Problème : Datation au carbone 14

D11S

BCPST2 29/1/2015

[ /3] Présentation

Problème : Datation au carbone 14

D'un point de vue physique, l'atome de carbone 14 est un isotope radioactif du carbone 12. Son noyau est composé de six protons et de huit neutrons, à la diérence du carbone 12 qui ne compte que six neutrons. Cet élément est présent en quantité constante dans l'atmosphère car en régénération perpétuelle sous l'action des rayons cosmiques sur les atomes d'azote présents dans l'atmosphère.

La Terre est bombardée en permanence par des particules très énergétiques venant du cosmos. Ce rayonnement cosmique est composé notamment de protons très rapides. Les noyaux des atomes présents dans l'atmosphère explosent littéralement sous le choc de ces protons très énergétiques et, parmi les fragments, on trouve des neutrons très rapides. Ces neutrons rapides peuvent à leur tour réagir avec des noyaux d'azote de la haute atmosphère. Lors du choc, tout se passe comme si un neutron rapide éjectait un des protons d'un des noyaux d'azote et prenait sa place pour former un noyau comptant six protons et huit neutrons. Ce noyau est un isotope particulier du carbone, le carbone 14, qui est radioactif : en émettant un électron et une particule non observable, l'antineutrino, il se décompose en un noyau d'azote comptant sept protons et sept neutrons.

1 ^re Partie : Modélisation de la désintégration

Dans la suite de ce texte, nous ne cherchons pas à décrire outre mesure le processus de régénération du carbone 14 dans l'atmosphère ni son absorption dans la chaîne du vivant. En revanche, nous visons à modéliser précisément le phénomène de désintégration de l'atome.

Dans ce contexte, voici comment les auteurs d'un ouvrage de physique à destination du grand public explique au lecteur le phéno- mène radioactif : La probabilité qu'un atome radioactif, présent dans une source donnée à un instantt, se désintègre durant un court intervalle de temps dtsuivant cet instanttest proportionnelle à la durée de l'intervalle dtconsidéré.

Essayons d'interpréter ce résultat en termes probabilistes. Désignons pour cela par T la variable modélisant la durée de vie de l'atome, c'est-à-dire, la durée séparant sa création de sa désintégration.

Nous supposonsT dénie sur un espace de probabilité(Ω,T,P)et à valeurs dans[0,+∞[.

[ /1]

1. On se place à un instanttoù l'atome ne s'est pas désintégré. Expliquer pourquoi les propos précédents peuvent s'écrire : P_{[T >t]} T ∈]t, t+h]

∼

h→0⁺ λh pour une certaine constanteλ >0.

Comme on consière que l'atome ne s'est pas désintégré, on considère donc P(T > t) > 0 . Sous cette condition, on nous dit que l'atome se désintègre entre les instants t et t + h (en notant h = d t ) avec une probabilité proportionnelle à la longueur de l'intervalle, c'est-à- dire h : soit P

_{[T >t]}

(T ∈]t, t + h[) = λh où λ est le coecient de proportionnalité.

Enn, comme on nous dit que cela n'est en fait valable que pour h petit, on écrit plutôt : P

[T >t]

T ∈]t, t + h]

h→0

∼

⁺

λh .

[ /2]

2. En désignant parF la fonction de répartition de la variable aléatoireT, en déduire :

∀t>0, lim

h→0⁺

F(t+h)−F(t)

h =λ(1−F(t)).

On a : F (t) = P(T 6 t) = 1 − P(T > t) .

De plus, si P(T > t) > 0 , la relation précédente se traduit par :

On obtient donc : si F (t) < 1 alors

F (t + h) − F (t)

h ∼

h→0⁺

λ(1 − F (t)) soit

h→0

lim

⁺

F (t + h) − F (t)

h = λ(1 − F (t))

Si P(T > t) = 0 , soit F (t) = 1 . Alors pour h > 0 , on a aussi F (t + h) = 1 par croissance et majoration de F et la formule précédente est encore valable.

[ /2]

3. En déduire que la fonction de répartition est dérivable à droite.

Des arguments physiques nous permettent en fait d'armer queF est dérivable.

Former une équation diérentielle vériée parF et en déduire que :

∀t>0, F(t) = 1−exp(−λt).

