Électrons fortement corrélés: une approche perturbative à couplage fort

ELECTRONS FORTEMENT CORR´ ´ EL´ ES : UNE APPROCHE PERTURBATIVE

A COUPLAGE FORT `

par

St´ ephane PAIRAULT

Th` ese pr´ esent´ ee au d´ epartement de Physique en vue de l’obtention du grade de Docteur ` es sciences (Ph.D.)

FACULT ´ E DES SCIENCES UNIVERSIT ´ E DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Qu´ ebec, Mars 1999

CHAPITRE I INTRODUCTION

Les syst` emes ´ electroniques fortement corr´ el´ es constituent actuellement une des branches les plus actives de la physique du solide. Avant leur av` enement, la

avait donn´ e des bases solides, ` a partir d’hypoth` eses tr` es g´ en´ erales, aux succ` es presque miraculeux de la th´ eorie des bandes des solides cristallins, fond´ ee sur l’approximation, difficilement justifiable

des ´ electrons ind´ ependants. Mais la th´ eorie de Landau est d´ esormais battue en brˆ eche par le comportement de certains compos´ es, tels que les conducteurs et supraconducteurs organiques, ou les oxydes de cuivre exhibant de la supraconductivit´ e ` a haute temp´ erature critique, qui font l’objet d’intenses recherches th´ eoriques et exp´ erimentales. Cette th` ese d´ ecoule de notre int´ erˆ et pour ces ´ etranges mat´ eriaux, et de la n´ ecessit´ e qui s’imposait de les aborder avec un point de vue compl´ ementaire ` a celui de Landau, par une approche ` a couplage fort, c’est-` a-dire consid´ erant les interactions comme la composante essentielle du Hamiltonien, et l’´ energie cin´ etique comme une perturbation. Ce chapitre introductif poursuit un double but. D’abord, se doter des bases indispensables ` a la discussion, en revenant bri` evement sur la th´ eorie de Landau des liquides de Fermi, en d´ efinissant les notions de m´ etal et d’isolant, et en introduisant le mod` ele de Hubbard, qui constituera pour nous le paradigme des syst` emes fortement corr´ el´ es. Ensuite, passer en revue les nombreuses m´ ethodes qui ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees et utilis´ ees pour traiter de tels syst` emes en dimension d = 1, d =

, ou d quelconque, avant d’inscrire dans ce contexte notre approche originale.

1.1 LIQUIDES DE FERMI

1.1.1 Th´eorie de Landau

La plupart des conducteurs massifs est convenablement d´ ecrite par la th´ eorie de Landau des liquides de Fermi.

Dans un syst` eme sans interactions

´ electroniques, ` a temp´ erature nulle, les ´ electrons se contentent de peupler un ` a un

les niveaux d’´ energie ` a une particule (de vecteur d’onde

et d’´ energie

(k)),

d´ etermin´ es par le potentiel periodique des ions du cristal ou, plus g´ en´ eralement,

par une th´ eorie efficace ` a un corps. L’´ etat fondamental se caract´ erise donc par

cette

u le facteur d’occupation des niveaux n(k) vaut 1 quand

INTRODUCTION

|k|

est inf´ erieur au vecteur d’onde de Fermi, et 0 sinon. A basse temp´ erature, les

´ etats excit´ es sont alors d´ efinis par la distribution δn(k), l’´ ecart des nombres d’occupation des niveaux par rapport ` a leur valeur ` a temp´ erature nulle. La th´ eorie de Landau tient compte des interactions en faisant deux hypoth` eses fondamentales :

i) Lors du branchement progressif des interactions, on peut suivre individuellement chaque ´ etat du syst` eme, et continuer de lui associer la distribution δn(k) dont il est issu.

ii) L’´ energie de l’´ etat d´ efini par δn(k) poss` ede un d´ eveloppement ` a l’ordre deux en δn(k), les coefficients de ce d´ eveloppement ´ etant les param` etres de Landau.

A partir de ces deux seules hypoth` eses, on peut expliquer pourquoi de nombreuses quantit´ es physiques, telles que la susceptibilit´ e de spin, la compressibilit´ e, la chaleur sp´ ecifique, acqui` erent la mˆ eme forme que dans les syst` emes libres, moyennant l’introduction de param` etres efficaces (ou renormalis´ es). Cette th´ eorie, qui justifie ` a la fois l’approximation des ´ electrons libres, et l’utilisation de param` etres efficaces, est satisfaisante pour de nombreux conducteurs, comme le sodium, l’aluminium, l’or, etc. Cette similitude avec le cas sans interactions repose sur le fait que les excitations ´ el´ ementaires du syst` eme sont des

es semblables ` a des ´ electrons (o` u ` a des trous), et en particulier poss´ edant une coh´ erence et une p´ erennit´ e temporelles permettant de d´ efinir clairement leur impulsion, leur ´ energie, ou simplement leur nombre.

1.1.2 Notion de poids spectral

L’identification des quasi-particules, qui sont la signature irr´ efutable du liquide de Fermi, se fait par le

etails de la d´ efinition de cette quantit´ e (se reporter au chapitre 3), il faut retenir son sens physique : le poids spectral A(k, ω) est la probabilit´ e pour qu’une excitation de vecteur d’onde

ait l’´ energie ω.

Dans un liquide de Fermi, le poids spectral comme fonction de ω, caract´ eristique des quasi-particules, est principalement constitu´ e d’un pic ´ etroit situ´ e en ω = (k), la relation de dispersion des quasi-particules. La probabilit´ e totale Z associ´ ee ` a ce pic dit coh´ erent, est

(♣)

Par convention, nous posons ¯ h = 1 et k

= 1 dans toute cette th` ese.

INTRODUCTION

ω

ω

ε (k) A(k,ω)

A_coh.(k_F,ω) A_coh.(k₁,ω)

A_coh.(k₂,ω)

A_coh.(k₃,ω)

k_F < k₁ < k₂ < k₃

Figure 1:

(haut) Allure du poids spectral d’un liquide de Fermi.

(Bas) Evolution de la largeur du pic coh´ erent en s’´ eloignant de la surface de Fermi.

appel´ ee le poids de la quasi-particule, la probabilit´ e compl´ ementaire 1

Z ´ etant distribu´ ee de fa¸con incoh´ erente, c’est-` a-dire sans structure identifiable. Z est aussi la discontinuit´ e r´ esiduelle de la distribution n(k) au niveau de Fermi. La largeur du pic coh´ erent peut, elle, ˆ etre comprise comme un taux d’amortissement de l’excitation, ou l’inverse de la dur´ ee de vie de la quasi-particule. La figure 1 repr´ esente sch´ ematiquement l’allure du poids spectral pour un liquide de Fermi.

Pr´ ecisons que la largeur du pic coh´ erent doit ˆ etre domin´ ee, ` a basse temp´ erature

T et faible ´ energie ω, par sup (ω

, T

). En particulier, ` a temp´ erature nulle, la

INTRODUCTION

dur´ ee de vie de la quasi-particule tend vers l’infini lorsqu’on s’approche du niveau de Fermi, notion qui garde tout son sens dans un liquide de Fermi.

