Les auteurs Sylvie Carle
Professeure des écoles
Sylvie Ginet
Professeure des écoles
Olivier Lechevrel
Professeur des écoles Maître formateur
Conseiller scientifique Patrice GROS
Inspecteur d’académie
www.opm.magnard.fr
CM2 CM1
Outils
problèmes
pour les
Guide pédagogique
Extrait
des corrigés
Faire des mathématiques, c’est résoudre des problèmes ...
4
Tableau de progression des compétences ...
6
Méthodologie Corrigés ...
8
Choisir la bonne opération pour résoudre un problème
...9
Résoudre des problèmes à plusieurs étapes
...10
Utiliser un schéma pour résoudre un problème
...11
Savoir lire et utiliser un tableau
...13
Comprendre et utiliser un graphique
...16
Calculs Corrigés ...
19
Addition des nombres entiers
...20
Soustraction des nombres entiers
...23
Addition et soustraction des nombres entiers
...26
Multiplication par un nombre à un chiffre
...28
Multiplication par 10, 100, 20, 500…
...33
Multiplication par un nombre à plusieurs chiffres
...35
Division par un diviseur à 1 chiffre (quotient entier)
...38
Division par un diviseur à plusieurs chiffres
...41
Multiplication et division des nombres entiers
...44
Synthèse : Nombres entiers ...
48
Les fractions
...56
Addition des nombres décimaux
...59
Soustraction des nombres décimaux
...62
Addition et soustraction des nombres décimaux
...65
Multiplication des nombres décimaux par 10, 100, 20, 300, etc.
...69
Multiplication des nombres décimaux par un nombre entier
...71
Division des nombres décimaux par 10, 100, 1 000
...74
Division des nombres décimaux par un nombre entier
...76
Le quotient décimal
...79
Multiplication et division d’un nombre décimal par un nombre entier
...82
Synthèse : Fractions et nombres décimaux ...
86
Organisation et Gestion de données/ Proportionnalité Corrigés ...
92
Les tableaux
...93
Les graphiques
...95
Situations de proportionnalité
...97
Les pourcentages
...99
Les vitesses
...101
Les échelles
...102
Synthèse : Organisation et gestion de données / Proportionnalité ...
104 pages présentes dans cet extrait
Sommaire
2
Grandeurs et mesures Corrigés ...
107
Les mesures de durées
...108
Les mesures de longueurs
...111
Les mesures de masses
...115
Les mesures de contenances
...117
Le périmètre des polygones
...119
L’aire du carré et du rectangle
...120
L’aire ou le périmètre d’un polygone
...123
Synthèse : Grandeurs et mesures...
124
Synthèse générale Corrigés ...
125
1. Additionner des nombres entiers ...126
2. Soustraire des nombres entiers ...127
3. Multiplier des nombres entiers par un nombre à un chiffre ...128
4. Multiplier par 10, 100, 20, 500… ...130
5. Multiplier par un nombre à plusieurs chiffres ...132
6. Diviser par un diviseur à 1 chiffre (quotient entier) ...133
7. Diviser par un diviseur à plusieurs chiffres (quotient entier) ...135
8. Résoudre des problèmes avec des fractions ...136
9. Additionner avec des nombres décimaux ...137
10. Soustraire avec des nombres décimaux ...139
11. Multiplier un nombre décimal par 10, 100 et 1 000 ...140
12. Multiplier des nombres décimaux par un nombre entier ...142
13. Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ...144
14. Diviser un nombre décimal par un nombre entier ...145
15. Calculer un quotient décimal ...147
16. Résoudre à partir d’un tableau ...148
17. Résoudre à partir d’un graphique ...150
18. Résoudre des situations de proportionnalité ...151
19. Résoudre des situations avec des pourcentages ...152
20. Résoudre des situations avec des vitesses ...154
21. Résoudre des situations avec des échelles ...156
22. Calculer des durées ...157
23. Mesurer des longueurs ...158
24. Mesurer des masses ...159
25. Mesurer des contenances ...160
26. Calculer des périmètres ...162
27. Calculer l’aire du carré et du rectangle ...163
28. Distinguer aire et périmètre ...164
« Faire des mathématiques, c’est résoudre des problèmes ! »
La résolution de problèmes revêt un caractère essentiel en mathématiques.
« En effet, dans le contexte sociétal actuel, les citoyens ont de plus en plus besoin de compétences d’analyse et de raisonnement pour la résolution de situations et de tâches complexes. La résolution de problèmes mathématiques à l’école primaire et au collège a pour objectif de contribuer au développement de ces compétences. »
Extrait du guide La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen, 2022.
Ces compétences complexes sont importantes dans la vie de chaque citoyen et pourtant, un grand nombre d’élèves se retrouve en échec face à des activités devant mobiliser ces compétences. Comme le montrent les évaluations internationales TIMSS ou PISA, les élèves français présentent des difficultés pour comprendre et résoudre des situations en contexte.
En prenant appui sur l’état de la recherche, des instructions officielles et des recommanda- tions pédagogiques, cet ouvrage allie plusieurs aspects de la résolution de problèmes afin d’étayer les enseignants dans ce domaine et de présenter aux élèves les possibles afin de les familiariser avec la résolution de problèmes, gage de l’épanouissement et de la réussite des citoyens en devenir.
➤ Présenter des méthodologies
Même si de multiples méthodologies existent, quatre étapes s’avèrent incontournables : comprendre, modéliser, calculer et répondre.
Un problème Une situation
Traduction mathématique
Représentation du problème Résultat
RÉPONDRE
MODÉLISER CALCULER
COMPRENDRE
Ces étapes de résolution de problème engendrent parfois des difficultés.
Les pages
Méthodologiey sont consacrées : le choix des opérations, les étapes de réso- lution explicitées ou non, le rôle du schéma, du tableau… Ces points sensibles pour nos élèves y sont travaillés.
4
➤ S’emparer de la résolution de problèmes dans plusieurs domaines mathématiques pour travailler toutes les notions des programmes
La résolution de problèmes numériques se retrouve dans tous les domaines mathématiques.
