OPTION : PHYSIQUE

Agrégation

OPTION : PHYSIQUE

Épreuve C : Problème de Physique - Session : 1991

par LECARDONNEL

PREMIER PROBLÈME L’EFFET AHARONOV-BOHM

I. QUESTIONS PRÉLIMINAIRES

1. a. L’énergie cinétique des électrons, initialement au repos et ayant été soumis à la différence de potentiel V

, est donnée par l’expression :

c

= e V

tant en mécanique newtonienne qu’en mécanique relativiste. En mécanique relativiste elle s’écrit par ailleurs :

c

= (γ – 1 ) m

c

d’où l’on tire : γ = 1 +

m

c

= 1 + e V

m

c

Avec les valeurs fournies par l’énoncé on trouve :

e V

m

c

= 0,29

L’énergie cinétique des électrons n’est donc pas négligeable devant leur énergie de masse, ce qui justifie l’usage de la relativité.

b. La quantité de mouvement de l’électron relativiste s’écrit : p = γ m

v = γ β m

c où β = v ⁄ c. L’identité γ



 1 – β



 = 1 permet d’éliminer β et de trouver : p = 

γ

– 1



1 2

m

c et, par simple remplacement de γ par son expression :

p = 







 2e V

m



 

1 + e V

2 m

c

 













1 2

c. On obtient : γ = 1,29 β = 0,63.

OPTION PHYSIQUE 3

L’indication de l’énoncé m

c

= 0,511 MeV permet d’attribuer à la quantité m

c (homogène à une quantité de mouvement) la valeur 0,511 en utilisant l’unité «MeV / c».

On en déduit : p = 0,42 MeV / c (ou 2,24 . 10

kg . m.s

) 2. a.

Un plan quelconque contenant le fil est plan de symétrie («positive») pour la répartition des charges qu’il porte (Figure 1a). Le champ électrique E → (vecteur polaire) créé en un point quelconque M de ce plan y est contenu [1]. Le même argument s’applique à un plan orthogonal à F (Figure 1b). Maintenant par tout point M de l’espace non situé sur le fil passent un plan qui le contient et un plan qui lui est orthogonal. Le champ électrique créé en ce point est porté par l’intersection des deux plans mentionnés. Il est donc radial (Figure 1c).

De plus la distribution de charges est invariante par rotation autour de la direction du fil et par translation parallèlement à celle-ci. Le champ électrique a donc même valeur E en tout point d’un cylindre de révolution d’axe porté par F.

E s’obtient alors par application du théorème de Gauss à une surface fermée en forme de cylindre de révolution d’axe porté par F, de hauteur h et de rayon r :

E × 2 π r h = Λ h ε

d’où : E = 1

2 π ε

Λ r puis : E → = 1

2 π ε

Λ r r →

r = 1

2 π ε

Λ r → r

Le potentiel électrostatique est défini par la relation :

E → = – grad → V

qui se réduit ici à : 1 2 π ε

Λ

r = – dV dr

On obtient immédiatement : V = Λ 2 π ε

ln r

r où r

est une constante arbitraire homogène à une longueur.

b. Les éléments de symétrie du champ électrique sont les mêmes qu’à la question précédente. Le champ et

Figure 1b Figure 1c

Figure 1a

4 OPTION PHYSIQUE

le potentiel ont mêmes expressions. L’élimination de r

entre les potentiels V

et V

des cylindres de rayons r

et r

conduit à :

U = V

– V

= Λ 2 π ε

ln r

r

c. On trouve Λ = 6.10

C.m

et : K = Λ

2 π ε

= U ln r

r

3. On obtient : λ = h

p = 2,96 pm

II. LES EXPÉRIENCES DE MÖLLENSTEDT, DÜCKER ET FAGET, FERT (1955)

1. a. La trajectoire d’un électron incident est très peu affectée par la traversée de la région du champ électrique. On considérera, dans l’approximation «d’ordre zéro», qu’elle est rectiligne et parcourue à vitesse v → constante ; sur la Figure 2 elle est notée X’X et b désigne le paramètre d’impact. On peut alors calculer, comme correction du premier ordre, la variation de quantité de mouvement ∆ → p

cherchée. La composante f →

y

de la force électrique orthogonale à X’X a comme valeur : f

= – e K

r sin θ

Pendant l’intervalle de temps dt elle produit la variation de quantité de mouvement : dp

= – e K

r sin θ dt = – e K

r sin θ dX v

où X, abscisse de l’électron comptée à partir de la projection orthogonale de F s’écrit : X = – b ⁄ tg θ

Compte tenu de r = b ⁄ sin θ il reste simplement : dp

= e K

v d θ D’où : ∆ p

= e K

v π

Le champ électrique étant symétrique par rapport au plan contenant F et orthogonal à X’X, la composante longitudinale f →

de la force électrique n’introduit pas de correction du premier ordre :

∆ p

= 0

b. désignant l’énergie relativiste d’un électron et p son énergie potentielle dans le champ électrique, la somme + p reste constante. De plus, la région du champ étant en pratique d’extension finie, le potentiel électrostatique «vu» par sa particule avant (indice «1») et après (indice «2») sa traversée du champ est le même.

Figure 2

OPTION PHYSIQUE 5

On a donc : p

= p

d’où :

=

puis : 

 p →

  = 

 p →

 

On peut construire le diagramme ci-dessous (Figure 3) des quantités de mouvement, en forme de triangle isocèle où sont figurés l’angle de déviation α et la variation de quantité de mouvement ∆ → p

calculée au a.

Figure 3

On obtient : α = ∆ → p



p = π e K

p v = π

ln 

 r

⁄ r



 e

p v U Remarques :

(i) Bien sûr on ne confondra pas ∆ → p

 , terme du premier ordre et ∆  p →

 ...qui est nul ! (ii) De même la composante de ∆ → p

sur la direction de p →

(ou sur celle de p →

) est un terme de second ordre.

