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Submitted on 1 Jan 1903
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Démonstration générale de la construction des rayons lumineux par les surfaces d’onde courbes
J. Boussinesq
To cite this version:
J. Boussinesq. Démonstration générale de la construction des rayons lumineux par les surfaces d’onde
courbes. J. Phys. Theor. Appl., 1903, 2 (1), pp.10-14. �10.1051/jphystap:01903002001001�. �jpa-
00240698�
développée:
dans les trois derniers termes de laquelle ~, ~, ~, figurant par leurs dérivées -201320132013r, sont réductibles aux projections de o.
°Alors cette
) ’
"équation fera connaître, au point (x, y, ), le trinome 11’ -f-- ,
c’est-à-dire la petite composante longitudinale de la vitesse vibra- toire et, par une intégration sur place, le petit déplacement corres- pondant, ou ayant la direction (1, m, n) de la normale aux ondes.
On voit que -les équations du mouvement laissent entièrement
arbitraire, dans chaque onde, la manière dont varie, d’un point à l’autre, le déplacement transversal 0 (seul sensible j, pourvu que ce mode de variation soit bien continu, comme le suppose notre analyse (~ ).
Si cette condition ne se trouvait pas réalisée, il se produirait des phénomènes de diffï-actioîî que je ne me propose nullement de con- sidérer ici.
DÉMONSTRATION GÉNÉRALE DE LA CONSTRUCTION DES RAYONS LUMINEUX PAR LES SURFACES D’ONDE COURBES;
Par M. J. BOUSSINESQ.
I. Huygens et Fresnel ont admis qu’un rayon lumineux, constitué
par des ondes planes limitées latéralement et se propageant dans un milieu homogène, pouvait se construire en menant, autour d’un
quelconque de ses points, la surface enveloppe d’ondes planes de
toute direction passées simultanément par ce point, et en joignant
celui-ci au point de contact de cette surface avec l’onde plane qui lui
est tangente parmi les proposées. Ce théorème a été, depuis long-
ternps, démontré dans le cas ordinaire ou les équations du mouve-
ment expriment l’égalité des trois dérivées secondes, en t, des
(1) J’ai exposé, dès 1~~~.i, cette manière de démontrer la délimitation latérale des rayons lumineux, sonores, etc., dans les corps ou milieux d’une contexture
élastique quelconque, aux pages 614 à 697 d’un volume intitulé : Application des potentiels à l’étude de l’équilibi>e el du mouvejnent des solides élastiques, czvee des
Notes étendues sut divers points de Physique 1nathé’tnatique et ~l’A~zcztyse.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01903002001001
déplacements vibratoires t°, r~, ~ smivant les ~7, y, ~’, à trois fonc- tions linéaires homogènes des dérivées secondes de 1, ~, 5 par rap- port aux coordonnées d’él2~tlib~~e ou moyennes x, y, z (1). Àlais, à l’exemple de Fresnel dans ses vues sur la double réfraction cir-
culaire, confirmées par ses propres expériences, les physiciens appliquent le même théorème à des cas oû les équations du mouve-
ment sont d’ordre supérieur au second. Il y a donc lieu de le démontrer généralement.
C’est ce que je me propose de faire ici pour des équations de
mouvement linéaires et à coefficients constants, contenant ’, riz
avec leurs dérivées d’ordres quelconques en ~, y, z, t, du moins
dans le cas d’ondes planes courantes à vibrations périodiques pen-
dulaires, où l’on sait, depuis Cauchy, que les déplacements sont les parties réelles de solutions symboliques de la forme :
(1) (1, q, r) == (L, O, 1) e~’~t-t"~ ~_-~~ avec to - 1-v -p my -f- nz.
II. Dans ces formules, d’une part, le tei-nps 1,, ernployé par les ondes à atteindre le point (x, y, z), après leur passage à l’oribine,
est une fonction réelle et linéaire de x, y, z, à coefficients 1, ~~2 , n
ayant entre eux des rapports arbitraires donnés ; d’autre part, les coef yccients d’aJnplitude L, ~r1, l~T, généralement imaginaires, sont
trois constantes, dans un système d’ondes indéfinies, mais trois fonc- tions de x, y, .~, à variations très lentes, quand les ondes se trouvent
latéralement limitées. Les dérivées de L, ~1, N, que nous écrirons
à (L, M, Ni, seront donc etites, et, ne variant de fractions notables
) z
de leurs valeurs que sur de longs parcours, auront leurs propres dérivées négligeables. Dès lors, chaque différentiation en 0153, y, Z, effectuée sur les expressions (1) de ~, "Ij, ~ ou sur leurs dérivées, revient à introduire devant l’expression différentiée (abstraction faite
de l’exponentielle) le facteur symbolique correspondant :
ou
(1) Dans l’hypothèse, toutefois, que leurs coefficients vérifient les relations assu-
rant la conservation des forces vives.
Les symboles ajoutés, dans ces formules, à 1, m, ~2, et que suivra finalement L, 1~3 ou N, pourront, dans les combinaisons
d’opérations, être assimilés à des accroissements très petits de
l, 1n, n, et désignés par "0l, ~~~z, ~n, en ce sens que leurs carrés et pro- duits symboliques se trouveront négligeables, chacun d’eux indiquant
une dérivation très ~°cc~~e~issa~2~e à effectuer sur la quantité, qui suit.