Dans cet ouvrage, nous avons fait le choix d’aborder chaque notion et de travailler toutes les compétences des programmes de CM1-CM2, à travers ces 3 domaines :
Calculs
Organisation et Gestion de données / Proportionnalité Grandeurs et mesures
Les différentes situations, aux contextes renouvelés, sont proposées avec des données chif- frées utilisant des nombres aussi bien entiers, décimaux que fractionnaires. Cette variété de nombres permet d’approfondir leur usage dans des contextes divers.
➤ Identifier les types de problèmes
Tous les types de problèmes sont proposés aux élèves (conformément aux recommandations pédagogiques nationales) :
◗
Les problèmes à une étape :
Qu’ils soient issus du champ additif ou du champ multiplicatif, les problèmes per- mettent aux élèves d’aborder des transformations avec recherche d’une partie et du tout, des comparaisons, des produits cartésiens ou de grandeurs, la proportionnalité…
◗
Les problèmes à plusieurs étapes :
Là encore, les problèmes ancrés dans les champs additif, multiplicatif ou mixte, décrivent des démarches nécessitant plusieurs étapes. Ces étapes sont parfois expli- citées en plusieurs questions ou en une seule laissant le soin aux élèves de cheminer.
◗
Les problèmes atypiques :
Ces problèmes, plus rarement rencontrés par les élèves, sont néanmoins tout autant importants. Ils réunissent des problèmes algébriques, de dénombrement, d’optimi- sation. Certains introduisent des démarches algorithmiques.
➤ Proposer des contextes multiples et ouvrir à l’interdisciplinarité
Les problèmes proposés évoquent des situations très diverses ; ils permettent aux élèves de s’ouvrir sur d’autres disciplines, d’apprendre à travers des situations de la vie quotidienne.
Cette variété permet de donner du sens aux mathématiques et plus largement de donner du plaisir.
➤ Promouvoir l’autonomie des élèves
Cet ouvrage mobilise des processus d’apprentissage progressifs ; la difficulté des problèmes est graduelle. Cette progressivité permet une meilleure différenciation et permet de pro- mouvoir l’autonomie des élèves.
Les auteurs
Page
Progression
Méthodologie
8 Choisir la bonne opération pour résoudre un problème CM1 CM2
10 Résoudre des problèmes à plusieurs étapes CM1 CM2
12 Utiliser un schéma pour résoudre un problème CM1 CM2
14 Savoir lire et utiliser un tableau CM1 CM2
16 Comprendre et utiliser un graphique CM1 CM2
Calculs (Nombres entiers)
20 Addition des nombres entiers CM1 CM2
23 Soustraction des nombres entiers CM1 CM2
26 Addition et soustraction des nombres entiers CM1 CM2
30 Multiplication par un nombre à un chiffre CM1 CM2
33 Multiplication par 10, 100, 20, 500… CM1 CM2
35 Multiplication par un nombre à plusieurs chiffres CM1 CM2
38 Division par un diviseur à 1 chiffre CM1 CM2
41 Division par un diviseur à plusieurs chiffres CM2
44 Multiplication et division des nombres entiers CM1 CM2
48 Synthèse : Nombres entiers
Calculs (Nombres décimaux)
56 Fractions CM1 et CM2 : Utiliser des fractions simples (1/2 ;
1/3 ; 1/4 ; 3/4) et des fractions décimales jusqu’à 1/100, dans le partage de grandeurs.
CM2 : Utiliser les fractions décimales jusqu’à 1/1000, dans le partage de grandeurs.
59 Addition des nombres décimaux CM1 et CM2 : Utiliser les nombres décimaux
jusqu’aux centièmes. CM2 : Utiliser les nombres décimaux jusqu’aux millièmes.
62 Soustraction des nombres décimaux
65 Addition et soustraction des nombres décimaux 69 Multiplication des nombres décimaux par 10, 100,
20, etc.
CM1 et CM2 : Multiplier par 10 des nombres
décimaux. CM2 : Multiplier par 100 et 1 000 des nombres
décimaux.
71 Multiplication des nombres décimaux par un nombre entier
CM2 : Les élèves apprennent la multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier.
74 Division des nombres décimaux par 10, 100, 1 000 CM1 et CM2 : Diviser par 10 des nombres
décimaux. CM2 : Multiplier par 100 et 1 000 des nombres
décimaux.
76 Division des nombres décimaux par un nombre entier CM2 : Les élèves apprennent à diviser un nombre
décimal par un nombre entier.
79 Le quotient décimal CM2 : Les élèves apprennent à diviser deux
nombres entiers (quotient décimal ou non) 82 La multiplication et la division d’un nombre
décimal par un nombre entier
86 Synthèse : Fractions et nombres décimaux
Organisation et Gestion de données / Proportionnalité
94 Les tableaux CM1 et CM2 : Les élèves utilisent des tableaux pour la
prise d’informations dans la résolution de problèmes. CM2 : Les élèves produisent des tableaux pour organiser des données numériques.
98 Les graphiques CM1 et CM2 : Ils utilisent des graphiques pour la
prise d’informations dans la résolution de problèmes. CM2 : Les élèves produisent des tableaux pour organiser des données numériques.
102 Situations de proportionnalité
CM1 et CM2 : Les élèves commencent à identifier et à résoudre des problèmes de proportionnalité portant sur des grandeurs. Les élèves mobilisent des procédures adaptées, comme les propriétés de linéarité (additive et multiplicative).
CM2 : Les élèves mobilisent les propriétés de linéarité (additive et multiplicative), le passage à l’unité, le coefficient de proportionnalité.
105 Les pourcentages
CM2 : le symbole % est introduit dans des cas simples, en lien avec les fractions d’une quantité (50 % pour la moitié ; 25 % pour le quart ; 75 % pour les trois quarts ; 10 % pour le dixième).
108 Les vitesses CM2 : Des situations simples impliquant des
échelles et des vitesses constantes peuvent être rencontrées.
