OOppttiiqquuee CChhaappiittrree 44

C C h h a a p p i i t t r r e e 4 4

O O p p t t i i q q u u e e

C

!

Lois de la réfraction, principe de Fermat

Enoncé :

Pierre de Fermat (mathématicien et physicien français, 1601-1665) postula que les rayons lumineux répondaient à un principe très général selon lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d’un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum).

Un maître nageur, situé en un point A d’une plage, souhaite appliquer ce principe afin de porter secours le plus rapidement possible à un vacancier (situé en B) sur le point de se noyer à quelques brasses du bord de mer ! On note vr₁

et vr₂

les vecteurs vitesses (supposés constants) du maître nageur sur la plage (lorsqu’il court) et dans l’eau (où il nage).

Quel doit être le chemin suivi par le maître nageur afin que le principe de Fermat soit vérifié et le vacancier sain et sauf ? En déduire l’expression de la loi de la réfraction en optique.

Solution :

On choisit un repère qui simplifie le problème : on fait passer l’axe des abscisses par la droite qui sépare la plage de la mer et l’axe des ordonnées par le point A, position initiale du maître nageur. Dans un tel repère, les points A et B ont alors les coordonnées A (0,y_A) et B (x_B,y_B). La trajectoire du maître nageur va être constituée de deux portions rectilignes AI et IB, où I (x,0) désigne le point où le maître nageur se met à nager. On peut remarquer que la distance AI sera plus grande que la distance IB puisque le maître nageur va certainement plus vite en courant qu’en nageant !

Le temps T mis pas le maître nageur pour aller de A à B est alors :

Plage

Mer vr1

vr2

184 Chapitre 4

2

1 v

IB v T=AI+

En développant les valeurs de AI et IB, on obtient la dépendance suivante de T = T(x) en fonction de l’abscisse x de I :

2 2 B 2 B 1

2 A 2

v y ) x x ( v

y ) x

x (

T − +

+ +

=

L’extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle. Or :

2 B 2 B

B 2 2

A

1 2 (x x) y

) x x ( v

1 y x

x v

1 dx dT

+

−

− − +

=

En remarquant que :

) i AI sin(

x y x

x

2 1

2 A = =

+

et sin(i )

IB ) x x ( y ) x x (

) x x (

B 2 2B B 2

B − =

= +

−

−

(où les angles i1 et i2, par analogie avec l’optique (voir figure ci-dessus), peuvent être appelés angle d’incidence et angle de réfraction), la condition d’un temps extremum mis par la lumière (soit dT/dx=0) s’exprime alors sous la forme :

) i v sin(

) 1 i v sin(

1

2 2 1 1

=

Il suffit que les angles d’incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le chemin parcouru par le maître nageur soit effectivement celui qui prend le moins de temps. Il est en effet évident que ce temps extrémal correspond bien à un minimum ; en effet, la distance AI et donc le temps T peuvent être facilement rendus très grands si le maître nageur, manquant alors assurément de conscience professionnelle, décidait d’aller par exemple faire des courses avant de porter secours au pauvre vacancier !

Cas de la lumière et lois de Snell-Descartes :

On considère deux milieux (M₁) et (M₂) d’indices de réfraction respectifs n₁ et n₂. Soient deux points A et B situés respectivement dans le milieu d’indice n₁ (le point A) et dans le milieu d’indice n2 (le point B). Le principe de Fermat permet d’affirmer que le chemin emprunté par la lumière pour aller de A à B est tel que le temps mis pour le parcourir est extremum (le plus souvent minimum).

Par application de ce principe, un raisonnement similaire à celui effectué dans le cas du chemin suivi par le maître nageur, permet de démontrer la loi de la réfraction énoncée, vers 1620, par les physiciens Snell et Descartes : n₁sin(i₁)=n₂sin(i₂), où i₁ et i₂ sont respectivement les angles d’incidence et de réfraction (on rappelle que l’indice d’un milieu permet de connaître la vitesse v de la lumière dans ce milieu en fonction de celle dans le vide c ; v=c/n).

O yA A

y

B xB

x yB

i2

i1

I(x,0)

Plage

Mer

Optique 185

E

’

’

Lois de Descartes

Enoncé :

Une fibre optique est un guide de lumière qui permet un guidage de l’information par l’intermédiaire de la lumière qui peut s’y propager. Elle est constituée d’un cœur (en matériau transparent comme le verre ou le quartz) entouré d’une gaine d’indice optique plus faible afin que tout rayon lumineux rentrant à l’intérieur du cœur y reste piégé (phénomène de réflexion totale).

Le signal à transmettre par l’intermédiaire de la fibre est souvent un signal électrique ; celui-ci est alors transformé en signal lumineux par l’intermédiaire, par exemple, d’une diode électroluminescente et d’un dispositif modulateur. Ce signal est alors transmis au récepteur situé au bout de la fibre optique, dont la longueur peut être très grande (plusieurs milliers de km lors de la transmission d’informations d’un continent à un autre !) où il doit être transformé en courant électrique, par l’intermédiaire par exemple d’une photodiode ou d’un phototransistor, puis amplifié et traité.

Cet exercice propose l’étude d’une fibre optique appelée fibre optique à saut d’indice, constituée d’un fil cylindrique transparent d’indice n entouré d’une gaine transparente d’indice de réfraction n₁ plus faible. On donne n = 1,500, n₁ = 1,490 et a = 50 µm (voir figure).

On considère un rayon lumineux qui se réfléchit alternativement sur les deux dioptres en restant dans le plan (Oxy) ; on note θ l’angle (Ox,OA).

n1

n

x y

a / 2

− a / 2

θ

n1

O

A

Vue de face Cœur a Gaine

1. Montrer qu’il n’y a absence de rayon réfracté dans le milieu d’indice n1 que si θ1

θ < . Exprimer θ1 en fonction de n et de n₁. Calculer θ1.

2. Le rayon lumineux est émis en O à l’instant t = 0. Il se propage dans la fibre optique selon le trajet représenté sur la figure et est perçu par un détecteur placé à l’abscisse x à l’instant τ. Exprimer τ en fonction de θ, n, x et c (vitesse de la lumière dans le vide, égale à c = 3.10 ⁸ m.s⁻¹).