Il n’y a donc pas de contradiction entre le diagramme présenté et les considérations développées au a. où

∆ → p

est perpendiculaire à la trajectoire «d’ordre zéro».

c. On peut écrire : α = π e K

γ β

m

c

= π γ

γ

– 1 e K m

c

ou encore : α = π γ γ + 1 e K

= π γ γ + 1 K

V

A la limite non relativiste la quantité π γ / (γ + 1 ) vaut π ⁄ 2. Dans le cas étudié on trouve 1,77. Alors :

α = 1,77 ln 

 r

⁄ r



 U

V

= 1,28 . 10

U (U en volts)

Soit α = 1,28 . 10

rad pour U = 10 V.

2. a. Une trajectoire issue de S, située dans le plan de section principale, et passant au voisinage de F fait un angle β petit avec l’axe Sx (Figure 4). L’angle de déviation α est lui-même très petit. Il est alors légitime d’assimiler la trajectoire complète à deux demi-droites se coupant pratiquement sur l’axe Fy. L’équation de la portion émergente s’écrit :

y – β d = (β – α) x

Figure 4

6 OPTION PHYSIQUE

Elle coupe le plan passant par S et parallèle au plan de section principale, d’abscisse x = – d, en un point dont l’ordonnée est fournie par :

y – β d = (β – α) ( – d ) soit : y = α d

Cette quantité est indépendante de β , ce qui établit (pour les rayons étudiés et dans le cadre de l’approximation admise) le stigmatisme du dispositif. On a donc :

a = 2 α d b. Numériquement : a = 0,26 µ m 3. a. La fonction d’onde d’une onde plane contient le facteur :

exp ( i k →

OM → )

où M désigne un point de l’espace et O une origine. Dans le cas d’une onde localement plane, ce facteur devient :

exp 

 i ϕ( M )



où ϕ (M) est la phase de l’onde en M. Pour un déplacement élémentaire dl → , l’écart de phase d ϕ s’écrit d ϕ = grad → ϕ

dl → . En posant k → = grad → ϕ , il prend la forme correspondant au cas de l’onde plane, soit :

k →

•

dl → = p →

•

dl → h

Remarque : L’hypothèse «locale» assure que les surfaces d’onde sont orthogonales aux trajectoires. Les trajectoires émergentes passant entre F et P

semblant provenir de la source ponctuelle S

. L’onde correspondante est donc une onde sphérique centrée sur ce point. De même pour l’autre «fenêtre» du dispositif.

b. - c. L’écart de phase entre S et M, pour l’onde ayant traversé la fenêtre 1 s’écrit : ϕ

= 1

h

Figure 5

OPTION PHYSIQUE 7

∫ ^{p →}

^{dl →}

où est le contour fermé obtenu par la réunion de

et

, orienté dans le sens de

(cf. Figure 5).

∫

2

p →

dl →

La différence de phase en M est :

ϕ = ϕ

– ϕ

= 1 h

∫

1

p →

dl →

Pour l’onde ayant traversé la fenêtre 2 : ϕ

= 1

h

d. En appelant ϕ ( S

) et ϕ ( S

) les phases des sources secondaires S

et S

, on peut écrire aussi : ϕ

= ϕ ( S

) + 1

h ∫

S₁M ____

p →

•

dl → = ϕ ( S

) + 1

h p

S

M

et : ϕ

= ϕ ( S

) + 1 h

p ( S

M – S

M ) = 2 π S

M – S

M λ

comme pour les interférences à deux ondes (par division de front d’onde) en optique.

b. Le calcul classique de l’optique conduit à : i = λ D

a = λ ( d + d’ ) 2 d . 1,28 . 10

. U

Numériquement on trouve : i = 1,16 mm, soit i’ = 1,16 µ m dans le plan P’.

III. L’EFFET AHARONOV-BOHM

1. a. L’équation du mouvement d’une particule chargée de charge q dans un champ magnétique B → s’écrit : dp →

dt = q v → ∧ B → soit : dp → = q v → dt ∧ B →

ceci montre qu’une quantité de mouvement est homogène au produit d’une charge électrique par une distance et par un champ magnétique, ou au produit d’une charge électrique par un potentiel vecteur.

b. La différence de phase en M prend maintenant la forme : ϕ ’ = 1

h ∫ ^{P →}

^{dl → = 1 h} ∫ ^{p →}

^{dl → – e h} ∫ ^{A →}

^{dl →}

Dans le second terme A → est défini à un gradient près dont l’intégrale est nulle sur le contour fermé . Il n’y a donc pas lieu de préciser la condition de jauge vérifiée par A → .

8 OPTION PHYSIQUE

p

S

M

Si M est dans le plan de symétrie contenant S et F,

et

sont symétriques par rapport à ce plan et : ϕ

= ϕ

De même : S

M = S

M On en déduit : ϕ ( S

) = ϕ ( S

)

e. Le dispositif décrit est l’analogue, dans le domaine des ondes électroniques, du biprisme de Fresnel.

4. a. L’égalité ϕ ( S

) = ϕ ( S

) entraîne : ϕ = ϕ

– ϕ

= 1

h

3. a. A l’extérieur du solénoïde le champ magnétique est nul et aussi la force magnétique : – e v → ∧ B →

Le mouvement des électrons n’est pas affecté par la présence du solénoïde.

b. Conformément au 1.a. on peut écrire : ϕ ’ = ϕ – e

h ∫ ^{A →}

^{dl → = ϕ – e h Φ}

Figure 6

OPTION PHYSIQUE 9

2. a. On sait que : B = µ

n I à l’intérieur du solénoïde et que : B = 0 à l’extérieur.

b. Tout plan passant par l’axe du solénoïde (plan «méridien») est d’antisymétrie (symétrie «négative») pour la répartition de courant (Figure 6). On peut trouver le potentiel vecteur sous forme d’un vecteur polaire. En tout point de l’espace il est alors orthogonal au plan méridien passant par ce point ; il est donc othoradial.

De plus la distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe du solénoïde et on choisit un potentiel vecteur possédant cette propriété.