F est dérivable à droite en t si et seulement si F (t + h) − F (t)

h admet une limite nie à droite en 0 . D'après la relation précédente, c'est le cas et cette limite est λ(1 − F (t)) . En admettant que F est dérivable (en plus d'être dérivable à droite), on a alors :

∀t > 0, F

⁰

(t) = λ(1 − F (t)) F vérie donc l'équation diérentielle : y

⁰

+ λy = λ .

â La solution de l'équation sans second membre : y

⁰

+ λy = 0 est y(t) = µ exp(−λt) â Une solution particulière est clairement y

_p

= 1

â On obtient donc : F (t) = µ exp(−λt) + 1

â On calcule µ , en considérant que F (0) = P(T 6 0) = 0 soit µ = −1 . â On obtient donc : ∀t > 0, F (t) = 1 − exp(−λt)

On reconnait une loi exponentielle.

[ /1]

4. Reconnaître la loi deT et donner son espérance et sa variance.

On re connait la fonction de répartion d'une loi exponentielle de paramètre λ . On a donc E(T ) = 1

λ et V(T ) = 1 λ

²

.

[ /1]

5. Montrer qu'il s'agit donc d'un phénomène sans mémoire : c'est-à-dire :

∀t >0, ∀s >0,P_{[T >t]} T > t+s

=P(T > s)

Tout d'abord, soit t > 0 , on a : P(T > t) = 1 − F (t) = exp(−λt) > 0 . On a alors : P

_{[T >t]}

T > t + s

= P(T > t + s) P(T > t)

= 1 − F (t + s) 1 − F (t)

= exp − λ(t + s) exp(−λt)

= exp(−λs)

= P(T > s) Ainsi, le phénomène est sans mémoire.

[ /1]

6. Ecrire une fonction desintegre(lam) qui simule la durée de vie d'un atome de carbone.

from math import ∗

from random import random def simule ( lam ) :

x = random ( )

return − log(1 − x ) /lam

7. On appelle dans ce cadre demi-vie la médiane deT, c'est-à-dire le temps notét_1/2 déni par :

P(T6t1/2) =P(T >t1/2) = 1 2 Déterminert_1/2en fonction deλ.

Des mesures physiques donnentt1/2= 5730ans. Vérier qu'on a alors :λ= 3,8.10⁻¹²s⁻¹. On dit queλest la constante de radioactivité.

On résout :

P(T > t) = 1

2 ⇐⇒ F (t) = 1 2

⇐⇒ 1 − exp(−λt) = 1 2

⇐⇒ exp(−λt) = 1 2

⇐⇒ t = ln(2) λ

On a donc : λ = ln(2)

t

_1/2

= ln(2)

5730 ∗ 365.25 ∗ 24 ∗ 3600 = 3, 8.10

⁻¹²

s

⁻¹

Remarque:

On considèrera dans toute la suite du problème que la durée de vie des atomes de Carbone 14 suit une loi exponentielle de paramètreλ= 3,8.10⁻¹²s⁻¹.

2 ^e Partie : Etude de la teneur en Carbone 14

La régénération perpétuelle du carbone 14 dans l'atmosphère et de son incorporation dans la chaîne du vivant nous apprend que la teneur en carbone 14 dans les organismes vivants est constante, égale à6,8.10¹⁰atomes de carbone 14 par gramme de carbone. A l'opposée, le métabolisme disparaissant, le carbone 14 présent dans un organisme mort n'est plus renouvelé et se désintègre petit à petit en atomes d'azote. Dans cette perspective, cette partie vise à étudier le processus stochastique décrivant les désintégrations successives de carbone 14 survenant dans une masse macroscopique de matière devenue inerte. L'organisme mort contient alors un très grand nombre de particules de carbone 14, et nous ferons l'hypothèse, raisonnable, qu'elles se désintègrent indépendamment les unes des autres. La loi de modélisation de la durée de vie d'un atome de carbone 14 étant, d'après la première partie, de type exponentielle, tout se passe comme si tous les atomes de carbone 14 présents au moment de la mort de l'organisme étaient créés à cet instant même.

On numérote les atomes de carbone 14 de l'échantillon, et on noteTila durée de vie de l'atome numéro iqui suit donc une loi exponentielle de paramètreλ.

On noteN le nombre total d'atomes au début de l'étude.

On dénie(Z1, Z2, . . . , ZN)les variables aléatoires obtenues en réordonnant par ordre croissant les variables aléatoires(Ti). Ainsi en particulier :Z1= min(T1, . . . , TN)etZN= max(T1, . . . , TN).

Soitk∈J1, NK.

