Centrale-Supelec

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Oral Maths 2 Sujet type N°1

Corrigé

1. Nous devons tracer plusieurs courbes paramétrées (6 puisque n prend les valeurs entières de 2 à 7).

On commencera par générer une table T contenant les valeurs du paramètre t. J’ai choisi de faire varier t de 0 à 2π avec un pas de 0,01 (la valeur 2π ne sera donc pas atteinte ☺).

On entre alors dans la boucle principale qui est une boucle for dont le compteur, n, va donc prendre les valeurs 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

A chaque exécution de cette boucle, on construit deux listes :

• La liste X qui recevra les valeurs de x tn

( )

.

• La liste Y qui recevra les valeurs de y tn

( )

.

On prépare l’affichage à l’aide de la fonction plot que l’on appelle avec le paramètre label pour pouvoir identifier les courbes (le label indiquera simplement la valeur de n à côté d’un trait de même couleur que la courbe correspondante).

Après l’exécution de la boucle, on fait appel à la fonction legend pour le positionnement des labels, à la fonction grid pour obtenir une grille permettant de mieux se repérer sur le tracé et à la fonction show pour générer l’affichage proprement dit.

On peut donc proposer le code suivant :

from math import cos, sin

from numpy import array, arange, pi import matplotlib.pyplot as plt

plt.clf()

T = arange(0,2*pi,0.01) for n in range(2,8):

X = [4*cos(t) - cos(n*t) for t in T]

Y = [4*sin(t) - sin(n*t) for t in T]

plt.plot(X,Y,label='n='+str(n)) plt.legend(loc = 'upper left')

plt.grid() plt.show()

On o

Rem

On o 4 tan

2. D’ap suiv

•

•

obtient alor

marque : pou

obtient dans ndis que

C

₁

près les cou vant la parité

• Si n est des absc

• Si n est abscisse

rs la figure s

ur n=0 et x y

⎧⎪⎨

⎪⎩

s les deux c

C

est le cerc

urbes obtenu é de n :

pair, la cou cisses.

impair, la c es et l’axe d

suivante :

1 n= , on ob

( ) ( )

0

0

4 cos 4 sin x t

y t

=

= cas un cercle

cle de centr

ues, il semb urbe

C

_n ^sem

courbe

C

_n

des ordonné

btient les co

( ) ( )

s t 1 t

− et

e :

C

₀ ^{est l}

e Ω =₀ O e

blerait qu’il mble n’adm semble adm es.

ourbes de re

( ) ( )

0

0

3 3 x t y t

⎧⎪ =

⎨ =

⎪⎩

e cercle de et de rayon 3

faille distin mettre qu’un mettre deux

eprésentatio

( ) ( )

3cos 3sin

t t centre Ω0

(

3.

nguer les sym seul axe de axes de sym

ons paramétr

)

−1; 0 et d

métries prés e symétrie : métrie : l’ax

riques :

e rayon

sentes l’axe xe des

Pour tout réel t dans

[

^{0 ;π}

]

^{, on a :}

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 4 cos 2 cos 2

4 cos cos 2

4 cos cos 4 cos cos

n

n

x t t n t

t n nt

t nt

t nt

x t

π π π

π

− = − − −

= − − −

= − −

= −

= Et :

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 4 sin 2 sin 2

4 sin sin 2

4 sin sin 4 sin sin

n

n

y t t n t

t n n t

t nt

t nt

y t

π π π

π

− = − − −

= − − × − ×

= − − −

= − +

= −

De ce qui précède, on déduit que la courbe paramétrée

C

_n est formée de deux branches symétriques par rapport à l’axe des abscisses : l’une correspondant à t prenant ses valeurs dans l’intervalle

[

^{0 ;π}

]

et l’autre correspondant à t prenant ses valeurs dans

[

^{π π; 2}

]

^.

La courbe

C

_n est bien symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

Pour ce qui est d’une éventuelle seconde symétrie (cette fois-ci par rapport à l’axe des ordonnées), nous pouvons nous limiter à ^t∈

[

^{0 ;π}

]

d’après le résultat précédent.

