Thème Optimisation de la maintenance préventive avec Mise à jour des données

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE ABDERRAHMANE MIRA DE BEJAIA FACULTE DE LA TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

Mémoire de fin de cycle

En vue de l’obtention du diplôme Master En Génie Mécanique

Option Maintenance Industrielle

Thème

Présenté par : Encadré par :

M

AFROUNE OUAHAB D

LAGGOUNE RADOUANE M

HABBAZ NADIA

Devant le jury :

M

AOUDIA FAZIA MCB U.BEJAIA PRESIDENTE M

HADJOU MADJID MCB U.BEJAIA EXAMINATEUR M

BELAMRI ABDELATIF MAA U.BEJAIA EXAMINATEUR M

LAGGOUNE RADOUANE MCA U.BEJAIA RAPPORTEUR

Optimisation de la maintenance

préventive avec Mise à jour des données

Année Universitaire 2 2 0 0 1 1 1 1 - - 2 2 0 0 1 1 2 2

puissant de nous avoir donné la chance et le courage pour mener à bien ce modeste travail.

Nous tenons aussi à remercier nos parents pour leur soutien moral et financier.

Nous tenons particulièrement à témoigner notre gratitude à Monsieur R.LAGGOUNE, d’abord pour nous avoir initiés à la recherche en acceptant de nous proposer ce thème. Nous le remercie également pour ces conseils précieux.

Nous tenons aussi à remercier les membres de jury d’avoir acceptés de jugés notre modeste travail .

Nous adressons nous vifs remerciements à tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à l’élaboration et la réussite de ce présent travail.

AFROUNE et HABBAZ

mon existence mes chers parents que j’aime beaucoup, qui m’ont élevé et qui ont sacrifie leurs vies pour sauver la mienne enchalah dieu me les protèges.

A mon cher et seul frère.

A ma chère et seule sœur.

A toute ma famille.

A mes amis (es).

A tous ceux qui m’ont aidé de près ou de loin pour réaliser ce travail.

A toute la promotion maintenance industriel le.

Nadia.

A mes chers parents qui m’ont encouragés et soutenus tout au long du parcours de mes études et qui sont pour moi les êtres les plus chers que Dieu les préserve de tous malheur.

A mes frères que j’aime beaucoup.

A mes chères sœurs que j’aime beaucoup.

A toute ma famille paternelle et maternelle.

A tous mes enseignants (es) .

A tous mes amis (es) de près ou de loin .

A toute la promotion Génie Mécanique 2011/2012.

Ouahab.

ࣝ ׷ƒ’’Ž‹…ƒ–‹‘†ƒ•—‡•‡ „Ž‡Ǣ

Ω ∶ Ensemble d^ᇱévénements; ߟ: Efficacité ou le rendement ; ߚ ׷ Facteur d’actualisation ; R(t) : Fonction de fiabilité ;

ܮ(ݔ)∶ Fonction de vraisemblance ;

݂_௜(ݔ): Fonction de densité de probabilité ;

݂^௜(ݐ): Fonction de probabilité composée ; H(t): Fonction de^ᇱhasard;

Φ(t) : Fonction cumulée de loi normale ;

ܴ(݂Ǣݐ_௜):Fonction de bénéfice ;

ܨ௜(ݔ):Fonction de répartition ou la fonction cumulée de défaillance ;

∩ : Intersection ; ܧ௝,ܧ௜: L’état d’système ; ߪ ׷^ᇱécart – typ;

μ: La moyenne; T : La période ;

ܿଶ: La pénalité par unité de temps (arrêt suite à une panne) ;

ܿ_ௗ: Le coût de défaillance (réparation corrective) ;

ܿ௣: Le coût d’une maintenance préventive ; v(݂): Le moyen de réduction de dépense ;

η : Paramètre d'échelle dont l'unité est homogène à l'unité de la sollicitation ; β : Paramètre de forme qui traduit la finesse de la distribution ;

ߛ: Paramètre de localisation ;

ܲ^଴: Probabilité initial ; P: Probabilité ;

Π: Produit ;

ܲ_௝^௜: Probabilité de la fonction j à l’inspection i ;

∀: Quelque soit ; ܮ_௜௝: Taux de transition ;

ݐ^∗: Temps d’inspection optimal ; ߣ(t) : Taux de défaillance ;

∪ : Union ;