[ /2]

1. Ecrire une fonction Z(k,N,lam) qui simule l'expérience et renvoie la valeur deZ_k. Comment déterminer une valeur apprximative deE(Zk)etV(Zk)à l'aide de cette fonction ?

On utilise la simulation de la loi exponentielle réalisée précédemment.

simulation def Z ( k , N , lam ) :

L=[simule ( lam ) f o r i in range ( N ) ] # simule N v a r i a b l e s suivant une l o i e x p o n e n t i e l l e

L . sort ( ) # c l a s s e l e s v a r i a b l e s return L [ k − 1]

Pour déterminer une valeur expérimentale de E(Z

_k

) et V(Z

_k

) , on simule un grand nombre de fois Z

_k

et on calcule l'espérance et la variance empiriques.

espérance et variance def EsperanceVariance ( k , N , lam ) :

E1 = 0 E2 = 0

f o r i in range (1000) : z = Z ( k , N , lam ) E1 += z

E2 += z ∗∗ 2 E1 = E1 /1000

E2 = E2 /1000

return E1 , E2 − (E1 ∗ ∗ 2)

[ /1]

2. ^{Soitt >0, on noteNt}le nombre d'atomes qui se sont désintégrés avant l'instantt. Quelle est la loi deNt?

N

_t

compte le nombre de succès (l'atome s'est désintégré) obtenus au cours de N expérences indépendantes de Bernoulli. Chacune de ces expériences a une probabilité de succès égale à P(T

i

6 t) =

Z

t 0

λ exp(−λx) d x = 1 − exp(−λt) . Ainsi, N

_t

, → B(N, 1 − exp(−λt) .

[ /1]

3. Montrer que[Nt>k] = [Zk6t].

[N

_t

> k] = [ A l'instant t , il y a au moins de k désintégrations ]

= [ La k -ième désintégration a eu lieu avant l'instant t]

= [Z

_k

6 t]

[ /2]

4. ^{Montrer :∀t >0, P(Zk6t) =XN}

i=k

N i

1−exp(−λt)i

exp −(N−i)λt

P(Z

_k

6 t) = P(N

_t

> k)

=

N

X

i=k

P(N

_t

= i)

=

N

X

i=k

i N

1 − exp(−λt)

i

exp − (N − i)λt

car N

t

, → B(N, 1 − exp(−λt))

[ /3]

5. Montrer queZkadmet une densitéfkque l'on peut dénir par : fk(t) =







λ N!

(k−1)!(N−k)!

1−exp(−λt)k−1

exp −(N−k+ 1)λt

si t >0

0 sinon

On vient de calculer la fonction de répartition F

_k

de Z

_k

pour t > 0 . Pour t 6 0 , on a P(Z

_k

6 t) = 0 .

Ainsi, il est clair que F

k

est C

¹

sauf peut-être en 0 . De plus, lim

t→0+

F

k

(t) = 0 . Donc F

k

est continue sur R.

Ainsi, Z

_k

admet une densité donnée par : f

_k

(t) =

0 si t 6 0

F

_k

(t)

⁰

si t > 0

Calculons F

_k

(t)

⁰

pour t > 0 :

F

_k

(t)

⁰

=

N

X

i=k

N i

1 − exp(−λt)

i

exp − (N − i)λt

!

⁰

=

N

X

i=k

N i

λ exp(−λt).i.

1 − exp(−λt)

i−1

exp − (N − i)λt

−

N

X

i=k

N i

1 − exp(−λt)

i

(N − i)λ exp − (N − i)λt

=

N

X

i=k

N !

(i − 1)!(N − i)! λ exp(−λt)

1 − exp(−λt)

ⁱ⁻¹

exp − (N − i)λt

−

N−1

X

i=k

N ! i!(N − i − 1)!

1 − exp(−λt)

i

λ exp − (N − i)λt

=

N−1

X

j=k−1

N !

j!(N − j − 1)! λ

1 − exp(−λt)

j

exp − (N − j)λt

−

N−1

X

i=k

N ! i!(N − i − 1)!

1 − exp(−λt)

i

λ exp − (N − i)λt

= λ N!

(k − 1)!(N − k)!

1 − exp(−λt)

k−1

exp − (N − k + 1)λt

3 ^e Partie : Datation au carbone 14

Etant donné un gramme de matière d'origine organique, imaginons que les physiciens et les chimistes soient capables d'en déterminer avec précision la teneur en atomes de carbone 14. Désignons alors parN le nombre estimé d'atomes dans le morceau en question et appelonstla durée nous séparant de sa mort.

