TD MK.3 : ENERGIE MECANIQUE - ELEMENTS DE REPONSE

TD MK.3 : ENERGIE MECANIQUE - E LEMENTS DE REPONSE

A SAVOIR FAIRE

Application 1 : la pomme de Newton

Système : pomme supposée ponctuelle de masse 𝑚, étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Forces : pesanteur seule si on néglige les frottements avec l’air, dérivant de l’énergie potentielle de pesanteur. Le système est donc conservatif.

On peut choisir de décrire le mouvement de chute à l’aide d’un axe vertical descendant, avec une origine O au niveau de la position initiale de la pomme, qu’on peut également choisir comme origine des potentiels.

Faire un schéma en faisant apparaitre les données du problème.

Energie potentielle de pesanteur : 𝐸𝑝𝑝= −𝑚𝑔𝑧.

On aurait pu choisir comme origine des potentiels le sol, avec 𝐸𝑝_𝑝 = −𝑚𝑔𝑧 + ℎ en notant ℎ = 1,8 𝑚 la hauteur initiale de la pomme.

Système pomme conservatif, étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen : 𝐸𝑚 = 𝑐𝑡𝑒 ou ∆𝐸𝑚 = 0

Considérons comme état initial la pomme au moment où elle se détache de l’arbre, avec une vitesse encore nulle, et comme état final le moment où la pomme arrive sur la tête de Newton avec la vitesse 𝑣_𝑓.

Energie mécanique initiale : 𝐸𝑚0= 𝐸𝑝𝑝,0+ 𝐸𝑐0= 0 + 0 = 0 (vitesse initiale donc énergie cinétique nulles) Energie mécanique finale : 𝐸𝑚_𝑓= 𝐸𝑝_𝑝,𝑓+ 𝐸𝑐_𝑓, avec 𝐸𝑐_𝑓=¹

2𝑚𝑣_𝑓² et 𝐸𝑝_𝑝,𝑓= −𝑚𝑔𝑧_𝑓, en notant 𝑧_𝑓 la position finale de la pomme arrivant sur la tête. En ayant choisi un axe descendant d’origine la position initiale de la pomme, on a donc 𝑧𝑓= ℎ = 1,8 𝑚.

D’après le théorème de l’énergie mécanique, 𝐸𝑚_𝑓= 𝐸𝑝_𝑝,𝑓+ 𝐸𝑐_𝑓= 𝐸𝑚₀= 0 =¹

2𝑚𝑣_𝑓²− 𝑚𝑔ℎ.

Finalement, 𝒗_𝒇= √𝟐𝒈𝒉. A.N. 𝒗_𝒇= 𝟓, 𝟗 𝐦. 𝐬^−𝟏= 𝟐𝟏, 𝟑 𝐤𝐦. 𝐡^−𝟏.

Application 2 : Circuit de voitures pour enfants et looping

Système : voiture de masse 𝑚, supposée ponctuelle, étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Forces : pesanteur, dérivant de l’énergie potentielle de pesanteur,

Réaction du support, qui ne travaille pas si on néglige les frottements avec le sol, et peut donc être associée à une énergie potentielle nulle ;

Si on néglige de plus les frottements avec l’air, le système est donc conservatif.

On peut choisir de décrire le mouvement à l’aide d’un axe vertical ascendant, avec une origine O au niveau du point A, qu’on peut également choisir comme origine des potentiels.

Energie potentielle de pesanteur : 𝐸𝑝𝑝= +𝑚𝑔𝑧.

Système voiture conservatif, étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen : 𝐸𝑚 = 𝑐𝑡𝑒 ou ∆𝐸𝑚 = 0

Considérons comme état initial la voiture au point A, avec la vitesse 𝑣𝐴,𝑚𝑖𝑛 correspondant à la vitesse minimale lui permettant d’atteindre le haut du demi-cercle, que nous noterons C, et comme état final le point C atteint avec la vitesse 𝑣𝐶 = 0 pour que 𝑣𝐴,𝑚𝑖𝑛 soit bien la vitesse minimale permettant d’atteindre C.

Energie mécanique initiale : 𝐸𝑚𝐴= 𝐸𝑝𝑝,𝐴+ 𝐸𝑐𝐴= 0 +¹

2𝑚𝑣_{𝐴,𝑚𝑖𝑛}² Energie mécanique finale : 𝐸𝑚_𝐶 = 𝐸𝑝_𝑝,𝐶+ 𝐸𝑐_𝐶, avec 𝐸𝑐_𝐶=¹

2𝑚𝑣_𝐶²= 0 et 𝐸𝑝_𝑝,𝐶 = 𝑚𝑔𝑧_𝐶, en notant 𝑧_𝐶 l’altitude du point C, soit ici 𝑧𝐶= 2𝑅 = 2 m.

2

2𝑚𝑣_{𝐴,𝑚𝑖𝑛}² . Finalement, 𝒗𝑨,𝒎𝒊𝒏= √𝟒𝒈𝑹. A.N. 𝒗𝑨,𝒎𝒊𝒏= 𝟔, 𝟑 𝐦. 𝐬^−𝟏= 𝟐𝟐, 𝟖 𝐤𝐦. 𝐡^−𝟏.

La présence de frottements fait qu’en réalité il faut une vitesse plus importante ; par ailleurs, si la voiture n’est pas munie d’un dispositif particulier, elle risque de décoller de la piste. Il faut alors mener une étude complémentaire, et la vitesse minimale sera là encore plus importante que celle estimée ainsi.

Le critère de non décollement passe par l’étude de l’évolution de la réaction du support, étude qui n’est pas possible à l’aide de l’énergie mécanique car l’énergie potentielle associée est toujours nulle, quelle que soit la position du système, et ne permet donc pas d’accéder à des informations sur cette réaction. C’est d’ailleurs là l’une des caractéristiques de théorèmes énergétiques, qui ne permettent pas d’étudier les forces qui « ne travaillent pas », typiquement la réaction normale des supports solides ou la tension d’un fil tendu pour un pendule.

Application 3 : Le pendule simple

Faire un schéma en faisant apparaitre les données du problème. Il faut choisir un angle 𝜃 quelconque.

1) Système étudié : bille considérée comme un point M.

Bilan des forces d’exerçant sur le système :

1. Poids, associé à l’énergie potentielle de pesanteur 𝐸𝑝_𝑝

2. Tension du fil, qui ne travaille pas (toujours perpendiculaire au déplacement), et peut donc être associée à une énergie potentielle nulle.

