISE

6, oxford)

Sept.

1988.

[4] TOUREILLE A., REBOUL J. P., SIMON C., Communication, 32~ Conf. Int. Grands Rbseaux Electr.

(C.I.G.R.E.,

Groupe

21, H. V. Insulated Cables, Paris)

Sept.

1988.

[5] VAN TURNHOUT J.,

Thermally

Stimulated

Discharge

of

Polyethylene

Electrets

(Elsevier,

Amster-dam)

1975.

[6J REBOUL J. P., TOUREILLE A., J.

Polym.

Sci.,

Polym. Phys.

Ed. 22

(1984)

21.

[7J COLLINS R. E.,

Appl. Phys.

Lett. 26

(1975)

675.

[8J VON SEGGERN H., Appl. Phys. Lett. 33 (1978) 134.

[9J LAURENCEAU P., BALL J., DREYFUS G., LEWINER J., C. R. Acad. Sci. Paris B 283 (1976) 135.

[10] ROSNO A. G., GROMOV V. V., Pis ma V. Zh. T. Ph. (USSR) 5

(1979)

648.

[I I] ALQUIE C., DREYFUS G., LEWINER J.,

Phys.

Rev. Lett. 47

(1981)

1483.

[12] SESSLER G. M., WEST J. E., GERHARD R.,

Polym.

Bull. 6

(1981)

109.

[13] DE REGGI A. S., GUTTMAN C. M., MOPSIK F. I., DAVIS G. T., BROADHURST M. G., Phys. Rev.

Lett. 40

(1978)

413.

[14] LANG S. B., DAS-GUPTA D. K., Ferroelectrics 60

(1984)

23.

[15] TOUREILLE A., REBOUL J. P., Communication, Joumbes d'Etudes de la SEE (Isolants

Electriques,

Gif-sur-Yvette)

6 et 7 _mars 1985.

[16] KACPRzYK R., J. Electrost. 22

(1989)

95.

[17] TOUREILLE A., SABIR A., REBOUL J.P., BERDALA J. et MERLE P., Rev.

Phys. Appl.

25

(1990)