3. L’angle θ peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et θ1 ; par conséquent, τ est compris entre deux valeurs τ0 et τ0 + ∆τ.

a) Exprimer ∆τ en fonction de c, θ1, n et x.

b) L’intensité lumineuse de la source est une fonction du temps périodique I(t), représentée sur la figure ci-dessous. La durée de chaque impulsion est très brève devant la durée T qui sépare deux impulsions. La source étant en O, un détecteur est placé à l’abscisse x et reçoit l’intensité lumineuse I’(t). Représenter la fonction I’(t) en régime permanent, pour deux valeurs x₁ et x₂ telles que ∆τ(x₁)<T et ∆τ(x₂)>T.

186 Chapitre 4 c) Soit Tm la valeur minimale de T au-dessous

de laquelle, pour le détecteur situé à la distance x, il n’existe plus de plage d’intensité I’

nulle entre deux impulsions. Exprimer Tm en fonction de c, n, n1 et x.

d) Calculer, pour x = 1 km, Tm ainsi que l’ordre de grandeur du débit maximal de la fibre exprimé en nombre d’impulsions par seconde.

Quelle conclusion peut-on en tirer concernant la transmission de signaux à grande distance ?

Solution :

1. Un rayon lumineux au point A ne sera pas réfracté dans la gaine si l’angle d’incidence i (évalué par rapport à la normale à la gaine) est supérieur à l’angle limite i_L correspondant à un rayon réfracté tangent au dioptre, soit sini_L =n₁/n. Comme

θ

− π

= /2

i , on en déduit que θ≤θ₁=π/2−i_L, où l’angle maximal θ1 vérifie n

/ n ) 2 /

sin(π −θ₁ = ₁ , soit finalement cosθ₁=n₁/n. Numériquement, θ₁=6,60°.

n₁

n x

y a / 2

− a / 2

θ

n1

O

A i

Détecteur (x)

2. La longueur parcourue l par le rayon tracé sur la figure lorsqu’il arrive au détecteur placé à l’abscisse x est l=x/cosθ. Le temps τ mis pour parcourir cette distance dans la fibre, où la vitesse de la lumière vaut c / n, est τ=l/(c/n), soit :

= θ

τ cos

1 c nx

3-a) Le rayon qui se propage le long de l’axe (Ox) atteint le détecteur au bout d’une durée τ₀ =nx/c. Celui qui correspond à l’ouverture angulaire maximale (soit θ = θ1) arrive au bout de

1 0

1 cos

1 c nx

= θ τ

∆ + τ

=

τ , d’où : 







 −

= θ τ

∆ 1

cos 1 c nx

1

.

b) Dans le 1^er cas, ∆τ(x₁)<T, les impulsions lumineuses sont étalées mais arrivent encore séparées dans le détecteur. Par contre, lorsque ∆τ(x₂)>T, il y a recouvrement partiel des impulsions lumineuses (voir figures (a) et (b) suivantes).

c) Le détecteur placé à l’abscisse x pourra séparer deux impulsions successives si )

x ( T

T≥ _m =∆τ , soit 







 −

= θ 1

cos 1 c T nx

1

m . Avec cosθ₁=n₁/n, il vient :







 −

= 1

n n c T nx

1 m

T I(t)

t

Optique 187

T ) x ( ₁ ≤ τ

∆ T I(t), I’(t − τ₀)

(Echelle arbitraire)

t, t − τ₀ I(t)

I’(t − τ₀) Figure (a)

T ) x ( ₂ ≥ τ

∆ T I(t), I’(t − τ₀)

(Echelle arbitraire)

t, t − τ₀ I(t)

I’(t − τ₀) Figure (b)

d) Application numérique : pour x = 1 km, on trouve T_m =3,4.10⁻⁸s=34ns, ce qui correspond à un nombre D_m d’impulsions par seconde égal à D_m =1/T_m =3.10⁷s⁻¹, soit 30 Mbits.s ⁻¹.

La longueur parcourue par un rayon lumineux à l’intérieur de la fibre dépend de l’angle d’inclinaison θ à l’entrée de celle-ci ; plus l’angle augmente et plus le trajet est long. Les « zigzags » de ces rayons constituent des modes de propagation et la dispersion temporelle obtenue à la sortie de la fibre (une même impulsion lumineuse est étalée sur une durée ∆τ) est appelée dispersion intermodale. La transmission de signaux à grande distance ne pourra se faire à partir de fibres à saut d’indice. On utilisera plutôt des fibres « à gradient d’indice », dans lesquelles l’indice optique du cœur décroît continûment du centre vers le bord de la fibre, permettant alors de réduire les différences de distances entre les différents rayons lumineux se propageant dans la fibre. De telles fibres permettent actuellement d’atteindre des débits de l’ordre de 50 Gbits.s ⁻¹.

A

Interaction rayonnement-matière

Enoncé :

Dans la transmission optique numérique, l’information élémentaire, appelée « bit », correspond à la présence ou non de lumière. L’information apparaît sous forme d’une succession d’impulsions lumineuses. La fibre est caractérisée par le nombre B de bits qu’elle transmet par seconde. La transmission est limitée par la dispersion des impulsions (voir l’exercice « Etude d’une fibre optique à saut d’indice », page 185) et par l'atténuation au cours de la propagation.

Cet exercice s’intéresse à l’atténuation du signal dans la fibre optique.

188 Chapitre 4 On modélisera l'interaction entre la matière et la lumière (qui est une des causes de l'atténuation du signal lumineux)¹ par l'action du

champ électrique de l’onde lumineuse sur un électron dit « élastiquement lié » . Dans ce modèle, un atome de la fibre est supposé constitué d'un noyau fixe associé à un seul électron mobile de masse m et de charge − e. L'électron au repos et le noyau sont placés à l'origine O d’un repère cartésien (Oxyz). L’électron situé au point M est soumis aux trois forces suivantes :

• Une force de rappel de la part du noyau, de la forme krr

− , où rr

est le rayon vecteur OM^→ de l’électron.

• Une force de frottement fluide très faible, de la forme −f(dr^r/dt), f étant constant.