Enfin le potentiel vecteur vérifie la relation :

B → = rot → A → qu’on peut mettre sous la forme :

∫ ^{A →}

^{dl → =} ∫∫ ^{B →}

^{dS →}

où est un contour fermé orienté et une surface s’appuyant sur celui-ci.

En choisissant pour contour un cercle de rayon r de même axe que celui du solénoïde on a :

∫ ^{A →}

^{dl → = A ( r )}

^{2 π r}

Pour r < r

(rayon du solénoïde) :

∫∫ ^{B →}

^{dS → = µ}

^{. n I . π r}

et on trouve : A ( r ) = 1

2 µ

n I r

Pour r > r

: ∫∫ ^{B →}

^{dS → = µ}

^{n I π r}

^{= Φ}

et on trouve : A ( r ) = Φ

2 π r

c. La frange d’ordre d’interférence nul vérifie :

ϕ ’ = 0 , soit ϕ = e h Φ

elle ne se forme plus dans le plan de symétrie du biprisme électrostatique.

d. Le défilement d’une frange en un point correspond à une variation de déphasage égale à 2 π . Le nombre de franges qui défilent au centre est donc donné par :

N = ϕ 2 π = e Φ

h Ce nombre fait bien apparaître le rapport e/h.

e. Numériquement on trouve N = 9,4.

4. Le potentiel vecteur (à une jauge près) n’est donc pas un simple intermédiaire de calcul. Il peut produire des effets physiques, même dans une région où ne règne aucun champ électromagnétique.

Remarque : La situation décrite est très différente de celle rencontrée dans certains problèmes d’induction électromagnétique où l’expression – ∂ → A

⁄ ∂ t est une forme possible du champ électrique.

IV. LES EXPÉRIENCES DE TONOMURA (1986)

1. a. Le moment magnétique est un vecteur axial ainsi que M → , densité volumique de moment magnétique.

b. Tout plan méridien du tore est plan de symétrie (ou «symétrie positive») pour la distribution d’aimantation volumique. En un point quelconque de l’espace le champ magnétique, vecteur axial, est orthogonal au plan méridien passant par ce point. Il est donc orthoradial : les lignes de champ de B → sont des cercles de même axe que le tore.

Remarque : Rappelons que le transformé d’un vecteur axial dans une symétrie (symétrie «positive») par rapport à un plan est l’opposé du symétrique de ce vecteur au sens de la géométrie (Figure 7).

c. L’invariance par rotation autour de l’axe du tore entraîne que B → a même valeur en tout point d’un cercle ligne de champ. L’application du théorème d’Ampère à l’un d’entre eux, de rayon r, située à l’extérieur de l’anneau conduit à :

2 π r B = 0 soit : B → = 0 →

2. Le grandissement transversal de la lentille L s’obtient de façon simple en utilisant les constructions habituelles de l’optique géométrique rappelées sur la Figure 8. Avec les notations de cette figure :

G

= A’B’ _____

AB

___ = A’B’ _____

OI

___ = SA’ ____

SO ___

Figure 7

10 OPTION PHYSIQUE

soit : G

= – d + d’

f Numériquement : G

= – 2.

Le rayon moyen de l’image du tore dans le plan P est de 2 µ m. Son image dans le plan P’ a un rayon de 2 mm.

3. a. Chacun des demi-faisceaux converge vers S en se dirigeant vers l’une ou l’autre des fenêtres du biprisme ; ils en émergent en semblant provenir respectivement de S

ou S

.

b. Les conditions sont celles de la partie II. On observe des franges d’interférence rectilignes dans le plan P’.

4. a. Le raisonnement effectué à la question II.2.a. ne privilégie aucune position particulière de l’objet ponctuel utilisé. Ainsi le point A’, image de A donnée par L joue pour la fenêtre 1 du biprisme le rôle d’un objet (virtuel). Ce prisme en donne une image ponctuelle (réelle) dans le même plan de front, décalée de :

A’A

_____

= α d’

b. L’image est centrée pour : α d’ ~ 2 µ m

(en assimilant le diamètre moyen du tore et l’extension d’un demi-faisceau incident) soit : 1,28 . 10

U . 9 . 10

= 2

On obtient : U = 17,4 volts

5. a. Les demi-faisceaux 1 et 2 interfèrent encore dans le plan P sur lequel on s’attend à observer des franges rectilignes perpendiculaires au plan de section principale aussi bien dans le disque limité par l’image de T qu’à l’extérieur.

Pour fixer des idées, nous préciserons d’abord à l’aide de quelques projections la construction et le tracé des rayons (trajectoires) qui interfèrent en deux points M et M’ d’une même droite D du plan P orthogonale au plan de section principale ; M est situé dans le disque limité par l’image de T, M’ à l’extérieur. La Figure 9a est une vue «de dessus» du plan P. Les projections dans le plan de section principale («vue de face») sont représentées Figure 9b. Une vue «de côté» est fournie par la Figure 9d. On suivra les rayons jusqu’à un plan P

orthogonal au faisceau incident, situé en amont de T, et dont une vue «de dessus» est représentée Figure 9c. Enfin pour simplifier les contrudictions on considérera que le biprisme électrosta- tique est très mince et réduit à un plan.

La trajectoire parvenant en M (ou M’) après traversée du prisme 1 émerge de celui-ci au point I

(I’

) que l’on construit par intersection de S

M (S

M’) et du plan du biprisme. I

S (I’

S) fournit la trajectoire incidente sur le prisme. Son intersection J

(J’

) avec le plan de la lentille L permet de construire la trajectoire H

J

(H’

J’

) tombant sur L. Les constructions relatives aux trajectoires du faisceau dévié par le prisme 2 sont analogues.

La différence de phase des ondes qui interfèrent en M s’écrit, avec des notations évidentes : ϕ ( M ) = ϕ

( M ) – ϕ

( M )

Figure 8

OPTION PHYSIQUE 11

Figure 9a Figure 9b Figure 9c

Figure 9d

12 OPTION PHYSIQUE

∫

p →

dl → – e h ∫

₂

A →

dl → Dans ϕ (M) apparaît la quantité :

ϕ

( M ) = 1 h

∫

A →

dl →

où désigne le contour ouvert H

J

S I

M I

S J

H

. Une partie de ce contour est le contour fermé S I

M I

S sur lequel la circulation du potentiel vecteur est nulle puisque la surface qu’il délimite n’est traversée par aucun flux magnétique.