݀ܽݐܽ(݅): Vecteur des probabilités à l’inspection i ;

Fig. I.1 :Les types de maintenance ... 4

Fig. I.2 :A quel moment pratique-t-on une maintenance préventive ? ... 6

Fig. I.3 :Présentation de la méthode d’acquisition des informations de fiabilité... 9

Fig. I.4 :Courbe en baignoire... 11

Fig. I.5 :Représentation graphique d’un modèle Markovien... 21

Fig. II.1 :Principe des itérations bayésiennes... 36

Fig.III.1 : avec la 1^èrefonction... 40

Fig.III.2 : avec la 2^emefonction... 41

Fig.III.3 : avec la 3^emefonction... 41

Fig.III.4 :Planification de la prochaine maintenance préventive... 42

Fig.III.5 :Plan de la maintenance préventive jusqu’à la 4^emeinspection... 42

Fig.III.6 :Plan de la maintenance préventive jusqu’à la 5^emeinspection... 43

Fig.III.7 :Plan de la maintenance préventive à partir de la 6^emeinspection... 44

LISTE DES TABLEAUX

Chapitre I :

Introduction ... ...2

I- La maintenance des systèmes industriels ... 3

I-1 Qu’est ce que la maintenance ? ... 3

I-2 Maintenance et performances ... 4

I-3 Les types de maintenance ... 4

I-3-1 La maintenance corrective ... 5

a) La maintenance curative ... 5

b) La maintenance palliative... 5

I-3-2 La maintenance préventive ... 5

a) La maintenance préventive systématique ... 6

b) La maintenance préventive conditionnelle ... 6

I-3-3 Les stratégies de maintenance ... 6

I-2 L’optimisation de la maintenance ... 7

I-2-1 Les méthodes d’optimisation de la maintenance ... 7

I-2-2 L’optimisation de la maintenance basée sur la fiabilité... 8

I-2-2-1 Origine et historique ... 8

I-2-2-2 Présentation de la méthode ... 8

I-2-3 Présentation de la méthode d’acquisition des informations de fiabilité ... 9

I-2-4 Principales fonctions statistiques utilisées en fiabilité... 10

I-2-4-1 Fonction de fiabilité et la fonction cumulée ... 10

I-2-4-2 Densité de probabilité... 10

I-2-4-3 Taux de défaillance instantanée ... 11

I-2-5 Forme mathématique de la loi de fiabilité ... 13

I-2-5-1 Loi normale ... 13

I-2-5-2 Loi lognormale ... 14

I-2-5-3 Loi exponentielle ... 14

I-2-5-4 loi de weibull ... 15

I-3 Les politiques de la maintenance ... 16

I-3-1 Politiques de regroupements stationnaires... 16

I-3-1-1 Le regroupement de maintenance corrective ... 17

I-3-1-2 Le regroupement de maintenance préventive... 17

I-3-1-3 Politiques opportune ... 17

I-3-2 Politiques de dynamiques ... 17

I-4 Modèle de regroupements maintenance sans mise à jour des informations ... 18

I-5 La mise à jour de l’information : apprentissage de nouvelles données ... 19

I-6- Les outils de modélisation d’un problème d’apprentissage ... 20

I-6-1 Filtre de kalman ... 20

I-6-2 Chaînes de Markov ... 21

I-6-3 Approche bayésienne ... 22

Conclusion ... 23

Chapitre II : Modélisation

II-1Générralités sur les probabilités ... 24

II-1-1 Définition de la probabilité ... 24

II-1-2 propriétés élémentaire sur les probabilités ... 24

II-1-3 Définition de la probabilité conditionnelle indépendance ... 25

II-1-3-1 Les événements A et B sont incompatibles ... 25

II-1-3-2 Les événements A et B ne sont pas incompatibles ... 25

II-1-3-2-2 Les événements dépendants... 26

II-1-3-3 Principe des probabilités composées... 26

II-1-3-4 Les événements indépendants ... 26

II-1-3-4-1 événements incompatibles et événements indépendants ... 27

II-1-3-5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle ... 27

II-1-3-5-1 Généralisation du principe des probabilités composées ... 27

II-1-3-5-2 Indépendance mutuelle ... 27

II-2Théorème de Bayes... 28

II-2-1 Deuxième forme du théorème des probabilités totales ... 28

II-2-2 Théorème de Bayes généralisé ... 28

II-3 Estimation des paramètres d’une fonction d’apprentissage... 29

II-3-1 Fonction de vraisemblance ... 29

II-4 Application du théorème de Bayés sur l’apprentissage ... 30

II-5 Application de la mise à jour sur un horizon fini ... 33

II-6 Comment calculer l’efficacité de cette méthode ? ... 34

Conclusion ... 37

Chapitre III :