On a cette fois :

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

4 cos cos

4 cos cos

xn t t n t

t n nt

π π π

π

− = − − −

= − − −

Si n et impair (n=2p+1), il vient alors :

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

4 cos cos

4 cos cos 2 1

4 cos cos 2 4 cos cos 4 cos cos

n

n

x t t n nt

t p nt

t p nt

t nt

t nt

x t

π π

π π π π

− = − − −

= − − + −

= − − + −

= − − −

= − +

= −

Et :

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

4sin sin

4sin sin 2

4sin sin 2 1

4sin sin 2 4sin sin 4sin sin

n

n

y t t n t

t n n t

t p nt

t p nt

t nt

t nt

y t

π π π

π π π π π

− = − − −

= − × − ×

= − + −

= − + −

= − −

= −

=

De ce qui précède, on déduit que, pour n impair, la branche de la courbe paramétrée

C

_n

correspondant à ^t∈

[

^{0 ;π}

]

est elle-même formée de deux branches symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : l’une correspondant à t prenant ses valeurs dans l’intervalle 0 ;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et l’autre correspondant à t prenant ses valeurs dans ; π π2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. Pour n impair, la courbe

C

_n est bien symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

3. On cherche les (éventuelles) valeurs de n pour lesquelles le système :

( ) ( )

' 0

' 0

n

n

x t y t

⎧⎪ =

⎨ =

⎪⎩ admet

au moins une solution. D’après la question précédente, nous pouvons limiter notre recherche des points stationnaires aux valeurs de t dans

[

^{0 ;π}

]

^.

On a immédiatement :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

' 0 4 sin sin 0 4 sin sin

' 0 4 cos cos 0 4 cos cos

n

n

x t t n nt t n nt

y t t n nt t n nt

= − + = =

⎧ ⎧ ⎧

⎪ ⇔⎪ ⇔⎪

⎨ = ⎨ − = ⎨ =

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎩ ⎩

Or :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 sin sin 4 sin sin

4 cos cos 4 cos cos

4 sin cos sin cos 4

t n nt t n nt

t n nt t n nt

t t n nt nt n

= ⎧ =

⎧⎪ ⇒⎪

⎨ ⎨

= =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

⇒ + = + ⇔ =

Comme n est un entier naturel, on en tire finalement : n=4. Ainsi, seule la courbe

C

₄ peut admettre des points non réguliers.

Supposons donc que l’on ait n=4.

On a dans ce cas :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

' 0 4 sin 4 sin 4 sin sin 4

' 0 4 cos 4 cos 4 cos cos 4

n

n

x t t t t t

y t t t t t

= = =

⎧ ⎧ ⎧

⎪ ⇔⎪ ⇔⎪

⎨ = ⎨ = ⎨ =

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎩ ⎩

La solution t=0 est immédiate. En revanche, t=π n’est pas solution (la deuxième égalité n’est pas vérifiée).

On cherche d’autres solutions dans

]

^{0 ;π}

[

. Sur cet intervalle, on a :

( ) ( )

( ) ( )

( )

] [ ] [ ] [

4 2 2

sin sin 4 3 2 , , 2

0 ; 3 3

cos cos 4 0 ; 0 ;

t t k

t t t k k t k

t t

t t t t

π π π π

π π π

⎧ = ⎧

=

⎧ ⎧ = ∈ = ∈

⎪ ⇔⎪ ⇔⎪ ⇔⎪ ⇔ =

⎨ = ⎨ ∈ ⎨⎪ ∈ ⎨

⎪ ⎪ ⎩ ⎪

⎩ ⎩ ⎩ ∈

Pour 2 t₌ 3π

, on aura donc un point non régulier. Du fait de la symétrie de la courbe, il y en aura également un pour 2 4

2 3 3

t= π− π = π .

Finalement, la courbe

C

_n admet des points non réguliers pour n=4.

C

4 admet au total trois points non réguliers.

Il correspondent aux temps de passage suivants : t=0, 2 t₌ 3π

et 4 t₌ 3π

.

On considère donc la courbe paramétrée définie par :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]

4

4

4 cos cos 4

0 ; 2 4sin sin 4

x t t t

t

y t ⁼ t ⁻ t π

⎧⎪ ∈

⎨ = −

⎪⎩

Etude au voisinage de 0.