• La force électrique f^r_e due à l’action du champ électrique E^r de l'onde lumineuse, qui s’écrit f^r_e =−eE^r =−eE₀cosωtu^r_z, où u^r_z est le vecteur unitaire de l’axe (Oz), E₀ et ω désignant l’amplitude maximale et la pulsation du champ électrique. On suppose qu’à tout instant le champ électrique de l'onde lumineuse est le même dans tout l'espace où se déplace l'électron.

1. Expliquer qualitativement l’origine de la force de rappel et de la force de frottement.

2-a) Montrer que le mouvement de l'électron vérifie l'équation différentielle :

2 z 2 0

2

u t cos A dt r

r d 1 dt

r

d r r r r

ω τ ⁺ω ⁼

+

Exprimer les constantes ω0, τ et A en fonction des données.

b) En l’absence de champ électrique, déterminer la solution rr(t)

pseudo-oscillatoire de cette équation. Quelle est la signification physique de ω0 et τ ?

c) En présence de lumière et en régime établi, montrer que l’électron oscille parallèlement au champ électrique ; quelle est l’amplitude des oscillations ?

d) Exprimer la puissance moyenne rayonnée par l’électron dans tout l’espace, notée )

(

P_r ω , sachant qu’elle est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de son accélération a (P_r(ω)=C a² , où C est une constante). La puissance P de l’onde lumineuse étant proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ électrique associé, montrer que P_r(ω) est proportionnelle à P (on notera K le coefficient de proportionnalité). Donner l’allure de la courbe P_r(ω) en supposant un amortissement faible. Dans quel domaine de pulsations l’atténuation du signal sera-t- elle la plus faible ? Sachant que ω₀ ≈10¹⁶ −10¹⁷rad.s⁻¹, justifier l’utilisation des sources émettant dans le rouge et le proche infrarouge (λ ≈0,8−1,6µm).

3. On observe expérimentalement une décroissance exponentielle de la puissance lumineuse transmise par la fibre P en fonction de la longueur L de la fibre, de la forme

1 Les pertes par absorption dans la fibre peuvent également être dues à la présence d’impuretés dans la fibre (comme des ions métalliques et des ions OH ⁻).

Fibres optiques dans leur gaine isolante.

Optique 189 e L

) 0 ( P ) L (

P = ^−γ , où P(0) et P(L) sont les puissances à l’entrée et après une longueur L de fibre et γ un coefficient d’atténuation de la puissance qui dépend de la longueur d’onde.

a) En utilisant un bilan de puissance et le modèle de l’électron élastiquement lié, retrouver l’expression de la puissance P(L). On notera n le nombre d’atomes par unité de volume et S l’aire de la section transverse de la fibre.

b) La fibre est caractérisée par une atténuation² égale à 0,6 dB par km de fibre. A quelle distance d la puissance transmise est-elle divisée par 2 ? A quelle distance maximale d_max peut-on transmettre un signal si la source lumineuse fournit 10 mW (diode laser ³) et si l’on peut détecter 2 µW (avec une photodiode⁴, par exemple) ?

Solution :

1. La force de rappel, krr

− , modélise l’effet des autres électrons et du noyau de la fibre sur l’électron (voir l’exercice « Modèle atomique de Thomson », page 253). La force de frottement fluide, f(drr/dt)

− , traduit, de manière phénoménologique, les diverses causes d’amortissement (comme la perte d’énergie par rayonnement dipolaire, les chocs avec les autres particules, …).

2-a) Le principe fondamental de la dynamique, appliqué à l’électron dans le référentiel galiléen lié au noyau fixe, donne :

z 2 0

2

u ) t cos(

dt eE r f d r dt k

r

md r r

r r

ω

−

−

−

=

Soit, en posant ω₀ = k/m, τ=m/f et A=−eE₀ /m :

z 2

2 0 2

u t cos A dt r

r d 1 dt

r

d r r r r

ω

= ω τ + +

b) En l’absence de champ électrique, la solution (lorsque l’amortissement est faible) de l’équation différentielle d²rr/dt² (1/ )drr/dt ²₀rr 0r

= ω + τ

+ est de la forme :

) t cos(

e r ) t (

r =r₀ ^−t/2τ Ω +ϕ

r (avec Ω=ω₀ 1−1/4ω²₀τ² , pseudo-pulsation) L’électron possède un mouvement pseudo-oscillatoire amorti : τ donne l’ordre de grandeur de la durée de ces pseudo-oscillations, alors que ω₀ représente la pulsation des oscillations sinusoïdales pures lorsque le terme d’amortissement est négligé.

c) En régime permanent, la solution transitoire obtenue précédemment disparaît ; seule subsiste la solution particulière de l’équation différentielle obtenue à la question (2-a),

2 L’atténuation At de la fibre, de longueur L, est définie par la relation At = 10 log(P(0) / P(L)) et s’exprime en dB (Décibel).

3 Une diode laser est une diode à jonction (généralement en arséniure de gallium) dans laquelle se manifeste l’effet laser. Elle est utilisée comme transducteur optoélectronique dans les communications par fibres optiques.

4 Une photodiode est constituée par une jonction PN qui peut être éclairée extérieurement et fournir un courant qui dépend de l’intensité lumineuse reçue. Une photodiode possède une bonne sensibilité dans le domaine du spectre visible et de l’infrarouge.

190 Chapitre 4 que l’on peut chercher sous la forme rr Rcos( t )ur_z

ϕ + ω

= , parallèle au champ

électrique. En utilisant la notation complexe, on aura (où j est tel que j² =−1) :

z t j z t j j 2 0 z t j j z

t j j

2 1(j Re e )u (Re e )u Ae u

u ) e Re

( _{ϕ ω} r _{ϕ ω} r _{ϕ ω} r _ω r

= ω

+ τ ω

+ ω

−

Soit :

τ ω + ω

−

= ω

ϕ

/ j ) (

e A

R _{2 2}

0

j

D’où l’expression de l’amplitude R des oscillations :

(

)

τ ω + ω

− ω

=

d) Le vecteur accélération de l’électron est de la forme :

2 z 2

2r/dt Rcos( t )u

d

ar r r

ϕ + ω ω

−

=

=

Par conséquent, la valeur moyenne temporelle du carré de cette accélération (évaluée sur une période T=2π/ω de la lumière) est :

4 T 2

0

T

0 2 4

2 2

2 R

2 dt 1 ) t ( T cos R 1

dt T a

a = 1

∫

∫

D’où l’expression de la puissance moyenne rayonnée par l’électron :

(

)

4 4 2

2 2

r /

A 2

R C 2 a C C ) ( P

τ ω + ω

− ω

= ω ω

=

= ω

La puissance rayonnée par un électron apparaît proportionnelle à A², c’est-à-dire à

20

E ; autrement dit, la puissance rayonnée est proportionnelle à la puissance P de l’onde lumineuse et peut s’écrire sous la forme P_r(ω)=KP.