110 Les échelles
114 Synthèse : Organisation et gestion de données / Proportionnalité
CM1 CM2
6
Grandeurs et mesures
120 Les mesures de durées
CM1 et CM2 : Les élèves réinvestissent dans la résolution de problèmes de deux types : calcul d’une durée connaissant deux instants et calcul d’un instant connaissant un instant et une durée.
CM2 : Des conversions nécessitant l’interprétation d’un reste peuvent être demandées (transformer des heures en jours, avec un reste en heures ou des secondes en minutes, avec un reste en secondes).
123 Les mesures de longueurs CM1 et CM2 : Les élèves connaissent les relations entre les unités de longueur et les unités de numération.
128 Les mesures de masses CM1 et CM2 : Les élèves connaissent les relations entre les unités de masses et les unités de numération.
132 Les mesures de contenances CM1 et CM2 : Les élèves comparent des contenances sans les mesurer, puis en les mesurant.
Ils font des analogies avec les autres unités de mesure à l’appui des préfixes.
136 Le périmètre des polygones
CM1 et CM2 : Les élèves comparent des
périmètres sans avoir recours à la mesure. CM2 : Les élèves établissent les formules du périmètre du carré et du rectangle. Ils les utilisent tout en continuant à calculer des périmètres de polygones variés en ajoutant les longueurs de leurs côtés.
140 L’aire du carré et du rectangle
CM2 : L’utilisation d’une unité de référence est systématique. Cette unité peut être une maille d’un réseau quadrillé adapté, le cm², le dm² ou le m². Les élèves apprennent à utiliser les formules d’aire du carré, du rectangle et du triangle rectangle.
144 L’aire ou le périmètre d’un polygone CM1 : Les élèves comparent les périmètres et les aires de figures quelconques ou connues, par estimation visuelle, (ou calcul CM2).
148 Synthèse : Grandeurs et mesures
Synthèse générale
154 1. Additionner des nombres entiers CM1 CM2
2. Soustraire des nombres entiers CM1 CM2
155 3. Multiplier des nombres entiers par un nombre à un chiffre CM1 CM2
4. Multiplier par 10, 100, 20, 500 CM1 CM2
156 5. Multiplier par un nombre à plusieurs chiffres CM1 CM2
6. Diviser par un diviseur à 1 chiffre (quotient entier) CM1 CM2
157 7. Diviser par un diviseur à plusieurs chiffres (quotient entier) CM2
158 8. Résoudre des problèmes avec des fractions CM1 CM2
9. Additionner avec des nombres décimaux CM1 CM2
159 10. Soustraire avec des nombres décimaux CM1 CM2
11. Multiplier un nombre décimal par 10, 100 et 1 000 CM1 CM2
160 12. Multiplier des nombres décimaux par un nombre entier CM2
13. Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1 000 CM1 CM2
161 14. Diviser un nombre décimal par un nombre entier CM2
162 15. Calculer un quotient décimal CM2
16. Résoudre à partir d’un tableau
164 17. Résoudre à partir d’un graphique CM1 CM2
165 18. Résoudre des situations de proportionnalité CM1 CM2
166 19. Résoudre des situations avec des pourcentages CM2
167 20. Résoudre des situations avec des vitesses CM2
21. Résoudre des situations avec des échelles CM2
168 22. Calculer des durées CM2
169 23. Mesurer des longueurs CM1 CM2
24. Mesurer des masses CM1 CM2
170 25. Mesurer des contenances CM1 CM2
26. Calculer des périmètres CM1 CM2
171 27. Calculer l’aire du carré et du rectangle CM2
28. Distinguer aire et périmètre CM1 CM2
Méthodologie
Je m’entraîne Manuel p. 12
1 Quel schéma correspond à chaque énoncé ? a. Schéma 2
15 litres 16 litres
23 litres
32 litres
× 4 jours
b. Schéma 2
24
L’élève écarte le schéma 1 (où la quantité d’iris bleus et de roses rouges sont équivalentes) et le schéma 3 (la quantité d’iris est deux fois plus importante que celle des roses).
2 Retrouve à quel énoncé correspond chaque schéma.
a. Schéma 3
Le schéma 3 correspond à un problème additif « partie- tout ». Avec les nombres en rectangle, on indique le nombre de carottes, de pommes de terre et de poireaux. 35 + 28 + 3 = ? Pour son pot-au-feu familial, Ana a épluché 28 carottes, 35 pommes de terre et 3 poireaux.
Combien de légumes a-t-elle épluchés ?
35 28 3
? Schéma 3
b. Schéma 2
Le schéma 2 correspond à un problème additif « addition puis addition à trou ». Les couleurs sur le schéma en barres correspondent aux couleurs des nombres de l’énoncé. Il faut d’abord faire une addition (35 + 28 = 63) puis une addition à trou pour trouver le résultat (3 + ? = 63).
La volière de M. Plume abrite 28 mandarins et 35 canaris. Cette nuit, 3 oiseaux se sont échappés.
Combien d’oiseaux reste-t-il dans la volière ?
35 28
3 ?
Schéma 2
c. Schéma 1
Le schéma 3 correspond également à un problème additif
« addition à trou ». Les couleurs sur le schéma en barres correspondent aux couleurs des nombres de l’énoncé.
Il faudra ensuite faire une addition à trou pour trouver le résultat (28 + 3 + ? = 35).
Ewen a 35 €. Il achète un livre à 28 € et un marque-page à 3 €.
Quelle somme lui reste-t-il ?
35
28 3 ?
Schéma 1
Je résous des problèmes Manuel p. 13
Pour chaque problème, trace un schéma qui représente l’énoncé.
3
?
? 24
? ?
Attention : pour les problèmes impliquant des fractions (problèmes 3 et 5), il est indispensable de préciser l’unité.
4
? 121 23
5
? 48
Utiliser un schéma
pour résoudre un problème
Fais un schéma adapté pour chaque problème puis résous-le.
6 346 €
4 boîtes de vis serrure
330 €
346 € – 330 € = 16 € 16 € : 4 = 4 € Une boîte de vis coûte 4 €.