D’un point de vue exp´ erimental, un outil privil´ egi´ e pour ´ etudier le poids spectral est la

(ARPES).

Dans ce type d’exp´ eriences (nous y reviendrons au chapitre 3), un ´ electron est arrach´ e au syst` eme par un photon incident, de sorte qu’on ne mesure que la partie de trous du poids spectral. L’exp´ erience de la r´ ef´ erence [19], effectu´ ee sur du 1−T

TiTe

, peut ˆ etre consid´ er´ ee comme une mesure directe du poids spectral d’un liquide de Fermi.

Nonobstant la grande g´ en´ eralit´ e de la th´ eorie de Landau des liquides de Fermi, on observe de nombreuses d´ eviations a ` la ph´ enom´ enologie qu’elle d´ ecrit. En particulier, les mat´ eriaux fortement anisotropes, o` u la dimension d du r´ eseau cristallin est

r´ eduite, pr´ esentent d’importantes

“anomalies”. L’´ echec de la th´ eorie de Landau est av´ er´ e en ce qui concerne les compos´ es quasi-unidimensionnels,

comme les conducteurs organiques TTF-TCNQ, (TMTSF)

X, (TMTTF)

X (avec X=PF

, AsF

, ClO

), ou l’alliage SrCuO

.

La question des syt` emes quasi-bidimensionnels est encore largement ouverte, et recouvre la famille des oxydes de cuivre supraconducteurs ` a haute temp´ erature critique La

M

CuO

, (avec M = Ba, Sr, ou Ca), YBa

Cu

O

, LaBa

Cu

O

, etc. , ainsi que le compos´ e SrCuCl

O

.

En particulier, le pseudo-gap pr´ esent dans leur densit´ e d’´ etats, loin du cˆ ot´ e normal de la transition supraconductrice, est activement ´ etudi´ e,

Une autre propri´ et´ e inhabituelle de ces mat´ eriaux est la d´ ependance en temp´ erature de leur r´ esistivit´ e, qui commence quadratique ` a basse temp´ erature, comme dans un liquide de Fermi, mais devient rapidement lin´ eaire.

En outre, l’absence d’effet isotopique dans ces compos´ es incite ` a chercher dans les seules interactions entre

´ electrons la cause de la supraconductivit´ e. Plus g´ en´ eralement, et sans ´ egard ` a la

dimension, plusieurs m´ ecanismes peuvent faire un isolant d’un syst` eme que la

th´ eorie des bandes pr´ edirait conducteur.

Ce dernier type de manquement ` a la

th´ eorie de Landau ´ etant au cœur de notre travail, il nous paraˆıt utile de

l’introduire de mani` ere un peu plus d´ etaill´ ee.

INTRODUCTION

1.2 TRANSITIONS M´ ETAL-ISOLANT

Nous pr´ esentons dans cette section les diff´ erents types de transitions m´ etal-isolant, en suivant la classification qui en est propos´ ee par F. Gebhard.

1.2.1 Qu’est-ce qu’un isolant?

La distinction entre un m´ etal et un isolant ne peut se faire rigoureusement qu’` a temp´ erature nulle, et sur la foi du tenseur de conductivit´ e σ

(q, ω).

Un isolant est un syst` eme dans lequel la conductivit´ e uniforme statique ` a temp´ erature nulle vaut z´ ero :

T

lim

lim

ω→0

lim

q→0

Re [σ

(q, ω)] = 0. (1.1) Lorsque la limite dans l’´ equation (1.1) est non nulle, on a ` a faire ` a un m´ etal, qu’on qualifie de m´ etal id´ eal si cette limite vaut

δ(ω), o` u

est un tenseur constant.

Cependant, la conductivit´ e ´ etant une quantit´ e difficile ` a calculer, on a souvent recours au crit` ere du gap, fond´ e sur la densit´ e d’´ etats ` a une particule du syst` eme. Notant E

(N ) l’´ energie de l’´ etat fondamental ` a N particules, on d´ efinit les potentiels chimiques µ

= E

(N + 1)

E

(N) pour l’adjonction d’une particule et µ

= E

(N)

E

(N

1) pour le retrait d’une particule. Alors le gap, d´ efini ` a temp´ erature nulle, vaut ∆ = µ

µ

. En fait, la conductivit´ e n’est directement reli´ ee ` a ∆ que si, par rapport ` a l’´ etat ` a N particules, l’´ electron suppl´ ementaire (respectivement manquant) est ajout´ e (resp. ˆ ot´ e) dans un (resp.

d’un) ´ etat spatialement ´ etendu. ∆ est alors appel´ e

o` u il s´ epare des ´ etats susceptibles de v´ ehiculer un courant ´ electrique. Le crit` ere du gap stipule que dans un syst` eme isolant, il existe un gap de charge non nul.

L’extension macroscopique des ´ etats excit´ es, difficile ` a v´ erifier en pratique, est en principe indispensable ` a la validit´ e du crit` ere. En effet, un syst` eme d´ esordonn´ e peut ˆ etre isolant en d´ epit d’une densit´ e d’´ etats sans gap, si ses ´ etats sont localis´ es. D’autre part, la pr´ esence d’un gap dans la densit´ e d’´ etats n’implique pas forc´ ement un comportement isolant. Un supraconducteur de type BCS, par exemple, est un m´ etal bien que sa densit´ e d’´ etats pr´ esente un gap. Dans ce cas, la conduction n’est pas assur´ ee par les excitations ` a une particule, mais par le condensat d’´ electrons appari´ es.

Dans la th´ eorie des bandes, les seuls isolants sont les isolants de Bloch et

Wilson, c’est-` a-dire ceux dont la bande de valence est enti` erement pleine, et la

bande de conduction enti` erement vide. La structure de bandes ne d´ ependant pas

INTRODUCTION

du remplissage, leur caract` ere isolant est donc uniquement conditionn´ e par la valence des ions. Cependant, de nombreux mat´ eriaux, conducteurs au regard de leur valence, peuvent se r´ ev´ eler isolants du fait des fortes interactions des

´ electrons, soit avec les ions, on pourrait alors parler d’isolants structuraux, soit entre eux, et on parle d’isolants de Mott.

1.2.2 Isolants structuraux

La transition de Peierls

est un exemple de transition m´ etal-isolant induite par les interactions des ´ electrons avec les ions, et plus pr´ ecis´ ement avec les phonons, c’est-` a-dire les d´ eformations du r´ eseau cristallin. Au-dessous de la temp´ erature de Peierls, le syst` eme adopte un ´ etat fondamental ordonn´ e, o` u les ions sont group´ es en dim` eres. L’invariance par translation du syst` eme est bris´ ee, et un gap ouvert dans la densit´ e d’´ etats. Le bronze bleu K

MoO

,

excellent conducteur ` a temp´ erature ambiante, subit une transition de Peierls ` a 181 K.

