MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
REPUBLIQUE DU BENIN
UNIVERSITE D’ABOMEY-CALAVI
ECOLE POLYTECHNIQUE D’ABOMEY-CALAVI DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL
OPTION : Bâtiments et Travaux Publics MEMOIRE DE FIN DE FORMATION
Thème du mémoire :
MODELISATION ET SIMULATION PAR ELEMENTS FINIS : CAS D’UN TABLIER DE PONT
Devant le jury composé de :
Dr. SAVY Mathias Président
Dr. HOUINOU Agathe Examinateur
Dr. OLODO Emmanuel Rapporteur 1
Pr. ADANHOUNME Villevo Rapporteur 2
Présenté et soutenu par : KAGBO Boris Sèdjro S.
Sous la direction de : Dr. OLODO Emmanuel
Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC/ UAC
&
Pr. ADANHOUNME Villevo
Maître de conférences du CAMES, Professeur, Enseignant à la CIPMA / UAC
2013-2014
Certification
iiii /176176176 176 Certification
Nous certifions que ce mémoire a été conduit et réalisé sous notre direction par Monsieur Boris Sèdjro S. KAGBO au Département de Génie Civil de l’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi (EPAC) avec la collaboration de la Chaire Internationale en Physiques Mathématiques et Applications (CIPMA).
Sous la direction de :
Dr. OLODO Emmanuel Maître Assistant du CAMES,
Enseignant à l’EPAC / UAC
&
Pr. ADANHOUNME Villevo
Maître de conférences du CAMES, Professeur, Enseignant à la CIPMA / UAC
Dédicaces
iiiiiiii /176176176 176 Dédicaces
Je dédie ce mémoire à :
Ma mère, MIGAN Denise, qui a œuvré pour ma réussite, par son amour, son soutien, tous les sacrifices consentis et ses précieux conseils, pour toute son assistance et sa présence dans ma vie, reçois à travers ce travail aussi modeste soit-il, l'expression de mes sentiments et de mon éternelle gratitude.
Mon père, KAGBO Alain, qui peut voir à travers ce travail le résultat de longues années de sacrifices et de privations pour m'aider à avancer dans la vie. Puisse Dieu faire en sorte que ce travail porte son fruit ; merci pour les valeurs nobles, l'éducation et pour ton attachement exceptionnel au sens de la responsabilité parentale.
Mon frère Roland et ma sœur Alena qui n'ont cessé d'être pour moi des exemples de persévérance, de courage et de générosité.
Mes professeurs de l'EPAC qui doivent voir dans ce travail la fierté d'un savoir bien acquis.
KAGBO Boris Sèdjro S.
Remerciements
iiiiiiiii
iii /176176176 176 Remerciements
« Tout ce qui est conçu et construit dans ce monde peut être amélioré par la simulation. »
L’élaboration du présent mémoire a été possible grâce au soutien indéfectible et à la franche collaboration de plusieurs personnes. Je tiens donc à exprimer mes sincères remerciements et ma profonde gratitude à :
♦ Dr. OLODO Emmanuel, Maître Assistant du CAMES, mon maître de mémoire, pour avoir accepté d’encadrer ce travail et de le conduire jusqu’au bout. Ce document n’aurait pu être réalisé sans ses conseils, son esprit d’écoute, son soutien sans pareils et surtout cette confiance qu’il a placée en moi ;
♦ Pr. ADANHOUNME Villevo, Maître de Conférences du CAMES, Professeur, mon co-maître de mémoire, pour ses apports, son enthousiasme, ses conseils, ses analyses fort pertinentes, son implication personnelle malgré ses multiples occupations et pour avoir effectué avec moi un travail d’une rare qualité à l’occasion de la préparation de ce mémoire ; je lui dis : « Merci !!! » ;
♦ Pr. GIBIGAYE Mohamed, Maître de Conférences du CAMES, Enseignant-Chercheur à l’EPAC/UAC, mon professeur. Pour nous avoir enseigné avec tant de dévotion ; pour nous avoir inculqués constamment, la rigueur au travail et la persévérance dans toutes nos entreprises ;
♦ Ing. AHOUANSOU Zinsou Côme, mon parrain, « Aux âmes bien nées, la valeur n’attend point le nombre d’années ». Vous êtes si jeune, mais déjà si riche d’expériences. Merci d’avoir accepté spontanément de travailler avec moi ;
♦ Ing. EKPO Thomas Dèkandji, Directeur Général du bureau d’étude PERS-BTP, pour m’avoir encadré lors de mon stage, pour
Remerciements
iviviv
iv /176176176 176 votre promptitude quand il s’est agi de mettre à ma disposition un projet réel et pour m’avoir prodigué des encouragements personnels très utiles dans les périodes de doute. Vos conseils, au-delà de cela, m’ont été d’une grande utilité ;
♦ Pr. GBAGUIDI AISSE Gérard, Maître de Conférences du CAMES, Enseignant-Chercheur à l’EPAC/UAC, mon professeur. Pour tous les conseils qu’il nous a procurés lors de notre cursus à l’EPAC ;
♦ Pr. GBAGUIDI Victor, Maître de Conférences du CAMES, Enseignant-Chercheur à l’EPAC/UAC, mon professeur. Pour nous avoir enseigné avec tant de dévotion ;
♦ M. TOLLO François, mon oncle, je n’essaierai pas de chercher des formules pour exprimer ma gratitude, je n’en trouverai sûrement pas. Simplement, merci pour tout ;
♦ Pr. HOUNKONNOU Norbert, Professeur Titulaire, Président de la Chaire Internationale en Physiques Mathématiques et Applications (CIPMA-Chaire UNESCO) / UAC. Pour votre grande disponibilité et vos conseils très instructifs ;
♦ À tous les enseignants de l’EPAC et en particulier ceux du département de génie civil, pour la qualité de l’enseignement. Nous voulons citer :
Pr. ADJOVI Edmond, Maître de Conférences en Sciences et Techniques de Génie-Civil, Professeur Titulaire, Enseignant à l’EPAC, Directeur de l’ESTBR-Abomey ;
Dr. ALLOBA Ezéchiel, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. BACHAROU Taofick, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Remerciements
vvvv /176176176 176 Pr. CODO François de Paule, Maitre de Conférences du
CAMES, Professeur, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. CHAFFA Gédéon, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. DEGBEGNON Léopold, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. Arch. DIOGO Noël, Docteur architecte, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. HOUINOU Agathe SOUROU, Docteur Ingénieur en Mécanique des sols, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. HOUINOU Gossou Jean, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. SAVY Mathias, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. TCHEHOUALI Adolphe, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. WANKPO Tonalémi Epiphane Sonon, Docteur Ingénieur en Hydraulique, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. ZEVOUNOU Crépin, Maître Assistant du CAMES, Enseignant à l’EPAC ;
Dr. ZINSOU Codjo Luc, Docteur Ingénieur en Mécanique des sols, Enseignant à l’EPAC ;
Ing. ZOHOUNGBOGBO Prosper ; Ing. Maximin d’ALMEIDA.