III-2 Optimisation des instants de maintenance préventive sans mis à jour de données . 39 III-3 Optimisation des instant de maintenance préventive avec mis à jour de données ... 42

III-4 Efficacité du modèle ... 45

Conclusion générale ... 47

Introduction générale :

La stratégie de maintenance a des répercussions directes sur l’exploitation d’un système, la production et les charges financières. A chaque instant de l’exploitation du système, le décideur (gestionnaire) de maintenance doit faire un choix face aux interventions possibles sur le système afin de déterminer l’action à effectuer. Ce choix doit permettre de satisfaire aux mieux les objectifs fixés a priori et permettre ainsi une exploitation optimale du système.

Cependant, ces objectifs peuvent être multiples et ne conduisent pas toujours à une unique façon de procéder : une volonté de sécuriser le système exige une fréquence de maintenance préventive élevée alors que d’un point de vue économique, il peut être intéressant de ne pas trop intervenir pour ne pas ralentir une production, par exemple. Il est donc nécessaire de trouver un compromis, un équilibre entre la maintenance préventive et la maintenance corrective.

Les objectifs liés à l’exploitation d’un système sont très variés et peuvent amener à des situations contradictoires. Il est donc nécessaire de chercher à avoir un planning optimal des maintenances préventives.

Il est difficile, dans la majorité des cas, de dégager un plane de maintenance à long terme car il y’ a toujours des nouvelles informations partielle sur le système. Ces informations peuvent être obtenues par la surveillance. Mais, la question qui se pose et comment intégrer ces informations dans un modèle de maintenance ?

Notre objectif dans ce travail consiste à reproduire un modèle de maintenance qui intègre les informations sur l’état courant du système, pour avoir les meilleurs décisions ; c'est-à-dire la mise à jour des données en fonction de son évolution.

Pour atteindre notre objectif nous avons jugé utile de répartir le plan de notre travail en trois chapitres.

Le premier chapitre traite des généralités sur la maintenance.

Le deuxième chapitre est consacré pour le développement du modèle.

Les résultats obtenus sont appliquées au chapitre trois.

Enfin, nous terminons par une synthèse des différents résultats qui est la conclusion générale.

Introduction :

Les activités de maintenance, au sens de dépannage d’un équipement, ont toujours existé.

Mais ces activités étaient au départ peu ou pas formalisées : elles n’étaient pas nécessairement assurées par du personnel spécialisé, ni encadrées par des méthodes spécifiques. De plus, elles consistaient essentiellement à réparer un équipement une fois que celui-ci était défaillant, mais n’intégraient que peu la notion de préventif, c'est-à-dire des interventions visant à prévenir la panne.

La notion formalisée de maintenance est récente. Elle est apparue avec l’automatisation des systèmes de production, les enjeux économiques et industriels croissants, les réglementations strictes pour la protection de l’individu et de l’environnement.

La fonction de maintenance ne peut se réduire à la seule activité d’entretenir un parc de machine mais a vocation à intervenir dans tout le cycle de l’exploitation du système.

Dans ce contexte, plusieurs politiques de maintenance sont mise en place. Dans le but de réduire les coûts d’intervention et de maximiser la durée de fonctionnement, de nombreux travaux s’intéressent à l’optimisation de ces politiques de maintenance : il s’agit de prévoir les dates et la nature des interventions en minimisant les coûts. Pour répondre à ce genre de problème, il est souvent nécessaire de s’appuyer sur la modélisation de ces politiques.

La plupart des politiques de maintenance sont supposées stationnaires c'est-à-dire une situation stable à long terme. Durant l’exploitation du système, des évolutions peuvent survenir concernant ces propriétés ou quelques fois des changements dans son environnement.

Pour permettre la prise en compte de nouvelles informations pouvant arriver à court terme, il nous faut des modèles qui permettent de gérer ce type de problème.

Dans ce mémoire nous allons nous focaliser sur la modélisation mathématique qui tienne compte de la mise à jour des informations.