Dans le cas d’un amortissement faible, Ω=ω₀ 1−1/4ω²₀τ² ≈ω₀ et ω₀τ>>1, alors :

( )











ω

− τ ω ω

− ω + ω

= τ ω + ω ω

− ω + ω

= τ ω + ω

−

ω ₂

2 0 2 20 4 40 2 2 2 20 4 40 2 2 2

2 02

2 1 /

2 /

Soit, comme 1/ω²₀τ² <<1 :

( )

(

)

0 4 4 0 2 2 2

2 2

0 −ω +ω /τ ≈ω +ω −2ω ω = ω −ω

ω

D’où l’expression approchée suivante de la puissance rayonnée :

(

)

4 2

r 2

) CA ( P

ω

− ω

≈ ω ω

L’allure de P_r (ω) est donnée sur la figure ci-contre (avec ω₀ =5.10¹⁶ rad.s⁻¹).

ω (rad.s ⁻¹) ω0 = 5.10 ¹⁶

0

P_r (ω) ∞

Rouge et proche IR

CA² / 2

Optique 191 L’atténuation sera la plus importante (en théorie infinie lorsque l’amortissement est négligé !) pour ω=ω₀ et sera assez faible dans les domaines de la lumière rouge et de l’infrarouge (pour lesquels ω varie de ω≈10¹⁵ à 2,5.10¹⁵rad.s⁻¹), justifiant ainsi l’utilisation de telles sources de lumière pour la transmission d’informations par fibres optiques. La relation précédente pourra alors se simplifier, en remarquant que dans ce domaine ω² <<ω²₀ :

4 4 2 0 4

0 4 2

r 2

CA 2

) CA (

P λ

= λ ω

≈ ω

ω (avec λ₀ =2πc/ω₀)

La puissance rayonnée par l’électron est ainsi inversement proportionnelle à la puissance 4 de la longueur d’onde (c’est le phénomène de diffusion Rayleigh, qui permet d’expliquer notamment pourquoi le ciel est bleu par beau temps⁵).

3-a) On réalise un bilan de puissance lumineuse reçue par une tranche de fibre, située à l’abscisse x et d’épaisseur dx. Le nombre d’atomes dans cette tranche étant

nSdx , le bilan s’écrit :

) ( P ) nSdx ( ) dx x ( P ) x (

P = + + _r ω

Or, la puissance rayonnée P_r(ω) est proportionnelle à la puissance de l’onde à l’abscisse x (voir question (2-d)) et peut s’écrire sous une forme condensée

) x ( KP ) (

P_r ω = . Le bilan de puissance donne alors :

dx ) x ( P ) nSK ( ) x ( P ) dx x ( P

dP= + − =− soit dx

P

dP =−γ (avec γ=nSK) Par intégration entre x = 0 et x = L, on obtient bien la formule déterminée expérimentalement, à savoir P(L)=P(0)e^−γL.

b) Une atténuation de 3 dB correspond, d’après la définition même de A_t, à une diminution de la puissance lumineuse d’un facteur 2 : la puissance transmise est donc divisée d’un facteur 2 au bout de 5 km. On peut alors en déduire le facteur γ, qui vaut

km 1

14 , 0 km 5 / ) 2

ln( = ⁻

=

γ . Et, en notant P(0)=10mW et P(d_m)=2µW, on aura :

dm

m) P(0)e d

(

P = ^−γ d’où 61km

) d ( P

) 0 ( ln P d 1

m

m ≈









= γ

Afin d’étendre la portée des communications par fibres optiques, il est alors nécessaire d’amplifier régulièrement le signal lui-même lors de son voyage dans la fibre. C’est le but d’appareils appelés « répéteurs », qui amplifient le signal optique, le remettent en forme tout en filtrant une partie du bruit de fond. Bien que l’installation de répéteurs soit d’un coût de revient élevé (il faut en installer environ tous les 60 km !), 90% des fibres optiques sous-marines en sont équipées.

5 Les molécules de l’atmosphère (principalement celles de dioxygène et de diazote) vont diffuser davantage les radiations bleues que les radiations rouges de la lumière solaire ; voilà pourquoi le ciel paraît bleu par beau temps.

(nSdx) Pr (ω) P(x + dx) P(x)

x x + dx x

L

S

192 Chapitre 4

L’

-

-

Lois de Descartes, dispersion de la lumière

Enoncé :

Un arc-en-ciel s’explique par la réfraction de la lumière solaire à travers de fines gouttelettes de pluie. Lorsqu’un observateur est situé

dos au Soleil, la lumière solaire pénètre à l’avant d’une gouttelette, peut se réfléchir une fois puis ressortir par devant avant d’être reçue par l’œil de l’observateur.

Durant ce processus, la lumière blanche solaire se décompose en ses différentes couleurs constitutives (phénomène de dispersion ; la figure ci-contre, montrant Newton découvrant la nature de la lumière blanche en utilisant un prisme, illustre ce phénomène), chacune d’elles étant déviée selon un angle fonction de la longueur d’onde. On peut également observer un arc-en- ciel secondaire, provenant lui de la lumière solaire ayant subi une seconde réflexion à l’intérieur de la gouttelette d’eau.

1. On considère une sphère transparente d’indice moyen n = 1,337 (modélisant la gouttelette d’eau), de centre O, de rayon R, baignant dans l’air (d’indice pratiquement égal à 1). Cette sphère est éclairée par un faisceau de lumière parallèle, dont un rayon (x’A) atteint la sphère en A où se produit une réfraction. On choisit pour plan de figure le plan défini par O et (x’A). Soit B le point où le rayon réfracté recoupe la sphère. En B, la lumière peut être soit réfractée soit réfléchie, mais on ne considérera que le rayon réfléchi. On pose i = (OA,Ax’) et r = (AO,AB). Soit C le point où le rayon réfléchi en B recoupe la sphère. En C, on ne considérera que le rayon réfracté (Cy).

