La multiplication La multiplication

La multiplication La multiplication

I.

I. Vocabulaire Vocabulaire

Définition

Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs.

S'exprimer

10×5,2=52 peut se traduire ainsi : « 52 est la produit de 10 par 5,2 ; les facteurs sont 10 et 5,2 ».

11×6=66 peut se traduire ainsi : « 66 est la produit de 11 par 6 ; les facteurs sont 11 et 6 ».

Remarque

Il n'est pas inutile de rappeler l'importance de savoir ou de revoir ses tables de multiplication.

Propriété fondamentale des multiplications

Dans un produit, changer l'ordre des facteurs ne change pas le résultat.

1 a^ère pplication

Il n'est pas nécessaire d'apprendre tous les résultats des tables de multiplication. En effet, le produit 3×9=27 que l'on trouve dans la table de trois, se retrouve sous la forme 9×3=27 dans la table de 9 . Voici la table contenant les résultats à connaître.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

Autres tables de multiplication à connaître

• La table de 11 est facile à apprendre :

• La table de 12 correspond en fait à la conversion des années en mois (ou inversement). En effet, un bébé de 3 ans a en fait

36 mois. Mais il y a aussi la journée qui contient deux fois 12 heures.

Elle est à bien connaître jusqu'à 12×5=60 .

• La table de 15 s'illustre bien lorsqu'on pense aux quarts d'heure : trois quarts d'heure correspond à quarante-cinq minutes. Elle est à connaître jusqu'à 15×6=90

• La table de 25 qui fait penser au centimes : 1€ c'est quatre fois 25centimes. Elle se retient très facilement.

• La table de 60 qui fait penser aux mesures de temps : 60 secondes correspond à 1minute ; 60 minutes correspond à 1 heure. Cette table ne s'apprend pas puisqu'à peu de choses près, c'est la table de 6 !

1 x 11 = 11 2 x 11 = 22 3 x 11 = 33 4 x 11 = 44 5 x 11 = 55 6 x 11 = 66 7 x 11 = 77 8 x 11 = 88 9 x 11 = 99 10 x 11 = 110 11 x 11 = 121

1 x 12 = 12 2 x 12 = 24 3 x 12 = 36 4 x 12 = 48 5 x 12 = 60

1 x 15 = 15 2 x 15 = 30 3 x 15 = 45 4 x 15 = 60 5 x 15 = 75 6 x 15 = 90 1 x 25 = 25 2 x 25 = 50 3 x 25 = 75 4 x 25 = 100 5 x 25 = 125 6 x 25 = 150 7 x 25 = 175 8 x 25 = 200 etc.

1 60 = 60 2 60 = 120 3 60 = 180 4 60 = 240 5 60 = 300 6 60 = 360 7 60 = 420 etc.

x x x x x x x

2 a^ère pplication

Cet exemple est à comprendre et surtout à savoir refaire. L'idée est de regrouper les facteurs qui se calculent facilement de tête. Ainsi, de proche en proche, on arrive au résultat.

A=25×4589×4  Les facteurs 25 et 4 sont à regrouper car 4×25=100 . A=25×4×1489  Dans cette étape, on regroupe les facteurs en question.

A=100×1489  On effectue le(s) calcul(s) facilement faisable(s).

A=148900  On obtient un résultat calculé de tête.

De même : B=12×75×5 B=12×5×75 B=60×75 B=4500

II.

II. Multiplication posée Multiplication posée

1/ Rappel : avec des entiers

Posons la multiplication de 683 par 79.

Exemples

Pose pour calculer 8463×75 et 4396×9753 .

5 2

7 2

6 8 3

× 7 9 6 1 4 7 + 4 7 8 1 ^☻

5 3 9 5 7

Méthode

• On aligne verticalement les chiffres de la même valeur : chiffre des unités sous le chiffre des unités, chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines...

• On place correctement les retenues qu'on peut barrer au fur et à mesure.

• Bien vérifier chaque nouvelle ligne de calcul.

• A chaque nouvelle ligne, on se décale

3 4 2

2 3 1

8 4 6 3

× 7 5

4 2 3 1 5 + 5 9 2 4 1 ☻

6 3 4 7 2 5

3 8 5

2 6 4

1 4 3

1 2 1

4 3 9 6

× 9 7 5 3 1 3 1 8 8 + 2 1 9 8 0☻

+ 3 7 7 2 ^{☻ ☻} + 3 9 5 6 4 ☻ ☻ ☻

4 2 8 7 4 1 8 8

2/ Avec des nombres décimaux

L'objectif est de poser la multiplication de 7,85 par 9,5 . 1 étape^ère

Dans un premier temps, on pose la multiplication sans se préoccuper des virgules

2 étape^ère

Maintenant, il faut tenir compte des virgules. Comment la placer dans le résultats ?