La transition d’Anderson,

induite par la pr´ esence de d´ esordre dans le syst` eme, est ´ egalement une transition m´ etal-isolant. Dans un isolant d’Anderson, les impuret´ es conduisent ` a la localisation des ´ etats situ´ es dans deux franges aux extr´ emit´ es de la bande de conduction, voire de tous les ´ etats. Si le niveau de Fermi tombe parmi les ´ etats localis´ es, le syst` eme est isolant. Le chapitre 4 de cette th` ese est consacr´ e aux effets simultan´ es du d´ esordre et des interactions entre ´ electrons.

1.2.3 Isolants de Mott

Par opposition aux isolants structuraux, certains isolants ne peuvent pas se comprendre ` a l’aide de th´ eories effectives ` a un corps, car les interactions essentielles sont inter-´ electroniques. La structure de bandes et les propri´ et´ es de localisation ne sont alors plus rigides, mais d´ etermin´ ees par la solution d’un probl` eme ` a N-corps. Le principal couplage entre les ´ electrons est presque toujours la r´ epulsion coulombienne. Dans la mesure o` u les ´ electrons cherchent ` a rester

´ eloign´ es les uns des autres, cette r´ epulsion a un effet de localisation, qui entre en

comp´ etition avec l’´ energie cin´ etique, dont la tendance est d’´ etaler la probabilit´ e

de pr´ esence des ´ electrons ` a travers la totalit´ e du cristal. Cette comp´ etition, si elle

est ` a l’avantage de la r´ epulsion coulombienne, peut mener ` a la formation d’un

gap de charge, et donc ` a un ´ etat isolant portant le nom d’isolant de Mott.

INTRODUCTION

F. Gebhard

distingue deux types d’isolants de Mott, selon le comportement des moments magn´ etiques relatifs locaux, c’est-` a-dire la contribution des interactions ` a la fonction de corr´ elation instantan´ ee et locale des op´ erateurs de spin

S ˆ

S ˆ

un gap de charge est pr´ esent, mais les moments magn´ etiques, s’il y en a, sont d´ esordonn´ es. Un exemple exp´ erimental d’isolant de Mott-Hubbard est le cristal de Wigner

(un ´ etat spatialement ordonn´ e des ´ electrons), observ´ e dans une h´ et´ erostructure GaAs/AlGaAs sous fort champ magn´ etique. Au contraire, dans un isolant de Mott-Heisenberg, les moments magn´ etiques pr´ esentent un ordre antiferromagn´ etique ` a longue distance. Les compos´ es parents (i. e. non dop´ es) des oxydes de cuivre supraconducteurs sont des isolants de Mott-Heisenberg. La transition de Mott-Hubbard sera au cœur du chapitre 3, mais on ne rencontrera pas d’ordre antiferromagn´ etique ` a longue port´ ee dans cette th` ese.

Pour conclure cette section sur les diverses transitions m´ etal-isolant, il convient de les ranger en deux grandes classes : les transitions de nature thermodynamique, et celles de nature quantique. Les transitions thermodynamiques sont celles o` u une sym´ etrie du syst` eme est spontan´ ement bris´ ee ` a une temp´ erature finie, d´ ependant de la force des interactions. Dans un tel cas, on peut toujours caract´ eriser clairement les deux phases, mˆ eme ` a temp´ erature finie.

La transition de Peierls, et celle de Mott-Heisenberg, sont ` a ranger dans cette cat´ egorie.

etrie dans le cas d’une transition m´ etal-isolant quantique. L’´ etat fondamental du syst` eme peut encore ˆ etre rigoureusement identifi´ e comme isolant ou m´ etallique, mais ` a temp´ erature finie, l’´ evolution entre les deux se fait continˆ ument ` a travers une ligne dite de

event plutˆ ot de cette deuxi` eme cat´ egorie.

1.3 MOD` ELE DE HUBBARD

Le

est le mod` ele le plus simple – du moins dans sa formulation – d’´ electrons fortement corr´ el´ es. Introduit par Hubbard en 1963

pour mod´ eliser les bandes d’´ energie ´ etroites d des m´ etaux de transition, il connaˆıt actuellement une nouvelle jeunesse depuis qu’on l’emploie dans le contexte des supraconducteurs ` a haute temp´ erature critique. Sa physique extrˆ emement riche est loin d’ˆ etre compl` etement

´ elucid´ ee ` a ce jour. Apr` es l’avoir d´ efini et bri` evement justifi´ e, nous discuterons

INTRODUCTION

de la pertinence du mod` ele de Hubbard, et pr´ esenterons quelques cas limites int´ eressants.

1.3.1 Obtention du mod`ele de Hubbard

Dans une bande d’´ energie ´ etroite, les fonctions de Wannier ont un caract` ere atomique prononc´ e, c’est-` a-dire qu’elles ressemblent fortement aux orbitales atomiques dont elles sont issues. La probabilit´ e de pr´ esence des ´ electrons est alors concentr´ ee dans le voisinage des ions du r´ eseau, et le recouvrement de deux fonctions de Wannier centr´ ees sur des sites voisins est faible. L’´ energie cin´ etique (de bande) s’´ ecrit alors

K

=

i,j,σ

t

c

c

,

o` u c

est l’op´ erateur de cr´ eation (annihilation) d’un ´ electron de spin σ dans l’´ etat de Wannier centr´ e au site i. La matrice (hermitienne) des coefficients t

donne les amplitudes de probabilit´ e de sauter du site i au site j. La premi` ere hypoth` ese importante de Hubbard est de ne prendre en compte qu’une seule bande, alors qu’en r´ ealit´ e, plusieurs bandes peuvent ˆ etre ´ energ´ etiquement voisines du niveau de Fermi. La deuxi` eme hypoth` ese majeure est que l’interaction coulombienne entre deux ´ electrons est beaucoup plus grande lorsque les ´ electrons se trouvent sur le mˆ eme site atomique (i. e. dans le mˆ eme ´ etat de Wannier) que dans toute autre configuration. En cons´ equence, l’´ energie potentielle se r´ eduit ` a

U

= U

i

c

c

c

c

,

o` u l’unique ´ el´ ement de matrice non n´ eglig´ e U est l’´ energie de

potentiel d´ ecroissant comme l’inverse de la distance, mais en r´ ealit´ e, le gaz d’´ electrons environnant ´ ecrante tr` es efficacement l’interaction coulombienne, de sorte qu’elle devient r´ eellement n´ egligeable au-del` a de quelques dizaines d’angstr¨ oms. Hubbard estime U ` a 20 eV pour les ´ electrons 3d des m´ etaux de transition et ` a 3 eV, en tenant compte de l’´ ecrantage, le premier terme n´ eglig´ e.

Finalement, le hamiltonien complet du mod` ele de Hubbard est

=

i,j,σ

t

c

c

+ U

i

c

c

c

c

,

o` u l’on fait souvent l’hypoth` ese suppl´ ementaire que t

=

t si i et j sont des

sites voisins, et t

= 0 sinon.