A la mort de l'organisme, référencée à partir de maintenant comme l'instant0(de sorte quetdésigne également l'instant présent.) nous savons que le gramme de carbone comptait environN0= 6,8.10¹⁰atomes de carbone 14.

La mesure réalisée par les physiciens nous indique queN0−N particules se sont alors désintégrées.

Nous supposons une fois encore que les particules de carbone 14 au sein du gramme étudié se désintègrent indépendamment les unes des autres.

1. On numérote à nouveau nos atomes de carbone radioactif à l'instant0, et on noteBila variable aléatoire égale à1si l'atome numérois'est désintégré et0sinon.

[ /1]

a. Montrer que :N0−N=

N₀

X

i=1

Bi.

On a : N

₀

− N =

N0

X

i=1

B

_i

Immédiat ! puisque

N0

X

i=1

B

_i

compte le nombre d'atomes qui se sont désintégrés.

[ /1]

b. Quelle est la loi des(Bi)?

B

_i

est une variable de Bernoulli dont le paramètre p est la probabilité pour un atome de carbone de se désintégrer avant l'instant t , c'est-à-dire P(B

_i

= 1) =

Z

t 0

λ exp(−λx) d x = 1 − exp(−λt) .

[ /1]

c. Ecrire une fonction frequence(N0,t,lam) qui simule l'expérience et qui renvoie1− N N0

def frequence ( N0 , t , lam ) : S = 0

f o r i in range ( N0 ) :

i f random ( ) < 1 − exp( − lam ∗ t ) : S += 1

return S/N0

[ /1]

d. On a tracé pour diérentes valeurs deN0 le résultat de cette fonction pour une valeur detarbitraire.

Qu'en pensez vous quandN0→+∞? Que représente à votre avis cette limite ?

Ce résultat est usuellement appelé Loi forte des grands nombres et nous l'accepterons sans démonstration.

On remarque qu'il semble y avoir une limite quand N

₀

→ +∞ . Or, la fonction frequence calcule en fait, une moyenne empirique d'une loi B(p) donc si N

₀

→ +∞ , on peut conjecturer que cette moyenne empirique va converger vers l'espérance de la loi.

[ /2]

e. ^CommeN0est très grand, en déduire qu'une valeur approchée detest ln(N0)−ln(N)

λ .

Comme N

₀

est grand, on va approcher 1 − N

N

₀

par E(B

_i

) = 1 − exp(−λt) . 1 − exp(−λt) ≈ 1 − N

N

0

⇐⇒ exp(−λt) ≈ N N

0

⇐⇒ −λt ≈ ln(N ) − ln(N

₀

)

⇐⇒ t ≈ ln(N

₀

) − ln(N ) λ

[ /3]

2. Se pose en pratique la question de la détermination de la teneur en carbone 14 du morceau de matière d'origine organique.

Dans la même référence que précédemment, le mode expérimental est décrit de la faon suivante : La mesure de la teneur en carbone 14 actuelle de l'échantillon est évaluée par comptage des désintégrations sur une période de trois jours.

Rappelons queN désigne le nombre d'atomes de carbone 14 actuellement présents dans l'échantillon. On notendle nombre de désintégrations ayant lieu entre l'instanttet l'instantt+δ(δ= 3jours selon les conditions expérimentales précédentes).

En utilisant le caractère sans mémoire de la loi exponentielle, on peut considérer que tout se passe comme précédemment avec pour situation initialeN atomes au lieu deN0et une durée de tempsδau lieu det.

En déduire une approximation deNen fonction dend, λetδ.

De la même façon que précédemment, on approche nd

N qui est la proportion des atomes

qui se sont désintégrés pendant δ jours par 1 − exp(−λδ) . Ainsi : nd

N ≈ 1 − exp(−λδ) ⇐⇒ N ≈ nd 1 − exp(−λδ)

4 ^e Partie : Limite de la méthode

Pour que la loi des grands nombres puisse être appliquée au contexte précédent, et que l'approximation ci-dessus soit acceptable, il est nécessaire queNsoit susamment grand. Nous cherchons désormais à quantier cette restriction théorique, an d'exhiber un seuil de validité de la méthode de datation.