7 jupe 1 chemisier
1 chemisier 2 gilet
1 gilet 2
gilet 3
gilet 1 gilet2
gilet 3
jupe 2 chemisier
1 chemisier 2 gilet
1 gilet 2
gilet 3
gilet 1 gilet2
gilet 3
jupe 3 chemisier
1 chemisier 2 gilet
1 gilet 2
gilet 3
gilet 1 gilet2
gilet 3
Florence peut porter 18 tenues différentes.
8
nombre de chèvres 1 2 3 6
4 × 4
8 12 24
kg de mohair
Les 6 chèvres fournissent 24 kg de laine mohair.
24 kg × 15 € = 360 €
La vente de la laine mohair lui rapporte 360 €.
Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise un tableau. Pour passer d’une ligne à l’autre, on utilise toujours le même multiplicateur.
9
× 3 35 m
35 m × 4 = 140 m
La longueur du terrain est de 140 m.
Elle pose 3 rangées de fil barbelé donc : 140 m × 3 = 420 m
Elle va utiliser 420 m de fil barbelé.
10 1 600 000 livres
4 châteaux
Ce problème implique une fraction, il est indispensable de préciser l’unité. C’est donc une multiplication à trous (la division découle de cette dernière opération sous forme de partage).
1 600 000 livres : 4 = 400 000 livres
Le prix d’un château en Île-de-France au xviiie siècle était de 400 000 livres.
11 – 15 min
10 h 30 10 h 45 12 h 45
– 2 h
12 h 45 – 2 h 15 = 10 h 30
Hildegarde a mis son rôti au four à 10 h 30.
Le problème 11 est un problème de durée. On trace donc la droite graduée. Il faut noter l’instant final (12 h 45), la durée (2 h 15) et ensuite calculer pour trouver l’instant initial.
12
+ 3 h 15
8 h 30 11 h 45 17 h
+ 45 min + 4 h 30
+ 8 h 30
12 h 30
3 h 15 min + 45 min + 4 h 30 min = 8 h 30 min Sa randonnée a duré 8 h 30.
Certains élèves auront des procédures plus efficaces.
Ils écarteront les données inutiles (3 h 15 et 45 min).
Ils noteront l’instant initial (8 h 30), l’instant final (17 h) et feront directement la soustraction pour trouver la durée.
13
Équipe 1
Équipe 2 Équipe 3 Équipe 4
Équipe 2 Équipe 3 Équipe 4
Équipe 3 Équipe 4
a. 6 matchs ont eu lieu.
b. 6 × 15 min = 90 min
La durée du tournoi sera de 90 minutes.
12
Calculs
Addition et soustraction des nombres entiers
Je m’entraîne Manuel p. 26
1 43 cm – 7 cm = 36 cm
L’écart de diamètre entre les nids est de 36 cm.
2 29 + 58 + 75 = 162
162 coquillages seront exposés.
3 954 – 863 = 91 91 livres ont été jetés.
4 24 + 27 + 54 + 37 = 142 Nila a récolté 142 champignons.
5 531 – 328 = 203
Chen possédait 203 timbres.
6 448 – 214 = 234
Il lui reste 234 pages à écrire.
7 2 100 – 1 347 = 753 753 places sont disponibles.
8 2 432 € + 876 € = 3 308 €
Avant son retrait, le montant de son livret était de 3 308 €.
9 170 cm + 16 cm = 186 cm
La taille d’Aurélien est de 1 m 86 cm (186 cm).
10 52 € + 34 € + 28 € = 114 € 23 € + 12 € = 35 € 114 € – 35 € = 79 €
Il a assez d’argent. Il lui reste 79 €.
11 15 850 m + 12 410 m + 16 200 m + 10 540 m
= 55 000 m
Il a parcouru 55 000 m (soit 55 km).
12 76 000 km2 – 48 671 km2 = 27 329 km2 La superficie d’Haïti est de 27 329 km2.
13 232 452 – 201 345 = 31 107
Cette année, le parc a reçu 31 107 visiteurs de moins que l’année précédente.
14 234 – 76 = 158 158 + 21 = 179 L’effectif prévu l’an prochain sera de 179 élèves.
15 154 € + 96 € = 250 € 376 € – 250 € = 126 € Le pantalon coûte 126 €.
16 432 € + 58 € + 673 € + 867 € + 49 € = 2 079 € 2 079 € – 125 € = 1 954 €
Le montant de leur ticket de caisse sera de 1 954 €.
17 a. 587 + (587 + 58) = 1 232 L’œuvre d’Homère compte 1 232 pages.
b. 587 – 298 = 289
Il lui reste 289 pages de l’Iliade à lire.
1 232 – 298 = 934
Il lui reste 934 pages de l’œuvre complète d’Homère à lire.
18 135 + 34 = 169
(c’est le nombre de personnes que le tramway peut accueillir en tout)
118 – 19 = 99 99 + 65 = 164
(c’est le nombre de personnes présentes dans le tramway après le premier arrêt)
169 – 164 = 5
Le tramway pourra accueillir encore 5 personnes au prochain arrêt.
19 243 + 52 = 295 (nombre de chapeaux dans son stock et en exposition)
74 + 30 = 104 (nombre de chapeaux vendus) 295 – 104 = 191
Le nombre de chapeaux invendus cette année est de 191.
20 100 L = 100 kg
100 kg + 21 kg = 121 kg (aquarium rempli d’eau) 175 kg – 121 kg = 54 kg L’équipement pèse 54 kg.
21 54 – 25 = 29
Danielle avait 29 ans lors de la naissance d’Olivier.
22 Voltaire : 1778 – 1694 = 84 Rousseau : 1778 – 1712 = 66 Diderot : 1784 – 1713 = 71 D’Alembert : 1783 – 1717 = 66
Voltaire a vécu le plus longtemps (84 ans). Rousseau et d’Alembert ont vécu le moins longtemps (66 ans).
23
L’élève convertit d’abord en cL.
