CONTRÔLE THERMIQUE

 dδ

dt





2

= – 2 k²

δ – ε 2



 sin 2 Λ_N dδ

dt = k √2

√

^_^ε₂ ^{– δ}_ ^{sin 2 Λ}N

t = 1 k √2

∫

– ε⁄2 + ε⁄2

dδ

√

^

 ε 2 – δ

 sin 2 Λ_N

t = √2

k

√

_{sin 2} ^ε_Λ

N

Application numérique : t = 257

√

_{sin 2} ^ε_Λ

N

jours

B.III.4. Incrément annuel de vitesse

∆ V =∆ v •365 t =2

3 a k √2 εsin 2 Λ_N •365

257•

√

^{sin 2} _ε^ΛN

∆ V = 3,60 • sin 2 Λ_N(m⁄s) .

L’incrément de vitesse dépend de la longitude de stationnement mais ne dépend pas de la largeur de la fenêtre de dérive.

Le coût de l’entretien du satellite est d’autant plus élevé qu’il est plus éloigné d’une position d’équilibre stable dans sa position nominale.

PARTIE C

CONTRÔLE THERMIQUE

C.I. Étude du rayonnement solaire C.I.1. Puissance rayonnée par unité de surface - Loi de Stefan

d³ P = 2h υ³ cos θ c²

exp 

 hυ kT



 – 1



dS • dΩ• dυ

66 OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE

dP recueillie par unité de surface est :

P

C.I.3. λ max du spectre solaire λ= c

le rayonnement solaire n’est donc pas exactement celui d’un corps noir.

OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE 67

C.II. Équilibre thermique d’une sphère sur orbite géostationnaire C.II.1. Température d’équilibre de sphères isotherme

A l’équilibre la puissance reçue du soleil est égale à la puissance réémise par la sphère.

Le rayonnement solaire est parallèle : puissance reçue = π R² C_s α_s. La puissance rémise est εσ T⁴ 4 π R².

D’où : T =

 C_sα_s 4 σε





1⁄4

Applications numériques : Peinture blanche 193 K Application numérique : Peinture noire 282 K Application numérique : Dorure 471 K Selon le revêtement les températures sont très différentes.

C.II.2. Situation aux équinoxes C.II.2.a. Durée de l’éclipse

tg α ~ R_T R

Application numérique : α = 8,6°

Durée de l’éclipse t =T_T 2 α

360 . Application numérique : t = 69 min.

C.II.2.b. Loi du refroidissement

Pendant l’éclipse le satellite rayonne de l’énergie alors qu’il n’en reçoit plus, sa temprature diminue.

– εσ T ⁴• 4 πR²• dt = m C d T dT

T ⁴ = – 4 π R²•εσ

m C dt d’où 1 T₂ ³ = 1

T₁ ³ + 12 MR²εσ m C t Applications numériques :

T₁ = 193 K ε = 0,85 T₂ = 180,5 K ∆T = 12,5 K T’₁ = 282 K ε = 0,90 T’₂ = 234,7 K ∆T’ = 47,3 K T’’₁ = 471 K ε = 0,03 T’’₂ = 454 K ∆T’’ = 17 K

68 OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE

C.II.3. Utilisation d’une superisolation

C.II.3.a. Échanges thermiques entre 2 plans indéfinis parallèles

Soit x la quantité de rayonnement arrivant de P₁ sur P₂ par unité de surface et de temps Soit y la quantité de rayonnement émise par P₂ vers P₁ par unité de surface et de temps la quantité de chaleur échangée entre P₁ et P₂ est q = x – y.

x = e₁ + yr₁ e₁=ε₁σ T₁ ⁴ r₁ facteur de réflexion sur P₁ y = e₂ + x r₂ e₂=ε2σ T₂ ⁴ r₂ facteur de réflexion sur P₂ En exprimant q = x – y et en tenant compte de la relation 1 – r = a = ε le calcul conduit à : q =σ

T₁ ⁴ – T₂ ⁴

 1

ε₁+ 1 ε₂ – 1

.

C.II.3.b. Effet d’une surface isolante

A l’équilibre la quantité de chaleur échangée entre F et S₁ égale la quantité de chaleur échangée entre F et S₂

q_S

1 → F=σ 

T₁ ⁴ – T₀ ⁴

 1

ε₁ +1 ε – 1

= q_{F → S}

2=σ 

T₀ ⁴ – T₂ ⁴

 1

ε + 1 ε₂ – 1

.

En éliminant T₀ , q = σ 

T₁ ⁴ – T₂ ⁴

 1

ε₁ + 1 ε₂ +2

ε – 2 .

C.II.3.c. Température en fin d’éclipse

La température est de l’ordre de 0 K.