Il reste : ϕ ( M ) = ϕ

( M ) + ϕ ( H

) – ϕ ( H

) – e h ∫

H₂ J₂ S J₁ H₁

A →

•

dl →

Maintenant : ϕ ( H

) – ϕ ( H

) = 1 h ∫

H₁H₂

_____

P →

dl → = – e h ∫

H₁ H₂ _____

A →

dl → puisque le segment H

H

est orthogonal aux trajectoires incidentes.

On est conduit à : ϕ ( M ) = ϕ

( M ) – e h

fermé H

H

J

S J

H

; celui-ci délimite une surface coupant le tore et traversée par le flux Φ qu’il canalise. Ainsi :

ϕ ( M ) = ϕ

( M ) – e h Φ Un raisonnement analogue relatif au point M’ conduit à :

ϕ ( M’ ) = ϕ

( M’ )

car le contour fermé H’

H’

J’

S J’

H’

n’enlace pas le tore (voir notamment la Figure 9d).

Enfin, en l’absence de T, M et M’ sont situés sur une même frange d’interférence et ϕ

( M ) = ϕ

( M’ ) à des termes d’ordre supérieur près.

OPTION PHYSIQUE 13

∫

p →

•

dl → – 1 h ∫

₁

p →

•

dl →

qui représente la différence de phase observée en M en l’absence du tore T.

Alors : ϕ ( M ) = ϕ

( M ) + ϕ ( H

) – ϕ ( H

) – e h

∫

p →

•

dl → – e h ∫

₁

A →

•

dl →

De même : ϕ

( M ) = ϕ ( H

) + 1 h

∫

P →

•

dl →

= ϕ ( H

) + 1 h

où, en considérant le trajet H

J

S I

M noté en abrégé,

: ϕ

( M ) = ϕ ( H

) + 1

h

∫

A →

dl →

où

désigne le contour

On a donc : ∆ ϕ = ϕ ( M’ ) – ϕ ( M ) = e Φ h

Cet écart entre les différences de phase se traduit par un décalage entre les systèmes de franges rectilignes observés dans le disque limité par l’image de T et à l’extérieur.

b. En nombre d’interfranges, ce décalage vaut : N = 1

2 π e Φ h = e Φ

h

Il a même expression que le nombre de franges qui défilent dans l’expérience de Möllenstedt et Bayh.

c. En reprenant l’expression littérale du II.4.b. on trouve pour l’interfrange, avec U = 17,4 V : i = 0,66 µ m et i’ = 0,66 mm

sur la pellicule sensible, soit environ 3 franges dans l’image du disque intérieur à l’anneau.

d. La Figure 10 est extraite d’une publication de Tonomura [2].

Un procédé particulier dit d’«amplification de phase», non décrit dans le problème, permet d’évaluer l’écart des dépha- sages entre M et M’ à quelques pour cent près (et bien sûr à un multiple près de 2 π ). Dans le cas représenté cet écart est de 0,8 π

6. a. Au-dessous de sa température critique le niobium devient supraconducteur et expulse le champ magnétique qui pourrait y pénétrer à partir du noyau de permalloy. Cette opération supprime donc les fuites de champ magnétique.

b. L’homogénéité de la relation est une conséquence hmmédiate celle de eA à une quantité de mouvement, soit h / λ . En effet h/e est alors homogène à A

soit à une circulation de A → ou encore à un flux magnétique.

c. Le décalage, évalué en nombre d’interfranges, est égal à : e

h 

  n h 2e 

  = n

2 ( n entier )

Il est donc entier ou demi-entier. Un décalage d’un nombre entier de franges n’est pas observable.

Au-dessous de la température critique on n’observe donc aucun décalage ou un décalage d’une demi frange.

Ces observations confirment l’existence de l’effet Aharonov-Bohm et la quantification du flux magnétique.

Figure 10

14 OPTION PHYSIQUE

DEUXIÈME PROBLÈME TRANSPORT PARALLÈLE

A. TRANSPORT PARALLÈLE EN PHYSIQUE CLASSIQUE I. Pendule de Foucault et transport parallèle.

1. a. Le point matériel M est soumis, si on néglige la force de Coriolis, à son poids P → et à la tension T → du fil de supension (Figure 11). Rappelons que la force d’inertie d’entraînement due à la rotation propre de la terre se trouve comprise dans le poids P → ! L’accélération a → de M vérfie :

ma → = T → + P →

La projection M’ de M dans le plan horizontal, affectée de la masse m, est soumise à la projection de T → , portée par OM’. Le mouve- ment de M’ est donc à force centrale et vérifie la relation (cf.

Figure 11) :

OM’

Ψ .

= cte

Celle-ci exprime que la composante selon Oz du moment cinéti- que de M est une constante du mouvement.

La vitesse initiale de M étant nulle, Ψ .

est nul à l’instant origine et donc à tout instant ultérieur : le mouvement se produit bien dans un plan vertical d’équation Ψ = cte.

b. Comme T → est colinéaire à O’M → , sa composante T

sur l’axe Ou de la Figure 11 vérifie :

T

T = – u

l

et la relation fondamentale de la dynamique projetée sur l’axe Ou fournit, sans approximation : m u .. = – T u

l

La coordonnée verticale de M reste du second ordre en ϕ et on obtient, à cet ordre près, en projection sur Oz :

0 = T – P

L’équation du mouvement s’écrit donc, à des termes du second ordre près : u .. = – g

l u c. Le mouvement est harmonique, de pulsation :

ω = √ ^{g l}

Figure 11

OPTION PHYSIQUE 15

et de période : T = 2 π √ ^{g l}

= – x’

l T

T = – y’

l

Si ’ est choisi de façon à vérifier la condition du 2.a., la force de Coriolis n’a pas de composante horizontale et n’apparaît pas dans les équations du mouvement obtenues en projection sur Ox’ et Oy’. La rotation de ’ par rapport à introduit une force d’inertie d’entraînement dont l’effet, du second ordre en ( Ω / ω ) (soit 3,7

10

), est négligeable.