Remerciements
vivivi
vi /176176176 176 Au Pr. Félicien AVLESSI, Professeur Titulaire, Enseignant à l’EPAC, Directeur de L’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi.
Au Pr. Martin AINA, Maitre de conférences du CAMES, Enseignant à l’EPAC, chef du Département de Génie Civil.
A tout le personnel du bureau d’étude PERS-BTP pour leur soutien.
A tous les camarades de la 7ème promotion et plus particulièrement mes amis Ibrahim, Imeldo, Gildas, Samson, Loïc avec qui nous avons passé cinq (5) mémorables années de notre vie et pour les nostalgiques moments d’entraide, de solidarité et de joie.
A mes amis Eric, Hermann avec qui j’ai passé de très bons moments durant ces cinq années.
Résumé
viiviivii
vii /176176176 176 Résumé
Dans l’ingénierie civile, la modélisation permet de comprendre les variables qui influencent une structure conçue, afin de l’optimiser techniquement et de procéder à des vérifications de stabilité, rigidité et résistance.
Le présent travail de recherche s’intéresse aux techniques de modélisation et de simulation numérique par la méthode des éléments finis. Il est principalement structuré en quatre grandes parties.
La première partie, qui tient lieu de généralités, présente les méthodes d’approximations en physiques et aborde la construction pratique d’un problème variationnel à travers l’étude de la déformation, d’un solide, décrit par les équations de lamé que nous reformulons par les équations de Poisson et de Laplace. Avec la prise en compte des conditions aux limites et l’utilisation de la méthode de GALERKIN, nous résolvons les équations de Lamé et déterminons le tenseur des contraintes et des déformations.
La deuxième partie traite de la construction d’un modèle élément fini, nous exposons la méthode d’approximation par élément fini et les principes de maillage d’un domaine. Les concepts de transformation géométrique et d’élément de référence simplifient la construction des fonctions d’interpolation et des matrices de rigidités élémentaires.
Nous développons également la technique d’assemblage des matrices élémentaires pour la résolution du système d’équations global.
La troisième partie constitue une étude de certains types d’éléments finis et porte une attention particulière à l'élément fini tétraédrique à 12 degrés de liberté. Nous proposons un programme développé en FORTRAN pour calculer sa matrice de rigidité élémentaire.
Dans la dernière partie, nous utilisons le logiciel Autodesk Robot SAP 2012, pour modéliser par éléments finis, les éléments d’un tablier de pont ; il s’agit du pont à construire sur le tronçon 1 : Frontière TOGO- TCHETTI SAVALOU, au PK 23 + 200. Nous effectuons une simulation numérique sur le tablier, pris dans son ensemble, et aboutissons à un dimensionnement de chacun de ses éléments.
Mots clés: modélisation, simulation, éléments finis, équations de Lamé, GALERKIN, maillage, éléments de référence, fonctions d’interpolations, matrice de rigidité, degré de liberté, assemblage.
Abstract
viiiviii
viiiviii /176176176 176 Abstract
In civil engineering, modeling makes it possible to understand the variables that influence a structure designed to optimize technically and conduct audits of stability, stiffness and strength.
This research work focuses on modeling techniques and numerical simulation by finite element method. It is mainly divided into four main parts.
The first part, which takes the place of generality, these approximation methods in physics and discusses the practical construction of a variational problem through the study of the deformation of a solid, described by the Lame’s equations by reformulating the Laplace and Poisson’s equations. With the consideration of the boundary conditions and the use of the GALERKIN method, we solve the Lame’s equations and determine the stress tensor and deformation.
The second part deals with the construction of a finite element model, we present the method of approximation by finite element mesh and the principles of a domain. The concepts of geometrical transformation and for reference simplify the construction of the interpolation function and elementary stiffness matrices. We are also developing the assembly of the elementary matrices to the technical resolution of the overall system of equations.
The third part is a study of certain types of finite elements and pays particular attention to the finite element tetrahedral 12 degrees of freedom. We propose a system developed in FORTRAN to calculate the elementary stiffness matrix program.
In the last part, we use the Autodesk Robot 2012 SAP software for finite element model, the elements of a bridge deck; it is the bridge to be built on the section 1: TOGO-Tchetti SAVALOU Frontier, PK 23 + 200. We perform a numerical simulation on the apron, taken as a whole, and end up with a design for each of its elements.
Key words: modeling, simulation, finites elements, Lame’s equations, GALERKIN, meshing, elements of reference, functions of interpolations, stiffness matrix, degrees of freedom, assembly.