20 cl + 30 cl + 15 cl + 100 cl + 10 cl = 175 cl Bernard a préparé 175 cL de cocktail.
26
24 a. 215 kg + 150 kg = 365 kg
Le boulanger dispose de 365 kg de farine le lundi.
b. 365 kg – 76 kg = 289 kg
Le boulanger a utilisé 289 kg de farine.
25 a. 342 € + 321 € = 663 €
Le montant total de la participation de Marianne et de Lucile est de 663 €.
b. 868 € – 663 € = 205 €
La participation d’Ilyana est de 205 €.
26 a. 135 m2 + 60 m2 + 25 m2 + 33 m2 = 253 m2 Les constructions occupent 253 m2.
b. 540 m2 – 253 m2 = 287 m2
La surface non construite correspond à 287 m2. 27 a. 1715 – 1643 = 72 Louis XIV a régné 72 ans.
b. 1643 – 1638 = 5 Il a régné dès l’âge de 5 ans.
28 4 289 – 124 = 4 165 (nombre de livres restants après le retrait des livres abîmés)
4 165 + 38 + 43 = 4 246
Il y aura 4 246 livres dans la bibliothèque après la commande.
29 1 332 + 18 = 1 350
Inès a terminé à la 1 350e place.
1 332 – 56 = 1 276
Manon a terminé à la 1 276e place.
30 a. 36 cm + 34 cm = 70 cm Le cercope saute à 70 cm de hauteur.
70 cm – 59 cm = 11 cm
Le grillon saute à 11 cm de hauteur.
b. 34 cm – 11 cm = 23 cm
L’écart de saut entre la puce et le grillon est de 23 cm.
31 a. 1751 – 1721 = 30
La marquise de Pompadour avait 30 ans au moment de la publication de l’Encyclopédie.
b. 1764 – 1721 = 43
La marquise est morte à 43 ans.
32 a. 2 321 + 2 198 = 4 519
Durant le week-end, 4 519 personnes sont montées dans la grande roue.
b. 2 321 – 2 198 = 123
L’écart de fréquentation entre samedi et dimanche est de 123 personnes.
33 2 200 000 – 839 000 = 1 361 000 Il y a 1 361 000 reptiles domestiques en Italie.
1 361 000 – 161 000 = 1 200 000 Il y a 1 200 000 reptiles en Allemagne.
34 La Loire mesure 1 006 km de long. Le Rhône s’étend sur 192 km de moins que la Loire mais sur 37 km de plus que la Seine. La Garonne mesure 248 km de moins que la Seine. Le Rhin compte 419 km de plus que le Rhône.
Fleuves Longueur
La Loire 1 006 km
Le Rhône 814 km
La Seine 777 km
La Garonne 529 km
Le Rhin 1 233 km
Erratum édition 2022 : la Loire (1 006 km), le Rhône (812 km), la Seine (775 km), la Garonne (647 km), le Rhin (1 233 km).
35 a. 976 + 342 + 213 + 45 = 1 576
1 576 arbres peuplaient la forêt avant la tempête.
b. 342 – 123 = 219
219 bouleaux ont été épargnés par la tempête.
c. 123 + 32 = 155 (nombres d’arbres déracinés par la tempête)
1 576 – 155 = 1 421
1 421 arbres sont encore debout après la tempête.
36 7 499 – 4 212 = 3 287
Ses opposants ont récolté 3 287 voix.
37 361 220 420 km2 – 89 570 420 km2
= 271 650 000 km2 (superficie totale du Pacifique et de l’Atlantique)
271 650 000 km2 – 165 250 000 km2
= 106 400 000 km2
La superficie de l’océan Atlantique est de 106 400 000 km2.
38 78 + (78 + 54) + (78 + 78 + 54) = 420 420 + 213 = 633
Le cinéma a enregistré 633 entrées pour ce film.
39 L’élève cherche d’abord le nombre total de billes connues sur la liste. Puis il cherche la quantité d’agates et de perroquets.
76 + 35 + 102 + 41 + 8 +74 = 336 (nombre total de billes connues sur la liste)
612 – 336 = 276 (quantité d’agates et de perroquets) 102 + 129 = 231 (quantité d’agates)
276 – 231 = 45
Joëlya possède 45 billes perroquet.
Organisation et Gestion
de données/
Proportionnalité
Situations de proportionnalité
Je m’entraîne Manuel p. 102
1 Quelle est la bonne réponse ?
1. 192 cartes 2. 12 tablettes 3. 80 pancakes 2 Parmi ces situations, recopie celles qui sont des situations de proportionnalité.
a. 6 bouteilles d’eau coûtent 3 €.
➜ Avec 9 €, je pourrai acheter 18 bouteilles d’eau.
c. Avec 14 oranges, on obtient 12 cL de jus d’orange.
➜ Avec 7 oranges, j’ai obtenu 6 cL de jus d’orange.
3 Pour chaque tableau de proportionnalité, retrouve le cœfficient de proportionnalité.
a. Nombre de verres 2 4 5 9
Quantité (en cL) 50 100 125 225 × 25
b. Nombre de chocolats 27 54 162 189
Sachets 9 18 54 63 : 3
Je résous des problèmes Manuel p. 103
Résous ces problèmes de proportionnalité sans poser l’opération.
4 6 sachets de confettis pèsent 450 g.
➜ 150 g × 3 = 450 g
5 6 litres de lait coûtent 4,50 €. 9 € : 2 = 4,50 € 6 L’école a acheté deux ballons pour 30 €.
a. 3 ballons ➜ 45 € c. 6 ballons ➜ 90 € e. 8 ballons ➜ 120 € b. 5 ballons ➜ 75 € d. 7 ballons ➜ 105 € f. 10 ballons ➜ 150 €
7 En 3 tours de roue, mon monocycle parcourt 150 cm.
a. En 6 tours de roue, il parcourt 300 cm (2 fois plus).
En 9 tours de roue, il parcourt 450 cm (3 fois plus).
En 15 tours de roue, il parcourt 750 cm (5 fois plus).
b. S’il parcourt 2 500 cm il fait 50 tours de roues.