Quant aux dérivations en 1, elles reviendront à multiplier simplement
par 7~ ~~- 1 l’expression différentiée.
III. Cela posé, si 9, Z, ’~, ~~ , ~ ~, ’fI’ ?2,. ~2, sont, clans le cas
d’ondes planes indélîîiies, les polynomes en l, ~~2, ’Il 1°ésultant de la substitution des expressions (1) dans les divers ternes, respective-
ment en ~, ~, ~, des équations proposées du mouvement, les équa-
tions obtenues en 1, 1n, n et L, M, N s’écriront, après suppression
de l’exponentielle,
et elles entraîneront, outre la proportionnalité de 1,, 1~T, N, à trois polynomes )~, jJ., v en l, m, n, l’équation entre 1, 1n et n qu’exprime
l’annulation du déterminant de ce système homogène.
Si, au contraire, les ondes étant latéralement limitées, L, M, N
varient lentement d’un point à l’autre, l, r~2, n seront accompagnés,
dans p, x., t, 9n ..., de leurs petits accroissements symboliques 1Z,
~~n, ~n définis ci-dessus, à traiter comme des différentielles. Appelons
~~, y, ~~, t)~~, ..., les accroissements symboliques analogue
et le système (3) fera place au système plus complexe, en partie symbolique,
Or cherchons !’enveloppe des ondes planes de toute direction,
’0 = Cte ou lx + 1>1 y -j- ~2.~ = C~~, passées simultanément à l’origine.
Son point (.x,, J, N ) de contact, avec l’onde plane enveloppée pro-
duisant les déplacements exprimées symboliquement par les for
mules (1), vérifiera, comme on sait, quel que soit le rapport de dl à ctm,
l’équation
et il y a lieu, pour déterminer la direction (.>., il, z), de chercher
l’équation aux différentielles totales en dl, d1n, c1>1 résultant du
système (3). Différentions donc complètement celui-ci. Nous aurons,
en appelant maintenant dl, dnl, dn, d9, ..., des différentielles e f~’ec-
tives et non symboliques, les équations, pareilles à (4),
IV. Appelons n’, ;l’, v’ les trois multiplicateurs, expressions entières, comme À, u., v, en 1, ~r~, n, qui vérifient,le système homogène
parfaitement compatible à raison de ce que son déterminant est celui du système (3) et a été annulé. Alors les équations (4) et (5), multi- pliées respectivement par Y, N’, v’ et ajoutées, donneront :
ou, en développant DI, ..., dcp, cll,
...et faisant, dans la première équation, abstraction du facteur commune- 1 1
’
Mais, d’après les équations (3), les rapports mutuels de L, 1B11, N
sont, à une première approximation, égaux à ceux de ~, IL, v ; et,
dans les petites dérivées premières de L, on peut, sauf erreurs négligeables de l’ordre des dérivées secondes, supposer proportion-
nelles à L, l~’l, N eux-mémes leurs variations simultanées ; de telle
sorte que, si 1 désigne un coefficient quelconque d’amplitude, par
"’"
exemple le rapport commun de 1.., M, N â i,, p.., v, les déi%ivées - 1
vaudront les produits respectifs de 1.., 1I, N par
Si donc on appelle P, Q, R les trois quantités entre crochets,
dans la seconde équation ( ~ j, après substitution de ),, p., v à 1..,1B’1, N,
ces deux relations deviendront:
La première montre que l’amplitude 1 se conserve, dans chaque
onde plane, suivant la direction (P, Q, R); et la seconde, rapprochée
de l’équation ,~~dZ + ychn -f- zdn = o, fait voir que les coordonnées
~x, zu du point de contact de cette onde avec son enveloppe sont proportionnelles à P, Q, R, ou que le rayon vecteur tiré de l’origine
au point de contact a bien cette direction suivant laquelle le mouve-
inent se transrnet, en d"autres termes qu’il trace le czyon lumineux.
V. Il suffit, on le voit, que l’équation en 1, ~n, n, soit débarrassée du symbole y- 1, et qu’elle admette des racines réelles quand
l, 1n, n reçoivent les rapports mutuels soit donnés, soit voisins de ceux-là, pour que des ondes planes persistantes, ou d’une amplitude 1
se conservant à toute distance dans le sens des rayons, soient pos- sibles. Elles seront, de plus, délimitables latéralement d’une manière
arbitraire ; car, dès que 1 sera invariable le lon g des rayons, ou que la première équation (8) se trouvera vérifiée, les relations (4) se
réduiront à denx distinctes ; et l’on y satisfera, quelles que soient les petites ’ dérivées (L, 1B11, N) par d’imperceptibles altérations des
y, z) ’ ’ ’
rapports mutuels de L, M, N, c’est-à-dire par d’insignifiants change-
ments des trajectoires de l’éther ou des différences de phase qu’y
offre le mouvement projeté sur les divers axes.
SUR L’EXCITATEUR DE HERTZ ;
Par M. R. SWYNGEDAUW(1).
Prey»ière part£e.
CONSIDERATIONS THÉORIQUES
’