3. On néglige tout frottement avec l’air Le système est donc conservatif.

Energie potentielle de pesanteur (axe 𝑂𝑦 vertical DESCENDANT,origine de l’énergie potentielle en 𝑂 (choix arbitraire)) : 𝐸𝑝_𝑝= −𝑚𝑔𝑦

ici, 𝑦 est positif ; selon le schéma définissant l’angle 𝜃, on a : 𝑦 = + ℓ cos 𝜃

Penser à vérifier la cohérence de l’expression établie à l’aide de cas particuliers tels que 𝜃 = 0 ou 𝜃 =^𝜋

2 ! D’où, avec l’origine choisie : 𝑬_𝒑= − 𝒎𝒈𝓵 𝐜𝐨𝐬 𝜽

2) D’après le théorème de l’énergie mécanique appliqué au système conservatif dans le référentiel terrestre supposé galiléen,

𝐸𝑚 = 𝑐𝑡𝑒.

Energie mécanique initiale : 𝐸𝑚0= 𝐸𝑐0+ 𝐸𝑝0=¹

2𝑚𝑣02− 𝑚𝑔𝑙 cos 𝛼

Energie mécanique en un point quelconque caractérisé par l’angle 𝜃 : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 ;

le point M décrivant une trajectoire circulaire de rayon 𝑙, sa vitesse est 𝑣 = 𝑙𝜃̇, et donc son énergie cinétique : 𝐸𝑐 =

1 2𝑚ℓ²𝜃̇²

soit finalement 𝐸𝑚 =¹

2𝑚ℓ²𝜃̇²− 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 =¹

2𝑚𝑣²− 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 Conservation de l’énergie mécanique : 𝐸𝑚₀= 𝐸𝑚 ⟺ ¹

2𝑚𝑣₀²− 𝑚𝑔𝑙 cos 𝛼 =¹

2𝑚𝑣² − 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 Soit 𝑣 = √𝑣₀²+ 2𝑔𝑙 (cos 𝜃 − cos 𝛼).

Comme pour toute relation ou calcul un peu complexe, il faut soigneusement vérifier la cohérence du résultat obtenu, via l’homogénéité, l’étude des signes et des cas limites.

Ici, on a bien [𝑔𝑙] = [𝑣²] ; en prenant 𝜃 = 𝛼, on retrouve 𝑣 = 𝑣0. Pour 𝜃 >𝛼, 𝑐𝑜𝑠 𝜃 < 𝑐𝑜𝑠 𝛼, soit 𝑣 < 𝑣0, et réciproquement.

L’ensemble est donc bien cohérent.

3) Sur la courbe d’énergie potentielle, on retrouve les positions d’équilibre stable (minima d’𝐸𝑝) : 𝜃é𝑞1= 0 [2𝜋] ainsi que les positions d’équilibre instable (maxima) : 𝜃_é𝑞2= 𝜋 [2𝜋].

Cf. cours : les positions accessibles sont telles que leur énergie potentielle est inférieure ou égale à l’énergie mécanique du système, soit graphiquement

𝜃₁ 𝜃₁′

𝜃₂ 𝜃₂′

l’ensemble des positions telles que la courbe d’énergie potentielle soit sous la droite représentant l’énergie mécanique, déterminée à l’aide des conditions initiales.

Pour l’énergie mécanique 𝐸𝑚₁, le mouvement a lieu dans un puits de potentiel très restreint, entre les angles 𝜃1 et 𝜃1′ (cf. schéma) avec une amplitude du mouvement faible.

Pour l’énergie mécanique 𝐸𝑚2> 𝐸𝑚1, le mouvement a de nouveau lieu dans un puits de potentiel, mais beaucoup moins restreint, entre les angles 𝜃₂ et 𝜃₂′.

Pour l’énergie mécanique 𝐸𝑚₃, l’ensemble des angles sont accessibles. Cela correspond à un mouvement de révolution sans oscillations.

4) Pour 𝛼 = 0, Energie mécanique initiale : 𝐸𝑚₀= 𝐸𝑐₀+ 𝐸𝑝₀=¹

2𝑚𝑣₀²− 𝑚𝑔𝑙.

Dans le cas limite où le système décrit un cercle complet, il faut atteindre la position 𝛼 = 𝜋 avec une vitesse nulle, ce qui correspond à une énergie potentielle 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑙 et une énergie cinétique nulle, soit 𝐸𝑚 = 𝑚𝑔𝑙.

Conservation de l’énergie mécanique : ¹

2𝑚𝑣_{0,𝑚𝑖𝑛}² − 𝑚𝑔𝑙 = 𝑚𝑔𝑙 soit 𝒗𝟎,𝒎𝒊𝒏 = √𝟒𝒈𝒍 = 𝟐√𝒈𝒍 pour que le pendule décrive des cercles complets.

5) On a montré que 𝐸𝑚 =¹

2𝑚ℓ²𝜃̇²− 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 + 𝑐𝑡𝑒 = cte On a donc ^𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 = 0 = 𝑚ℓ²𝜃̇𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑙𝜃̇ sin 𝜃

Attention au calcul de la dérivée !!! il s’agit d’une dérivée par rapport au temps, avec 𝑓(𝑡) =¹

2𝑚ℓ²𝜃̇²= 𝑓(𝜃(𝑡)), soit la dérivée d’une fonction composée.

On a alors 𝑓^′(𝑡) =^𝑑𝑓

𝑑𝑡=^𝑑𝑓

𝑑𝜃.^𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜃̇^𝑑𝑓

𝑑𝜃

𝑚ℓ²𝜃̇𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑙𝜃̇ sin 𝜃 = 0 ⟺ { 𝜃̇ = 0 ℓ²𝜃̈ + 𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0

La solution 𝜃̇ = 0 correspond à une vitesse toujours nulle, donc un système arrêté, ce qui n’a pas d’intérêt pour l’étude du mouvement.

L’équation différentielle du mouvement est donc : ℓ²𝜃̈ + 𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 ⟺ 𝜃̈ +^𝑔

𝑙sin 𝜃 = 0

Application 4 : Exploitation graphique d’énergie potentielle

4 Application 6 : Hockey sur glace et dissipation d’énergie

Système : palet de hockey étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces :

- poids, associé à une énergie potentielle de pesanteur constante, le mouvement étant horizontal, qu’on peut choisir nulle

- réaction normale de la glace, qui ne travaille pas et peut être associée à une énergie potentielle nulle - frottements, associés à une puissance 𝑃_𝑓𝑟< 0, supposée constante.