• Méthode 1 : puisque 7,85 est proche de 8 , et que 9,5 est proche de 9 ; on sait que le résultat est proche de

8×9=72 . Il n'y donc qu'une seule possibilité pour placer la virgule dans le résultat et obtenir un résultat proche de

72 ; c'est 74,575 . La virgule est située entre le chiffre 4 et le chiffre 5 . Donc 7,85×9,5=74,575 .

• Méthode 2 : puisque 7,85 est cent fois plus petit que 785 et que 9,5 est dix fois plus petit que 95 , alors le résultat doit être mille fois plus petit que 74575 . C'est donc

74,575 .

On remarque que le nombre de chiffres dans les parties décimales de 7, 85



2chiffres

et 9,



1chiffre

est le même que dans le résultat 74, 575



3chiffres

. On en déduit la propriété suivante...

Propriété fondamentale

Dans un produit de nombres décimaux, le nombre de chiffres qu'on trouve dans les parties décimales des facteurs est égal au nombre de chiffres qu'il y a la partie décimale du résultat.

7 , 8 5

× 9 , 5 3 9 2 5

+ 7 6 5 ^☻

7 4 , 5 7 5 7 8 5

× 9 5 3 9 2 5 + 7 0 6 5 ☻

7 4 5 7 5

Application

Comment utiliser le résultat précédent pour trouver directement les produits suivants et sans rien poser ?

78,5×9,5=? ; 7,85×0,95=?

On remarque d'abord que les chiffres sont les mêmes que dans 785×95=74575 . Ensuite, il suffit de compter les chiffres dans les parties décimales : 78, 5



1

×9, 5



1

5=745, 75



2

.

Autres exemples

• Pose les calculs suivants : 17,46×7,42 ; 17,248×0,42 .

• Place correctement la virgule pour que l'égalité soit correcte : 12,8×5,3 =67,84

28,7×1,04 =29,848 0,15×6,3 =0,945 0,008×543,9 =4,3512 0,235×0,132 =0,003102

Point de calcul mental

Il peut être utile de connaître les résultats suivants : 125×4=500 et 125×8=1000 . Cela permet de calculer les produits suivants : 12,5×0,4=5,00=5 ; 1,25×8=10,00=10 ;

2,5×4=10 .

De même, on essaiera de comprendre ces calculs 2,5×0,4=1 ; 1,5×0,6=0,9 .

5 3 4

2 2

1 1 1

1 7 , 4 6

× 7 , 4 2 3 4 9 2

+ 6 9 8 4 ^☻

+ 1 2 2 2 2 ^{☻ ☻} 1 2 9 , 5 5 3 2

2 1 3

1 1

1 7 , 2 4 8

× 0 , 4 2

3 4 4 9 6

+ 6 8 9 9 2 ^☻

7 , 2 4 4 1 6

III.

III. Multiplication par 10, 100, 1000 ... Multiplication par 10, 100, 1000 ...

Activité

L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 13,574×100 .

On peut interpréter ce résultat en se disant que l'on cherche le nombre qui est cent fois plus grand que 13,574 .

Multiplier 13,574 par 100 revient à multiplier chaque chiffre de ce nombre par 100 :

• 1 dizaine multiplié par 100 devient 1 millier ;

• 3 unités multiplié par 100 devient 3 centaines ;

• 5 dixièmes multiplié par 100 devient 5 dizaines ;

• 7 centièmes multiplié par 100 devient 7 unités ;

• 4 millièmes multiplié par 100 devient 4 dixièmes.

On obtient donc 13,574×100=1 357,4.

Mais que remarque-t-on ? C'est que la virgule s'est décalée de deux chiffres vers la droite : autant de zéros qu'il y a dans le nombre 100 !

En généralisant, on obtient des résultats du genre :

7,1235×1000=7123,5 ; 854,12×10=7541,2 ; 7,5×1000=7500 ! Dans ce dernier exemple, il faut compléter par des zéros.

Remarque

On peut aussi utiliser la propriété fondamentale car si 13571×100=1357100 , alors on a 13,571×100=1357,100=1357,1 en comptant le nombre de chiffres dans les parties décimales.

De même, on a 9,76×1000=9760,00=9760 . Propriété

Pour multiplier un nombre décimal par 10 , 100 , 1000 … il faut décaler la virgule de 1 , 2 , 3 ... chiffres vers la droite, en complétant au besoin par des zéros.

Exemples

12,5×100=1250 0,1489×1000=148,9

125,1489745×10000=1251489,745 0,12×1000=120

0,00001×100=0,001

3746,25 ×100 = 374625 48,6229×1000 = 48622,9

72,145 ×100 = 7214,5 235,217×100000 = 23521700 2,62294 ×1000 = 2622,94

Application

Le calcul qui va suivre utilise la propriété fondamentale du début de chapitre, la table de 25 et la propriété vue juste au dessus.

A=25×3,789×4 A=25×4×3,789 A=100×3,789 A=378,9 A=25×48,4×8 A=25×8×48,4 A=200×48,4 A=2×100×48,4

A=2×4840 A=9680

B=125×0,4254×8 B=125×8×0,4254 B=1000×0,4254 B=425,4

IV.