Sommaire
ixix
ixix /176176176 176 Sommaire
Certification ... i
Dédicaces ... ii
Remerciements ... iii
Résumé ... vii
Abstract ... viii
Sommaire ... ix
Liste des figures ... xii
Liste des tableaux ... xviii
Liste des symboles et abréviations ... xix
Avant-propos ... xxi
Introduction générale ... 1
Chapitre 1 : Méthodes d’approximations en physiques ... 3
1.1. Modélisation et Simulation ... 4
1.2. Classification des systèmes physiques ... 4
1.3. Processus d’analyse d’un problème physique ... 5
1.4. Méthodes d’approximations ... 7
1.5. Définition d’un problème de l’élasticité linéaire ... 8
1.6. Méthode de GALERKIN pour la résolution des équations de Lamé ... 12
Chapitre 2 : Méthode des Eléments finis ... 28
2.1. Processus d’analyse par la méthode des éléments finis ... 29
2.2. Discrétisation géométrique (maillage) ... 32
2.3. Approximation nodale ... 39
2.4. Approximation par éléments finis ... 41
2.5. Définition de la géométrie des éléments ... 43
Sommaire
xxxx /176176176 176
2.6. Approximation sur un élément de référence... 49
2.7. Construction des fonctions d’interpolations et de transformations géométriques ... 53
2.8. Matrice élémentaire ... 59
2.9. Assemblage et conditions aux limites ... 60
Chapitre 3 : Etude de quelques exemples d’éléments finis ... 62
3.1. Elément fini linéaire à deux nœuds ... 63
3.2. Elément fini triangulaire plan à trois nœuds ... 64
3.3. Elément fini tétraédrique à quatre nœuds ... 66
Chapitre 4 : Modélisation et Simulation numérique d’un tablier de pont ... 90
4.1. Matériels employés pour la simulation ... 91
4.2. Présentation générale de l’ouvrage ... 92
4.3. Caractéristiques du Tablier ... 94
4.4. Définition des charges et actions appliquées à la structure ... 99
4.5. Définition du flux de travail... 109
4.6. Définition de la structure ... 110
4.7. Construction du modèle éléments finis (EF)... 116
4.8. Introduction des conditions de fixations (Appuis) ... 118
4.9. Choix des normes et règlements à utiliser ... 119
4.10. Définitions des charges ... 120
4.11. Lancement des calculs de la structure ... 128
4.12. Résultats de calcul ... 129
4.13. Définition des combinaisons d’actions ... 134
4.14. Exploitation des résultats ... 136
Sommaire
xixi
xixi /176176176 176
Conclusion et perspectives ... 157
Références bibliographiques ... 158
Table des matières ... 162
Annexes ... 167
Liste des figures
xiixii
xiixii /176176176 176 Liste des figures
Figure 1.1: Processus d'analyse utilisant un modèle numérique ... 6
Figure 1.2: Vue synthétique des méthodes d'approximation ... 8
Figure 1.3: Solide de domaine V soumis à des chargements ... 10
Figure 1.4 : Représentation 3D du domaine Ω ... 16
Figure 1.5 : Courbe de simulation de la composante εxx du tenseur des déformations ... 25
Figure 1.6 : Courbe de simulation de la composante εyy du tenseur des déformations ... 25
Figure 1.7 : Courbe de simulation de la composante εzz du tenseur des déformations ... 26
Figure 1.8 : Courbe de simulation de la composante εxy du tenseur des déformations ... 26
Figure 1.9 : Courbe de simulation de la composante εyz du tenseur des déformations ... 27
Figure 1.10: Courbe de simulation de la composante εzx du tenseur des déformations ... 27
Figure 2.1 : Organigramme descriptif de la démarche de résolution MEF ... 30
Figure 2.2 : (a) – Solide (Poutre en I) ; (b) Modèle éléments finis ... 31
Figure 2.3 : Maillage d’un pont de type Bow-string en vue d’une simulation ... 33
Figure 2.4 : (a) maillage en 2D (poutre I) ; (b) maillage en 3D (poutre I) ... 33
Figure 2.5 : (a) maillage raffiné (plaque) ; (b) maillage grossier (plaque) ... 34
Figure 2.6 : Formes géométriques 1D ... 34
Figure 2.7 : Formes géométriques 2D ... 35
Figure 2.8 : Formes géométriques 3D ... 35
Figure 2.9 : Connexions inadéquates entre éléments ... 36
Liste des figures
xiiixiiixiii
xiii /176176176 176
Figure 2.10 : Connexions adéquates entre éléments ... 37
Figure 2.11 : Exemple de maillage à exclure ... 38
Figure 2.12 : Discrétisation géométrique des frontières courbes ... 38
Figure 2.13 : Méthodes d’approximation ... 43
Figure 2.14 : Transformation d’un élément de référence en élément réel ... 44
Figure 2.15 : Transformation d’un même élément de référence en tous les éléments réels ... 45
Figure 2.16 : Exemple d’éléments de référence à une dimension ... 47
Figure 2.17 : Exemple d’éléments de référence à deux dimensions ... 47
Figure 2.18 : Exemple d’éléments de référence à trois dimensions ... 48
Figure 3.1 : Elément de Poutre plan. ... 63
Figure 3.2 : Elément fini de poutre avec deux degrés de liberté par nœuds. .... 63
Figure 3.3 : Elément fini de poutre avec trois degrés de liberté par nœuds. .... 64
Figure 3.4 : Elément triangulaire plan à trois nœuds. ... 65
Figure 3.5 : Elément triangulaire plan avec deux degrés de liberté par nœuds.65 Figure 3.6 : Elément de référence de forme tétraédrique. ... 66
Figure 3.7 : Capture d’écran des données en Input du programme matrice_K 88 Figure 3.8 : Capture d’écran des données en Output du programme matrice_K ... 89
Figure 4.1 : Vue aérienne du pont ... 93
Figure 4.2 : Trottoir équipé de garde-corps ... 93
Figure 4.3 : Vue de dessus du tablier ... 94
Figure 4.4 : Vue de dessous du tablier ... 94
Figure 4.5. Vue en plan générale ... 96
Figure 4.6 : Coupe longitudinale axiale ... 97
Liste des figures
xivxivxiv
xiv /176176176 176
Figure 4.7 : Coupe transversale du tablier ... 98