Les équations du mouvement sur les axes Ox’ et Oy’ s’écrivent donc comme dans un référentiel galiléen : m x ..

’

= T

= – T

l x’ m y ..

’

= T

= – T l y’

Cependant, par rapport à la situation étudiée au 1, la force de Coriolis f →

c

fait apparaître une correction en projection sur Oz :

0 = T – mg + f

où l’ordre de grandeur de f

est fourni par :

f

= 2 m v Ω sin θ

On prend pour v l’expession correspondant à l’approximation «d’ordre zéro» soit l ω ϕ

, où ϕ

désigne l’écart angulaire maximum entre le fil et la verticale. La force de Coriolis introduit donc une correction relative de la tension du fil égale à :

2 ω l ϕ

Ω sin θ

g = 2 Ω

ω ϕ

sin θ

En prenant ϕ

de l’ordre de 0,01 rad on obtient au plus une correction relative de 4.10

dont l’effet sur le mouvement est négligeable.

16 OPTION PHYSIQUE

d. Numériquement : ω = 0,38 rad.s

T = 16,4 s

2. a. Par composition des mouvements, le vecteur rotation de ’ par rapport au référentiel géocentrique galiléen g s’écrit :

Ω →

  ’ ⁄



 = Ω →

  ’ ⁄ 

 + Ω →

  ⁄



 = ω

e →

z

+ Ω 

 e →

z

cos θ – e →

x

sin θ

 La condition cherchée est : ω

= – Ω cos θ

et il reste : Ω →

  ’ ⁄



 = – Ω sin θ e →

x

b. Comme à la question 1.b. la coordonnée verticale de M est du second ordre suivant l’angle du fil et de la verticale du point de suspension. A cet ordre près le mouvement a lieu dans le plan horizontal passant par O, sous l’effet de la projection orthogonale de T → dans ce plan. Les composantes T

et T

de cette dernière sur Ox’ et Oy’ vérifient :

T

T

3. Les équations du mouvement s’écrivent donc dans ’ : m x ..

’

= – m g

l x’ m y ..

’

= – m g l y’

La solution est harmonique de pulsation ω :

x’ = A cos ω t + B sin ω t y’ = C cos ω t + D sin ω t

où A, B, C et D sont des constantes d’intégration. Supposons que M soit lâché à l’instant initial d’un point de l’axe Ox’ d’abscisse x’

. On obtient :

A = x’

C = 0

La sphère est lâchée sans vitesse initiale par rapport à . Son vecteur vitesse par rapport à ’ est alors : Ω →

( ⁄ ’ ) ∧ 

 x’

e →

x’



 = + Ω cos θ e →

z

∧ 

 x’

e →

x’



 On a donc : x .

0’

= 0 y .

0’

= Ω cos θ x

d’où l’on tire : B = 0 D = x

Ω ω cos θ Ceci fournit la représentation du mouvement :

x’ = x

cos ω t y’ = x

Ω

ω cos θ sin ω t

La trajectoire de M est une ellipse d’axe focal Ox’ et dont les longueurs des axes ont un rapport égal à : Ω

ω cos θ

Cette quantité est numériquement de l’ordre de 2.10

; l’ellipse est pratiquement réduite à un segment de droite.

4. a. Toutes les dérivées sont calculées ici dans g.

On a : de →

z

dt = Ω →

∧ e →

z

= Ω sin θ e →

y

d’où : n → ( t ) = e →

y

χ ( t ) = Ω sin θ Maintenant : b → ( t ) = s → ( t ) ∧ n → ( t ) = e →

z

∧ e →

y

= – e →

x

et : db → dt = Ω →

∧ 

 – e →

x



 = – Ω cos θ e →

y

qui fournit : τ (t) = Ω cos θ D’autre part : e →

1

= n → cos β + b → sin β = e →

y

cos β – e →

x

sin β et : e →

2

= – n → sin β + b → cos β = – e →

y

sin β – e →

x

cos β

OPTION PHYSIQUE 17

b. Le vecteur rotation de la base



e →

1

( t ) , e →

2

( t )

est de la forme : Ω →

’ = Ω → + β .

s → = Ω → + β .

e →

z

et on a : de →

1

dt = 

 Ω → + β .

e →

z



 ∧ e →

1

= 

 

  Ω cos θ + β .

  e →

z

– Ω sin θ e →

x



 

∧ e →

1

d’où : e →

2•

de →

1

dt = (Ω cos θ + β . ) La condition de transport parallèle s’écrit :

β .

= – Ω cos θ = ω

Elle montre que la base en transport parallèle est liée à la base



e →

x’

, e →

y’^_

. II. L’expérience de Tomita et Chiao (1987).

1. a. La direction du plan tangent en un point de l’hélice au cylindre sur lequel elle est inscrite est définie par les vecteurs unitaires e →

ϕ

et e →

z

(Figure 12a). Dans ce plan le vecteur s → unitaire tangent à l’hélice fait l’angle θ avec e →

z

(Figure 12b). Pour s’en convaincre il suffit de développer la surface du cylindre sur un plan ; l’hélice s’y développe selon un segment de droite de longueur l pour un pas, ce qui correspond à z = p = l cos θ . Dans ces conditions :

s → (ϕ) = e →

z

cos θ + e →

ϕ

sin θ On tire : ds →

d ϕ = – e →

r

sin θ = χ(ϕ) n → (ϕ) soit : n → (ϕ) = – e →

r

et χ (ϕ) = sin θ Ensuite : b → (ϕ) = s → (ϕ) ∧ n → (ϕ) = – e →

ϕ

cos θ + e →

z

sin θ

Figure 12a Figure 12b

18 OPTION PHYSIQUE

et : db → d ϕ = e →

r

cos θ = – τ (ϕ) n → (ϕ) ce qui montre que : τ ( ϕ ) = cos θ

b. Pour une variation élémentaire d ϕ de ϕ

n ^→ (ϕ + d ϕ ) = ^{n →} (ϕ) + dn → = ^{n →} (ϕ) + 

 τ (ϕ) b → (ϕ) – χ (ϕ) s → _(ϕ)

 d ϕ = ^{n →} (ϕ) + b ^→ (ϕ) cos θ d ϕ – s → (ϕ) sin θ d ϕ La projection orthogonale de n → (ϕ + d ϕ) sur le plan défini par n → (ϕ) et

b → (ϕ) est égale à la somme des deux premiers termes et fait donc (au second ordre près) l’angle :

α = cos θ d ϕ avec n → (ϕ) (Figure 13).