La quantité de chaleur échangée avec l’extérieur est : q = σ T₁ ⁴ 1

ε₁+ 1 ε₂+2 N

ε – (N + 1)

D

=σ T₁ ⁴ D

OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE 69

m C_mdT

dt = – 4 π R²•σT₁ ⁴ D 1

T³ = 1

T₁ ³+ 12 π R² σ D t

Application numérique : T = 281,8 K la température ne varie pratiquement pas au cours de l’éclipse.

C.III. Équilibre thermique d’un satellite géostationnaire C.III.1. Rayonnement reçu par les zones non isolées du satellite

– aux équinoxes, le flux reçu est ϕ = 0 . – au solstice d’été la face nord est éclairée – ϕ= C_s

été cos 

 π 2 – α

 Application numérique : ϕ_{nord − été}= 520 W⁄m² . – au solstice d’hiver la face sud est éclairée

– ϕ= C_s

hiver cos 

 π 2 – α

 Application numérique : ϕsud − hiver= 557 W⁄m² .

C.III.2. Rôle des radiateurs

C.III.2.a.b. Capacité de réjection d’un radiateur à 310 K

à l’ombre P⁄S=εσ T⁴ Applications numériques: a. 420 W/m² b. 420 W/m² face nord en été P⁄S=εσ T⁴ –ϕ_{nord été}α_s A.N. a. 372 W/m² b. 316 W/m² face sud en hiver P⁄S=εσ T⁴ –ϕ_{sud hiver}α_s A.N. a. 370 W/m² b. 308 W/m² La variation de α_s est due à l’évolution du revêtement sous l’action des divers rayonnements électromagnétiques, particules...

C.III.2.c. Surface à prévoir pour éliminer une puissance totale P = 800 W

La condition la plus défavorable pour le radiateur est le solstice d’hiver qui correspond à l’ensoleillement maximal.

Il faut évacuer 400 W sur la face sud qui peut évacuer 308 W S = 1,3 m².

Sur la face opposée la puissance rayonnée est P

2 =εσ T⁴ s T⁴= P

2 εσ s Application numérique : T = 287 K.

C.III.3. Étude d’un caloduc

C.III.3.a. En A, la température est T + dT, la vaporisation du liquide absorbe de la chaleur qui est restituée en B où le fluide se condense à la température T.

70 OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE

C.III.3.b. La relation de Clapeyron donne L = T dP

dTv_vap – v_liq , le volume du liquide est négligeable devant celui de la vapeur, et la vapeur est assimilée à un gaz parfait.

v_vap= RT

MP d’où L ~ T² R M dP

dT 1 P dP

P =ML R dT

T² Log P_A

P_B = – ML R 

 1 T_A – 1

T_B

 P_A

P_B = exp 

– ML R 

 1 T_A – 1

T_B





 Application Numérique : P_A P_B = 1,2 .

La surpression en A entraîne le fluide vers B où il se condense et revient vers A par capillarité.

C.III.3.c. Débit volumique du fluide La puissance transportée est

la masse qui doit être vaporisée en une seconde est m = L le débit volumique d_v=m

e la vitesse du fluide v =d_v

S où S est la section du tube.

Applications numériques : m = 4,34 • 10^{– 2} g⁄s . Applications Numériques : d_v= 72,3 cm³ ⁄s Applications Numériques : v = 92 m⁄s.

Une des causes de limitation est la production d’ondes de choc si le fluide atteint la vitesse du son (330 m/s à 273 K).

C.III.3.d. Diamètre d’une barre de cuivre

Pour éliminer la même puissance avec le gradient de température donné il faut une section s telle que

P =λs

l∆T =λM D²

4 l ∆T Application numérique : D = 14 cm.

m = p l s Application numérique : m = 71,2 kg.

Le gain en masse apporté par le caloduc est considérable.

OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE 71

PARTIE D

CONTRÔLE D’ATTITUDE D.I. Cours

Voir cours d’optique de Maths Spé.

D.II. Fibres optiques D.II.1. Fibre à saut d’indice

D.II.1.a. Pour que la fibre guide le rayon lumineux il faut qu’il y ait réflexion totale en I’.

α doit être supérieur à l’angle limite A tel que sin λ=n₁ n₀ θ_a+α=π

2 θ_a<π

2 – λ soit θ_a<π

2 – arc sin n₁ n₀ N sin θ_i= n₀ sin θ_a

θ_max= Arc sin n₀ N sin θ_a

max

sin θ_a

max= cos 

arc sin n₁ n₀



 θ_max= Arc sin

√

^{n0 2 – n1 2}

N² D.II.1.b.

La distance entre 2 intersections avec l’axe est d = 2 ρ tg θ₀

d dépend de θ_a donc de θ_i : il y a absence de stigmatisme par dispersion modale.