➜ 3 tours de roues = 150 cm
➜ 1 tour de roue = 50 cm 2 500 cm : 50 = 50 8 10 tablettes pèsent 5 fois plus que 2 tablettes donc
2 000 g. ➜ 400 g × 5 = 2 000 g 9 Emy paiera 105 € pour 5 clés USB.
21 € × 5 = 105 € 10
Nombre de sachets 3 5 10 13 15 20 Nombre de bonbons 33 55 110 143 165 220
Les élèves auront tendance à passer par l’unité ou à chercher le coefficient de proportionnalité et cette démarche peut être explorée. En revanche, on peut les guider, en les incitant à chercher d’abord pour 15 sachets (3 × 5) puis 5 sachets (165 : 3) puis 10 sachets etc.
11
Distance (en cm) 96 64 160 352 640 1 600 Nombre de tours de roue 3 2 5 11 20 50
Cet exercice contraint, dans un premier temps, à trouver le coefficient de proportionnalité pour 2 tours de roues mais il peut ensuite être abordé par la linéarité comme pour l’exercice 10.
12 1 journée = 24 h (6 h × 4) 1 semaine = 7 jours 41 d’heure = le quart de 1 heure
En 1 journée, on gaspille 4 fois plus qu’en 6 heures (donc 120 L) ➜ 30 L × 4 = 120 L
En 1 semaine, on gaspille 7 fois plus qu’en 1 jour (donc 840 L) ➜ 120 L × 7
En une heure, on gaspille 5 L d’eau. (30 : 6 = 5) En 1
4 d’heure, on gaspille 4 fois moins qu’en 1 heure (soit 1,25 L). ➜ 5 : 4 = 1,25
13 a. Cette machine ferme 180 boîtes en 60 secondes (donc 1 minute).
180 boîtes, c’est 60 fois plus que 3 boîtes.
b. En 5 minutes, cette machine ferme 5 fois plus de boîtes qu’en 1 minute, donc elle ferme 900 boîtes.
180 × 5 = 900 boîtes
14 a. 1 kg de riz coûte 1,80 € donc 500 g de riz coûtent 0,90 € (la moitié).
1,80 € : 2 = 0,90 €
b. 1,5 kg de riz coûte 2,70 €.
(1,80 € + 0,90 € = 2,70 €) c. 3 kg de riz coûtent 5,40 €.
(1,80 € × 3 ou 2,70 € × 2 ou 0,90 × 6) 15 1. 1,5 km = 1 500 m et 1 km = 1 000 m
a. Dans 10 pelotes, il y a au total 2 500 m de laine.
b. Dans 5 pelotes, il y a au total 1 250 m de laine (la moitié de la longueur pour 10 pelotes).
c. Dans 2 pelotes, il y a au total 500 m de laine (la moitié de la longueur pour 4 pelotes).
d. Dans 17 pelotes, il y a au total 4 250 m de laine (la longueur totale de 10 pelotes + 5 pelotes + 2 pelotes).
2. Dans 1 pelote et demie, il y a 375 m de laine (250 m +125 m).
Dans 1 pelote, il y a 250 m de laine (10 fois moins que dans 10 pelotes).
Dans ½ pelote, il y a 125 m de laine (la moitié de la longueur d’une pelote).
16 a. La masse moyenne d’une botte de foin est de 24 kg.
12 kg × 2 = 24 kg
b. Ce fermier a 20 vaches dans son troupeau.
10 × 2 = 20
c. Ce fermier aura besoin de 300 bottes de foin pour nourrir ses vaches pendant 30 jours.
10 × 30 =300
d. La masse de 300 bottes de foin est de 7 200 kg (ou 7,2 tonnes).
24 kg × 300 = 7 200 kg
17 a. 8 p 4 p 12 p
Spéculoos émiettés 250 g 125 g 375 g
Beurre 110 g 55 g 165 g
Fromage frais 500 g 250 g 750 g
Œufs 2 1 3
Crème fraîche épaisse 120 g 60 g 180 g
Sucre 130 g 65 g 195 g
Arôme naturel de vanille 2 cL 1 cL 3 cL
b. Si 3 œufs sont nécessaires pour 12 personnes alors 6 œufs permettent de faire un cheesecake pour 24 personnes.
Exercice qui permet de confronter les 2 démarches de calcul dans un tableau de proportionnalité : par l’utilisation du coefficient de proportionnalité ou par la linéarité (12 p = 8 p + 4 p).
18
Masse de Sucre (en g) 750 1 500 3 750 5 250 Masse de mirabelles
dénoyautées (en kg) 1 2 5 7
19 Omar a payé 11,40 € les 3 kg de pommes.
19 € : 5 = 3,8 3,80 × 3 = 11,40
Le passage à l’unité avec la recherche du prix des pommes au kg est le seul moyen de résolution.
20 Elle a dépensé 18,15 €.
2,05 € + 1,60 € + 7,50 € + 7 € = 18,15 21 pain de 1 kg ➜ 4,10 € : 2 = 2,05 € 2 litres de lait ➜ 0,80 € × 2 =1,60 €
500 g de fromage à 15 € le kg ➜ 15 € : 2 = 7,50 € 1 ananas de 2 kg à 3,50 € le kg ➜ 3,50 € × 2 = 7 €
21 a. 6 dictionnaires pèsent 10,5 kg
➜ 5,250 kg × 2 = 10,5 kg b. 2 dictionnaires pèsent 3,5 kg
➜ 10,5 kg : 3 = 3,5 kg
c. 11 dictionnaires pèsent 19,25 kg
➜ 5,250 kg + 10,5 kg + 3,5 kg = 19,25 kg
Pour trouver le poids de 11 dictionnaires, l’élève doit utiliser les réponses trouvées précédemment et additionner le poids de 6 dictionnaires + 3 dictionnaires + 2 dictionnaires ou en utilisant le passage à l’unité (chercher le poids d’un dictionnaire).