I La maintenance des systèmes industriels : I-1 Qu’est ce que la maintenance ?[1]

La maintenance est l’ensemble de touts les actions techniques, administratives et de management durant le cycle de vie d’un bien, destinées à le maintenir ou à le rétablir dans un état dans lequel il peut accomplir la fonction requise

Depuis 2001, elle a été remplacée par une nouvelle définition désormais européenne NFEN13306X 60-319

Cette définition inclue les principaux concepts de la maintenance, qui sont : 1^erconcept ; le groupe d’actions (l’ensemble des actions) qui englobent :

a) La conception de la maintenance tels que la formation des agents de maintenance, la notion de maintenabilité ; la documentation technique, les équipements adéquats (outillages) et les approvisionnements (pièces de rechange).

b) L’exécution des différentes opérations de la maintenance quelle soit préventive (événement probable) ou corrective (événement certain).

c) Le suivi concernant :

 La qualité et la fiabilité des matériels.

 La gestion de l’outil de maintenance.

 La durabilité des matériels (rénovation, réemploi,…).

2^èmeconcept ; la maintenance préventive (maintenir) définie dans la partie suivante.

3^èmeconcept ; la maintenance corrective (rétablir) aussi définie dans le paragraphe 4^èmeconcept ; la notion de bien dont on distingue :

a) Les biens durables (seuls concernés par la maintenance).

b) Les biens semi-durables (à la première panne ils sont irréparables).

c) Les biens éphémères (durabilité limitée à la première utilisation).

5^ème concept ; l’état spécifié : en effet un bien peut avoir trois états ; neuf, dégradé et défaillant, qui s’étalent sur le temps correspondant à sa duré de vie.

6^ème concept ; le service déterminé: il se qualifie souvent en terme de disponibilité dans un

7^ème concept ; le coût optimal : qui mesure l’efficacité de la maintenance à travers l’analyse des différents coûts et ratios de maintenance.

I-2 Maintenance et performances :

Dans certaines secteurs industriels tels que l’énergie, les transports et l’aéronautique, les performances d’un système ou d’une installation considèrent non seulement les coûts relatifs à l’exploitation mais également, de part la nature des activités, la sûreté de fonctionnement au sens large.

La notion de sûreté de fonctionnement couvre les aspects de fiabilité, sécurité, maintenabilité et disponibilité. Elle représente l’ensemble des aptitudes d’un produit qui lui permettent de disposer des performances fonctionnelles spécifiées, au moment voulu, pendant la durée prévue, sans dommage pour lui-même et son environnement.

Et on peut caractériser les performances d’un système par les 7 concepts cités au-dessus.

I-3 Les différents types de maintenance :[1], [8]

Le service maintenance doit mettre en œuvre un type de maintenance définie par la direction de l’entreprise ; ce type doit permettre d’atteindre le rendement maximal des systèmes de production. Cependant, tous les équipements n’ont pas le même degré d’importance d’un point de vue maintenance. Le service devra donc, définir le type le mieux adapté aux divers situations. Et les types de maintenance sont :

Figure n°I.1 :les types de maintenance Maintenance

Maintenance Préventive Maintenance Corrective

Maintenance Systématique (Basée sur échéancier) - Petit entretien - Remplacement - Inspection - Tests

Maintenance Conditionnelle (Basée sur l’état) - Maintenance prévisionnelle - Maintenance proactive - Surveillance - Inspection - Tests

Maintenance Palliative (Réparation provisoire)

Maintenance Curative (Réparation définitive)

I-3-1 la maintenance corrective :

Définition selon NF EN 13306X60-319 : maintenance exécutée après détection d’une panne et destinées à remettre un bien dans un état dans lequel il peut accomplir une fonction requise.

Cette maintenance est utilisée lorsque l’indisponibilité du matériel n’as pas de conséquences majeures sur le processus de production ou quand les contraintes de sécurité sont faibles. La maintenance corrective débouche sur deux types d’intervention. Le premier type est la maintenance palliative. Le deuxième type est la maintenance curative.

a) La maintenance curative :

Ce type de maintenance permet de remettre définitivement en état le système après l’apparition d’une défaillance. Cette remise en état du système est une réparation durable.