En raison des frottements, le système n’est pas conservatif.

Théorème de la puissance mécanique (TPM) appliqué au palet dans référentiel terrestre : ^𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 = 𝑃𝑓𝑟< 0, Energie mécanique : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑝 +¹

2𝑚𝑣². En choisissant le sol comme origine de l’énergie potentielle de pesanteur, le mouvement étant horizontal, on a toujours 𝐸𝑝 = 0, soit 𝐸𝑚 =¹

2𝑚𝑣².

On choisit comme instant initial 𝑡0= 0 (origine des temps) le moment où le palet est lancé avec la vitesse 𝑣0 (énergie mécanique 𝐸𝑚₀=¹

2𝑚𝑣₀²) , et comme instant final le moment où le palet s’arrête (vitesse nulle, instant 𝑡_𝑓, énergie mécanique 𝐸𝑚_𝑓 = 0) .

En intégrant entre 𝑡0 et 𝑡𝑓 le TPM : ∫_𝐸𝑚^𝐸𝑚𝑓𝑑𝐸𝑚

0 = ∫ 𝑃_𝑡^𝑡𝑓 𝑓𝑟𝑑𝑡

0 ⟺ 𝐸𝑚𝑓− 𝐸𝑚0= 𝑃𝑓𝑟(𝑡𝑓− 𝑡0) Finalement, 𝒕𝒇= −

𝟏 𝟐𝒎𝒗_𝟎^𝟐

𝑷_𝒇𝒓 .

Vérifier l’homogénéité et le signe (cohérent car 𝑃_𝑓𝑟< 0), ainsi que la cohérence de l’influence des différents paramètres : plus la vitesse initiale est élevée, plus le temps nécessaire avant que le palet ne s’arrête va augmenter ; en revanche il diminue quand les frottements augmentent…

Application 7 : Freinage par frottement fluide

2) Système : voiture de masse 𝑚, étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces : poids (dérivant d’une énergie potentielle de pesanteur constante, la route étant horizontale, et qui peut être prise nulle), réaction normale du support (pour laquelle on peut définir une énergie potentielle nulle), et frottement fluide tq 𝒫 = −ℎ𝑣².

Energie mécanique du système : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =¹

2𝑚𝑣²+ 0.

Le mouvement étant rectiligne selon l’axe (𝑥’𝑥), la vitesse instantanée à un instant 𝑡 quelconque est 𝑣 = 𝑥̇ soit 𝐸𝑚 =

1 2𝑚𝑥̇²

Théorème de la puissance mécanique au système dans le référentiel galiléen : ^𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 = 𝒫𝑛𝑐= −ℎ𝑣²= −ℎ𝑥̇²= 𝑚𝑥̇𝑥̈.

Attention ! dérivée d’une fonction composée !

Soit −ℎ𝑥̇ = 𝑚𝑥̈, la solution 𝑥̇ = 0 n’étant pas physiquement intéressante. Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, sans second membre (équation homogène).

sous forme canonique : ^𝑑𝑥̇_𝑑𝑡+^ℎ

𝑚𝑥̇ = 0 ⟺ ^𝑑𝑥̇

𝑑𝑡+^𝑥̇

𝜏= 0 Avec 𝝉 =^𝒎

𝒉 temps caractéristique du système.

Toujours mettre les équations différentielles obtenues sous forme canonique !

Le temps caractéristique donne l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, et non sa durée exacte.

SGEH : 𝑥̇𝐻 = 𝐴 exp(−𝑡/ 𝜏) = 𝑥̇(𝑡) avec 𝐴 constante d’intégration (pas de SPEC en l’absence de second membre).

CICI : 𝑥̇(𝑡 = 0) = 𝑣0= 𝐴 Finalement, 𝒙̇(𝒕) = 𝒗_𝟎𝐞𝐱𝐩 (−^𝒕

𝝉) avec 𝝉 =^𝒎

𝒉 temps caractéristique du système.

3) Equation horaire du mouvement : on cherche 𝑥(𝑡), obtenu en intégrant 𝑥̇(𝑡) par rapport au temps entre l’instant 𝑡 = 0 et un instant 𝑡 quelconque.

𝑥̇(𝑡) =^𝑑𝑥

𝑑𝑡 soit 𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡 = 0) = ∫ 𝑣₀exp (−^𝑡

𝜏)

𝑡

𝑡=0 𝑑𝑡 = [−𝜏𝑣₀exp (−^𝑡

𝜏)]

𝑡=0

𝑡 = 𝜏𝑣₀(1 − exp (−^𝑡

𝜏)) De plus, C.I. : 𝑥 = 0 à 𝑡 = 0, soit

𝑥(𝑡) = 𝜏𝑣0(1 − exp (−𝑡 𝜏))

On pouvait également rechercher une primitive écrite à une constante près, ensuite déterminée à l’aide de la condition initiale.

Application 8 : chute d’une bille dans l’huile – système du premier ordre

1) Considérons la bille, de masse 𝑚, lâchée sans vitesse initiale.

Elle subit - son poids ;

- une force de frottement fluide dont la puissance est −ℎ𝑣².

Une troisième interaction pourrait être prise en compte : la poussée d’Archimède.

La bille est repérée par son abscisse 𝑧 sur un axe vertical descendant 𝑂𝑧, d’origine la position initiale de la bille, prise comme origine des potentiels.

Energie potentielle de pesanteur : 𝐸𝑝 = −𝑚𝑔𝑧

Energie mécanique 𝐸𝑚 de la bille à 𝑡 quelconque : 𝑬𝒎= 𝑬𝒄 + 𝑬𝒑 =^𝟏

𝟐𝒎𝒗^𝟐− 𝒎𝒈𝒛 = ^𝟏

𝟐𝒎𝒛̇^𝟐− 𝒎𝒈𝒛 avec 𝑧̇ =^𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑣, la trajectoire étant rectiligne.

2) Théorème de la puissance mécanique : ^𝑑𝐸_𝑑𝑡^𝑚= 𝑃_𝑛𝑐= −ℎ𝑣²= −ℎ𝑧̇². Or ^𝑑𝐸_𝑑𝑡^𝑚= 𝑚𝑧̇𝑧̈ − 𝑚𝑔𝑧̇ = −ℎ𝑧̇²

𝒅𝑬_𝒎

𝒅𝒕 < 𝟎 : l’énergie mécanique diminue au cours du temps sous l’effet des forces de frottement fluide (forces dissipatives).