IV. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001... Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001...

Rappel

Écriture en toutes lettres

Écriture décimale

Écriture fractionnaire

Un dixième 0,1 1

10

Un centième 0,01 1

100

Un millième 0,001 1

1 000

Un dix-millième 0,0001 1

10 000 Un cent-millième 0,00001 1

100 000

Un millionième 0,000001 1

1 000 000

Remarque

Le principe est presque le même. Le produit 42×0,1 se dit « 42 fois un dixième » ou encore

« 42 dixièmes ». Mais 42 dixième s'écrit 4,2 , d'où 42×0,1=4,2 .

On se doute bien que si à la place de 42 on avait 42,7 , on obtiendrait 42,7×0,1=4,27 . Ici, la virgule se décale vers la gauche !

On admettra donc la propriété suivante...

Propriété

Pour multiplier un nombre décimal par 0,1 , 0,01 , 0,001 … il faut décaler la virgule de 1 , 2 , 3 ... vers la gauche, en complétant au besoin par des zéros.

Exemples

12,589×0,001=0,012589 0,25×0,01=0,0025

V.

V. Conversions Conversions

Rappels

Tableau des unités

km hm dam m dm cm mm

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

A savoir par cœur

• « kilo » : 1000

• « hecto » : 100

• « deca » : 10

• « déci » : 0,1

• « centi » : 0,01

• « milli » : 0,001

Exemples

12,5 hm=1250 m (on multiplie par 100) 45,8 cL=0,458 L (on multiplie par 0,01) 0,1235 kg=123,5 g (on multiplie par 1000) 45dam=450 m (on multiplie par 10) 12,89 hL=1289dL (on multiplie par 1000) 7,5 L=75 dL (on multiplie par 10)

619,97×0,001 = 0,61997 0,824325 ×0,001 = 0,00082433

597,565 ×0,0001 = 0,0597565 777,505 ×0,00001 = 0,00777505 7215,09 ×0,001 = 7,21509

Méthodes

• Il est possible, en s'imaginant dans sa tête un tableau, de convertir en utilisant la méthode de cycle 3 (primaire).

• Méthode de sixième : si je veux convertir 12,56 dag en cg, je me pose d'abord la question suivante « combien y a-t-il de cg dans 1dag ? » ; on trouve que

1 dag=1 000 cg (dg ; g ; dag) ; finalement, on multiplie 12,56 par 1000 et on obtient 12,56 dag=12,56×1000=12 560 cg.

Un autre exemple détaillé

Je veux convertir 1,4589 mL en hL. En partant de mL, on a cL, dL, L, daL et hL. Donc 1 mL=0,00001 hL ; on va donc multiplier 1,4589 par un cent-millième :

1,4589 mL=1,4589×0,00001=0,000014589 hL. Exemples

45,8 dam=0,458 km 0,125 dam=12,5 dm

VI.

VI. Ordre de grandeur Ordre de grandeur

Explication

Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il se calcule de tête en prenant des nombres proches de ceux donnés dans le calcul ou le problème. Par exemple, si je veux acheter 15 stylos à 0,90 € alors que je n'ai qu'un billet de 10€, cela semble assez difficile. Sans faire de calcul, on pressent que le prix sera un peu inférieur à 15 € tout en étant supérieur à 10€.

L'intérêt est de pouvoir contrôler la vraisemblance du résultat ou d'anticiper un résultat. On parle alors d'un résultat cohérent.

Exemple 1

Je suis au supermarché et j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 14,95 ; 3,98 ; 151,23 . Je peux dépenser 170 euros. Aurai-je assez d'argent ?

• Calculons un ordre de grandeur :

14,95 est proche de 15 ; 3,98 est proche de 4 ; 151,23 est proche de 150 ; donc le total est proche de 170 euros.

Cet ordre de grandeur n'est pas assez précis pour se déterminer.

• Calculons le résultat exacte :

14,953,98151,23=170,16 euros Conclusion : il manque donc 16 centimes.

Exemple 2

Au supermarché, j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 12,45 € ; 7,29 € ; 49,18€. J'ai quatre billets de dix, un billet de vingt et deux de cinq. Est-ce que je pourrai payer tous mes achats ?

• En termes d'argent, je possède 4×10202×5=70€

• 12,457,29 est proche de 20 et inférieur à 20 ; 49,18 est proche de 50 mais inférieur à 50.

Mes dépenses sont inférieures à 5020=70.

• Conclusion : je pourrai payer tous mes achats ! (ouf) Quelle est la somme exacte de mes dépenses ?

• 12,457,2949,18=68,92 qui est inférieur à 70 !

Remarque

Il y a autant d'ordres de grandeur que de personnes qui décident d'en chercher !

Méthode pour trouver un ordre de grandeur

• On cherche une valeur approchée de chacun des facteurs (en général un nombre entier ou un multiple de 10 , 100 ou 1000 ). Ces valeurs approchées doivent permettre de faire des calculs de tête.

• On calcule de tête le produit de ces valeurs approchées.