INTRODUCTION 1.3.2 Pertinence du mod`ele de Hubbard

La capacit´ e du mod` ele de Hubbard ` a d´ ecrire fid` element de vrais mat´ eriaux est contestable. Dans le cas des m´ etaux de transition, par exemple la proximit´ e des bandes s et d rend la premi` ere hypoth` ese abusive. L’approximation d’une bande unique est ´ egalement grossi` ere dans le cas des plans CuO

des oxydes de cuivre supaconducteurs ` a haute temp´ erature critique. Pour ces derniers, un mod` ele

`

a trois bandes incluant un niveau du cuivre et deux niveaux de l’oxyg` ene

semblerait plus r´ ealiste. La possibilit´ e d’appliquer le mod` ele de Hubbard ` a de nombreux autres syst` emes (fuller` enes, polym` eres, fermions lourds, h´ elium-3 liquide) t´ emoigne ` a la fois de ses insuffisances et de sa g´ en´ eralit´ e.

En r´ ealit´ e, ce d´ ebat est un peu vain. Il vaut envisager le mod` ele de Hubbard comme le d´ enominateur commun de tous ces syst` emes fortement corr´ el´ es, dont la compr´ ehension compl` ete est un pr´ erequis ` a tout raffinement ult´ erieur. En particulier, si la possibilit´ e de supraconductivit´ e dans le mod` ele de Hubbard est largement controvers´ ee, il ne fait gu` ere de doute que son diagramme de phases comporte une phase m´ etallique et une phase isolante,

´ eventuellement ordonn´ ee du point de vue magn´ etique. C’est bien la physique du mod` ele de Hubbard qui sera discut´ ee dans cette th` ese – cela nous paraˆıt un enjeu suffisamment exaltant –, et non celle de mat´ eriaux dont un hamiltonien pertinent reste encore ` a ´ ecrire.

1.3.3 Cas particuliers

Le mod` ele de Hubbard est sujet ` a des simplifications importantes dans

plusieurs limites int´ eressantes. La plus simple est la limite sans interactions. Si

U = 0, le mod` ele d´ ecrit un gaz de Fermi, qui est un m´ etal paramagn´ etique

parfait. Si au contraire t = 0, on se trouve dans la

du mod` ele de

Hubbard. Dans la limite atomique, les ´ electrons ne peuvent pas se d´ eplacer dans

le cristal, et on a affaire ` a une collection d’atomes ind´ ependants pouvant ˆ etre

vides, simplement occup´ es, ou doublement occup´ es. Le syst` eme est isolant, et

l’´ energie d’un ´ etat est U ν

, o` u ν

est le nombre de sites doublement occup´ es. Si

le syst` eme est moins que demi-rempli (i. e. avec au plus le mˆ eme nombre

d’´ electrons que de sites) et que U

t > 0, on peut approcher le mod` ele de

Hubbard par le

T ˆ , dans lequel toute double-occupation est proscrite. En

g´ en´ eral, on raffine le mod` ele- ˆ T en autorisant une double-occupation dans un ´ etat

interm´ ediaire (processus virtuel). On obtient alors le

t-J, dans lequel

intervient un couplage antiferromagn´ etique J = 4t

/U entre les op´ erateurs de spin

INTRODUCTION

en deux sites voisins. A demi-remplissage, le mod` ele t-J est ´ equivalent au mod` ele de Heisenberg, d´ ecrivant des spins localis´ es (au lieu d’´ electrons itin´ erants) coupl´ es de mani` ere antiferromagn´ etique.

L’existence des limites m´ etallique (U = 0) et isolante (t = 0), et la pr´ esence sous-jacente d’un couplage antiferromagn´ etique des spins, incitent ` a penser que le mod` ele de Hubbard est capable de rendre compte de toutes les facettes de la transition de Mott.

1.4 LIQUIDES DE LUTTINGER

Pour commencer notre tour d’horizon des m´ ethodes employ´ ees dans le contexte des ´ electrons fortement corr´ el´ es, nous consacrons cette section aux syst` emes unidimensionnels. En dimension d = 1 en effet, les lois de conservation sont suffisantes pour rendre de nombreux mod` eles exactement solubles. C’est pourquoi il existe plusieurs approches, valables uniquement en dimension d = 1, que l’on peut qualifier de non perturbatives en ce qu’elles donnent la solution exacte du mod` ele sur r´ eseau propos´ e, ou d’un mod` ele continu essentiellement

´ equivalent. Le plus remarquable est que les conclusions de ces diverses m´ ethodes concordent sur bien des points, ind´ ependamment des mod` eles particuliers. Il en

´ emerge une ph´ enom´ enologie unifi´ ee, typique des syst` emes unidimensionnels, et regroupant ce qu’on appelle les

comme (TMTTF)

X, (TMTSF)

X, et le compos´ e SrCuO

, extrˆ emement anisotropes, sont directement vis´ es par la physique des liquides de Luttinger.

1.4.1 Bosonisation et Groupe de Renormalistation pour les fermions

En dimension d = 1, lorsque le niveau de Fermi tombe dans une bande, il d´ efinit une surface de Fermi r´ eduite ` a deux points. Cette sp´ ecificit´ e permet,

`

a basse temp´ erature, de classer les excitations (particules ou trous) en deux

branches : celles se mouvant vers la droite (k k

) et celles se mouvant vers la

gauche (k

k

). Toutes les interactions se d´ ecomposent alors en quatre types de

diffusions diff´ erents : diffusion vers l’avant de particules d’une mˆ eme branche

(avec une constante de couplage g

), diffusion vers l’avant de particules de

branches diff´ erentes (constante g

), r´ etrodiffusion de deux particules de branches

diff´ erentes (constante g

), et r´ etrodiffusion de deux particules de la mˆ eme branche

– ou processus

– (constante g

). D’autre part, il est naturel de lin´ eariser

INTRODUCTION

le spectre au voisinage des deux points de Fermi, en attribuant aux particules de type r (r =

d´ esignant la droite et la gauche) l’´ energie (k) = v

(rk

k

).

Luttinger

eut l’id´ ee d’utiliser ce spectre lin´ earis´ e pour des ´ energies et des vecteurs d’onde arbitrairement grands, quitte ` a peupler artificiellement jusqu’au niveau d´ esir´ e une mer de Fermi devenue infiniment profonde. Grˆ ace

`

a cet artifice, qui ne devrait pas modifier la physique de basse ´ energie, on peut construire des op´ erateurs d´ ecrivant les fluctuations de la densit´ e de charge et de la densit´ e de spin, ob´ eissant ` a une alg` ebre bosonique.

Le hamiltonien de Tomonaga-Luttinger,

incluant les processus de diffusion vers l’avant, est diagonalis´ e par cette

pour toutes valeurs de g

et g

.

De plus, il se pr´ esente comme la somme d’une partie de spin, n’impliquant que les op´ erateurs de spin, gouvern´ ee par deux param` etres v

et K

, et d’une partie de charge, n’impliquant que les op´ erateurs de charge, et gouvern´ ee par deux param` etres v

et K

. En revanche, le couplage en g

n’est que partiellement diagonalis´ e par cette transformation, et donne naissance ` a un terme suppl´ ementaire. Le

nous apprend que, pour des interactions r´ epulsives (g

> 0), ce terme suppl´ ementaire est marginalement inessentiel, de sorte que la physique demeure celle du mod` ele de Tomonaga-Lunttinger, d´ etermin´ ee par trois constantes v

, v

et K

(K

est renormalis´ e ` a 1 dans les syst` emes invariants sous rotation) d´ eduites de g

, g

, g

.