22 1 kg = 1 000 g
Un morceau de jambon de 500 g coûte 14 €.
a. 1 kg de jambon coûte 28 € ➜ 14 € × 2 = 28 € b. 100 g de jambon c’est 10 fois moins que 1 kg donc 100 g de jambon coûtent 2,80 €.
➜ 28 € : 10 = 2,80 € ou 14 € : 5 = 2,80 € c. 4 tranches de 150 g chacune coûtent 16,80 € 4 tranches de 150 g chacune ont une masse totale de 600 g.
Si 100 g de jambon coûtent 2,80 € alors 600 g de jambon coûtent 6 fois plus.
2,80 € × 6 = 16,80 € 23 1 kg = 1 000 g
a. La masse d’une tranche de fromage est 50 g.
1 000 g : 20 = 50 g
b. La masse d’une barquette de 8 tranches est 400 g ou 0,4 kg.
50 g × 8 = 400 g
c. Le kg de fromage est vendu 12,00 €.
Si 400 g de fromage coûtent 4,80 € alors 100 g de fromage coûtent 4 fois moins.
4,80 € : 4 = 1,20 €
100 g de fromage coûtent 1,20 € donc 1 kg de fromage coûte 12,00 €. ➜ 1,20 € × 10 = 12,00 €
98
Grandeurs
et mesures
Les mesures de durées
Je m’entraîne Manuel p. 120
1 Vrai ou faux ?
a. Faux ➜ 2 000 ans = 20 siècles b. Vrai ➜ 120 s = 2 minutes c. Vrai ➜ 2 semestres = 12 mois d. Faux ➜ 1 h = 60 min
e. Faux ➜ 36 h = 24 h et 12 h = 1 jour + 12 h = 1 jour et demi f. Vrai ➜ 4 h = 240 min
g. Faux ➜ 30 s = 1 2 min
h. Faux ➜ 160 min = 120 min + 40 min = 2 h + 40 min
2 Pour chaque proposition, recopie l’équivalence qui est exacte.
a. 2 h = 120 min (60 min × 2) c. 15 min = 1 4 heure b. 360 s = 6 min ( 60 s × 6) d. 12 h = 30 min
L’élève évalue l’ordre de grandeur des propositions et effectue des calculs de conversion simples.
3 Convertis.
a. 180 s = 3 min (60 s × 3)
b. 1 h 30 min = 90 min (60 min + 30 min) c. 3 jours = 72 h (24 h × 3)
d. 95 min = 1 h 35 min (60 min + 35 min) e. 50 h = 2 j 2 h (24 h × 2) + 2 h = 48 h + 2 h
f. 3 660 s = 1 h 1 min (3 600 s + 60 s = 1 h + 1 min) ou 3 660 s : 60 = 61 min ➜ 60 min + 1 min = 1 h + 1 min Le dernier item est moins facile car la conversion de secondes en heure(s) est peu usitée.
4 Calcule et exprime ton résultat dans l’unité la plus appropriée.
L’élève détermine l’unité qui facilite le calcul ou celle qui lui paraît la plus appropriée pour exprimer sa réponse puis il effectue.
Il convertit ou non, son résultat, pour l’exprimer dans l’unité qui lui semble la plus adaptée (la plus « parlante »).
a. 50 min + 10 min = 60 min = 1 h b. 45 s + 15 s = 60 s = 1 min
c. 2 h 20 min + 40 min = 120 min + 20 min + 40 min = 180 min = 3 h
d. 1 h 15 min + 1 h 45 min = 1 h + 1 h + 15 min + 45 min = 2 h + 60 min = 2 h + 1 h = 3 h e. 3 min 25 s + 1 min 35 s = 3 min + 1 min + 25 s + 35 s = 4 min + 60 s = 4 min + 60 s = 5 min f. 2 jours + 24 h = 2 jours + 1 jour = 3 jours
g. 3 h 50 min + 20 min = 3 h + 50 min + 20 min = 3 h + 70 min = 3 h + 60 min + 10 min= 4 h 10 min h. 5 h – 1 h 30 min = (5 h – 1 h) – 30 min = 4 h – 30 min = 3 h 30 min
(ou 300 min – 90 min = 210 min = 180 min + 30 min = 3 h 30 min) i. 2 h 15 min – 1 h 30 min = 135 min – 90 min = 45 min
Item i est difficile : le nombre de minutes du premier terme ne lui permet pas d’effectuer la soustraction.
5 Calcule et exprime ton résultat dans l’unité la plus appropriée.
a. 1 h – 20 min = 60 min – 20 min = 40 min b. 75 s – 15 s = 60 s = 1 min
c. 15 min × 4 = 60 min = 1 h
d. 1 h – 30 min = 60 min – 30 min = 30 min = 12 h
e. 180 s – 1 min = 3 min – 1 min = 2 min (ou 180 s – 60 s = 120 s) f. 1 h – ¾ h = 60 min – 45 min = 15 min (15 min = 14 d’heure)
108
Je résous des problèmes Manuel p. 121-122
Résous ces problèmes de proportionnalité sans poser l’opération.
6 12 h 15 + 20 min = 12 h 35 min Le gâteau sera cuit à 12 h 35.
Utiliser une horloge si nécessaire.
7 17 h 15 – 16 h 30 = 45 min Maïa a rendez-vous dans 45 min.
La conversion de 17 h 15 et 16 h 30 en minutes n’est pas adaptée (mais acceptable) à cette résolution. Utiliser un segment gradué ou une horloge pour aider les élèves qui rencontrent des difficultés.
8 9 h 15 – 45 min = 8 h 30 Lia doit partir à 8 h 30.
9 20 min × 7 = 140 min ➜ 2 h 20 min Il fait 2 h 20 min de relaxation par semaine.
10 16 h 00 – 15 h 20 = 40 min L’émission a duré 40 min.
11 14 h 40 + 1 h30 = 16 h 10 Sophie arrivera à 16 h 10.
12 17 h 10 – 16 h 25 = 45 min
Le temps de cuisson de sa tarte est de 45 min (ou 3
4 d’heure).