On pose α = (OX’,Cy).

i

r O

R

X’ X

A

y x’

B

C

Gouttelette d’eau

α

a) Peut-il y avoir réflexion totale en B ? Montrer que α =4r−2i. En déduire α en fonction uniquement de i et de n.

b) Construire la courbe α =α(i). Montrer que l’on peut restreindre l’intervalle d’étude à l’intervalle

[

]

2. Le faisceau d’éclairage est uniforme et une surface placée perpendiculairement à (X’X) reçoit une puissance lumineuse Φ0 par unité de surface.

Optique 193 a) Exprimer en fonction de Φ0, i et R la puissance lumineuse dϕ arrivant sur la sphère entre les incidences i et i + di. Vérifier ce résultat en calculant la puissance lumineuse totale incidente sur la sphère.

b) Tracer la courbe donnant les variations de dϕ/di en fonction de i. Que vaut ce rapport pour i = 59,2°, puis à son maximum ?

3. Le faisceau d’éclairage parallèle est fourni par le Soleil.

a) Montrer qu’il y a accumulation d’énergie au voisinage d’une certaine valeur de α et que l’on peut ainsi expliquer le phénomène d’arc-en-ciel.

b) On se propose dans cette question de trouver l’ordre de grandeur δα de l’étalement angulaire de l’arc-en-ciel. Exprimer la valeur maximale de α(i) en fonction de n seulement ; en déduire les valeurs extrêmes de α, sachant que pour les extrémités rouge et violette du spectre visible, l’indice n vaut respectivement 1,331 et 1,344.

Evaluer δα.

c) Dans des conditions telles que le Soleil soit à l’ouest, incliné de 10° au-dessus de l’horizon, de quel côté faut-il regarder pour observer un arc-en-ciel ? Le décrire et préciser sa hauteur angulaire maximale au-dessus de l’horizon. Préciser les circonstances météorologiques nécessaires à l’observation. Faire un croquis montrant le Soleil, l’observateur et l’arc-en-ciel. La partie extérieure de l’arc est-elle rouge ou violette ?

4. Comment expliquer qualitativement l’arc-en-ciel secondaire ?

Solution :

1-a) Arrivé en B, le rayon lumineux peut subir une réflexion mais aussi être réfracté à l’extérieur de la goutte, l’angle de réfraction à la sortie étant de nouveau i ! On ne considère, dans la suite, qu’un rayon incident subissant deux réfractions (en A et en C) et une réflexion en B.

i

r

X’ O X

A

y x’

B

C

Gouttelette d’eau

α

i − r + r

r

π − 2r r

i − r i

D

(Tous les angles sont ici comptés positivement)

Le rayon incident subit, arrivé en A, une première déviation angulaire égale à (i−r).

En B, il est de nouveau dévié d’un angle (π−2r). Enfin, en sortant de la gouttelette en C, il subit une dernière déviation angulaire de (i−r). Au bout du compte, lors de la traversée de la gouttelette, le rayon aura subi une déviation angulaire de

r 4 i 2

D=π+ − . L’angle α défini sur la figure est alors : i 2 r 4

D= −

− π

= α

194 Chapitre 4 En utilisant la relation de Descartes,

r sin n i

sin = , il vient :

i 2 i nsin arcsin 1 4 i 2 r

4 −



 



= 

−

= α

b) L’allure de la courbe α=α(i), tracée pour un angle d’incidence i variant uniquement, puisque la goutte d’eau est symétrique par rapport à l’axe (X’X), entre

[

]

Afin de déterminer les coordonnées de l’extremum, on différentie l’expression de α, di

2 dr 4

dα= − . Or, d’après la loi de Descartes, cosidi=ncosrdr, d’où : di 1 i sin n

i cos 2 2

di 2 n / ) i (sin 1 n

i cos di 4

2 rdi cos n

i cos d 4

2 2 2

2 











−

−

 =













−

−

=

−

= α

Ainsi, dα/di=0 si :

0 i 1 sin n

i cos 2

2

2 − =

−

soit 4cos²i=n² −sin²i

Finalement, l’angle α maximum est obtenu pour l’angle d’incidence i=i_M tel que : 3

/ ) 1 n ( i

cos _M = ² −

Avec n=1,337, on obtient i_M =59,2° et α(i_M)=41,5°.

2-a) La puissance lumineuse dϕ arrivant sur la gouttelette entre les incidences i et i + di vaut (voir figure ci-dessous) :

di i 2 sin R

di i cos i sin R

2 ) di i cos R )(

i sin R 2 ( dS

dϕ=Φ₀ =Φ₀ π = π ²Φ₀ =π ²Φ₀

i i + di

R O R.sini

R.cosi di

dS = 2πR ² sini cosi di Lumière

solaire

La puissance lumineuse totale reçue par la gouttelette est alors :

2 0 2 /

0 2 0

2 /

0 2 0 cos2i R

2 R 1

di i 2 sin

R  =π Φ

 



− Φ π

= Φ

π

= ϕ

π π

∫

0 20 40 60 80 i (°)

40 30 20 10 0

α (°)

i_M α (i_M)

Optique 195 Le résultat obtenu, montrant que la puissance lumineuse reçue par la gouttelette est égale au produit de Φ₀ par la surface du plan équatorial de la gouttelette, est bien conforme à ce que l’on pouvait attendre.

b) L’allure de la courbe

di d R

1

2 0

ϕ Φ

π est donnée ci-dessous :

di d R

1

0 2

ϕ Φ π

0 20 40 60 80 i (°)

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

0 45° iM

0,88

) di / d

( ϕ est maximum pour i=45°, valeur pour laquelle dϕ/di=πR²₀Φ₀. Pour

°

=

=i 59,2

i _M , alors dϕ/di=0,88πR²₀Φ₀, valeur proche du maximum observé pour

°

=45

i .