On a donc 𝑚𝑧̇𝑧̈ − 𝑚𝑔𝑧̇ = −ℎ𝑧̇² ⟺ { 𝑧̇ = 0 𝑚𝑧̈ + ℎ𝑧̇ = 𝑚𝑔

𝑧̇ = 0 correspond à l’immobilité de la bille, or on s’intéresse au mouvement de la bille, donc 𝑧̇ ≠ 0 (solution physiquement sans intérêt pour notre étude).

On obtient donc une équation différentielle linéaire d’ordre 1, à coefficients constants, liant 𝑧̇ et 𝑡 : 𝒎𝒛̈ + 𝒉𝒛̇ = 𝒎𝒈 ou 𝒎 ^𝒅𝒛̇

𝒅𝒕+ 𝒉𝒛̇ = 𝒎𝒈

3) Mise sous forme canonique : On commence par ramener à 1 le coefficient du terme de plus haut degré (en divisant par 𝑚, ici) : ^𝒅𝒛̇

𝒅𝒕+^𝒉

𝒎𝒛̇ = 𝒈

Dimension du coefficient _𝑚^ℎ placé devant 𝑧̇ : [^𝑑𝑧̇

𝑑𝑡] = [^ℎ

𝑚𝑧̇] ⟺ ^[𝑧̇]

𝑇 = [^ℎ

𝑚] [𝑧̇] d’où [^ℎ

𝑚] = 𝑇⁻¹ On définit une constante de temps, ou un temps caractéristique : 𝜏 =^𝑚

ℎ

L’équation différentielle se met donc sous la forme : ^𝑑𝑧̇

𝑑𝑡+¹

𝜏 𝑧̇ = 𝑔 qui correspond à la forme canonique des équations différentielles du 1^er ordre à coefficients constants.

Résolution de l’équation différentielle :

Méthode et calculs à maitriser parfaitement

1. Résolution de l’équation sans second membre (ESSM) ou équation homogène (EH) : ^𝑑𝑧̇

𝑑𝑡+¹

𝜏 𝑧̇ = 0 Solution générale de l’équation homogène (SGEH) : 𝒛̇_𝑯= 𝑨 𝐞𝐱𝐩 (– ^𝒕

𝝉) , 𝐴 étant une constante quelconque, de même dimension que 𝑧̇ (soit une vitesse).

2. Recherche d’une solution particulière de l’équation avec second membre, ou équation complète (SPEC) : ^𝑑𝑧̇

𝑑𝑡+¹

𝜏 𝑧̇ = 𝑔

Le second membre étant constant, on cherche une solution particulière constante pour la vitesse 𝑧̇ ; on a alors ^𝑑𝑧̇

𝑑𝑡= 0, soit

𝑧̇_𝑃= 𝜏𝑔

3. On en déduit la solution générale de l’équation complète (SGEC) : 𝑧̇ = 𝑧̇_𝐻+ 𝑧̇_𝑃= 𝐴 exp (– ^𝑡

𝜏) + 𝜏𝑔 4. On termine en déterminant la constante d’intégration 𝐴 à l’aide d’une condition initiale (CICI).

Calcul délicat, à travailler et maîtriser

6

𝜏) + 𝑔𝜏 = 0 ; Soit 𝐴 = - 𝜏𝑔 Finalement, vitesse de la bille : 𝒛̇(𝒕) = 𝒈𝝉 (𝟏 – 𝒆𝒙𝒑 (– ^𝒕

𝝉)) Attention !

L’ordre des différentes étapes lors de la résolution de l’équation différentielle est important. Ici, les deux premières étapes sont interchangeables. Mais en général, elles ne le sont pas. Ainsi, une équation différentielle linéaire devra toujours être résolue dans l'ordre 1 à 4 comme ci-dessus.

La condition initiale ne doit pas être utilisée avant la fin.

Équation différentielle d’ordre 1  1 constante d’intégration  1 condition initiale, exploitée sur la SGEC.

4) Si 𝑡 est grand devant 𝜏, ż tend vers une valeur limite 𝑧̇𝑙𝑖𝑚= 𝑔𝜏 En effet, mathématiquement, lim

𝑡→∞(𝑧̇(𝑡) = 𝑔𝜏 (1 – exp (– ^𝑡

𝜏))) = 𝒈𝝉 = 𝒛̇_𝒍𝒊𝒎), avec lim

𝑡→∞(exp (– ^𝑡

𝜏)) = 0 𝑧̇(𝜏) = 𝑔𝜏 (1 – exp (– ^𝜏

𝜏)) = 𝑔𝜏 (1 – exp(– 1)) = 0,63𝑔𝜏 = 63% 𝑧̇𝑙𝑖𝑚 De même, 𝑧̇(3𝜏) = 95% 𝑧̇𝑙𝑖𝑚 𝑧̇(5𝜏) = 99% 𝑧̇𝑙𝑖𝑚

La vitesse limite est atteinte au bout de quelques 𝝉.

5) Tangente à la courbe 𝑧̇(𝑡) à un instant 𝑡 donné : de pente la dérivée 𝑧̈(𝑡) = 𝑔 exp (– 𝑡

𝜏) Pente de la tangente à la courbe à l’origine, soit à 𝑡 = 0 : 𝑧̈(𝑡 = 0) = 𝑔 Equation de la tangente à l’origine : 𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡 + 𝐾, avec 𝑦(𝑡 = 0) = 𝐾 = 0 Finalement : 𝑦(𝑡) = 𝑔𝑡.

Intersection avec l’asymptote 𝑧̇_𝑙𝑖𝑚= 𝑔𝜏 à 𝑡_𝑖 tel que 𝑦(𝑡_𝑖) = 𝑔𝑡_𝑖= 𝑧̇_𝑙𝑖𝑚= 𝑔𝜏 Soit 𝒕_𝒊= 𝝉

La tangente à l’origine coupe l’asymptote à la date 𝒕 = 𝝉.

L ES INCONTOURNABLES I) Chute

Cf. application 2 : pour une chute libre d’une hauteur ℎ, la vitesse finale est 𝑣_𝑓 = √2𝑔ℎ, indépendante de la masse du système.