En premier lieu, ces r´ esultats conduisent ` a une image assez compl` ete du diagramme de phase des compos´ es quasi-unidimensionnels.

En effet, en examinant la rapidit´ e avec laquelle divergent les diverses susceptibilit´ es ` a basse temp´ erature, on peut identifier quel type d’ordre (onde de densit´ e de charge, onde de densit´ e de spin, supraconductivit´ e singulet ou triplet) se d´ eveloppe en premier dans les directions transverses et engendre une v´ eritable transition de phase.

D’autre part, on d´ ecouvre toute une nouvelle ph´ enom´ enologie, fort diff´ erente de

celle des liquides de Fermi. En effet, la chaleur sp´ ecifique, la susceptibilit´ e

magn´ etique, et la compressibilit´ e ne sont plus simplement lin´ eaires en

temp´ erature,

et les propri´ et´ es ` a une particule sont radicalement modifi´ ees par

les interactions. Le saut d’amplitude Z dans le facteur d’occupation disparaˆıt, et

la densit´ e d’´ etats se comporte en loi de puissance ` a basse ´ energie : N (ω)

ω

.

Mais le changement le plus spectaculaire intervient dans le poids spectral : au

lieu d’un pic ´ etroit en ω = (k), ´ emergeant d’un fond incoh´ erent, A(k, ω) est

maintenant non nul principalement entre deux singularit´ es suivant deux relations

de dispersion distinctes : ω = v

(k

k

) et ω = v

(k

k

).

C’est la

INTRODUCTION

ω ^vsp(k-k_F) -v_ch(k-k_F)

A(k,ω)

v_ch(k-k_F)

ω ^εsp(k-k_F) -ε_ch(k-k_F)

A(k,ω)

ε_ch(k-k_F) k-k_F

ε_sp ε_ch

∆_ch

Figure 2:

Allure du poids spectral d’un liquide de Luttinger sans gap de charge ni de spin

(haut), et en pr´ esence d’un gap de charge

(bas), pour une valeur du vecteur d’onde telle qu’il y ait effectivement deux divergences ` a ω > 0. Encadr´ e : relations de dispersion des deux pˆ oles en pr´ esence d’un gap de charge.

raison pour laquelle on dit qu’il y a

dans un liquide de

Luttinger : non seulement la susceptibilit´ e magn´ etique n’est affect´ ee que par la

vitesse de spin v

, et la compressibilit´ e que par les param` etres de charge v

(vitesse de charge) et K

, mais surtout, on voit directement sur le poids spectral

que les modes collectifs ` a une particule ne ressemblent en rien aux ´ electrons, et

que les degr´ es de libert´ e de spin et de charge se dispersent s´ epar´ ement.

INTRODUCTION

Finalement, mentionnons qu’il peut apparaˆıtre un gap dans la densit´ e d’´ etats du syst` eme lorsque g

< 0 (gap de spin) ou g

= 0 (gap de charge).

J. Voit

s’est int´ eress´ e aux propri´ et´ es spectrales de ces syt` emes poss´ edant un gap, et ses vues sont corrobor´ ees par des calculs num´ eriques.

La figure 2 donne l’allure du poids spectral d’un liquide de Luttinger, en l’absence et en pr´ esence d’un gap de charge. Le cas du gap de charge, dont rel` eve le mod` ele de Hubbard ` a demi-remplissage, est d’un int´ erˆ et particulier car il concerne le compos´ e SrCuO

, dans lequel la s´ eparation spin-charge, selon les auteurs de la r´ ef´ erence [44], a ´ et´ e observ´ ee directement et pour la premi` ere fois, par photo´ emission r´ esolue en angle.

La principale question laiss´ ee ouverte par la bosonisation est celle de ses limites de validit´ e. En particulier, s’il est clair que l’image du liquide de Luttinger est correcte quand T

0, on ne sait pas ` a quelle temp´ erature la courbure de la bande, inessentielle au sens du groupe de renormalisation, commence ` a jouer un rˆ ole important. Cette question trouve un ´ el´ ement de r´ eponse ` a la section 3.1.2, o` u l’on place une borne sup´ erieure pour les temp´ eratures auxquelles la s´ eparation spin-charge peut se produire.

1.4.2 Ansatz de Bethe pour le mod`ele de Hubbard

En dimension d = 1, un certain nombre de hamiltoniens sur r´ eseau, dont fait partie le mod` ele de Hubbard, sont exactement solubles au moyen de l’Ansatz de Bethe. Dans cette approche,

on conjecture que l’amplitude de probabilit´ e ψ(x

, . . . , x

, x

, . . . , x

) d’avoir un ´ electron de spin

aux abscisses x

, . . . , x

[1, L] et un ´ electron de spin

aux abscisses x

, . . . , x

[1, L] a la forme suivante :

ψ

(x

, . . . , x

, x

, . . . , x

) =

P

[Q, P ] exp

i

j=1

k

x

dans le secteur d´ efini par 1

x

< . . . < x

L, o` u P et Q sont des

permutations de N ´ el´ ements. [Q, P ] est un ensemble de (N !)

coefficients

d´ efinissant la solution. En exigeant que ψ i) soit antisym´ etrique dans l’´ echange de

deux ´ electrons de mˆ eme spin, ii) v´ erifie des conditions aux limites p´ eriodiques, iii)

satisfasse ` a l’´ equation de Schr¨ odinger ` a l’int´ erieur de chaque secteur, et iv)

soit continue ` a chaque fronti` ere entre deux secteurs, on obtient un syst` eme

INTRODUCTION

d’´ equations liant entre elles les amplitudes [Q, P ]. Plus pr´ ecis´ ement, si Q

= Q

, . . . , Q

= a, Q

= b, Q

= c, . . . , Q

, P

= P

, . . . , P

= α, P

= β, P

= γ, . . . , P

, Q

= Q

, . . . , Q

, b, a, c, Q

. . . , Q

, et

P

= P

, . . . , P

, β, α, γ, P

, . . . , P

,

la condition (iv) permet d’exprimer [Q

, P

] en fonction de [Q

, P

] et [Q

, P

]. D´ efinissons encore les quatre autres ordonnancements possibles pour les abscisses x

, x

, x

:

Q

= Q

, . . . , Q

, b, c, a, Q

. . . , Q

, Q

= Q

, . . . , Q

, c, b, a, Q

. . . , Q

, Q

= Q

, . . . , Q

, a, c, b, Q

. . . , Q

, et Q

= Q

, . . . , Q

, c, a, b, Q

. . . , Q

.

Les amplitudes [Q

, P

] sont li´ ees aux amplitudes [Q

, P

] du fait des conditions liant [Q

, P

] ` a [Q

, P

], [Q

, P

] ` a [Q

, P

] et [Q

, P

]

`

a [Q

, P

]. L’int´ egrabilit´ e du mod` ele, qui rend possible sa solution par l’Ansatz de Bethe, r´ eside dans le fait que les conditions r´ esultant ainsi entre [Q

, P

] et [Q

, P

] sont compatibles avec celles qu’on peut d´ eduire ind´ ependamment par la s´ equence [Q

, P

]

[Q

, P

], [Q

, P

]

[Q

, P

] et [Q

, P

]

[Q

, P

]. Il existe alors des solutions non nulles au syst` eme d’´ equations r´ egissant les [Q, P ], qui sont les ´ etats propres du mod` ele.