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

( )

4

2 2

3 3

2 3

2 3

4 cos cos 4

4 1 o 1 4 o

2 2

3 2 8 o

3 6 o

x t t t

t t

t t

t t

t t

= −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − + ⎟ ⎜⎠ ⎝− −⎜ + ⎟⎟⎠

= + − + +

= + +

Et :

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

4

3 3

4 4

3 4

3 4

4 sin sin 4

4 o 4 4 o

6 6

2 32 3 3 o

10 o

y t t t

t t

t t t t

t t

t t

= −

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − + ⎟ ⎜⎠ ⎝−⎜ − + ⎟⎟⎠

⎛ ⎞

= − +⎜⎝ ⎟⎠ +

= +

Il vient donc :

• Le point correspondant à t=0 est le point A0

(

3 ; 0

)

.

• En ce point, la tangent est dirigée par le vecteur u0

(

6 ; 0

)

qui est colinéaire au vecteur i . La tangente est donc parallèle à l’axe des abscisses. Comme le point

A appartient à cet axe, on en déduit finalement que la tangente à la courbe 0

C

₄ ^au

point A de paramètre ₀ t=0 est l’axe des abscisses.

• Comme le premier vecteur dérivé non colinéaire au vecteur u₀ est le vecteur

( )

0 0 ;10

v (ses coordonnées sont les coefficients de « t³ » dans les développements limités), on en déduit que le point A est un point de ₀ rebroussement de première espèce.

Etude au voisinage de 2 3

π .

Cette fois, on pose classiquement 2 t₌ 3π ₊h

pour se ramener à des développements limités à l’origine (cf. page suivante).

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 4

2 2 2

4 cos cos 4

3 3 3

2 2 8

4 cos cos sin sin cos 4

3 3 3

1 3 2

4 cos sin cos 4

2 2 3

1 3

2 cos 2 3 sin cos 4 sin 4

2 2

2 cos 2 3 sin

x t x h h h

h h h

h h h

h h h h

h

π π π

π π π

π

= + = + − +

= − − +

= − − − +

= − − − − −

= − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎞⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

^{( )}

( )

( )

^{( )}

( )

( )

2 3

3 3

2 3

3 3

2 3 3

2 3 3

1 3

cos 4 sin 4

2 2

2 1 o 2 3 o

2 6

4 4

1 3

1 o 4 o

2 2 2 6

1 3 16 3

2 2 3 2 3 1 4 o

2 3 3

3 3 5 3 o

2

h h h

h h

h h h

h h

h h h

h h h h

h h h

+ +

= − − + − − +

+ − + + − +

= − + + − + + − + − +

= − − − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Et :

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4

2 2 2

4 sin sin 4

3 3 3

2 2 8

4 sin cos cos sin sin 4

3 3 3

3 1 2

4 cos sin sin 4

2 2 3

3 1

2 3 cos 2 sin cos 4 sin 4

2 2

2 3 cos 2 sin 3

2

y t y h h h

h h h

h h h

h h h h

h h

π π π

π π π

π

= + = + − +

= + − +

= + − +

= + − +

= + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎞⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

^{( )}

( )

( )

( ) ^{( )}

( )

2 3

3 3

2 3

3 3

2 3 3

2 3 3

cos 4 1sin 4 2

2 3 1 o 2 o

2 6

4 4

3 1

1 o 4 o

2 2 2 6

3 1 16

2 3 2 2 3 4 3 o

2 3 3

3 3 3 3 5 o

2

h h

h h

h h h

h h

h h h

h h h h

h h h

−

= − + + − +

− − + − − +

= − + − + − + + − + +

= + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎞⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

On a finalement :

( ) ( )

( ) ( )

2 3 3

2 3 3

4

2 3 3

2 3 3

4

3 3 2 2 2

3 5 3 o 3 5 3 o

2 2 3 3 3

3 3 3 3 2 2 2

3 3 5 o 3 3 5 o

2 2 3 3 3

x t h h h t t t

y t h h h t t t

π π π

π π π

⎧ = − − − + = − − ⎛ − ⎞ − ⎛ − ⎞ + ⎛⎛ − ⎞ ⎞

⎪ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ = + + + = + ⎛⎜ − ⎞⎟ + ⎛⎜ − ⎞⎟ + ⎜⎛⎜ − ⎞⎟ ⎟

⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎝⎝ ⎠ ⎟⎠

⎩

Il vient donc :

• Le point correspondant à 2 t₌ 3π

est le point ₂

3

3 3 3

A ;

2 2

π

⎛ ⎞

⎜− ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠^.

• En ce point, la tangente est dirigée par le vecteur ²

( )

3

3 ; 3 3

u _π − qui est colinéaire au vecteur de coordonnées

(

^{−1 ; 3}

)

^.