3-a) La question (1-b) a montré que l’angle α prenait une valeur maximale pour un angle d’incidence i_M =59,2° ; par conséquent, tous les rayons qui arrivent sur la goutte avec des angles d’incidence proches de iM conduisent pratiquement à la même valeur de l’angle α. On observera alors, dans la direction moyenne donnée par l’angle

) i ( _M

α , un faisceau de rayons quasiment parallèles et d’autant plus lumineux que, d’après la question (2-b) précédente, l’énergie lumineuse (dϕ/di) est encore importante pour des angles d’incidences proches de iM.

b) Connaissant cosi_M = (n² −1) 3, on déduit l’expression suivante de sini_M, 3

) n 4 ( i

sin _M = − ² puis celle de la valeur maximale α(i_M) :











 −

−











 −

=

−



 



= 

α 3

n arcsin 4

3 2 n 4 n arcsin 1 4 i 2 i nsin arcsin 1 4 ) i

( _{M M M} ^{2 2}

Les valeurs correspondantes α_v(i_M) et α_r(i_M) pour la lumière violette et pour la lumière rouge, pour lesquelles les valeurs de l’indice sont n_v =1,344 et n_r =1,331, s’en déduisent :

°

=

α_v(i_M) 40,5 et α_r(i_M)=42,4°>α_v(i_M)

L’étalement angulaire de l’arc en ciel vaut alors δα=α_r(i_M)−α_v(i_M)=1,9°.

c) L’observateur voit apparaître un ensemble de portions de cercles concentriques projetées sur le ciel (il faut être par exemple en avion pour observer les cercles dans leur intégralité), dont les centres se trouvent sur la droite issue de l’œil de

196 Chapitre 4 l’observateur et parallèle aux rayons lumineux émis par le Soleil (voir figure, sur laquelle n’a été représenté qu’un seul cercle, de centre O). En effet, en tout point d’un de ces cercles, l’angle entre un rayon lumineux qui atteint l’observateur et la direction initiale des rayons solaires est bien constamment égale à α(i_M). Le phénomène de dispersion de la lumière entraîne un étalement angulaire de l’arc-en-ciel entre α_v(i_M) et α_r(i_M), de l’ordre de 2°, le cercle supérieur apparaissant rouge et le cercle inférieur violet.

α_r(i_M) α_v(i_M)

Violet Rouge

Centre O de l’arc θ = 10°

Ouest Est

Deux observateurs voient des arcs-en-ciel différents, centrés en des points distincts et l’on peut remarquer que si l’un des observateurs se déplace en voiture par exemple, l’arc-en-ciel se déplace alors avec lui.

Observer un arc-en-ciel nécessite de laisser le Soleil derrière soi. De plus, la lumière venant du Soleil doit pouvoir être suffisamment rabattue pour pénétrer dans l’œil de l’observateur. Par conséquent, si l’angle d’inclinaison des rayons solaires sur l’horizon est trop grande, l’observateur ne pourra visualiser l’arc-en-ciel. La valeur maximale θmax d’inclinaison de ces rayons se détermine en écrivant que θ_max +π−α(i_M)=π, soit θ_max =α(i_M) : grosso modo, la hauteur angulaire du Soleil sur l’horizon ne doit pas dépasser 41,5° pour espérer voir apparaître un arc-en-ciel, dont l’étalement angulaire est de l’ordre de 2°. Dans l’exemple proposé par l’exercice, la hauteur angulaire au-dessus de l’horizon de l’arc-en-ciel vu par l’observateur est donnée par la différence angulaire α(i_M)−θ, soit environ 31,5° avec θ=10 . °

Goutte d’eau

A gauche, arc-en-ciel secondaire. A droite, figure extraite de « l’Optique » de Newton (paru en 1704), décrivant le phénomène de l’arc-en-ciel.

Optique 197 4. Un arc-en-ciel secondaire est parfois observé au-dessus de l’arc-en-ciel principal : il s’interprète en supposant (voir figure de gauche précédente) que la lumière du Soleil effectue une réflexion supplémentaire à l’intérieur de la goutte d’eau.

L’arc-en-ciel secondaire est situé plus haut (environ 52° au lieu de 41,5°), possède un étalement angulaire plus grand (égal à 4°) et est moins intense (environ 43% de l’intensité de l’arc-en-ciel principal). Par ailleurs, l’ordre des couleurs est inversé : le rouge apparaissant à l’intérieur et le violet à l’extérieur.

L

Lois de Descartes, milieu inhomogène

Enoncé :

Un observateur, dont l’œil est situé à une hauteur H au-dessus du sol, se promène sur une route goudronnée horizontale chauffée par le Soleil. La couche d’air au voisinage du sol présente un fort gradient de température. On note T0 = 300 K la température au ras du sol (en z = 0) et on suppose qu’elle décroît de manière linéaire pour atteindre T₁ = 290 K à z₁ = 1 m du sol. Pour z≥z₁, la température reste pratiquement constante et égale à T1. Le promeneur

remarque devant lui, sur le sol, une tache bleutée (reflet du ciel qui simule la présence d’une flaque d’eau). Le bord de la tache le plus proche du promeneur est à la distance d de celui-ci.

On suppose que l'atmosphère (A), de composition constante, est formée par un empilement de lames à faces parallèles horizontales et transparentes (couches

élémentaires d'indice n(z)). On néglige le caractère dispersif de l'air. L'espace est orienté par l'axe vertical (Oz) ascendant, l'origine O étant choisie au niveau du sol.

L'indice n(z) de réfraction de l'atmosphère (A) est relié à la masse volumique ρ(z) de l'air par la loi de Gladstone : n(z)−1=kρ(z) (avec k constante positive). Au niveau du sol, sous la pression P₀ =1bar et à la température T₀ =300K, l'indice de l'air (assimilé à un gaz parfait) vautn₀ =1,00029.

1. On considère les rayons, issus du ciel, qui définissent la tache sur le sol et qui pénètrent dans l’œil du promeneur. Soit ε l’inclinaison d’un rayon (angle entre sa direction de propagation et l’horizontale). Dessiner la trajectoire du rayon qui présente une inclinaison maximale εm à la hauteur H. Donner la relation entre n_H =n(z=H), n0 et εm. En supposant d >> H, déterminer, en fonction de nH et n0, une expression simplifiée de εm.

