Théorème de Toeplitz-Haussdorff
Gourdon,Algèbre, page 272 Théorème :
SoitE un espace hermitien de dimension finien≥1. Pour toutf ∈ L(E), on appelle Haussdorffien def l’ensemble :
H(f) ={hf(x)|xi, x∈E, kxk= 1}
Alors, pour toutf ∈ L(E), H(f)est une partie convexe et compacte deC.
De plus, sif est normal, alorsH(f) est exactement l’enveloppe convexe des valeurs propres def.
H(f)est clairement compact car c’est l’image du compact{x∈E,kxk= 1}par l’application continue x7→< f(x)|x >.
Montrons queH(f)est convexe. Donnons nousx, y∈E,kxk=kyk= 1et posons X =< f(x)|x > et Y =< f(y)|y >
Il s’agit de montrer que[X, Y]⊂ H(f).
SiX =Y, c’est terminé. Sinon,X 6=Y, et on va se ramener à[0,1].
Il existe deux nombres complexesaetb tels que
aX+b= 1
aY +b= 0
Si on pose alorsg=af+bIdE, on a :
[X, Y]⊂ H(f) ⇐⇒ ∀t∈[0,1], tX+ (1−t)Y ∈ H(f)
⇐⇒ ∀t∈[0,1],∃z∈E,kzk= 1, tX+ (1−t)Y =< f(z)|z >
⇐⇒ ∀t∈[0,1],∃z∈E,kzk= 1, < g(z)|z >=a(tX+ (1−t)Y) +b=t
⇐⇒ [0,1]⊂ H(g) Montrons donc que[0,1]⊂ H(g).
On sait que< g(x)|x >= 1et< g(y)|y >= 0.
On écritg=u+iv avecu, v hermitiens : g= g+g∗
2 +ii(g∗−g) 2
Quitte à multiplier xparλ∈C, |λ|= 1, on peut supposer que< v(x)|y >∈iR. Or< g(x)|x >= 1 =< u(x)|x >−i < v(x)|x >, donc< v(x)|x >= 0.
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