Figure 4.8 : Convoi de charges du système Bc ... 103
Figure 4.9 : système Bc en vue transversale et en plan ... 103
Figure 4.10 : Système Bt en vue transversale, longitudinale et en plan ... 104
Figure 4.11 : Axes de construction créés dans Autocad ... 110
Figure 4.12 : Importation des Axes de constructions ... 110
Figure 4.13 : - Boite de dialogue - Importation des fichiers dwg/dxf ... 111
Figure 4.14 : Axes de constructions importés dans Robot ... 111
Figure 4.15 : Définition des poutres et entretoises ... 112
Figure 4.16 : - Boite de dialogue - Panneaux ... 112
Figure 4.17 : - Boite de dialogue - Paramètre de ferraillage, Onglets Général et Matériaux ... 113
Figure 4.18 : - Boite de dialogue - Paramètre de ferraillage, Onglets Paramètre ELS et Ferraillage ... 114
Figure 4.19 : - Boite de dialogue - Nouvelle épaisseur ... 115
Figure 4.20: - Boite de dialogue - Modèle de Calcul du panneau ... 115
Figure 4.21 : Définition de la structure du Tablier dans Robot ... 116
Figure 4.22 : - Boite de dialogue - Options de maillage ... 117
Figure 4.23 : - Boite de dialogue - Options de maillage avancées ... 117
Figure 4.24 : Maillage du tablier ... 118
Figure 4.25 : - Boite de dialogue - Appuis ... 118
Figure 4.26 : Système d’appuis du tablier ... 119
Figure 4.27 : - Boite de dialogue - Préférence de l’affaire, choix de la norme de conception ... 120
Figure 4.28 : - Boite de dialogue - Cas de charge ... 121
Liste des figures
xvxv
xvxv /176176176 176
Figure 4.29 : - Boite de dialogue - Charges roulantes ... 122
Figure 4.30 : - Boite de dialogue - Charges roulantes ... 123
Figure 4.31 : - Boite de dialogue - Polyligne-contour ... 124
Figure 4.32 : - Boite de dialogue - Paramètres de la route ... 124
Figure 4.33 : Cas 3 – Q_trottoir : Charge d’exploitation des trottoirs ... 125
Figure 4.34 : Cas 5 – A(L) : Surcharge A(L) ... 125
Figure 4.35 : Cas 6 – G_garde_corps : Poids propre des Garde-corps ... 126
Figure 4.36 : Cas 7 – G Trottoir : Poids propre des trottoirs ... 126
Figure 4.37 : Cas 8 – G_coucheR+etanch : Poids propre Couche de roulement & étanchéité ... 126
Figure 4.38 : Cas 9 – 2 File Bc Poutres : deux files du convoi de camions Bc 127 Figure 4.39 : Cas 10 – 2 File Bc Dalle : deux files du convoi de camions Bc .. 127
Figure 4.40 : Cas 11 – 2 File Bt Dalle : groupes de deux essieux-tandems ... 127
Figure 4.41 : Cas 12 – 2 File Bc Dalle, deux files du convoi de camions Bc ... 127
Figure 4.42 : - Boite de dialogue – Calcul ... 128
Figure 4.43 : Cartographie des contraintes σyy relatives au système de charges A (Travées 1, 2 et 3) ... 129
Figure 4.44 : Cartographie des contraintes σyy relatives aux convois de charges Bc (Travée 2) ... 129
Figure 4.45 : Cartographie des contraintes σyy relatives aux convois de charges Bc (Travée 3) ... 130
Figure 4.46 : Cartographie des contraintes σyy relatives aux groupes d’essieux- tandems (Travée 2) ... 130
Figure 4.47 : Cartographie des contraintes σyy relatives aux groupes d’essieux- tandems (Travée 3) ... 130
Liste des figures
xvixvixvi
xvi /176176176 176
Figure 4.48 : Moment fléchissant myy dû aux systèmes de charge A (Travées 1, 2 et 3) ... 131 Figure 4.49 : Moment fléchissant myy dû aux convois de charges Bc aux convois de charges Bc (Travée 2) ... 131 Figure 4.50 : Moment fléchissant myy dû aux convois de charges Bc (Travée 3) ... 132 Figure 4.51 : Moment fléchissant myy dû aux groupes d’essieux-tandems (Travée 2) ... 132 Figure 4.52 : Moment fléchissant myy dû aux groupes d’essieux-tandems (Travée 2) ... 132 Figure 4.53 : Moment fléchissant maximum dans la poutre de rive gauche (Travée 3) ... 133 Figure 4.54 : Moment fléchissant maximum dans la poutre intermédiaire gauche (Travée 3) ... 133 Figure 4.55 : Moment fléchissant maximum dans l’entretoise d’about (Travée 3) ... 134 Figure 4.56 : - Boite de dialogue – composante du cas ... 134 Figure 4.57 : - Boite de dialogue - Combinaison ... 135 Figure 4.58 : Cartographie des sections d’aciers réels dans la direction principale de portance (lit inférieur)... 136 Figure 4.59 : Cartographie des sections d’aciers réels dans la direction secondaire (lit inférieur) ... 137 Figure 4.60 : Cartographie des sections d’aciers réels dans la direction principale de portance (lit supérieur) ... 137 Figure 4.61 : Cartographie des sections d’aciers réels dans la direction secondaire (lit supérieur) ... 138 Figure 4.62 : Schéma de ferraillage dalle sous chaussée (1/4) ... 139 Figure 4.63 : Schéma de ferraillage dalle sous chaussée (2/4) ... 140
Liste des figures
xviixvii
xviixvii /176176176 176
Figure 4.64 : Schéma de ferraillage dalle sous chaussée (3/4) ... 141
Figure 4.65 : Schéma de ferraillage dalle sous chaussée (4/4) ... 142
Figure 4.66 : Schéma de ferraillage poutres de rives (1/4) ... 144
Figure 4.67 : Schéma de ferraillage poutres de rives (2/4) ... 145
Figure 4.68 : Schéma de ferraillage poutres de rives (3/4) ... 146
Figure 4.69 : Schéma de ferraillage poutres de rives (4/4) ... 147
Figure 4.70 : Schéma de ferraillage poutres intermédiaires (1/4) ... 149
Figure 4.71 : Schéma de ferraillage poutres intermédiaires (2/4) ... 150
Figure 4.72 : Schéma de ferraillage poutres intermédiaires (3/4) ... 151
Figure 4.73 : Schéma de ferraillage poutres intermédiaires (4/4) ... 152
Figure 4.74 : Schéma de ferraillage entretoises (1/3) ... 154
Figure 4.75 : Schéma de ferraillage entretoises (2/3) ... 155