2. La pression de la couche d'air, au voisinage du sol, est supposée constante.

Etablir une relation entre les variations relatives dn(z) / n(z) et dT(z) / T(z). En déduire une valeur approchée de d, si H = 1,80 m. Expliquer pourquoi la tache bleutée semble

« danser » sur le goudron.

Hourra ! Je vais prendre un bon

bain !

198 Chapitre 4 3. Le phénomène précédent correspond à la concavité des rayons lumineux tournée vers le haut. Dans certaines circonstances, les rayons présentent une concavité tournée vers le bas. Quelles sont les conditions climatiques requises pour observer un tel phénomène ?

Solution :

1. Un rayon lumineux qui passe d’un milieu (1) plus réfringent à un milieu (2) moins réfringent (soit n₁ >n₂) s’éloigne de la normale à la surface de séparation de ces deux milieux⁶. A pression constante, la masse volumique de l’air, et donc l’indice de l’air, diminuent lorsque la température augmente ; par conséquent, un rayon lumineux provenant du ciel est courbé en arrivant au sol en présentant une concavité tournée vers le haut.

Le rayon d’inclinaison maximale εm qui arrive dans l’œil de l’observateur correspond à un rayon qui a « frôlé » le sol au point I (voir figure, pour laquelle les dimensions n’ont pas été respectées pour plus de clarté !).

Tâche bleutée z

εm

d

H π / 2 − εm

Atmosphère (A), à la température T1

Températures croissantes

I

A z1 = 1 m

T0

Indices croissants O

On peut remarquer qu’à partir de l’altitude z1 = 1 m, la température reste pratiquement constante ; par conséquent, l’indice de l’air ne varie plus (égal à nH) et la trajectoire du rayon lumineux devient rectiligne.

La loi de Descartes relative à la réfraction, écrite aux points I et A, donne :



 



π−ε

=



 



π

m H

0 n sin 2

sin 2

n soit n₀ =n_Hcosε_m

En supposant H<<d, l’angle εm est faible (tanε_m ≈ε_m ≈H/d<<1). La relation précédente devient alors :



 



 − ε

≈ _H ²_m

0 2

1 1 n

n soit 







 −

≈ ε

H 0

m n

1 n 2

2. La masse volumique ρ de l’air, assimilé à un gaz parfait, s’écrit en fonction de la température T(z) à l’altitude z sous la forme ρ=(P₀M/R)(1/T(z)), où P0 est la pression de l’air supposée constante, M sa masse molaire et R la constante des gaz parfaits. L’expression de la loi de Gladstone devient alors :

6 Ce résultat se démontre à partir de la relation de Descartes relative à la réfraction, n₁sini₁=n₂sini₂, où i1 et i2 désignent respectivement l’angle d’incidence et l’angle de réfraction.

Optique 199

) z ( T

1 R 1 kMP ) z (

n − = ⁰

La différentielle logarithmique de l’expression précédente donne : )

z ( T

) z ( dT 1 ) z ( n

) z (

dn =−

− d’où

) z ( T

) z ( dT ) z ( n 1 1 ) z ( n

) z (

dn 







 −

−

=

Si l’on assimile la variation de température ∆T=T₁ −T₀ entre le sol et l’altitude de 1 m à une différentielle (ce qui est légitime car ∆T =10K<<300K), alors la variation d’indice (n_H −n₀) vaut :

6 0

0 0 1

0 0 1 0 0 0

H 9,7.10

T T )T n 1 T (

T T n 1 1 n n

n − = ⁻

−

− =







 −

−

≈

−

L’angle εm vaut alors

0 0 H H

0 H H

0

m n

n 2n n

n 2n n

1 n

2 −

− ≈

 =







 −

=

ε et la distance d

est finalement donnée par la relation :

0 0 H

m n

n 2n H H

d −

ε =

= soit 410m

n n

n 2 H 1 d

0 H

0 =

= −

Le fait que la tâche bleutée semble « danser » sur le goudron provient des fluctuations temporelles de l’indice de réfraction.

3. Un rayon lumineux issu du sol sera dévié vers le bas si l’indice optique diminue avec l’altitude, autrement dit si (en supposant la pression constante) la température augmente lorsque l’on s’élève dans l’atmosphère. De telles conditions climatiques se produisent par exemple en été, lorsque l’air au contact de la mer (voir figure) est refroidi à une température plus faible que celle des couches d'air situées au-dessus.

Une île située derrière l’horizon peut alors devenir visible, apparaissant à l’œil du navigateur comme une image floue et tremblotante.

Mer Températures

croissantes

Indices croissants

De tels mirages sont appelés « mirages supérieurs », contrairement à ceux étudiés précédemment, appelés « mirages inférieurs ».

200 Chapitre 4

D

Lois de Descartes, milieu inhomogène

Enoncé :

L'espace est orienté par l'axe vertical (Oz) ascendant, l'origine O étant choisie au niveau du sol. L'indice n(z) de réfraction de l'atmosphère (A) est relié à la masse volumique ρ(z) de l'air par la loi de Gladstone : n(z)−1=kρ(z) (avec k constante positive). Au niveau du sol, sous la pression P₀ =1bar et à la température

K 300

T₀ = , l'indice de l'air (gaz parfait) vaut n₀ =1,00029 . Cet indice décroît continûment jusqu'à la valeur n = 1 aux confins de l'atmosphère.

On suppose que l'atmosphère (A), de composition constante, est formée par un empilement de lames à faces parallèles horizontales et transparentes (couches élémentaires d'indice n(z)). On néglige le caractère dispersif de l'air : l'indice n(z) correspond à une certaine longueur d'onde du spectre visible.

Du point O, on repère la direction d'une étoile de diamètre apparent négligeable. Sans atmosphère, l'angle α (appelé distance zénithale) entre la direction de l'étoile et la verticale (Oz) en O serait directement mesuré. En présence de l'atmosphère (A_{), la} position apparente de l'étoile diffère de sa position réelle : on relève une distance zénithale apparente α' au lieu de α.

1. Peut-on considérer qu'à l'approche de la Terre, le faisceau lumineux émis par l'étoile est cylindrique ? Qu'en est-il au niveau du sol ? Expliquer l'existence de l'écart

α' α

δ = − à l'aide d'un schéma clair.