Les équipements réparés doivent assurer les fonctions pour lesquelles ils ont été conçus. Une réparation est une opération définitive de la maintenance curative qui peut être décidée soit immédiatement à la suite d’une défaillance, soit après un dépannage (voir dans le paragraphe suivant). Elle provoque donc une indisponibilité du système.

b) La maintenance palliative :

La maintenance palliative revêt un caractère temporaire, provisoire. Elle est principalement constituée d’opérations qui devront toutefois être suivies d’opérations curatives (réparations).

Le dépannage est une opération de maintenance palliative qui est destinée à remettre le système en état provisoire de fonctionnement de manière à ce qu’il puisse assurer une partie des fonctions requises. Les opérations de dépannage sont souvent de courte durée et peuvent être nombreuses. Parce qu’elles ont lieu souvent, elles sont également très coûteuses.

I-3-2 la maintenance préventive :

Définition selon NF EN 13306X60-319 : maintenance exécutée à des intervalles prédéterminés ou selon des critères prescrits et destinée à réduire la probabilité de défaillance ou la dégradation du fonctionnement d’un bien.

Les activités correspondantes sont déclenchées selon un échéancier établi à partir d’un nombre prédéterminé d’unités d’usage (maintenance systématique) ou de critère prédéterminés significatifs de l’état de dégradation du bien ou du service (maintenance conditionnelle).

a) La maintenance préventive systématique :

Définition selon NF EN 13306X60-319 : maintenance préventive exécutée selon un calendrier préétabli ou selon un nombre d’unité d’usage.

Cette maintenance comprend des inspections périodiques et des interventions planifiées.

b) La maintenance préventive conditionnelle :

Définition selon NF EN 13306X60-319 : Maintenance préventive basée sur une surveillance du fonctionnement du bien et /ou des paramètres significatifs de ce fonctionnement intégrant les actions qui en découlent et quant on dit maintenance conditionnelle exécutée en suivant les prévisions extrapolées de l’analyse et de l’évaluation de paramètres significatifs de la dégradation du bien c’est la maintenance prévisionnelle.

A quel moment pratique-t-on une maintenance préventive ?

Figure n° I .2A quel moment pratique-t-on une maintenance préventive ? I-3-3 Les stratégies de maintenance :[9]

Tous les équipements d’une installation sont soumis à des mécanismes de dégradation pouvant entraîner leur panne et d’éventuels effets sur son fonctionnement.

Face à la diversité des matériels d’une installation et de leurs comportements et, les responsables de maintenance doivent envisager de véritables stratégies. Ils peuvent décider de

pratiquer une maintenance corrective à la suite de la défaillance d’un matériel, mais cela ne permet pas d’éviter les conséquences des pannes sur le fonctionnement du système. Une attitude plus offensive consiste à mettre enœuvre une maintenance préventive.

Une maintenance préventive systématique selon laquelle la décision d’intervenir précède l’apparition du dysfonctionnement. Cela permet de diminuer le nombre de défaillance et induit un gain économique. Ce type de maintenance se complète avec la maintenance préventive conditionnelle, qui présente l’avantage de limiter le nombre d’interventions sur les matériels. En effet la remise en état du matériel est réalisée uniquement lorsque celui-ci présente des singes de dysfonctionnement pouvant mettre en cause ses performances à brève échéance.

Donc, on peut associer à la maintenance préventive les notions de visite et révision qui consistent en un regroupement de tâches de maintenance préventive afin de redonner au matériel un potentiel d’usage pour une durée déterminer tout en limitant le nombre d’interventions sur le matériel et donc son indisponibilité pour maintenance.

La diversité des alternatives fait de la maintenance un processus caractérisé par des choix d’exécution pour la définition des stratégies de maintenance. L’importance de l’impact sur les performances du système considéré rend nécessaire son optimisation

I-2 L’optimisation de la maintenance :

I-2-1 Les méthodes d’optimisation de la maintenance :

Au vu de l’importance du processus maintenance et de son impact sur les performances des installations, des méthodes d’optimisation ont été développées. Elles permettent d’aider les responsables de maintenance à construire ou à modifier les stratégies de maintenance.

On peut noter que certaines méthodes d’optimisation de la maintenance ont été initialement développées dans les domaines de l’aéronautique et de la production d’énergie, en particulier pour les centrales nucléaires avant d’être adaptées et appliquées dans d’autres secteurs industriels. En effet, les risques présentés par ce type d’installation pour les personnes et l’environnement impliquent une vraie rigueur dans leur exploitation et leur utilisation. Il existe un réel souci d’appréhension des limites, pour réduire au maximum les dangers mais aussi diminuer les interventions inutiles.

