L.Nasrallah Le 31 /03/2016
Durée : 2H
Devoir de contrôle N°3 Mathématiques
Classe : 4
émeEco 3 Prof :BenTaiebLotfi
Exercice 1 : ( 4 points)
Choisir la bonne réponse
1)Soit la suite (U
n) définie sur IN par U
n= -1 + (0,9)
nlim U
n𝑛→+∞
= a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0,9
2) Soit X une variable aleatoire qui suit la loi binomiale de parametres n = 3 et p =
23Alors la variance V(X) = a) 2 b)
23c) 3 d)
433) lim
𝑥→+∞
x - e
x= a) + ∞ b) -∞ c) 0 d) 1 Exercice2 : (7 points)
Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = x-1+ e
x1)a. Calculer lim
𝑥→−∞
f(x) et lim
𝑥→+∞
f(x).
b. Montrer que lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) –(x-1) = 0. Interpréter le résultat graphiquement.
c. Montrer que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
=+∞. Interpréter le résultat graphiquement.
2)a. Montrer que f est dérivable sur IR et que f’(x) = 1 + e
xb. Dresser le tableau de variation de f.
3) Donner l’équation de la tangente T à ζ au point d’abscisse 0.
4) Tracer T et ζ dans un repère orthonormé (O,𝑖⃗, 𝑗⃗)
5) a. Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
b. Tracer ζ ‘ de la fonction f
-1dans le même repère.
Exercice 3 : ( 6 points)
Soit (U
n) la suite définie par u
0= 0 et pour tout n ∈ 𝐼𝑁, U
n+1=
𝑈𝑈𝑛−1𝑛+3
1)a. Montrer par récurrence que U
n> -1
b. Montrer que la suite U
nest décroissante.
c. Déduire que la suite U
nest convergente.
2) Soit lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛= L. Vérifier que L=
𝐿−1𝐿+3puis déterminer L.
3) Soit (V
n) la suite définie sur IN par V
n=
𝑈1𝑛+1
a. Montrer que V
nest une suite arithmétique de raison
12et donner son premier terme v
0b. Exprimer V
npuis U
nen fonction de n.
c. Déterminer lim
𝑛→+∞
𝑉
𝑛puis lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛. Exercice 4 : ( 4 points)
Soit (U
n) la suite définie par u
0= 1 et pour tout n ∈ 𝐼𝑁, U
n+1=
1+2𝑈𝑈𝑛𝑛
1)a. Calculer U
1et U
2.
b. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ IN, U
n> 0.
2)a. Montrer que pour tout n ∈ IN, U
n+1- U
n=
1+2𝑈−2𝑈𝑛2𝑛
b. En déduire que la suite U
nest décroissante.
c. Prouver alors, que U
nest convergente.
3)a. Calculer le réel L tel que L =
1+2𝐿𝐿