L’énergie cinétique du système étant 𝐸𝑐 =¹

2𝑚𝑣_𝑓², elle est proportionnelle à la masse ; si on double la masse, on double l’énergie cinétique : a. 𝐸_𝑐2 = 2𝐸_𝑐1

II) Freinage d’une luge

Système : Luge supposé ponctuelle, étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des actions mécaniques extérieures : poids et réaction du support. Si on néglige les frottements, les

forces qui s’appliquent à la luge sont conservatives (poids, associé à 𝐸𝑝

) ou ne travaillent pas (réaction). Il y a donc conservation de l’énergie mécanique, que l’on peut exprimer entre le point A de la ligne d’arrivée et le point F où la luge s’arrête :

𝐸𝑚(𝐴) = 𝐸_𝑚(𝐹)

En choisissant un axe vertical (𝑂𝑧) ascendant d’origine le point A de la

comme origine des énergies potentielles : 𝐸

Soit 𝐸

De plus, 𝐸

On a donc : 𝐸

2 𝑚 𝑣𝑎2

et 𝐸

2 𝑔 sin 𝛼

Application numérique : sin 𝛼 ≈ 𝛼 ≈ tan 𝛼

ℒ = 30² 2 × 10 × 10

100

= 450 𝑚

La longueur de la piste de ralentissement est beaucoup trop importante : le ralentissement mécanique n’est pas approprié.

III) Mouvement sur un toboggan **

4) Système : particule ponctuelle,

Bilan des forces : poids, dérivant de l’énergie potentielle de pesanteur 𝐸𝑝_𝑝, réaction du support, supposée normale en négligeant les frottements et pouvant être associée à une énergie potentielle nulle.

Le système est donc conservatif ; on peut choisir un axe vertical ascendant, d’origine O située au sol, choisie comme origine des potentiels : 𝐸𝑝_𝑝= 𝑚𝑔𝑧, avec 𝑧 altitude de la particule. L’énergie potentielle initiale est alors 𝐸𝑝_𝑝0= 𝑚𝑔ℎ.

5) Système : particule ponctuelle,

Bilan des forces : poids, dérivant de l’énergie potentielle de pesanteur 𝐸𝑝_𝑝= 𝑚𝑔𝑧, tension du ressort, associée à une énergie potentielle élastique réaction du support 𝐸𝑝_𝑒=¹

2𝑘(𝑙 − 𝑙₀)², supposée normale en négligeant les frottements et pouvant être associée à une énergie potentielle nulle.

Le système est donc toujours conservatif.

Conservation de l’énergie mécanique entre les positions 𝑨𝟎 et 𝑨𝟏 : 𝐸𝑚0=𝐸𝑚1 ⟺ 𝐸𝑝0=𝐸𝑝1, les énergies cinétiques étant nulles en 𝐴₀ et 𝐴₁, soit ¹₂𝑘(𝑙 − 𝑙₀)²+ 𝑚𝑔ℎ + 0 = 𝑚𝑔ℎ^′+ 0 + 0

Finalement, 𝒍 = 𝒍_𝟎− √^𝟐𝒎𝒈

𝒌 (𝒉^′− 𝒉)

Conservation de l’énergie mécanique entre les positions 𝑨_𝟏 et 𝑨_𝟐 : 𝐸𝑚₂=𝐸𝑚₁ ⟺ ¹

2𝑚𝑣_𝐴2² + 0 + 0 = 𝑚𝑔ℎ^′+ 0 + 0

Finalement, 𝒗_𝑨𝟐= √𝟐𝒈𝒉′.

IV) Saut à l’élastique (corrigé A.S. Moreau)

8

10 V) Vibration de la molécule de monoxyde de carbone

1) L’argument d’une exponentielle étant nul, [𝛽(𝑟 − 𝑟0)] = 1, soit [𝛽] = 𝐿⁻¹.

2) 𝑉₀= 𝑙𝑖𝑚

𝑟→∞𝑉(𝑟) : valeur de l’énergie potentielle quand les atomes sont infiniment éloignés l’un de l’autre, ou séparés, donc lorsque la molécule est cassée.

𝛽⁻¹ distance caractéristique de l’interaction : si (𝑟– 𝑟₀) ≫ 𝛽⁻¹ alors 𝑉 = 𝑉₀, la molécule peut être considérée comme cassée, alors que sinon il y a interaction entre les deux atomes.

𝑉(𝑟) est minimum quand 𝑟 = 𝑟₀, qui correspond donc à la position d’équilibre stable des 2 atomes.

𝑽_𝟎≈ 𝟖 𝒆𝑽 et 𝒓_𝟎≈ 𝟏𝟐𝟎 𝒑𝒎.

3) 𝑟 < 𝑟0 : l’équilibre étant stable, l’atome d’oxygène a tendance à revenir à sa position d’équilibre, et donc à s’éloigner de l’atome de carbone : l’interaction est répulsive.

4) 𝑟 > 𝑟₀ : l’équilibre étant stable, l’atome d’oxygène a tendance à revenir à sa position d’équilibre, et donc à se rapprocher de l’atome de carbone : l’interaction est attractive.

5) L’atome d’oxygène est alors dans un puits de potentiel, il reste au voisinage de sa position d’équilibre stable car dès qu’il s’en éloigne, il subit une force qui a tendance à l’y ramener. Trajectoire bornée, état lié. 𝑉₀ apparait alors comme l’énergie mécanique minimale à fournir à la molécule pour casser la liaison et obtenir des atomes dans un état de diffusion.

VI) Vitesse de libération

6) Dimension de 𝒢 : [𝒢] = [𝐸𝑝][𝑟]. 𝑀⁻²= [𝐹]. 𝐿. 𝑀⁻²= 𝑀[𝑎]𝐿. 𝑀⁻²= 𝑀⁻¹𝐿³𝑇⁻² ; Dimension de 𝑔0: [𝑔₀] = [Ep]. M⁻¹. 𝐿⁻¹= 𝐿𝑇⁻².

7) Système sonde : soumis uniquement à l’attraction gravitationnelle qui dérive d’une énergie potentielle : système conservatif, énergie mécanique constante.

Pour que la sonde satellite échappe à l’attraction terrestre, il faut que les positions correspondant à 𝑟 ⟶ +∞ (donc 𝐸_𝑝(𝑟)⟶ 0 = 𝐸𝑝_∞) soient accessibles, avec au minimum une vitesse nulle (donc 𝐸𝑐∞≥ 0).

Cela correspond à une énergie mécanique finale 𝐸𝑚_𝑓 = 𝐸𝑐_∞+ 𝐸𝑝_∞≥ 0.