D.II.2. Fibre à gradient d’indice

D.II.2.a. n = n₀ – ar² d’où a =n₀ – n₁ ρ² D.II.2.b. Équation différentielle du trajet de SO

72 OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE

D.I.1.c. a établi que n sin i est un invariant en un point M, i =π

D.II.2.e. La trajectoire des rayons est sinusoïdale et coupe l’axe aux points d’abscisse x tels que sin 

D.II.2.f. Pour que le rayon puisse se propager dans la fibre il faut que r_max n’excède pas la valeur du rayon du cœur ρ

soit r_max=ρ= sin θ₀

√

_{2 a}ⁿ⁰

sin θ₀<ρ

√

^{2 a}_n

0

soit sin θ₀<

√

^{2 }

1 – n₁ n₀



 Application numérique : θ₀< 8,13° . D.II.2.g. d =π cos θ₀

√

_{2 a}ⁿ⁰

comme θ₀ est petit α=π

1 – θ₀ ² 2





√

_{2 a}ⁿ⁰

d ne dépend de θ₀ qu’au second ordre.

Donc dans les conditions de fonctionnement il y a stigmatisme approché quelle que soit leur incidence les rayons se focalisent.

D.III. Interféromètre de Sagnac

D.III.1. Les trajets optiques sont identiques, la plage est uniformément éclairée.

D.III.2. Dans l’interféromètre de Sagnac les trajets restent symétriques, la lame est traversée par les 2 faisceaux donc il ne se passe rien.

Dans l’interféromètre de Michelson la lame intervient sur une seule voie, elle introduit une différence de marche entre les 2 faisceaux qui fait varier l’ordre d’interférence : les franges défilent.

L’intérêt de l’interféromètre de Sagnac est dû au fait qu’il n’est pas sensible aux variations locales d’indice dues à des causes diverses (température, turbulence...).

D.III.3. Influence de la rotation

74 OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE

D.III.3.a. Quand l’interféromètre est au repos dans un référentiel galiléen les chemins optiques sont égaux : les 2 ondes se retrouvent en phase sur la lame séparatrice après un temps de propagation τ=2 π R

c .

Quand l’interféromètre tourne à la vitesse Ω, la lame séparatrice s’est déplacée d’une longueur

∆l = R •Ω•τ , pendant ce temps τ.

Pour un observateur situé dans le référentiel galiléen, les 2 ondes parcourent deux chemins dont les longueurs diffèrent de 2 ∆l , l’onde contrarotative est en avance sur l’onde corotative.

La différence de marche δ est donc δ= 2 ∆l =4 π R²Ω c A la sortie de l’instrument, l’éclairement du champ varie.

D.III.3.b.

Au premier ordre en RΩ

c , la différence de temps de propagation est ∆t =2 ∆l

c = 4 π R²Ω c² ce qui correspond à un déphasage ∆ϕ=ω∆t =4 π R²Ωω

c² ce qui correspond à un déphasage ∆ϕ=π² R²Ω

λc =8 π S Ω λc . Application numérique : ∆ϕ= 4,16 • 10^{– 3} degré

Application Numérique : δ= 1,16 • 10^{– 5}λ D.III.3.c. Rayon de l’interféromètre

On veut une différence de marche δ= λ

4 ce qui impose un rayon de l’interféromètre R²=λ

4 • c 4 πΩ

Application numérique : R = 14,71 m.

La valeur du rayon nécessaire rend le dispositif non réaliste.

D.IV. Gyroscope à fibre D.IV.1. Longueur de fibre

Pour une différence de marche de λ

4 le déphasage est ∆ϕ=π 2

∆ϕ=8 πδΩ λ c =π

2 =8 π² R² N Ω λ c d’où N = λ c

16 π R²Ω et L = 2 π R N = λ c 8 R Ω Application numérique : L = 13.600 m.

OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE 75

D.IV.2. Limite de résolution

D.IV.2.a. Longueur optimale de la fibre

∆Z_B= 1

2 π• B^1⁄2•

 h υ

η





1⁄2

P₀• 10^{– α L}



– 1 2

∆Z_Bruit= K • 10 ^α

L

2 avec K = 1

2 π• B^1⁄2

 h υ η P₀





1⁄2

∆Z_signal=2 Ω L R λ e

=∆Z_S

∆Z_B=2 Ω L R λ c • K 10^{– α}

L

2 = K’ • L • 10^–

αL 2

d

dL = K’ • 10^{– α}

L 2 

1 – α L 2 ln 10

 d

dL =0 → L = 2 α ln 10 Application numérique : L = 4.350 m.

D.IV.2.b. Vitesse de rotation minimale détectable

∆Z_S=∆Z_B Ω= 1

2 π B^1⁄2

 h υ η P





1⁄2

λ c 2 L R

Application numérique : Ω= 6,89 • 10 ^{– 9} rad⁄_S .

76 OPTION PHYSIQUE APPLIQUÉE

Agrégation

OPTION : PHYSIQUE APPLIQUÉE

Épreuve C : Problème d’Électricité, d’Électronique, d’Électrotechnique

et d’Automatique - Session : 1991

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