Figure 4.76 : Schéma de ferraillage entretoises (3/3) ... 156
Liste des tableaux
xviii xviii xviii
xviii /176176176 176 Liste des tableaux
Tableau 2.1 : Nombre de monômes nécessaire pour construire des polynômes
complets ... 54
Tableau 2.2 : Bases polynomiales complètes et incomplètes ... 55
Tableau 3.1 : Tableau des valeurs de la matrice de rigidité élémentaire de l’élément tétraédrique à 4 nœuds (douze degrés de liberté). ... 84
Tableau 3.2 : Valeurs d’essai pour le test du programme matrice_K ... 88
Tableau 4.1 : Charges permanentes ... 99
Tableau 4.2 : Classe de pont en fonction de la largeur roulable ... 100
Tableau 4.3 : Coefficient de dégressivité transversale de la charge A(L) ... 101
Tableau 4.4 : Coefficients a1 et a2 ... 102
Tableau 4.5 : Coefficient de dégressivité transversale bc ... 104
Tableau 4.6 : Coefficient de dégressivité transversale bt ... 104
Tableau 4.7 : Tableau de détermination de la longueur L pour le calcul de δ1 106 Tableau 4.8 : Tableau de détermination de la valeur de G pour le calcul de δ1 ... 106
Tableau 4.9 : Tableau de détermination de la valeur de G pour le calcul de δ2 ... 107
Tableau 4.10 : Tableau récapitulatif des valeurs de δ ... 108
Tableau 4.11 : Tableau récapitulatif des valeurs du produit de coefficients δ*b ... 109
Liste des symboles et abréviations
xixxix
xixxix /176176176 176 Liste des symboles et abréviations
[ ] . Matrice quelconque (carrée ou rectangulaire) { } . Vecteur (matrice colonne)
< > . Matrice ligne
[ ]t . Matrice transposée [ ]-1 . Matrice inverse V . Volume du solide S . Surface du solide
Γ . Contour
ʃV . Intégrale sur le volume ʃS . Intégrale sur la surface ʃ Γ . Intégrale sur le contour
Σ . Somme
{u} . Champ de déplacement en un point quelconque {ε} ou [ε] . Champ de déformation en un point quelconque {σ} ou [σ] . Champ de déformation en un point quelconque [H] . Matrice des constantes d’élasticité
{un} . Déplacements nodaux pour un élément {fV} . Champ de forces de volume
{fS} . Champ de forces de surface
Ni . Fonction de forme attachée au nœud i [N] . Matrice des fonctions d’interpolation [B] . Matrice des fonctions de déformation [D] . Matrice des opérateurs de dérivation [K] . Matrice de rigidité de la structure [Ke] . Matrice de rigidité élémentaire
Liste des symboles et abréviations
xxxxxx
xx /176176176 176 {FV} . Forces nodales de volume
{FS} . Forces nodales de surface
{F} . Forces nodales pour la structure
x, y, z . Coordonnées dans le repère réel (global)
x . Notation simplifiée des coordonnées : x=< x, y, z >
ξ, η, ζ . Coordonnées dans le repère de référence (local) ξ . Notation simplifiée des coordonnées : ξ=< ξ, η, ζ >
A . Section de la poutre I . Inertie de la poutre
L . Longueur d’un élément
φ . Fonction de pondération λ, µ . Coefficients de Lamé
E . Module d’élasticité longitudinale G . Module d’élasticité transversale
ν . Coefficient de Poisson
EDP . Equation aux dérivées partielles DDL . Degrés de libertés
EF . Eléments finis
MEF . Méthode des éléments finis
Avant-propos
xxixxi
xxixxi /176176176 176 Avant-propos
’idée fondamentale derrière la méthode des éléments finis remonte loin en arrière. Les Grecs par exemple avaient reconnu que l'on peut approcher la solution d'un problème complexe en le divisant en problèmes plus simples. On peut par exemple approcher le périmètre d'un cercle en calculant le périmètre d'un polygone à n côtés, pourvu que n soit suffisamment grand. Il suffit alors de connaitre la longueur d'un segment de droite, problème beaucoup plus simple que celui de la longueur d'un arc de cercle.
Le présent travail se veut être une base solide de restitution de connaissances techniques et pratiques indispensables à la construction d’un modèle élément fini, en vue d’une simulation numérique.
Nous poursuivrons ainsi deux objectifs. Bien sûr, nous souhaitons une description relativement classique des principales étapes de mise en œuvre de la méthode sur un ordinateur et passer directement à une illustration à travers notre étude de cas, mais notre objectif est d’en dégager aussi les bases mathématiques les plus fondamentales.
On peut se demander s'il y a vraiment besoin de s'attarder autant sur les aspects plus mathématiques. La réponse nous est apparue de plus en plus évidente au vu des applications énormes de cette méthode en ingénierie et des contraintes de sécurité de plus en plus sévères qui entrent en jeu de compte.
Les logiciels modernes utilisant la méthode des éléments finis bénéficient d'une interface graphique rendant leur utilisation relativement simple. Par ailleurs, un certain nombre de tâches sont automatisables.
On peut donc quasiment lancer un calcul sur ordinateur sans connaître la méthode.
Cependant, le modèle utilisé risque d'être inadapté au problème, on aura donc un résultat très éloigné de la réalité. L'utilisateur doit avoir des connaissances suffisantes pour être en mesure de :
• maîtriser le modèle, c'est-à-dire utiliser les options permettant de représenter le plus fidèlement possible la réalité ;
L
Avant-propos
xxiixxii
xxiixxii /176176176 176
• contrôler la qualité du résultat, détecter les résultats manifestement erronés et juger de la fiabilité des calculs qui leur sont présentés ;
• interpréter les résultats, et éventuellement les post-traités, c'est-à- dire utiliser les résultats pour faire d'autres calculs.