Le r´ esultat principal de la r´ ef´ erence [56], o` u cette solution fut propos´ ee, est que la transition m´ etal-isolant de Mott se produit ` a une interaction critique nulle (U

= 0). Autrement dit, il existe un gap de charge pour toute valeur U > 0 de la r´ epulsion coulombienne sur site, de sorte que l’´ etat fondamental est isolant. Les premiers ´ etats excit´ es ont ´ et´ es ´ etudi´ es par A. A. Ovchinnikov.

Le probl` eme de la solution par

de Bethe est qu’elle est d´ efinie implicitement par un syst` eme d’´ equations. En pratique, la r´ esolution num´ erique de ce syst` eme repr´ esente un effort calculatoire aussi consid´ erable que la simple diagonalisation du hamiltonien, c’est-` a-dire insurmontable d` es que le nombre de sites est notable.

Ceci limite beaucoup le b´ en´ efice qu’on peut tirer de cette solution, notamment en

ce qui concerne les propri´ et´ es ` a une particule du mod` ele. Cependant, en plus

de son importance conceptuelle, la solution par

de Bethe s’av` ere tr` es

utile lorsqu’elle est utilis´ ee en conjonction avec d’autres m´ ethodes ou hypoth` eses

simplificatrices. Par exemple, le regrett´ e H. J. Schulz

s’en est servi pour

INTRODUCTION

d´ eterminer les param` etres v

, v

, et K

du mod` ele de Hubbard dans le contexte de la bosonisation. M. Ogata et H. Shiba

ont montr´ e que dans la limite U

, la solution se factorisait en une partie de charge et une partie de spin ind´ ependantes. Cette simplification leur permit de calculer la fonction de distribution n(k), et aux auteurs des r´ ef´ erences [25,75] de calculer le poids spectral du mod` ele de Hubbard dans la limite U

. Pour leur part, H. Frahm et V. E. Korepin

ont adapt´ e les m´ ethodes de la

aux syst` emes non invariants de Lorentz, et ont calcul´ e le comportement asymptotique de nombreuses fonctions de corr´ elation du mod` ele de Hubbard.

Tous ces r´ esultats compl` etent, sans les contredire, les conclusions de la bosonisation, et composent une image coh´ erente et satisfaisante des liquides de Luttinger. Cependant, deux questions se posent toujours avec la mˆ eme acuit´ e : d’une part, comme nous l’avons d´ ej` a mentionn´ e, l’´ evolution (et ´ eventuellement l’effondrement) du liquide de Luttinger en augmentant la temp´ erature, et d’autre part la question des dimensions sup´ erieures. En effet, les m´ ethodes ´ evoqu´ ees (bosonisation,

de Bethe, th´ eorie des champs conforme) reposent de fa¸con primordiale sur l’hypoth` ese de la dimension un, et ne connaissent aucune g´ en´ eralisation en dimension d

2.

1.5 MOD` ELE DE HUBBARD EN DIMENSION INFINIE

En plus d’ˆ etre soluble en dimension d = 1, le mod` ele de Hubbard peut

´ egalement, pour des raisons compl` etement diff´ erentes, ˆ etre r´ esolu exactement dans la limite d

energie est locale dans l’espace.

Cette propri´ et´ e rend le mod` ele formellement similaire ` a celui d’une impuret´ e isol´ ee plong´ ee dans un bain d’´ electrons sans interactions mutuelles. Cependant, tous les sites pouvant pr´ etendre au rˆ ole de l’impuret´ e, il faut ´ egalement remplir une condition d’autocoh´ erence. Techniquement, ces consid´ erations se traduisent par l’existence d’un syst` eme de deux ´ equations int´ egrales coupl´ ees portant sur la fonction de Green. On peut alors r´ esoudre ce syst` eme num´ eriquement, ` a l’aide de simulations Monte-Carlo par exemple, ou utiliser une

(approximative), qui donne ` a moindres frais des r´ esultats presque aussi pr´ ecis.

Cette m´ ethode a permis d’´ etudier en d´ etail les transitions m´ etal-isolant du

mod` ele de Hubbard en dimension infinie. En frustrant l’antiferromagn´ etisme par

INTRODUCTION

un saut important au second voisin, A. Georges

ont pu se concentrer en premier lieu sur la seule transition de Mott-Hubbard, d’abord en venant de la phase m´ etallique, puis en venant de la phase isolante. Du cˆ ot´ e m´ etallique, quand on utilise pour germe la fonction de Green des particules libres, le processus d’it´ eration conduit ` a une solution poss´ edant encore une quasi-particule de poids Z au niveau de Fermi. La ligne U

(T ) o` u Z s’annule signale alors la disparition du liquide de Fermi. Du cˆ ot´ e isolant, en revanche, on utilise un germe inspir´ e de la fonction de Green de la limite atomique, ce qui engendre une solution pr´ esentant un gap dans sa densit´ e d’´ etats. Cette fois, la valeur U

(T ) pour laquelle le gap se ferme signale la disparition de l’isolant. Les lignes U

(T ) et U

(T ) se coupent ` a une temp´ erature T

au-dessus de laquelle le passage de l’isolant au m´ etal se fait par un crossover continu. Au-dessous de T

, au contaire, il existe une zone U

(T ) < U < U

(T ) o` u deux solutions contradictoires (pic de quasi-particule et gap dans la densit´ e d’´ etats) coexistent.

Les auteurs de la r´ ef´ erence [35] concluent ` a une transition de phase du premier ordre le long de la ligne o` u l’´ energie libre des deux solutions est ´ egale.

En r´ ealit´ e, en l’absence de saut au second voisin, la transition de Mott-Hubbard est masqu´ ee par l’apparition pr´ ealable d’un ordre antiferromagn´ etique ` a longue distance. Le diagramme de phases se r´ esume alors ` a deux phases, s´ epar´ ees par la transition thermodynamique de Mott-Heisenberg. Au sein de la phase paramagn´ etique, on passe du m´ etal ` a l’isolant par un large crossover. A basse temp´ erature, c’est une phase isolante antiferromagn´ etique qui pr´ evaut, quelle que soit la valeur de U .

D’autres quantit´ es physiques pertinentes (conductivit´ e, compressibilit´ e, chaleur sp´ ecifique, etc.) ont ´ et´ e calcul´ ees, et la compr´ ehension du mod` ele de Hubbard en dimension infinie est tout ` a fait compl` ete. Cependant, l’extension des r´ esultats aux dimensions finies (corrections en 1/d) reste probl´ ematique.

Par exemple, comment est modifi´ e le diagramme de phases en dimension d = 2, o` u tout ordre ` a longue distance est exclu ` a temp´ erature finie? Une transition de Mott-Hubbard du premier ordre existe-t-elle en dimension d = 3?

Est-elle toujours enti` erement masqu´ ee par la phase antiferromagn´ etique? Plusieurs

questions importantes demeurent pendantes.