Energie mécanique initiale : 𝐸𝑚₀= 𝐸𝑐₀+ 𝐸𝑝₀=¹

2𝑚𝑣₀²+ 𝐸𝑝(𝑅_𝑇) = ¹

2𝑚𝑣₀²− 𝑚 ^{𝑔0𝑅𝑇2}

𝑅_𝑇 =¹

2𝑚𝑣₀²− 𝑚𝑔₀𝑅_𝑇 Conservation de l’énergie mécanique : 𝐸𝑚 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝐸𝑚0= 𝐸𝑚𝑓 = 0 soit ¹

2𝑚𝑣02− 𝑚𝑔0𝑅𝑇 ≥ 0 Soit 𝒗𝟎≥ √𝟐𝒈𝟎𝑹𝑻 = 𝟏𝟏, 𝟐 𝐤𝐦. 𝐬^−𝟏.

VII) Chariot de parc d’attraction [oral banque PT]

8) Par simple lecture des unités, on déduit que la courbe 4 correspond à la force de réaction 𝑅𝑛.

La courbe 1 est la seule courbe monotone, ce qui ne peut pas être le cas de l’énergie cinétique ni de l’énergie potentielle lorsque le chariot fait des tours complets de looping : la courbe 1 représente l’énergie mécanique totale du chariot. Comme elle est décroissante, cela signifie que la simulation prend en compte des sources de dissipation.

La courbe 2 part d’un maximum et commence par décroître : ce n’est donc pas l’énergie cinétique, car le chariot accélère dans la pente. Cela est confirmé car elle atteint ensuite périodiquement la même valeur, à chaque tour accompli par le chariot. On en déduit que la courbe 2 représente l’énergie potentielle du chariot.

Enfin, la courbe 3 part d’une valeur nulle qui commence par croître, puis présente des oscillations : il s’agit de l’énergie cinétique du chariot. Le fait que sa valeur maximale diminue à chaque tour est dû aux frottements.

9) À l’instant 𝑡 = 0, 𝐸𝑐₀=¹

2𝑚𝑉₀²= 0, d’où on déduit directement V0 = 0.

À ce même instant initial, 𝐸𝑝0= 6,5 · 10⁶ J d’où on déduit 𝒉 =^𝑬𝒑𝟎

𝒎𝒈 = 65 m.

Enfin, la valeur maximale d’énergie cinétique vaut 𝐸𝑐,max = 5,5 · 10⁶ J d’où 𝑽𝒎𝒂𝒙= √^{𝟐𝑬𝒄𝒎𝒂𝒙}

𝐦 = 33 m·s⁻¹.

10) Le chariot quitte le looping lorsque la force de réaction exercée par le looping sur le chariot s’annule, c’est-à-dire au bout de 33 s environ.

11) Avant que le chariot ne décolle, la courbe d’énergie potentielle atteint deux fois son maximum avant de revenir à la valeur nulle. On en déduit qu’il parcourt deux tours complets avant de décoller.

12 VIII) Chute d’une pomme de pin **

Il faut attribuer un nom aux valeurs données ou connues pour pouvoir effectuer un calcul littéral 1) On note :

𝑂𝑧 l’axe vertical ascendant, en prenant l’origine au sol ; ℎ = 10 𝑚 l’altitude initiale de la pomme de pin ; 𝑔 l’accélération de la pesanteur.

Système : pomme de pin supposée ponctuelle étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Toujours faire l’inventaire des actions subies par le système.

Bilan des forces :

Poids, dérivant de l’énergie potentielle 𝐸_𝑝= 𝑚𝑔𝑧 en choisissant l’origine au niveau du sol.

On néglige les frottements dus à l’air.

La pomme de pin est donc un système conservatif, son énergie mécanique se conserve au cours du temps.

Energie mécanique : 𝐸_𝑚= 𝐸_𝑐+ 𝐸_𝑝= ½ 𝑚𝑧̇²+ 𝑚𝑔𝑧

Théorème de la puissance mécanique : ^𝑑𝐸_𝑑𝑡^𝑚= 𝑃_𝑛𝑐 = 0 = 𝑚𝑧̇𝑧̈ + 𝑚𝑔𝑧̇

𝑧̇ ≠ 0 si on étudie le mouvement de la pomme de pin.

D’où l’équation différentielle : 𝑧̈ + 𝑔 = 0

Accélération de la pomme de pin : 𝒛̈ = −𝒈

La pomme de pin est animée d’un mouvement rectiligne uniformément varié (ou uniformément accéléré).

12) On intègre par rapport au temps pour obtenir la vitesse 𝑧̇ : 𝑑𝑧̇

𝑑𝑡= 𝑧̈ = −𝑔 ⟹ 𝑧̇ = −𝑔𝑡 + 𝑐𝑡𝑒 C.I. : La vitesse initiale de la pomme de pin est nulle : 𝑧̇(𝑡 = 0) = 0 = 𝑐𝑡𝑒 d’où Vitesse de la pomme de pin : 𝒛̇ = −𝒈𝒕

On réintègre par rapport au temps pour obtenir la position (l’altitude) de la pomme de pin 𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑧̇ = −𝑔𝑡 ⟹ 𝑧 = −½ 𝑔𝑡²+ 𝑐𝑡𝑒 C.I. : l’altitude initiale de la pomme de pin est ℎ : 𝑧(𝑡 = 0) = ℎ = cte

d’où Altitude de la pomme de pin : 𝒛 = −½ 𝒈𝒕^𝟐+ 𝒉 c. La pomme de pin touche le sol quand 𝑧 = 0

La date 𝑡_𝑠𝑜𝑙 correspondante est solution de 𝑧(𝑡_𝑠𝑜𝑙) = 0 = −½ 𝑔𝑡_𝑠𝑜𝑙² + ℎ = 0, soit ½ 𝑔𝑡_𝑠𝑜𝑙² = ℎ, et 𝑡_𝑠𝑜𝑙= √^2ℎ_𝑔 On évite de noter simplement 𝑡 cette date particulière.

On peut noter ∆𝑡 l’intervalle de temps de chute, avec ∆𝑡 = 𝑡𝑠𝑜𝑙− 0.

Durée de la chute : ∆𝑡 = √^2ℎ_𝑔

Accélération de la pesanteur : 𝑔 ≈ 10 𝑚. 𝑠⁻² ; ℎ = 10 𝑚 ; A.N. : ∆𝑡 ≈ 1,4 𝑠

IX) Chute d’une bille dans la glycérine **

1) [𝒫] = [ 𝜂𝑟𝑣²] = [𝐸]. 𝑇⁻¹= 𝑀[𝑎]. 𝐿. 𝑇⁻¹= 𝑀. 𝐿². 𝑇⁻³ d’où [𝜂] = 𝑀𝐿⁻¹𝑇⁻¹ ; 1 𝑃𝑙 = 1 𝑘𝑔. 𝑚⁻¹. 𝑠⁻¹ ;

2) Système bille, étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, soumis à son poids (énergie potentielle de pesanteur), à la poussée d’Archimède exercée par la glycérine (énergie potentielle supposée négligeable) et aux frottements fluides exercés par la glycérine, non conservatifs, tels que 𝒫 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣².