2. Soient i(z) l'angle d'incidence d'un rayon lumineux à la traversée de la couche d'indice n(z) et x la coordonnée horizontale du point courant du rayon. Déterminer l'équation différentielle de la trajectoire suivie.

3. Montrer que les valeurs de α' admettent une limite théorique α'_l, lorsque les distances zénithales sont importantes. Calculer α'_l.

4. On pointe le centre de la Lune, situé à D = 385 000 km de la surface de la Terre, avec une distance zénithale apparente α'=50°. Calculer δ. Quelle erreur commet-on sur la position du centre de la Lune ?

5. On utilise le fait que δ <<α,α'.

a) Exprimer δ en fonction uniquement de n0 et α, puis en fonction de α et de la masse volumique au sol ρ0. On utilisera le fait que k ρ0 << 1.

b) Une variation de la pression et de la température à la surface du sol modifie la valeur de n0. Exprimer la variation relative dδ /δ en fonction des variations relatives de P0 et de T0. Calculer la variation de position apparente du centre de la Lune (pointé initialement avec α'=50°) si, au sol, la température T0 baisse de 10 K et la pression augmente de 3 kPa.

c) Compte tenu de ce qui précède, quels conseils peut-on donner pour l'installation d'un observatoire ?

Optique 201

Solution :

1. L’étoile, située très loin de la Terre, est observée avec un diamètre apparent (défini comme l’angle sous lequel de la Terre on voit le diamètre de l’étoile) pratiquement nul. Elle peut être ainsi assimilée à une source ponctuelle émettant un faisceau de lumière quasi-parallèle cylindrique. Les rayons constituant ce faisceau, arrivant dans l’atmosphère terrestre (voir figure (1)) vont tous être réfractés de la même manière : le faisceau arrivant sur la Terre sera donc toujours cylindrique.

Etoile

α’ α z

x O

Atmosphère (A)

O x

z

Indices croissants

Figure (1) Figure (2)

Etoile α

z i(z)

n(z) n = 1

n0

z + dz dx

dz α’

+

2. La figure (2) précise les notations. L’atmosphère possède une structure stratifiée : elle est considérée comme la superposition de couches infiniment minces, d’épaisseur dz, dans lesquelles l’indice optique n(z) peut être considéré comme étant pratiquement constant. L’application de la loi de Descartes relative à la réfraction permet d’écrire, de proche en proche :

cste ' sin n ...

) z ( i sin ) z ( n ...

sinα= = = = ₀ α =

En remarquant que (voir figure (2)) :

i sin 1

i sin i

cos i sin dz i dx

tan 2

−

=

=

= (i∈

[

]

et en utilisant l’expression précédente de la loi de Descartes, on obtient alors l’équation différentielle vérifiée par les coordonnées x et z d’un rayon lumineux à travers l’atmosphère :

0 2 2

0 0 2

0

) ' sin n ( ) z ( n

' sin n ))

z ( n / ' sin n ( 1

) z ( n / ' sin n dz

dx

α

−

= α α

−

= α

La résolution de cette équation différentielle nécessite la connaissance de l’indice n(z) en fonction de l’altitude z, c’est-à-dire le choix d’un modèle permettant d’évaluer, d’après la loi de Gladstone citée dans l’exercice, la masse volumique de l’air atmosphérique.

3. La distance zénithale apparente α’ est reliée à la distance zénithale réelle α par '

sin n

sinα= ₀ α . Par conséquent, pour de grandes distances zénithales (soit 2

/ π

→

α ), les distances zénithales apparentes observées vont tendre vers la valeur limite α^'_l=arcsin(1/n₀). Numériquement, avec n₀ =1,00029, α^'_l =88,6°.

202 Chapitre 4 4. La distance zénithale réelle α entre la Lune et la verticale (Oz) vaut

°

= α

=

α arcsin(n₀sin ') 50,02 et l’écart : rad 10 . 45 , 3 02 , 0

'= °= ⁻⁴

α

− α

= δ

La distance lentre la position apparente et la position réelle du centre C de la Lune est alors (voir figure ci-contre), en notant D la distance Terre-Lune, l=Dδ=133km.

5-a) En remplaçant α’ par α−δ dans l’expression de la loi de Descartes, il vient :

α

= δ

−

α ) sin sin(

n₀

Or l’écart δ étant faible, sin(α−δ)=sinαcosδ−sinδcosα≈sinα−δcosα et ainsi : α

≈ α δ

−

α cos ) sin (sin

n₀ soit − α

≈

δ tan

n 1 n

0 0

En utilisant la loi de Gladstone, on obtient : ρ α +

= ρ

δ tan

k 1

k

0 0

Comme kρ₀ <<1, 1/(1+kρ₀)≈1−kρ₀ et par conséquent, au 1^er ordre en kρ₀ : α

ρ

=

δ k ₀ tan

b) Si l’on assimile l’air atmosphérique à un gaz parfait, la masse volumique au sol peut s’écrire ρ₀ =MP₀/RT₀, où M désigne la masse molaire de l’air et R la constante des gaz parfaits. L’écart δ devient alors :

0 0

T tan P R

kM 



 



 α

= δ

Une variation de la pression et de la température au sol entraîne une modification de l’écart δ. L’expression de la différentielle logarithmique de l’expression précédente donne directement la relation suivante entre les différentes variations relatives :

0 0 0

0

T dT P d dP

− δ =

δ

Si l’on assimile les variations de température ( ∆T₀ =10K<<T₀ =300K) et de pression (∆P₀ =+3.10³Pa<<P₀ =10⁵Pa) à des différentielles, il vient que la variation ∆δ de l’écart δ observée sera ∆δ=(∆P₀ /P₀ −∆T₀/T₀)δ et la variation ∆l de la distance entre les positions réelle et apparente du centre de la Lune :

km 4 , T 8

T P

D P T

T P

D P

0 0 0

0 0

0 0

0  =







 ∆

∆ −

=

 δ







 ∆

∆ −

= δ

∆

=

∆l l

c) Afin de diminuer l’influence de l’atmosphère sur la lumière provenant des astres (réfraction comme étudiée dans ce problème, mais aussi absorption, diffusion,

l

O z

x C_app

C

D δ