INTRODUCTION

1.6 M´ ETHODES APPROXIMATIVES

En dimension finie d

2, on ne sait plus r´ esoudre exactement le mod` ele de Hubbard. En revanche, de nombreuses m´ ethodes approximatives ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees, dont nous proposons ici une revue br` eve et non exhaustive.

1.6.1 Th´eorie de Hartree-Fock

L’approximation de Hartree-Fock consiste ` a d´ ecoupler le terme d’interaction, quartique en les op´ erateurs c

, en plusieurs termes quadratiques, par exemple de la fa¸con suivante :

i

n

n

i

n

n

+

n

n

n

n

−

S ˆ

S ˆ

+

S ˆ

S ˆ

S ˆ

S ˆ

. On voit que dans cette approximation, les op´ erateurs de charge et de spin n’interagissent plus qu’avec des champs classiques moyens (

n

,

S ˆ

) repr´ esentant grossi` erement la configuration ´ electronique locale. Les quantit´ es

n

et

S ˆ

sont ` a d´ eterminer de mani` ere autocoh´ erente, puisque ce sont ` a la fois des observables et des param` etres du hamiltonien.

Le syst` eme autocoh´ erent poss` ede plusieurs solutions de natures diff´ erentes. A demi-remplissage, dans la phase antiferromagn´ etique de Slater,

l’aimantation altern´ ee m

= (

)

(

n

n

) prend, quel que soit U > 0, une valeur non nulle uniforme, cr´ eant dans la densit´ e d’´ etats un gap ∆ = m

U, qui se ferme ` a la temp´ erature de N´ eel T

d´ efinie par m

= 0. La th´ eorie de Slater d´ ecrit donc une transition de Mott-Heisenberg ` a l’interaction critique U

= 0. Son principal d´ efaut est de surestimer les degr´ es de libert´ e de spin par rapport ` a ceux de charge. Par exemple, avec U

t, T

est de l’ordre de U , ce qui semble beaucoup trop ´ elev´ e puisque le couplage antiferromagn´ etique est 4t

/U

U.

Dans un autre type de solution (ferromagn´ etisme de Stoner

), c’est l’aimantation m =

qui prend une valeur non nulle uniforme. L’´ etat fondamental ferromagn´ etique n’est

´ energ´ etiquement favorable, au sens du champ moyen, que pour d

3, de fortes valeurs de U , et un dopage notable.

1.6.2 Approximations de Hubbard-I et Hubbard-III

Dans les articles originaux o` u il introduisit le mod` ele qui porte son

nom,

Hubbard en proposa ´ egalement une solution approximative, fond´ ee sur

INTRODUCTION

l’´ equation du mouvement de la fonction de Green

(τ) =

T

c

(τ )c

(0)

(τ est le temps imaginaire et T

le produit chronologique). En effet, connaissant le hamiltonien, on sait exprimer ∂

(τ)/∂τ en termes d’autres fonctions de corr´ elation, impliquant en g´ en´ eral un plus grand nombre d’op´ erateurs. Comme ces nouvelles fonctions de corr´ elation ob´ eissent elles-mˆ emes ` a une ´ equation du mouvement, cette proc´ edure engendre, sauf cas particulier (particules libres, limite atomique), une hi´ erarchie infinie d’´ equations diff´ erentielles coupl´ ees. On peut toutefois, en faisant des hypoth` eses simplificatrices, rompre la chaˆıne d’´ equations et obtenir un syst` eme soluble.

L’approximation de Hubbard-I consiste ` a remplacer les op´ erateurs n

par leur valeur moyenne. On obtient alors

Gσ^Hub−I

(k, iω) =

1

n

iω + µ +

n

iω + µ

U

₋1

+ 2t

cos k

−1

.

Physiquement,

(k, iω) peut s’interpr´ eter comme suit : les ´ electrons de spin σ se propagent en sautant de site en site avec une amplitude de probabilit´ e t, chaque site pouvant ˆ etre soit vide (probabilit´ e 1

n

), soit d´ eja occup´ e par un

´ electron de spin oppos´ e (probabilit´ e

n

). Cette approximation donne une image satisfaisante de la phase isolante pour des interactions U grandes par rapport ` a la largeur de bande D = 2dt. La densit´ e d’´ etats se compose de deux bandes, dites

epar´ ees par un gap ∆ U

D. Cependant, ce gap ne se ferme jamais, quelle que soit la valeur de t. Dans l’approximation de Hubbard-I, les ´ electrons de spin

σ ne sont pris en compte que par leur densit´ e moyenne

n

, et leur dynamique est gel´ ee. En particulier, on n´ eglige les processus o` u un ´ electron de spin

arrive sur un site, ou le quitte, pendant que s’y trouve l’´ electron de spin σ dont on ´ etudie la propagation. L’approximation de Hubbard-III rem´ edie partiellement ` a cette lacune en proposant un sch´ ema de d´ ecouplage plus raffin´ e pour la s´ erie infinie d’´ equations du mouvement. Cette nouvelle approximation a l’avantage de d´ ecrire la fermeture du gap (c’est-` a-dire la transition de l’isolant vers le m´ etal) pour une valeur finie de la largeur de bande D

= 2U/

3 1.15U ` a demi-remplissage.

Cependant, l’approximation de Hubbard-III pr´ esente plusieurs faiblesses.

D’abord, elle ne rend aucun compte des corr´ elations antiferromagn´ etiques

qui peuvent se d´ evelopper. D’autre part, elle ne restitue jamais le pic de

quasi-particule du liquide de Fermi lorsque D

U. Enfin, c’est une approximation

non contrˆ ol´ ee, en ce sens qu’elle est issue d’un sch´ ema de d´ ecouplage quelque peu

arbitraire, impossible ` a am´ eliorer par une proc´ edure syst´ ematique.

INTRODUCTION 1.6.3 Fonction d’onde de Gutzwiller

Une autre mani` ere d’aborder le probl` eme est l’approche variationnelle.

Toute la difficult´ e r´ eside alors dans le choix de la fonction d’essai pour laquelle on cherche ` a minimiser l’´ energie. Gutzwiller

proposa la famille de fonction suivante :

ψ

= g

ψ

, o` u D ˆ =

i

n

n

est le nombre de sites doublement occup´ es, et

ψ

un produit de fonctions d’onde ` a un corps, comme par exemple la mer de Fermi. On montre que pour g = 0, g

est le projecteur sur l’ensemble des ´ etats sans double-occupation et, de fa¸con plus g´ en´ erale, que pour 0 < g < 1, g

(le corr´ elateur de Gutzwiller) diminue la valeur moyenne de l’occupation double. D’autre part, on s’accorde pour consid´ erer que g = 0 et n =

n

+

n

= 1 (demi-remplissage) est la seule situation dans laquelle la fonction de Gutzwiller d´ ecrive un isolant.