L'utilisation d'un logiciel de résolution par la méthode des éléments finis est donc faussement simple, ce qui n'est pas sans poser problème : Car la manipulation de plus en plus fréquente de ce genre de technologie par des personnels non spécialistes ou inadéquatement formés commence à être une source d'inquiétude très sérieuse, compte tenu des enjeux de sécurité sous-jacents. De manière générale, utiliser un logiciel quelconque pour résoudre un problème d'ingénierie sans en comprendre le fonctionnement est très dangereux.
Le 1er chapitre est consacré à la résolution théorique par l’approche variationnelle du système d’équations de lamé qui est un cas particulier des équations stationnaires, de l’élasticité linéaire, modélisant les déformations d’un solide sous l’hypothèse de petites déformations et de petits déplacements. Nous illustrons ainsi l’une des méthodes étant à la base des bases de la méthode des éléments finis.
Le 2ème chapitre est dédié à l’étude des principes de bases de modélisation par éléments finis ; il fait notamment ressortir les notions de :
• discrétisation d’un domaine en éléments de formes connues ;
• matrice des fonctions d’interpolations ;
• matrice de rigidité élémentaire ;
• assemblage des matrices élémentaires.
Le 3ème chapitre aborde l’étude des propriétés de quelques éléments finis, il s’est achevé par l’élaboration d’un programme de calcul de la matrice de rigidité élémentaire pour l’élément fini tétraédrique à 12 DDL.
Ce programme, loin d’être un programme de résolution complet, est destiné principalement à être utilisé en tant que routine (sous- programme), dans un programme global de résolution de modèles éléments finis.
Avant-propos
xxiii xxiiixxiii
xxiii /176176176 176 Le 4ème chapitre étudie un cas pratique de simulation numérique effectué sur un tablier de pont.
Nous insistons notamment sur le fait que notre travail ne consiste pas en une étude technique détaillée du pont, mais à construire un modèle numérique, élément fini, du tablier et à effectuer une simulation numérique sur ce modèle.
Le modèle élément fini, ainsi construit, fait alors office de maquette numérique sur laquelle on observera l’influence, en temps réel, des différentes actions agissant sur la structure.
Le travail consistera, en tenant compte de plusieurs essais de cas de charges, à définir les cas produisant les effets les plus défavorables et à partir de ces considérations pour proposer un dimensionnement des éléments du tablier.
Aussi, le présent travail a permis d’expliquer en détail la manière dont le logiciel Autodesk ROBOT SAP 2012 doit être utilisé pour conduire des essais de simulation numérique.
Chapitre 1
1111 /176176176 176 Introduction générale
Le développement de l'informatique a conduit à de grands changements dans les approches traditionnelles des calculs d'ingénierie. La méthode de premier plan de résolution numérique pour une grande variété de problèmes physiques est la méthode des éléments finis (MEF).
Les particularités de la MEF qui la placent en position dominante face à d’autres méthodes telles que : la méthode des différences finies, la méthode des volumes finis, les méthodes des éléments de frontière … etc. ; sont ces qualités inhérentes telles que:
- la versatilité : la méthode est appropriée pour résoudre toutes sortes de problèmes physiques et mathématiques;
- Bonne algorithmisation : l'aptitude à développer des suites logicielles qui couvrent un large champ d'applications;
- Bonne stabilité numérique des algorithmes MEF.
Le point central de la méthode des éléments finis est dans le remplacement de la structure d'origine, de forme complexe, par un modèle numérique discrétisé qui représente de manière appropriée l'essence physique et les propriétés de la structure d'origine. L'élément le plus important dans ce modèle est la discrétisation par les éléments finis.
Ce qui suppose la construction d'un ensemble de volumes élémentaires de formes déterminées (les éléments finis), combiné en un système uni (appelé maillage d'éléments finis).
La structure, de forme géométrique complexe, est représentée comme une union des éléments finis. Les éléments finis sont considérés comme reliés les uns aux autres par l’intermédiaire des nœuds, dans lesquels chacun des trois degrés de liberté de translation et de rotation est présenté. Les charges extérieures appliquées à la structure sont converties en forces équivalentes appliquées aux nœuds des éléments finis. Les restrictions des mouvements de la structure (Appuis) sont également transférées aux éléments finis.
Chapitre 1
2222 /176176176 176 En écrivant un système d'équations pour chaque élément fini qui est impliqué dans le rapprochement du système physique d'origine, nous les étudions ensemble et obtenons un système d'équations pour l'ensemble de la structure. L'ordre de ce système d'équations est égal au produit du nombre de nœuds dans la structure et du nombre de degrés de liberté introduits dans un nœud. Dans un logiciel EF, cela revient généralement à des dizaines ou des centaines de milliers d'équations algébriques.
En construisant le système d'équations pour l'ensemble de la structure et en le résolvant, nous obtenons les valeurs de la mesure physique recherchée (par exemple, les déplacements) dans les nœuds du maillage d'éléments finis, ainsi que des mesures physiques supplémentaires, par exemple, les déformations et les contraintes.
Chapitre 1
3333 /176176176 176
Chapitre 1 : Méthodes
d’approximations en physiques
1. Sommaire
1.1. Modélisation et Simulation ... 4 1.2. Classification des systèmes physiques ... 4 1.3. Processus d’analyse d’un problème physique ... 5 1.4. Méthodes d’approximations ... 7 1.5. Définition d’un problème de l’élasticité linéaire ... 8 1.6. Applications de la méthode de GALERKIN pour la résolution des équations de Lamé ... 12
Chapitre 1
4444 /176176176 176 1.1. Modélisation et Simulation
1.1.1. Modélisation
La modélisation est une opération par laquelle on établit le modèle d’un système complexe. Un modèle est une représentation mathématique d’un phénomène complexe auquel on affecte des informations dans le but d’utiliser les lois de la mécanique générale pour faire des vérifications de résistance et de rigidité.