De même :

b → (ϕ + d ϕ) = b → (ϕ) – n → (ϕ) cos θ d ϕ fait partie du plan défini par n → (ϕ) et b → (ϕ) où il fait l’angle

α = cos θ d ϕ avec b → (ϕ) . 2. Le calcul est, à quelques détails près, le même qui celui de I.4.a.

Par exemple :

de →

1

d ϕ = 

 – n → sin β + b → cos β

 d β

d ϕ + cos β dn →

d ϕ + sin β db → d ϕ

= e →

2

d β

d ϕ + cos β dn →

d ϕ + sin β db →

d ϕ et : e →

2•

de →

1

d ϕ = d β

d ϕ + cos

β b →

•

dn →

d ϕ – sin

β n →

•

db → d ϕ soit : e →

2•

de →

1

d ϕ = d β

d ϕ + cos

β

τ (ϕ) – sin

β

[– τ (ϕ) ]

= d β

d ϕ + cos θ On obtient la même expression pour la quantité e →

1•

de →

2

⁄ d ϕ . Et la condition de transport parallèle de la base





e →

1

, e →

2^_

s’écrit :

d β

d ϕ = – cos θ Dans le plan P ( ϕ + d ϕ ) les vecteurs e →

1

(ϕ + d ϕ) et e →

2

(ϕ + d ϕ) font donc l’angle : β ( ϕ ) – cos θ d ϕ

Figure 13

OPTION PHYSIQUE 19

avec respectivement n → (ϕ + d ϕ) et b → (ϕ + d ϕ) . Conformément au résultat de la question 1.b. ils font l’angle β ( ϕ) avec les translatés de n → (ϕ) et b → (ϕ) soit, à l’ordre 2 près, avec les projections orthogonales respectives de n → (ϕ) et b → (ϕ) dans P (ϕ + d ϕ) . Autrement dit la base



e →

1

(ϕ) , e →

2

(ϕ)



fait toujours le même angle avec une base dont les directions d’axes dans le plan P ( ϕ ) sont déterminées de proche en proche par translation (transport

«parallèle» ) puis projection orthogonale [5].

En prenant β (0) = 0 les vecteurs e →

1

(ϕ) et e →

2

(ϕ) font l’angle β ( ϕ ) = – ϕ cos θ avec n → (ϕ) et b → (ϕ) .

3. a. Un élément de fibre optique de longueur dl (variation d ϕ de ϕ ) se comporte, en l’absence de toute contrainte notable, comme un élément de fibre rectiligne. Si la direction de polarisation d’une onde polarisée rectilignement fait l’angle α avec n → (ϕ) , elle fait le même angle en ϕ + d ϕ avec le vecteur translaté de n → (ϕ) , et donc (à l’ordre 2 près) avec la projection orthogonale de n → (ϕ) dans le plan P ( ϕ + d ϕ ) (Figure 14)

La direction de polarisation s’obtient de proche en proche par transport parallèle. Elle tourne de – cos θ ∆ ϕ par rapport à la base



n → (ϕ) , b → (ϕ)



pour une variation ∆ϕ de ϕ .

Sur un pas de l’hélice ϕ varie de 2 π et le plan de polarisation tourne de – 2 π cos θ , qu’on ne peut repérer qu’à 2 π près. Comme on doit trouver une rotation nulle pour θ = 0, on est conduit à prendre pour valeur :

2 π (1 – cos θ ) b. Numériquement l’angle cherché vaut 48° 14’.

B. TRANSPORT PARALLÈLE D’UN SYSTÈME QUANTIQUE I.

1. a. Avec les expressions indiquées on a immédiatement :

| ^{+ 〉}

^{= √} 2 ² e



  | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _

| ^{– 〉}

^{= √} 2 ² e



  – | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _

puis :

| ^{+ 〉}

^{= √} 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _

| ^{– 〉}

^{= √} 2 ²

 

 – | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _

Figure 14

20 OPTION PHYSIQUE

ce qui entraîne :

| ^{+ 〉}

^{= √} 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

^– | ^{– 〉}

^{ } _

| ^{– 〉}

^{= – i √} 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

⁺ | ^{– 〉}

^{ } _

b. La température Θ du gaz de neutrons est donnée par : 1

2 m

v

= 3 2 k

Θ où v est la vitesse quadratique moyenne d’agitation thermique.

Numériquement : on trouve Θ de l’ordre de 10

K d’où l’expression de «neutrons ultra-froids».

2. a. E = – µ →

•

B →

b. L’expression ci-dessus permet d’écrire le hamiltonien d’interaction cherché sous la forme : H = – µ

σ →

•

B → = – µ

B u →

•

σ → soit (cf. l’annexe de l’énoncé) :

H = – µ

B 

 u

σ

+ u

σ

+ u

σ





= – µ

B 

  cos θ

sin θ e

sin θ e

– cos θ

 



c. Dans un repère orthonormé OX’Y’u construit «autour» de Ou de vecteur unitaire u → on pourrait repérer u → par θ ’ = 0 et un angle ϕ ’ quelconque, les angles θ ’ et ϕ ’ étant définis dans OX’Y’u de façon analogue à θ et ϕ dans Ox y z. Alors le hamiltonien d’interaction s’écrirait, dans la base | ^{+ 〉}

^, | ^{− 〉}

^:

H = – µ

B 

 u

σ

+ u

σ

+ u

σ





= – µ

B 

  1 0 0

– 1 

 

Par construction même, les états | ^{+ 〉}

^et | ^{− 〉}

sont états propres de H associés respectivement aux valeurs propres :

– h ω et + h ω

On peut aussi effectuer une vérification directe de la propriété à partir des expressions de | ^{+ 〉}

^et | ^{− 〉}

sur la base | ^{+ 〉}

^et | ^{− 〉}

en quelques lignes de calcul matriciel.