13 Il est 12 h 55 à la montre d’Iris.
12 h 55 – 1 h 15 = 11 h 40 ➜ Iris est partie à 11 h 40.
14 14 h 07 – 8 h 54 = 5 h 13
La durée du trajet est de 5 h et 13 min.
15 10 min + 1 h + 35 min + 30 min
= 10 min + 60 min + 35 min + 30 min
= 135 min (2 h 15 min) ou 1 h + 75 min
= 2 h et 15 min
Il y a plusieurs procédures de calcul possibles.
Faire argumenter le choix de la procédure et de l’unité choisie pour exprimer la réponse.
16 35 min × 5 = 175 min (2 h 55 min) Le film dure 2 h 55 min.
17 13 h 20 – 50 min = 12 h 30
Le documentaire a commencé à 12 h 30.
18 11 h 55 min + 1 h 40 min
= 11 h + 1 h + 55 min + 40 min
= 12 h + 95 min = 13 h 35 min
Cette fois-ci, la performance de Lucia est de 13 h 35 min.
19 1 h 15 + (20 min × 2) = 1 h 15 + 40 min = 1 h 55 min La durée quotidienne totale de pause de ce salarié est de 1 h 55 min.
Autre réponse possible selon la procédure utilisée : 115 minutes (1 h 15 = 75 min ➔ 75 min + 40 min = 115 min).
20 16 h 20 + 1 h 25 = 17 h 45 Tom aurait dû arriver à 17 h 45 17 h 45 – 10 min = 17h35 Il arrive à destination à 17 h 35.
21 1 h 15 × 7 = ( 1 h × 7) + ( 15 min × 7)
= 7 h + 105 min = 8 h + 45 min
La durée hebdomadaire de son entraînement est de 8 heures et 45 minutes (8 h 45 min).
22 a. 13 h 20 + 1 h 35 = 15 h 35 L’avion décolle de Varsovie à 15 h 05.
b. 16 h 35 – 11 h00 = 5 h 35. La durée totale du trajet Paris-Belgrade (avec l’escale) est de 5 h 35 min.
Énoncé long. Faire tracer un schéma (segment gradué) aux élèves qui rencontrent des difficultés.
23 1 h 05 min 15 s + 1 h 22 min 45 s + 1 h 32 min
= (1 h + 1 h + 1 h) + (5 min + 22 min + 32 min) + (15 s + 45 s)
= 3 h + 59 min + 60 s = 3 h + 59 min + 1 min
= 3 h + 60 min = 3 h + 1 h = 4 h 00
La durée de course effectuée par l’équipe est de 4 h 00.
24 5 min ➜ 300 s 300 s : 6 = 50 s
La durée d’un spot publicitaire est de 50 secondes.
Faire remarquer que la procédure qui consiste à convertir 5 min en 300 secondes est la plus adaptée.
25 a. 19 h 48 – 18 h 46 = 1 h 02 20 h37 – 18 h 52 = 1 h 45
21 h 37 – 20 h 22 = 1 h 15 23 h 40 – 22 h 22 = 1 h 18 Il va prendre le train A.
b. 19 h 48 + 35 min = 19 h + 83 min = 20 h 23 min Il arrive à son domicile à 20 h 23.
26 a. 8 h + (15 min × 3) = 8 h + 45 min = 8 h 45 min Le voyage de la famille Zen durera 8 h 45 min.
b. 8 h 00 + 8 h 45 = 16 h 45
La famille Zen arrivera à destination à 16 h 45.
La difficulté est de déterminer le nombre de pauses.
Faire tracer un schéma pour visualiser le nombre de pauses.
2 heures 15 min 2 heures 15 min 2 heures 15 min 2 heures
+ +
8 heures
27 10 h 48 min 54 s + 21 min 3 s
= 10 h + 48 min + 21 min + 54 s + 3 s
= 10 h + 69 min + 57 s = 11 h + 09 min + 57 s La performance du second est 11 h 09 min 57 s.
La difficulté est le choix de l’opération à effectuer et l’évaluation d’un résultat plausible (le second a un temps supérieur au premier.
28 a. Il est 11 h 32 (information fournie par la lecture du document annexe). Pour prendre le bus précédent, Samila aurait dû être à l’arrêt 6 minutes plus tôt, à 11 h 26.
11 h 32 min – 6 min = 11 h 26
Le bus précédent est passé à 11 h 26.
b. 11 h 32 min + 17 min = 11 h 49 Le prochain autobus passera à 11 h 49.
c. 11 h 49 + 30 min = 12 h 19
Samila arrivera à la gare à 12 h 19. Elle sera à l’heure.
Exercice difficile. La prise d’informations sur le document annexe est conséquente et il y a une information inutile à la résolution.
29 • (55 min + 1 h 05 min) × 4 = 2 h 00 min Par jour, la durée de transport de Mme Labrave est de 2 h.
• (55 min + 1 h 05 min ) × 4 = 2 h × 4 = 8 h
Pour 4 jours, la durée de transport de Mme Labrave est de 8 h.
• 8 h × 45 = 360 heures 360 h : 24 = 15 jours En 45 semaines, Mme Labrave passe 360 heures soit l’équivalent de 15 jours, dans les transports.
30 1 minute ➜ 60 secondes
2 L × 60 = 120 L 480 L : 120 = 4 Mona met 4 minutes pour remplir complétement le réservoir de son camion.
110
Conception de couverture : Frédérique Deviller Maquette intérieure : Line Lebrun
Mise en pages : STDI
Illustrations : Adeline Pham (couverture, p. 8, p. 19, p. 92, p. 107, p. 165).
Iconographie : Claire Ollivier et Virginie Dauvet Cartographie : Nathalie Nourry (Domino) Relecture pédagogique : Thomas Broquet Relecture : Amélie Flet
Responsable éditoriale : Julie Collignon Édition : Claire Ollivier, Aude Marot
© Éditions Magnard 2022 ISBN : 978-2-210-50880-4
5, allée de la 2e D.B.
75015 Paris
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