En dimension d = 1, le probl` eme variationnel peut ˆ etre r´ esolu exactement,

mais la solution se r´ ev` ele peu cr´ edible, car elle pr´ edit un

´ etat m´ etallique quel que soit U <

. On peut aussi obtenir la solution exacte pour d =

o` u la fonction de Gutzwiller donne effectivement une transition m´ etal-isolant, dite transition de Brinkman-Rice,

pour une valeur finie U

de l’interaction. La transition de Brinkman-Rice est passablement brutale, puisqu’elle se traduit par la localisation compl` ete de tous les porteurs (n = 1, aucun site doublement occup´ e).

De plus, ` a l’instar des solutions de Hubbard, l’approximation de Gutzwiller ne tient aucun compte des corr´ elations magn´ etiques.

On pourrait en principe pallier ce manque en introduisant de telles corr´ elations dans la fonction

ψ

, mais cela conduit en pratique ` a un probl` eme variationnel insoluble. Toutefois, un avantage notable de l’approximation de Gutzwiller est qu’elle se prˆ ete ` a un d´ eveloppement en 1/d ` a partir de la limite d =

.

1.6.4 Bosons esclaves

G. Kotliar et A. Ruckenstein

ont propos´ e une fa¸con originale de traiter la r´ epulsion coulombienne, en faisant appel ` a des champs bosoniques auxiliaires, appel´ es

ethode consiste ` a agrandir l’espace de Hilbert des

´ etats en autorisant la pr´ esence de quatre types diff´ erents de bosons : d

, s

, et e

. Physiquement, les seuls ´ etats acceptables sont ceux qui comptent exactement un boson par site, les bosons “d” r´ esidant sur les sites doublement occup´ es, les

“s

” sur les sites occup´ es par un seul ´ electron, de spin σ, et les “e” sur les sites

vides. Dans ce formalisme, le terme d’interaction est simplement proportionnel au

nombre de bosons “d” (U c

c

c

c

= U d

d

), et le saut d’un ´ electron entre deux

INTRODUCTION

sites s’accompagne toujours du remplacement d’un boson par un autre aux deux sites concern´ es.

On montre alors que l’approximation du col pour les bosons esclaves est

´ equivalente ` a l’approximation de Gutzwiller et, ` a ce titre, d´ ecrit la transition de Brinkman-Rice. Ici, toutefois, le ferromagn´ etisme et l’antiferromagn´ etisme peuvent ais´ ement ˆ etre ´ etudi´ es.

Il s’av` ere que la phase ferromagn´ etique est repouss´ ee ` a des valeurs de U encore plus grandes que dans la th´ eorie de Stoner, et d’autres indications confirment que le ferromagn´ etisme de Stoner est presque certainement absent du mod` ele de Hubbard.

Un d´ efaut inh´ erent ` a l’approximation du col dans ce contexte est de ne pas satisfaire exactement les contraintes garantissant que les ´ etats visit´ es sont tous physiquement acceptables. De plus, l’´ etude des fluctuations gaussiennes autour du col se r´ ev` ele probl´ ematique.

Mentionnons, pour conclure cette section, qu’il existe une autre version des bosons esclaves (dite de Barnes et Coleman

), o` u apparaˆıt naturellement comme petit param` etre de d´ eveloppement l’inverse 1/N

du nombre de “saveurs”

des ´ electrons. N

, cens´ e ˆ etre grand devant 1, est la d´ eg´ en´ erescence de la bande, c’est-` a-dire en fait seulement N

= 2 (pour les deux valeurs du spin) dans le cas du mod` ele de Hubbard.

1.6.5 M´ethodes num´eriques

Les m´ ethodes num´ eriques se rangent essentiellement en deux cat´ egories.

Dans les m´ ethodes de

on utilise un ordinateur pour calculer exactement (au sens num´ erique) les valeurs et vecteurs propres du hamiltonien pour des syst` emes finis. Toutes les quantit´ es physiques int´ eressantes en d´ ecoulent. Le probl` eme majeur de ces m´ ethodes est l’extraordinaire puissance de calcul qu’elles n´ ecessitent. En cons´ equence, les syst` emes sont limit´ es ` a de tr` es petites tailles (32 sites au maximum), et une ´ etude correcte des effets de taille finie n’est pas toujours possible. Cette restriction est d’autant plus nuisible qu’on s’int´ eresse aux fluctuations de basse ´ energie (i. e. de grande longueur d’onde).

D’autre part, le caract` ere discret de la r´ eponse est aussi un facteur limitant, notamment dans l’´ etude du poids spectral.

Les

dans lesquelles on calcule les

diverses quantit´ es par ´ echantillonnage al´ eatoire, permettent de traiter des syst` emes

plus grands, au prix d’un erreur statistique sur les r´ esultats. En revanche,

INTRODUCTION

l’obtention du poids spectral en fonction de la fr´ equence passe par une ´ etape de prolongement analytique num´ eriquement tr` es instable.

En d´ epit de leurs s´ ev` eres limitations, les calculs num´ eriques constituent une base appr´ eciable pour guider l’intuition physique, sugg´ erer des approximations, ou tester la validit´ e des approches analytiques.

1.6.6 D´eveloppements `a couplage faible et `a couplage fort

Finalement, on peut aborder le mod` ele de Hubbard sous l’angle de la th´ eorie des perturbations en construisant un d´ eveloppement, soit ` a U petit autour de la limite des particules libres (U = 0), soit ` a t petit autour de la limite atomique (t = 0).

Le d´ eveloppement ` a couplage faible, qui s’obtient grˆ ace aux r` egles et aux diagrammes de Feynman sous leur forme “standard”,

semble par nature peu ` a mˆ eme de d´ ecrire les effets de fortes interactions. Ceci est confirm´ e dans la r´ ef´ erence [29], par exemple, o` u l’on montre que la self-´ energie calcul´ ee ` a l’ordre U

est incapable de mener ` a l’ouverture d’un gap de charge dans la densit´ e d’´ etats. Y. Vilk et A.-M. S. Tremblay

ont mis au point une m´ ethode qui, sans ˆ etre une th´ eorie des perturbations ` a couplage faible, est exacte dans la limite U = 0, et se d´ egrade quand U devient trop grand. Leur solution se caract´ erise par le choix d’une forme RPA (approximation de la phase al´ eatoire) pour les susceptibilit´ es de spin et de charge, dans lesquelles interviennent deux valeurs renormalis´ ees diff´ erentes U

et U

de l’interaction U . Des r` egles de somme permettent de relier U

et U

` a

n

,

n

, et

n

n

en utilisant l’Ansatz suivant :

U

= U

n

n

n

,

on obtient un syst` eme ferm´ e d’´ equations autocoh´ erentes. Cette approche ´ etant conservative (au sens de Kadanoff et Baym

), les lois de conservation comme la r` egle de somme f sont exactement observ´ ees. La forme choisie pour U

et U

respecte le principe de Pauli en garantissant

n

=

n

. Cette m´ ethode suscite

un int´ erˆ et grandissant dˆ u aux succ` es qu’elle a remport´ es : elle rend compte de la

largeur anormalement grande du pic de quasi-particule en dimension d = 2,

explique la formation d’un pseudo-gap, et permet de d´ efinir une temp´ erature de

crossover au-dessous de laquelle les corr´ elations magn´ etiques s’accroissent de fa¸con

exponentielle.