3. a.

Pour l’état | ^{+ 〉}

on a par exemple :

P

=

〈 + | ^σ

| ^{+ 〉}

^{= 1} 2 ( 1 – i ) 

  0 1 1 0 

 

 

 1 i 

  = 0

OPTION PHYSIQUE 21

P

=

〈 + | ^σ

| ^{+ 〉}

^{= 1} 2 ( 1 – i ) 

  0 i – i 0 

 

 

 1 i 

  = 1 ...etc...

on trouve dans l’état | ^{+ 〉}

: P → = e →

y

et dans l’état | ^{− 〉}

: P → = – e →

y

De plus : P → 

  | ^{+ 〉}

^{ } _ ^{= e}

^{〈 +} | ^{σ →} | ^{+ 〉}

^e

^{= P →  } _ | ^{+ 〉}

^{ } _

Ceci était a priori évident puisque P → désigne la valeur moyenne prise par une observable sur un état et que les kets | ^{− 〉}

^et | ^{− 〉}

(par exemple) représentant le même état à une phase près.

b. Le ket de l’état étudié s’écrit :

| ^{Ψ 〉 = a}

^√ 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _ ^{+ a}

^√ 2 ²

 

 – | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _

= √ 2

2   a

– a

  | ^{+ 〉}

^{+ i √} 2 ² 

 a

+ a



 | ^{– 〉}

On déduit comme à la question précédente : P



  | ^{Ψ 〉  } _ ^{= 1} 2 

   a

– a

  – i 

 a

+ a



 

 

  0 i – i

0 

 









 a

– a

i   a

+ a

 











= | ^a

|

^– | ^a

|

4. a. Un état de spin quelconque peut être représenté à la date t et dans la base



| ^{+ 〉}

^, | ^{– 〉}

par :

| ^{Ψ 〉 = b}

^{( t )} | ^{+ 〉}

^{+ b}

^{( t )} | ^{– 〉}

Dans la même base : H = – µ

B 

  1 0 0

– 1 

 

et l’équation de Schrödinger se met sous la forme des deux équations différentielles scalaires du premier ordre :

i h b .

+

= – µ

B b

i h b .

–

= µ

B b

La solution est : b

( t ) = b

exp ( i ω t ) b

( t ) = b

exp ( – i ω t )

où b

et b

sont les valeurs initiales de b

( t ) et b

( t ) et où ω = µ

B ⁄ h (pulsation de Larmor).

22 OPTION PHYSIQUE

Pour répondre à la question posée on doit donc exprimer l’état de spin initial | ^{+ 〉}

dans la base





| ^{+ 〉}

^, | ^{– 〉}

, l’état atteint à la date t dans la même base, puis dans la base



| ^{+ 〉}

^, | ^{– 〉}

.

Comme on va le voir les questions suivantes décrivent la mise en évidence de certaines variations de phase d’un système quantique entre ses passages successifs par un même état. Aussi éviterons nous d’effectuer les raisonnements «à une phase près» (sauf pour décrire l’état initial du système étudié).

On a tout d’abord :

| ^{+ 〉}

^{= √} 2 ²

 

 cos θ 2

 

 | ^{+ 〉}

^– | ^{– 〉}

^{ } _ ^{– i sin θ} 2

 

 | ^{+ 〉}

⁺ | ^{– 〉}

^{ } _ ^{ } _

= √ 2 2

 

 e

θ

2

| ^{+ 〉}

^{– e}

| ^{– 〉}

^{ } _

et de même : | ^{– 〉}

^{= – i √} 2 ²

 

 e

θ

2

| ^{+ 〉}

^{+ e}

| ^{– 〉}

^{ } _

On constate qu’en posant :

| ^{+ 〉}

^{= e}

| ^{+ 〉}

^et | ^{– 〉}

^{= e}

| ^{– 〉}

les formules de passage de la base



| ^{+ 〉}

^, | ^{– 〉}

à la base



| ^{+ 〉}

^, | ^{– 〉}

sont identiques aux formules exprimant | ^{+ 〉}

^et | ^{– 〉}

dans la base



| ^{+ 〉}

^, | ^{– 〉}

(cf. 1.a.).

On en déduit sans nouveau calcul :

| ^{+ 〉}

^{= √} 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

^{+ i | – 〉}

^{ } _

l’expression de | ^{– 〉}

n’étant pas utile dans la suite. La phase de l’état initial étant arbitraire, on écrira ce dernier sous la forme :

| ^{ψ ( 0 ) 〉 =} | ^{+ 〉}

^{= √} 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

^{+ i} | ^{– 〉}

^{ } _

On a donc : b

0

= √ 2

2 et b

0

= i √ 2 2 On en déduit

| ^{ψ ( t ) 〉 = √ } 2 ²

 

 ^e

| ^{+ 〉}

^{+ i e}

| ^{– 〉}

^{ } _

= ^√  ² 2

 

 ^e

iωt

√ 2 2

 

 | ^{+ 〉}

^– | ^{– 〉}

^{ } _ ^{+ e}

^√ 2 ²

 

 | ^{+ 〉}

⁺ | ^{– 〉}

^{ } _ ^{ } _

= ^cos ω ^t | ^{+ 〉}

^{– i sin ω t} | ^{– 〉}

ou encore : | ^{ψ ( t ) 〉 = cos ω t e}

| ^{+ 〉}

^{– i sin ω t e}

| ^{– 〉}

OPTION PHYSIQUE 23

b. Conformément à 3.a.