1.1.2. Simulation
La simulation est l’un des outils d’aide, de prise de décision les plus efficaces, à la disposition des concepteurs et des gestionnaires des systèmes complexes. Elle consiste à construire un modèle d’un système réel et à conduire des expériences sur ce modèle afin de comprendre le comportement de ce système et d’en améliorer les performances.
1.2. Classification des systèmes physiques
Un système physique est caractérisé par un ensemble de variables qui peuvent dépendre des coordonnées d'espace (x, y, z) et du temps t. Le système est dit stationnaire si ses variables ne dépendent pas du temps.
Certaines variables d du système sont connues à priori : propriétés physiques, dimensions du système, sollicitations, conditions aux limites, etc.
D'autres variables u sont inconnues : déplacements, vitesses, températures, contraintes, etc.
Un modèle mathématique du système permet d'écrire des relations entre u et d en utilisant des lois physiques. Ces relations constituent un système d'équations en u qu’on est souvent amené à résoudre, le nombre de degrés de liberté du système est le nombre de paramètres nécessaires pour définir u à un instant t donné.
Un système est discret s'il possède un nombre de degrés de liberté fini, un système est continu s'il possède un nombre de degrés de liberté infini.
Le comportement d'un système discret est représenté par un système d'équations algébriques, celui d'un système continu est le plus souvent représenté par un système d'équations aux dérivées partielles ou
Chapitre 1
5555 /176176176 176 intégro-différentielles associé à des conditions aux limites en espace et en temps.
Les équations algébriques des systèmes discrets peuvent être résolues par les méthodes numériques. Par contre, les équations des systèmes continus ne peuvent en général pas être résolues directement. Il est nécessaire de discrétiser ces équations, c'est-à-dire de les remplacer par des équations algébriques. La méthode des éléments finis est l'une des méthodes qui peuvent être utilisées pour faire cette discrétisation.
1.3. Processus d’analyse d’un problème physique
De façon générale, les différentes étapes d'analyse d’un problème physique s'organisent suivant le processus schématisé par la figure 1.1.
Nous partons d'un problème physique ; le cadre précis de l'étude est défini par les hypothèses simplificatrices qui permettent de définir un modèle mathématique. La difficulté pour l'ingénieur est de savoir choisir parmi les lois de la physique celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalité du problème physique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en œuvre non prohibitifs.
Le choix du modèle mathématique est un compromis entre le problème posé à l'ingénieur « quelles grandeurs veut-on calculer et avec quelle précision ? » et les moyens disponibles pour y répondre. Les équations du modèle retenu sont soumises à un certain nombre d'hypothèses basées sur les sciences de l'ingénieur. Il faut connaître le domaine de validité de ces hypothèses pour pouvoir vérifier que la solution obtenue est satisfaisante.
Si le modèle mathématique n'admet pas de solution analytique, il faut chercher une solution approchée de ce modèle. La discrétisation du problème correspond au choix d'un modèle numérique permettant de traiter les équations mathématiques.
Chapitre 1
6666 /176176176 176
Figure 1.1: Processus d'analyse utilisant un modèle numérique
Problème
Hypothèses de modélisation
Discrétisation du problème
Estimation de la précision du modèle numérique
Vérification des hypothèses de modélisation (analyse du modèle
mathématique)
Interprétation des résultats Modèle
mathématique
Modèle numérique
Réponse obtenue Procédure
numérique
Evolution du modèle numérique Evolution du
modèle mathématique
(Nouveau modèle physique)
Chapitre 1
7777 /176176176 176 1.4. Méthodes d’approximations
Pour discrétiser les modèles complexes de phénomènes physiques, l'ingénieur dispose à l'heure actuelle de méthodes d'approximation permettant de résoudre la plupart des problèmes pour lesquels il n'existe pas de solution formelle.
Toutes les méthodes d'approximation ont un même objectif, remplacer un problème mathématique (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équation matricielle), problème de dimension finie que l'on sait résoudre numériquement.
La classification que nous proposons sur la figure 1.2 n'est pas unique, elle permet simplement de distinguer la méthode, en fonction de la démarche utilisée pour obtenir une forme intégrale. La transformation puis la discrétisation de cette forme intégrale conduisent à une équation matricielle que l’on sait résoudre analytiquement ou numériquement. Il est important de noter qu'un problème physique peut être formulé de façon équivalente en un système d'équations différentielles ou sous une formulation variationnelle. Nous montrons un peu plus loin comment passer de l’une à l’autre. Les méthodes d’approximations sont :
Méthode des résidus pondérés (ou annulation d'erreur) : Elle utilise comme point de départ les équations locales et les conditions aux limites du problème. Ces équations sont des équations différentielles définies, d'une part sur l'intérieur du domaine ce sont les équations locales, et d'autre part sur la frontière du domaine ce sont les conditions aux limites.
Méthodes variationnelles : Le point de départ de ces méthodes est un principe variationnel qui est une formulation mathématique du problème basée sur des considérations énergétiques. La formulation obtenue dépend bien entendu des hypothèses de modélisation du problème physique.
Chapitre 1
8888 /176176176 176
Figure 1.2: Vue synthétique des méthodes d'approximation
1.5. Définition d’un problème de l’élasticité linéaire
1.5.1. Equations fondamentales de la théorie de l’élasticité
En Théorie de l’élasticité, et sous l’hypothèse des petites déformations, le nombre d’inconnus pour un problème de mécanique des milieux continus est égal à 15.
En effet, l’objectif est de déterminer :
Système physique continu
Formes Formes différentielles
Formes matricielles Mise en
équations
Méthodes des résidus pondérés
Méthodes variationnelles
Méthodes d’approximation
Discrétisation
Chapitre 1
9999 /176176176 176 - Les trois composantes du champ de déplacement A = (u, v, w) :
)* = *,-, /, 01 2 = 2,-, /, 01 3 = 3,-, /, 01
- les six composantes du tenseur de petites déformations :
45 6
57899 = :; :9 ; 89= = >?,:;:=+:A :91 8== =:A:= ; 89B = >?,:; :B +:C:91 8BB =:C:B ; 8=B = >?,:A:B +:C :=1
- les six composantes du tenseur des contraintes :
455 6
557D99 = EFG2H + 2I899 D== = EFG2H + 2I8==
DBB = EFG2H + 2I8BB D9= = 2I89=
D9B = 2I89B D=B = 2I8=B
Pour résoudre un tel problème, nous devons disposer de 15 équations.