Remarque : Du fait de la très grande valeur deN0, on considère que l'approximation _N^N₀ ≈exp(−λt)est valide et on s'intéresse uniquement à l'approximationN≈_{1−exp(−λδ)}^nd oùndest le nombre d'atomes qui se sont désintégrés pendant la période deδjours.

[ /2]

1. ^{On noteN} le nombre réel d'atomes de Carbone 14 présents au moment de la mesure, correspondant à une datation réelletet Nele nombre d'atomes estimé par la formule nd

1−exp(−λδ), correspondant à une datation estiméete. On noteε=Ne−N

N l'erreur relative entreNet son estimationNe. Quelle erreur de datation provoque une erreur de5%sur la mesure deN?

La datation réelle est donnée par t =

^{ln(N0)−ln(N)}_λ

et la datation estimée par t

_e

=

^{ln(N0)−ln(N}_λ ^e)

. Ainsi :

t − t

e

= ln(N

₀

) − ln(N )

λ − ln(N

₀

) − ln(N

_e

) λ

= ln(N

_e

) − ln(N ) λ

= ln

N Ne

λ

= ln (1 + ε) λ

Pour ε = +0.05 , on obtient, t − t

_e

= ln (1.05)

λ = 407 ans Pour ε = −0.05 , on obtient, t − t

_e

= ln (0.95)

λ ≈ −427 ans.

Ainsi, l'erreur est de l'ordre de 500 ans.

2. De la même manière que dans la partie précédente, on numérote lesNatomes de carbone radioactif présents dans l'échantillon à l'instanttet on noteB⁰_ila variable aléatoire égale à1si l'atome numéroise désintègre entre l'instanttet l'instantt+δ. On rappelle queB⁰_i,→ B(α)avecα= 1−exp(−λδ). On noteraσ=σ(B_i⁰).

Montrer queαε= 1 N

N

X

i=1

B_i⁰−α

Le nombre d'atomes qui se désintégrent est donné par : nd =

N

X

i=1

B

_i⁰

. Donc,

1 N

N

X

i=1

B

_i⁰

− α = nd N − α

= αN

_e

N − α

= αε

[ /1]

3. ^{On note :Yn=} _n ^{etYn =} σ

√n . On note égalementFnla fonction de répartition deY_n^∗. Montrer queP

1 n

n

X

i=1

B_i⁰−α

> 2σ

√n

!

= 1−(Fn(2)−Fn(−2)).

on a :

P 1 n

n

X

i=1

B

⁰_i

− α

> 2σ

√ n

!

= P













1 n

n

X

i=1

B

_i⁰

− α

√σ n

> 2













= P(|Y

_n^∗

| > 2)

= 1 − P([Y

_n^∗

| < 2])

= 1 − (F

_n

(2) − F

_n

(−2))

[ /1]

4. A l'aide du théorème central limite, déterminer lim

n→+∞P 1 n

n

X

i=1

B⁰_i−α

> 2σ

√n

!

en fonction deΦ, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et en donner une approximation numérique.

Comme (B

_i⁰

) sont de même loi et indépendants, on peut appliquer le théorème central limite, à savoir :

P(a 6 Y

_n^∗

6 b) −→

n→+∞

Φ(b) − Φ(a)

P 1 n

n

X

i=1

B

⁰_i

− α

> 2σ

√ n

!

= 1 − (F

_n

(2) − F

_n

(−2)) −→

n→+∞

1 − (Φ(2) − Φ(−2)) ≈ 0.05

5. L'inégalité de Berry-Essen arme : Théorème :

SoitX1, X2,· · ·, Xn sont des variables aléatoires indépendantes, de même loi, admettant des moments d'ordres de 1 à 3. On note :

â m=E(Xi),

â σ²=V(Xi), et on supposeσ >0, â ρ=E|X_i−m|³.

On note :

H Yn=X1+X2+· · ·+Xn

n etY_n^∗la variable centrée réduite associée àYn

H Fnla fonction de répartition deY_n^∗

H Φla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite Alors pour toutxet pour toutn,

|Fn(x)−Φ(x)| ≤ Cρ σ³√

n oùCest une constante dont on a une approximationC= 0.5

[ /3]

a. Dans le but d'appliquer ce théorème pour les variables(B_i⁰), déterminerm, σ², ρen fonction deα. Démonter également quem≈λδ, σ≈√

λδetρ≈λδ.

Cette valeur étant petite, on approche α = (1 − exp(−λδ)) ≈ λδ . Soit m ≈ λδ .

â σ

²

= V(B

_i⁰

) = α(1 − α) .