P

= cos

ω t – sin

ω t = cos 2 ω t II.

1. On a : | ^{+ . 〉 = i  } _ ^{α . – ϕ} 2 ^.

 

 cos θ

2 e

| ^{+ 〉}

^{+ i  } _ ^{α . + ϕ} 2 ^.

 

 sin θ

2 e

| ^{– 〉}

et : 〈 + | ^{+ . 〉 = i  } _ ^{α . – ϕ} 2 ^.

 

 cos

θ 2 + i 

  α . + ϕ .

2

 

 sin

θ 2 La condition de transport parallèle s’écrit : α .

= 1 2 ϕ .

cos θ

Compte tenu des conditions initiales : α ( t ) = 1

2 ϕ ( t ) cos θ Pour la même méthode on trouve : β ( t ) = – 1

2 ϕ ( t ) cos θ

2. a. Après un cycle du champ magnétique t = T et ϕ ( T ) = 2 π d’où : α ( T ) = π cos θ β ( T ) = – π cos θ

De plus : | ^{ψ ( T ) 〉 = b}

exp ( i ω T ) | ^{+ 〉 + b}

exp ( – i ω T ) | ^{– 〉 ,}

les états | ^{+ 〉 et} | ^{– 〉} devant être pris à la date t = T.

En posant encore | ^{ψ ( 0 ) 〉 =} | ^{+ 〉}

, on a donc :

| ^{ψ ( T ) 〉 = √} 2 ² exp 

 i 

 ω T + π cos θ

 

 | ^{+ 〉}

^{+ i √} 2 ² exp 

 – i 

 ω T + π cos θ

 

 | ^{– 〉}

Ou encore, comme au I.4.a. :

| ^{ψ ( T ) 〉 = cos } _ ^{ω T + π cos θ} _ ^e

| ^{+ 〉}

^{– i sin } _ ^{ω T + π cos θ} _ ^e

| ^{– 〉}

b. L’écart de phase entre les composantes de | ^{Ψ( T )〉 sur} | ^{+ 〉}

^et | ^{– 〉}

^{vaut :}

2 ω T + 2 π cos θ

où le premier terme rend compte de l’interaction entre le moment magnétique du neutron et le champ magnétique (terme «dynamique») tandis que le second est indépendant de cette interaction. Il prend son origine dans la rotation qu’on a fait subir à la direction de «mesure» du moment magnétique et est qualifié de «phase géométrique».

24 OPTION PHYSIQUE

c. Les expériences de Foucault et de Tomita Chiao, où les rotations des plans de polarisation sont formelle- ment identiques à la phase géométrique obtenue ici, fournissent des analogues classiques de celle-ci.

En effet ces rotations peuvent s’interpréter comme résultant du déphasage entre deux polarisations circulaires tournant en sens inverse (comme les phénomènes de polarisation rotatoire).

III.

1. a. D’après le résultat de I.4.b.

P

= cos ( 2 ω T + 2 π cos θ) après un cycle de B → P

= cos ( N 2 ω T + N 2 π cos θ) après N cycles.

b. Puisque ω = µ n B

h P

est, pour une évolution du champ magnétique suffisamment lente ( ω

<< ω , ou

«limite adiabatique»), fonction sinusoïdale de B = | B → |.

C’est ce qu’illustre la Figure 15 tirée de l’article publié par les auteurs de l’expérience [6], où les deux courbes correspondent à des sens de rotation opposés de B → .

Figure 15

2. a. Le comptage permet de déterminer des probabilités | a

|

et | a

|

de trouver le neutron dans l’état | ^{– 〉}

ou dans l’état | ^{– 〉}

La formule :

P

= | a

|

– | a

|

permet d’en déduire P

pour une valeur donnée de B.

b. A la «limite adiabatique» P

est fonction sinusoïdale de B de phase à l’origine 2 π cos θ . L’extrapolation aux valeurs de B voisines de zéro de la sinusoïde obtenue dans les conditions «adiabatiques» permet de mesurer la phase à l’origine et de la comparer à la valeur théorique.

c. Numériquement la condition adiabatique s’écrit : ω >> ω

soit µ

B

h >> 2 π T

Soit B

la valeur de B telle que : µ

B

h = 2 π

T B

est de l’ordre de 10

tesla.

OPTION PHYSIQUE 25

En admettant que la condition adiabatique est réalisée pour ω de l’ordre de 10 ω

, B doit être de l’ordre de 10

T ou 1 mG (milligauss) ; cette valeur est nettement supérieure au champ magnétique résiduel que les écrans ferromagnétiques laissent subsister dans la bouteille à neutrons, de l’ordre de 10 µ G (10

T).

Indiquons en conclusion qu’il est possible de décrire l’effet Aharonov-Bohm (premier problème) en termes de transport parallèle [7].

Pour terminer l’auteur tient à remercier Hubert GIÉ, Bernard JULIA et José-Philippe PÉREZ d’avoir bien voulu examiner avec soin l’énoncé et le corrigé de ce problème, et lui faire de pertinentes remarques et d’utiles critiques

Jean-Pierre LECARDONNEL (Louis-Le-Grand)

[1 ] M. HULIN B.U.P. n° 572, mars 1975, p. 651-658.

[2] A. TONOMURA Physica B 151, 1988, p. 206-213.

Sur le même sujet :

[3] A. TONOMURA Physics Today, avril 1990, p. 22-29.

[4] Y. IMRY et R. WEBB Pour la Science 140, juin 1989, p. 32-39.

[5] M. BERRY Pour la Science 136, février 1989, p. 36-42.

[6] D. J. RICHARDSON, A.I. KILVINGTON, K. GREEN, S.K. LAMOREAUX [6] Physical Reveiw Letters 61, octobre 1988, p. 2030-2033.

[7] Y. AHARONOV et J. ANANDAN Physical Review Letters 58, avril 1987, p. 1593-1596.

26 OPTION PHYSIQUE