Ces équations sont :
Les trois équations d’équilibre [2] :
Sur V : 45 6
57:J:9K+:L:=KM +:L:BKN + OP9 = 0
:LMK
:9 +:J:=M+:L:BMN+ OP= = 0
:LNK
:9 +:L:=NM+:J:BN+ OPB = 0
Chapitre 1
1010
1010 /176176176176
Figure 1.3: Solide de domaine V soumis à des chargements
Les six relations géométriques de Cauchy [2] :
Ces équations assurent que les déformations dérivent d’un champ de déplacement
455 6
557899 = R*
R- ; 89= + 1 2 ,R*
R/ @R2 R- 1 8== +R2
R/ ; 89B + 1 2 ,R*
R0 @R3 R-1 8BB + R3
R0 ; 8=B +1 2 ,R2
R0 @R3 R/ 1
La loi de Hooke sous forme directe pour un matériau isotrope, élastique et linéaire [2] :
455 6 55
7899 + SD99T U,D== @ DBB1V/W 8== + SD== T U,DBB @ D991V/W 8BB + SDBBT U,D99@ D==1V/W
89= + D9=/,2I1 8=B + D=B/,2I1 8B9 + DB9/,2I1
Ces équations sont assorties de conditions aux limites en pression ou en déplacement :
Chapitre 1
1111
1111 /176176176 176 Sur Sf : )XY9 = D99Z9 + D9=Z= + D=BZB
XY= = D=9Z9 + D==Z= + D=BZB XYB = DB9Z9 + DB=Z= + DBBZB
Sur Su : [* = *\ 2 = 2\ 3 = 3\ 1.5.2. Les différentes méthodes de résolution
La résolution des équations de la théorie de l’élasticité peut être menée de plusieurs manières en fonction des quantités prises comme inconnues et on distingue généralement trois grandes méthodes de résolution :
- La résolution du problème en fonction des déplacements : dans ce cas, on considère que les fonctions inconnues sont les composantes : u, v, w du vecteur déplacement ;
- La résolution en fonction des contraintes : dans ce cas, on considère que les fonctions inconnues sont les composantes des contraintes normales et tangentielles ;
- La résolution du problème sous forme mixte : dans ce cas, on considère comme fonctions inconnues, une partie des fonctions déplacements et l’autre partie des fonctions contraintes.
En théorie de l’élasticité, l’on est souvent conduit à résoudre les équations de Lamé qui constituent un modèle décrivant le comportement, en déformation, d’un solide sous des conditions de chargement et de fixation connues (conditions aux limites).
La résolution du problème de la théorie de l’élasticité consiste à déterminer en tout point des coordonnées cartésiennes un vecteur de composantes u, v, w caractérisant un petit déplacement de ce point au cours de la déformation du milieu.
Nous proposerons dans la suite la méthode de GALERKIN pour la résolution des équations de Lamé, afin de simuler le comportement d’un solide à surface lisse, sous des conditions aux limites en déplacement et soumis à un chargement volumique.
Chapitre 1
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1212 /176176176 176 1.6. Méthode de GALERKIN pour la résolution des équations de
Lamé
1.6.1. Modèle mathématique étudié
Supposons qu’un solide élastique occupe dans l’espace à trois dimensions un domaine Ω délimité par une surface fermée S.
Nous obtenons les équations de Lamé, caractérisant le comportement, sous la forme suivante [2] :
]^_ + ,`a+a]1b,cde_1 + fg = h FiZj k
Avec la condition aux limites en déplacement (condition de type Dirichlet) :
H = H\ j*l m
Où λ et µ sont les coefficients de lamé tels que : λ = E ∗ ν
,1 + ν1,1 − 2ν1 , W =3E + 2I E + I I
μ = E
2,1 + ν1 , ν = λ
2,E + I1 ; 0 ≤ ν < 0.5 (U étant le coefficient de poisson et E le module de Young)
H = H,-, /, 01 = v*,-, /, 01, 2,-, /, 01, 3,-, /, 01w ∈ yz sont les composantes du vecteur déplacement en chaque point du solide de Ω délimité par la surface S.
H\ = ,*\, 2\,3\1 est le vecteur déplacement imposé à la surface du solide ; { est la densité du solide.
| = ,|>, |?, |z1 la charge constante.
1.6.2. Transformation du modèle mathématique
L’équation vectorielle (1.1) peut alors s’écrire sous la forme :
(1.1)
(1.2)
Chapitre 1
1313
1313 /176176176 176 45
6
57}* +,~aa1 :
:9,FG2H1 +|> = 0 }2 +,~aa1 :=: ,FG2H1 +|? = 0 }3 +,~aa1 :B: ,FG2H1 +|z = 0
Nous allons chercher la solution de ces équations sous la forme _ = + ,
Où est un vecteur harmonique c’est-à-dire : ^ = h,
est le gradient d’une fonction scalaire c’est-à-dire : = c
Nous adoptons les hypothèses suivantes :
[ = _h
= h, = h
Soit = ,>, ?, z1 ; alors ^ = h ⇔ [} = 0 } = 0 } = 0
Puisque H = ,*, 2, 31, on a : 45 6
57* = > +: :9 2 = ? +: :=
3 = z+: :B En substituant (1.6) dans (1.3) on a :
45 6
57},>+::91 + :9: [:9: ,>+::91 +:=: ,?+::=1 +:B: ,z+::B1] +|> = 0 },?+::=1 + :=: [:9: ,>+::91 +:=: ,?+::=1 +:B: ,z+::B1] +|? = 0 },z+::B1 + :B: [:9: ,>+::91 +:=: ,?+::=1 +:B: ,z+::B1] +|z = 0
En prenant en compte (1.5), le système d’équations (1.7) devient :
(1.7) (1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