Energie potentielle de pesanteur : Avec un axe vertical descendant d’origine la position initiale de la bille, prise comme origine des potentiels : 𝐸𝑝 = −𝑚𝑔𝑧

Energie cinétique : Mouvement rectiligne selon l’axe (𝑂𝑧), repéré par 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑧, d’où 𝑣 = 𝑧̇.

Energie mécanique : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =¹

2𝑚𝑣²− 𝑚𝑔𝑧 =¹

2𝑚𝑧̇²− 𝑚𝑔𝑧 Théorème de la puissance mécanique : ^𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 = 𝒫𝑛𝑐 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣² ⟺ 𝑚𝑧̇𝑧̈ − 𝑚𝑔𝑧̇ = −6𝜋𝜂𝑟𝑧̇² (1) Solution 𝑧̇ = 0 physiquement sans intérêt pour l’étude du mouvement, soit (1) : 𝑧̈ +^{6𝜋𝜂𝑟}

𝑚 𝑧̇ = 𝑔 La bille ayant une masse volumique 𝜇, on a 𝑚 = 𝜇𝑉 = 𝜇.⁴

3𝜋𝑟³, soit ^{6𝜋𝜂𝑟}

𝑚 = ^{18𝜋𝜂𝑟}

4𝜇𝜋𝑟³= ^{9 }

2𝜇𝑟²

Equation différentielle du mouvement : ^𝒅𝒛̇

𝒅𝒕+ ^{𝟗 }

𝟐𝝁𝒓^𝟐 𝒛̇ = 𝒈 ;

Equation différentielle du premier ordre à coefficients constants, avec second membre constant.

3) On pose le temps caractéristique 𝜏 pour obtenir la forme canonique ^𝒅𝒛̇

𝒅𝒕+^𝒛

𝜏̇ = 𝒈, soit 𝝉 = ^𝟐𝝁𝒓_{𝟗 }^𝟐 𝜏 =^{2 𝜇𝑟2}

9 𝜂 ; [𝜏] = [^𝜇𝑟2

𝜂 ] = ^{𝑀.𝐿−3.𝐿2}

𝑀.𝐿⁻¹.𝑇⁻¹= 𝑇 : c’est bien homogène; A.N. : 𝝉 = 𝟐, 𝟔 𝒎𝒔.

4) ^𝑑𝑧̇

𝑑𝑡+^𝑧

𝜏̇ = (1 −^𝜇0

𝜇) 𝑔.

Lorsque la vitesse limite 𝑧̇𝑙𝑖𝑚 est atteinte, la vitesse devient constante au cours du temps, soit ^{𝑑𝑧̇𝑙𝑖𝑚}

𝑑𝑡 = 0, d’où 0 +^{𝑧̇𝑙𝑖𝑚}

𝜏 = (1 −^𝜇0

𝜇) 𝑔 ⟺ 𝒛̇𝒍𝒊𝒎=^𝟐

𝟗 𝝁−𝝁_𝟎

𝜼 𝒈𝒓^𝟐 avec 𝜏 = ^2𝜇𝑟2

9 ; [𝑧̇_𝑙𝑖𝑚] = ^{𝑀.𝐿−3}

𝑀.𝐿⁻¹.𝑇⁻¹. 𝐿. 𝑇⁻². 𝐿²= 𝐿. 𝑇⁻¹ : homogène ; A.N. : 𝒛̇_𝒍𝒊𝒎= 𝟐, 𝟏𝟓. 𝟏𝟎^−𝟐 𝐦. 𝐬^−𝟏.

X) Equation du mouvement d’un pendule spirale **

1) Système point M de masse 𝑚 étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces : Poids, associé à l’énergie potentielle de pesanteur 𝐸𝑝𝑝, réaction du support (tout frottement étant négligé, elle peut être associée à une énergie potentielle nulle), force de rappel du ressort, associée à l’énergie potentielle élastique 𝐸𝑝𝑒= ¹

2𝐶𝜃² (d’après l’énoncé).

Le système n’est soumis qu’à des forces conservatives ou ne travaillant pas (réaction du support, en l’absence de frottements).

L’énergie potentielle totale 𝐸𝑝 est la somme des énergies potentielles des différentes interactions intervenant.

Energie potentielle totale du système : 𝐸𝑝 = 𝐸𝑝𝑝+ 𝐸𝑝𝑒

Energie potentielle de pesanteur : L’axe vertical (Oz) étant défini ascendant, on a 𝐸𝑝𝑝= +𝑚𝑔𝑧 + 𝑐𝑡𝑒, soit en choisissant l’origine des potentiels en 𝑧 = 0, 𝐸𝑝_𝑝= 𝑚𝑔𝑧, or 𝑧 = ℓ cos 𝜃 soit 𝐸𝑝_𝑝= 𝑚𝑔ℓ cos 𝜃.

Finalement, 𝑬𝒑 = 𝑬𝒑_𝒑+ 𝑬𝒑_𝒆= 𝒎𝒈𝓵 𝐜𝐨𝐬 𝜽 +^𝟏

𝟐𝑪𝜽^𝟐. Energie mécanique du système : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝

Mouvement circulaire de rayon ℓ : 𝑣 = ℓ𝜃̇ 𝐸𝑐 =¹

2𝑚ℓ²𝜃̇² Finalement, 𝑬𝒎 = 𝑬𝒄 + 𝑬𝒑 =^𝟏

𝟐𝒎𝓵^𝟐𝜽̇^𝟐+ 𝒎𝒈𝓵 𝐜𝐨𝐬 𝜽 +^𝟏

𝟐𝑪𝜽^𝟐

2) Théorème de la puissance mécanique (TPM) appliqué au système dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 = 𝑃𝑛𝑐 = 0 en l’absence de toute force non conservative.

bille O

z

14

𝑑𝐸𝑚

𝑑𝑡 = 0 = 𝑚ℓ²𝜃̇𝜃̈ − 𝜃̇𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 + 𝜃̇ 𝐶𝜃 ⟺ { 𝜃̇ = 0

𝑚ℓ²𝜃̈ − 𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 + 𝐶𝜃 = 0

La solution 𝜃̇ = 0 n’étant pas physiquement intéressante pour l’étude du mouvement, l’équation différentielle du

mouvement est : 𝜽̈ −^𝒈

𝓵𝐬𝐢𝐧 𝜽 + ^𝑪

𝒎𝓵^𝟐𝜽 = 𝟎

E XERCICES COMPLEMENTAIRES XI) Fusil à ressort

Système : fléchette de masse 𝑚 Forces :

- poids dérivant de l’énergie potentielle de pesanteur ; à la sortie du fusil, la variation d’altitude des fléchettes étant négligeable, on peut considérer l’énergie potentielle constante, qu’on peut choisir nulle.