• Comme le premier vecteur dérivé non colinéaire au vecteur u₀ est le vecteur

( )

0 5 3 ; 5

v − (ses coordonnées sont les coefficients de « 2 3

t 3π

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ » dans les développements limités), on en déduit que le point ₂

3

A _π est un point de rebroussement de première espèce.

Par symétrie de la courbe par rapport à l’axe des abscisses, on conclut immédiatement que le point ₄

3

A _π est également un point de rebroussement de première espèce.

4. On a classiquement :

^l

n=

∫

₀^2π

(

xn^'

( )

t

)

²+

(

yn^'

^{( )}

t

)

²dt^.

La symétrie de la courbe par rapport à l’axe des abscisses nous permet d’écrire immédiatement :

^l

n=²

∫

₀^π

(

xn^'

( )

t

)

²+

(

yn^'

( )

t

)

²dt^.

Par ailleurs :

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 2 2

2

2

' ' 4 sin sin 4 cos cos

16 8 sin sin cos cos

16 8 cos 1

n n

x t y t t n nt t n nt

n n t nt t nt

n n n t

+ = − + + −

= + − +

= + − −

D’où :

( )

( )

2

2 0 16 8 cos 1

n =

∫

^π +n − n n− t dt

l

Avant de pouvoir représenter graphiquement les points Mn

(

n^;

l

n

)

, nous allons devoir calculer des valeurs approchées des

l

_n. Pour ce faire, nous approcherons classiquement la valeur de l’intégrale par une somme de Riemann. Pour structurer quelque peu notre script, nous introduisons :

• Une fonction f qui permet le calcul de ^{16+n2−8 cosn}

( (

ⁿ⁻¹

)

^t

)

. Elle reçoit comme seul argument (mais on aurait pu procéder différemment) le réel t. La variable n est définie comme gloable.

• Une fonction SRiemann qui reçoit classiquement comme arguments : les réels a et b, bornes inférieure et supérieure de l’intégrale à approcher, et N, le nombre d’intervalles de la subdivision de

[

^{a b;}

]

. Travaillant avec un pas h constant, on aura évidemment : b a

h N

= − et on calculera ^{f a}

(

^+kh

)

avec k entier compris entre 0 et n−1 (vous pouvez choisir de faire varier k entre 1 et n si vous préférez voire même calculer ces deux sommes de Riemann et en considérer la moyenne arithmétique…). Dans le code ci-dessous, j’ai choisi N=200 qui est une valeur raisonnable pour obtenir de bonnes approximations des intégrales.

In fine, on peut proposer le code suivant : from numpy import pi

import matplotlib.pyplot as plt global n

def f(t):

return((16 + n**2 - 8*n*cos((n-1)*t))**0.5)

def SRiemann(a,b,N):

S = 0

h = (b - a)/N

for k in range(N):

S += f(a + k*h) S *= h

return(S)

# Génération des listes X et Y des abscisses et ordonnées des points M(n)

X = [n for n in range(1,21)]

Y = []

for n in range(1,21):

Y += [2*SRiemann(0,pi,200)]

# Affichage graphique plt.clf()

plt.plot(X,Y,color='r',marker='o') plt.grid()

plt.show()

On o

5. A la en ti

C’es

D’où

Soit

obtient alor

a question p ire immédia

st-à-dire, po

ù :

t :

rs la figure s

précédente, o atement l’en 16+n our n≥4 :

suivante :

on a obtenu ncadrement

(

2 8 _n

n − n≤ x

(

4 n− ≤ x

0

(

2

∫

^π n−4

(

2π n

u

(

xn^'

( )

t

)

²+ :

( ) ) (

²

n' t + y

( ) ) (

²

n'

x t + y

)

4 dt≤

l

_n≤

)

4 _n

− ≤

l

≤

(

yn^'

( )

t

)

²

+ =

( ) )

²

' 16

n t ≤

( ) )

²

n'

y t ≤n

( )

2

∫

0^π n+4 d

( )

2π n+4

16 n2 8

= + − 6+n2+8n

4 n+

dt

( (

8 cosn n−1¹

)

^t

)

^{. On}

Puis :

4 4

1 1

2

n

n πn n

− ≤

l

≤ + On en tire lim 1

2

n

n^→+∞ π

l

n ⁼ et, finalement :

n 2πn

+∞∼

l