Donc, σ

²

= (1 − exp(−λδ)) exp(−λδ) .

Or λδ ≈ 3.8 ∗ 10

⁻¹²

∗ 3 ∗ 24 ∗ 3600 = 1.9 ∗ 10

⁻⁴

.

A nouveau, on approche exp(−λδ) ≈ 1 et (1 − exp(−λδ)) ≈ λδ . On obtient ainsi : σ ≈ √

λδ . â

ρ = E(|B

_i⁰

− m|

³

)

= P(B

_i⁰

= 1).|1 − m|

³

+ P(B

_i⁰

= 0).|0 − m|

³

= α(1 − α)

³

+ (1 − α)α

³

= α(1 − α)(1 − 2α + 2α

²

)

On approche α = 1 − exp(−λδ) par λδ et (1 − α)(1 − 2α + 2α

²

) par 1 . Donc ρ ≈ λδ .

[ /2]

b. Déterminer un entiern0vériant :

∀n>n0, ∀x∈R,|Fn(x)−Φ(x)|<0.025 Démontrer qu'on a alors :

∀n>n0, P 1 n

n

X

i=1

B_i⁰−α

> 2σ

√n

!

<0.1

D'après l'inégalité de Berry-Essen, on a : |F

n

(x) − Φ(x)| 6 Cρ σ

³

√

n . On cherche n tel que :

Cρ σ

³

√

n < 0.025 ⇐⇒ √

n > Cρ 0.025σ

³

⇐⇒ √

n > Cλδ 0.025 √

λδ

³

≈ 20

√ λδ

⇐⇒ n > 400 λδ

On prend donc n

₀

= 400

λδ ≈ 406107862 ≈ 4.10

⁸

. Soit n > n

₀

, on a alors :

P 1 n

n

X

i=1

B

_i⁰

− α

!

= 1 − F

_n

(2) + F

_n

(−2)

= (−F

_n

(2) + F

_n

(−2) + Φ(2) − Φ(−2)) + (1 − Φ(2) + Φ(−2)) 6 |Φ(2) − F

_n

(2)| + |F

_n

(−2) − Φ(−2)| + |(1 − Φ(2) + Φ(−2))|

6 0.025 + 0.025 + 0.05 = 0.1

On suppose pour la suite, qu'on a eectivementN > n0.

[ /1]

6. ^{En déduireP ε>} _λδN ^<0.1

On a

P

1 N

N

X

i=1

B

_i⁰

− α

> 2σ

√ N

!

< 0.1 ⇐⇒ P

|αε| > 2σ

√ N

< 0.1

⇐⇒ P

|ε| > 2σ α √

N

< 0.1

⇐⇒ P |ε| > 2 √ λδ λδ √

N

!

< 0.1 en tenant compte

des approximations de 5.a

⇐⇒ P

|ε| > 2

√ λδN

< 0.1

[ /2]

7. En considérant que N0exp(−λt) est une bonne approximation de N, en déduire une valeur maximale pour t pour avoir P(ε <0.05)>0.9et la valeur deN correspondante.

On veut avoir P(|ε| < 0.05) > 0.9 soit P(|ε| > 0.05) < 0.1 . Pour cela, il sut d'avoir, 2

√ λδN < 0.05 . En eet, on aura alors :

[|ε| > 0.05] ⊂

|ε| > 2

√ λδN

donc P(|ε| > 0.05) 6 P

|ε| > 2

√ λδN

< 0.1 . On résout :

√ 2

λδN < 0.05 ⇐⇒ 2 < 0.05 √ λδN

⇐⇒ N > 40

²

λδ

⇐⇒ N

₀

exp(−λt) > 40

²

λδ

⇐⇒ −λt > ln 40

²

N

₀

λδ

⇐⇒ t < 1 λ ln

N

₀

λδ 40

²

⇐⇒ t < 31140 ans On trouve alors N = N

₀

exp(−λt) ≈ 1.6 ∗ 10

⁹

.

[ /1]

8. La valeur trouvée permet-elle de justier à posteriori les diérentes approximations faites ?

A postériori, pour t < 31000 ans, on a N > 1.6∗10

⁹

et on a en particulier : N > n

₀

≈ 4∗10

⁸

. Il est légitime d'admettre : P

1 N

N

X

i=1

B

_i⁰

− α

> 2σ

√ N

!

< 0.1

Total pour cette partie: /39

Total : /42