- Tension du ressort dérivant de l’énergie potentielle élastique, avec 𝐸𝑝_𝑒=¹

2𝑘(𝑙_𝑖− 𝑙₀)²

- On peut négliger les frottements à l’intérieur du fusil (ou du moins supposer qu’ils sont du même ordre de grandeur dans les deux cas, ce qui mènerait au même résultat).

Etat initial : fléchette immobile et ressort comprimé, 𝐸𝑚0= 𝐸𝑝0+¹

2𝑚𝑣02=¹

2𝑘(𝑙𝑖− 𝑙0)²+ 0 Etat final : fléchette à la sortie du fusil avec une vitesse 𝑣_𝑖, plus de contact avec le ressort, 𝐸𝑚_𝑓= 𝐸𝑝_𝑓+¹

2𝑚𝑣_𝑖²=¹

2𝑚𝑣_𝑖² Conservation de l’énergie mécanique : 𝐸𝑚₀= 𝐸𝑚_𝑓 ⟺ ¹

2𝑘(𝑙_𝑖− 𝑙₀)²=¹

2𝑚𝑣_𝑖²

𝑣_𝑖² est donc proportionnelle à (𝑙_𝑖− 𝑙₀)² soit 𝑣_𝑖 proportionnelle à 𝑙_𝑖− 𝑙₀. Quand on double 𝑙_𝑖− 𝑙₀, on double donc la vitesse :

b. 𝑣2= 2𝑣1

XII) Marsupilami

13) Système : Marsupilami (sans sa queue, dont on néglige la masse), que l’on suppose ponctuel, soumis à son poids (énergie potentielle de pesanteur 𝐸𝑝𝑝) et à la tension du ressort constitué par la queue (énergie potentielle élastique 𝐸𝑝_𝑒). Si l’on néglige les frottements, alors l’énergie mécanique du Marsupilami : 𝐸𝑚 = 𝐸𝑝_𝑝 + 𝐸𝑝_𝑒+ 𝐸𝑐 est une constante du mouvement.

Prenons la position du sol comme référence des énergies potentielles.

Etat initial : lorsqu’il est au sol, queue comprimée, immobile et prêt à sauter, l’énergie mécanique du Marsupilami est uniquement de type potentielle élastique, 𝐸𝑚0 =𝐸𝑝𝑒=¹

2𝑘(𝑙𝑚− 𝑙0)²

Rigoureusement, il faudrait prendre en compte une contribution d’énergie potentielle de pesanteur à l’énergie mécanique, le centre de gravité étant au moins à la distance 𝑙_𝑚 du sol, mais cela ne modifierait pas beaucoup le résultat final.

Etat final : lorsque le Marsupilami atteint sa hauteur de saut maximale, sa vitesse est nulle et son énergie mécanique n’est plus que de type potentielle de pesanteur, la queue étant détendue et sans contact avec le sol : 𝐸𝑚𝑓 = 𝑚𝑔ℎ + 0 + 0 .

D’après la conservation de l’énergie mécanique, ¹

2𝑘(𝑙_𝑚− 𝑙₀)²= 𝑚𝑔ℎ d’où 𝒌 = ^{𝟐𝒎𝒈𝒉}

(𝒍𝒎−𝒍_𝟎)^𝟐. A.N. : 𝒌 = 4,4 · 10³ N·m⁻¹ .

14) Lorsque la queue du Marsupilami quitte le sol, sa longueur est égale à sa longueur à vide. Le Marsupilami, supposé ponctuel, se trouve donc à une hauteur 𝑙₀ au dessus du sol avec une vitesse 𝑣.

Son énergie mécanique vaut alors : 𝐸𝑚 = 𝑚𝑔𝑙₀+ 0 +¹

2𝑚𝑣². D’après la conservation de l’énergie mécanique, 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝑙₀+¹

2𝑚𝑣² d’où 𝒗 = √𝟐𝒎𝒈(𝒉 − 𝒍_𝟎) = 𝟖𝟖 m.s^-

1

XIII) Crash-test * ou **

Système : voiture supposée ponctuelle étudiée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces :

- poids dérivant de l’énergie potentielle de pesanteur, constante car le mouvement est horizontal ; elle peut être choisie nulle.

- réaction du sol : en l’absence de tout frottement, peut être associée à une énergie potentielle nulle.

- tension du ressort associée à une énergie potentielle élastique 𝐸𝑝 =¹

2𝑘(ℓ − ℓ₀)²

Le système est donc conservatif, son énergie mécanique est constante d’après le théorème de l’énergie mécanique Energie mécanique initiale : 𝐸𝑚₀= 𝐸𝑐₀+ 𝐸𝑝₀=¹

2𝑚𝑣_𝑖²+ 0 (ressort à sa longueur à vide) Energie mécanique finale : 𝐸𝑚_𝑓 = 0 + 𝐸𝑝_𝑓 = 0 +¹

2𝑘(¹

2ℓ₀− ℓ₀)²=^𝑘

8ℓ₀² (voiture arrêtée, ressort comprimé de½ ℓ₀) Conservation de l’énergie mécanique : 𝐸𝑚0= 𝐸𝑚𝑓 soit ¹

2𝑚𝑣𝑖2= ^𝑘

8ℓ02

Finalement : 𝒌 =^{𝟒 𝒎𝒗𝒊𝟐}

𝓵_𝟎^𝟐 = 𝟏, 𝟑. 𝟏𝟎^𝟓 𝐤𝐠. 𝐬^−𝟐= 𝟏, 𝟑. 𝟏𝟎^𝟓 𝐍. 𝐦^−𝟏

QCM :

1 – a ; 2 – b ; 3 – d. 4 – d ; 5 –b ; 6 – c.