Les démarches d’optimisation de la maintenance consistent généralement à effectuer une analyse des risques ainsi qu’une étude du retour d’expérience de manière à pouvoir sélectionner les tâches de maintenance.

I-2-2 L’optimisation de la maintenance basée sur la fiabilité : [16] ,[23]

I-2-2-1 Origine et historique :

L’optimisation de la maintenance basée sur la Fiabilité a été développée par EDF à partir de 1990. Elle se base sur le MSG-3 et la méthode RCM, Reliability Centred maintenance, de l'Electric Power Research Institute, son homologue américain en R&D. Après des études pilotes, une première mise en œuvre a été faite dés 1993 sur les systèmes considérés comme les plus importants vis-à-vis des critères de sûreté disponibilité-coûts d'exploitation des centrales nucléaires.

A partir de 1995, la méthode a été adaptée et appliquée à d’autres types d’installations

(Centrales thermiques charbon, turbines à combustion, …). L’extension à d’autres secteurs industriels (automobile, offshore,…) s’est ensuite faite par l’intermédiaire de sociétés prestataires de services en maintenance.

Une méthode de seconde génération a été développée en 2003 pour permettre notamment la révision des programmes de maintenance préventive établis avec la méthode initiale, et l’analyse des systèmes de moindre importance. Enfin, les principes de l’OMF ont été utilisés pour considérer la maintenance et le soutien logistique dans la phase de conception

I-2-2-2 Présentation de la méthode :

La méthode d’optimisation de la maintenance basée sur la fiabilité constitue une approche globale d’aide à la décision pour déterminer les actions de maintenance préventive permettant de maîtriser les coûts et le niveau requis de disponibilité d’une installation ou d’un système, et plus largement, pour garantir un niveau de sûreté de fonctionnement.

C’est une démarche rationnelle qui vise à limiter au mieux les défaillances. Et, elle est partagée sur trois phases qui sont :

 La phase de retour d’expérience (historique de la maintenance).

 La phase d’évaluation des risques

 La phase d’optimisation de la maintenance.

I-2-3 Présentation de la méthode d’acquisition des informations de fiabilité :

La fiabilité c’est une information qui peut être obtenue de trois façons selon la nature des données disponibles comme il est représenté sur la figure suivante :

Figure n°I.3: Présentation de la méthode d’acquisition des informations de fiabilité

Une première méthode, classiquement utilisée en construction des machines, se base sur les modèles physiques de défaillance. Cette méthodologie consiste à appliquer des critères de dimensionnement permettant de s'assurer que le système ne dépasse pas, pendant sa durée de vie, le seuil critique qui conduit à la défaillance. Cette méthode fait appel à des lois physiques de dégradation progressive telles que la fissuration, l'usure par abrasion,… cette méthode est utilisé lors de la design de l’équipement.

Une seconde technique pour anticiper les défaillances consiste à surveiller le système: il s'agit

des indicateurs de performances comme les vibrations, la pollution des lubrifiants, la

température, la puissance, ..., dépassent des seuils critiques prédéterminés. Cette méthode est utilisée lors de la phase d'exploitation de l'équipement.

Une troisième technique consiste à établir le modèle de fiabilité à partir de données de défaillance d'équipements identiques grâce à des outils statistiques. Elle nécessite l'élaboration d'une base de données conséquente qui recense l'entièreté des avaries que l'équipement a subies au cours de son cycle de vie.

I-2-4 Principales fonctions statistiques utilisées en fiabilité:[7]

I-2-4-1 Fonction de fiabilité et la fonction cumulée :

La fonction de fiabilité d'un groupe d'éléments à un instant t est donc la probabilité de fonctionnement sans défaillance pendant la période [0,t], donc la probabilité que l'instant de première défaillance T soit supérieur à t:

R(t)=p(T> t)

Elle se calcule aisément

R(t)=

୒୭୫ ୠ୰ୣୢ′é୪é୫ ୣ୬୲ୱୣ୬ୣୱୱୟ୧

On définit, par complémentarité, la fonction cumulée de défaillance ou la fonction de répartition F(t),

F(t)=1 − R(t) (I.2.4.1)

Avec

F (t) = ∫

f (t)dt (I.2.4.2)

I-2-4-2 Densité de probabilité :

Elle est notée f(t), la probabilité de défaillance d'un élément à l'instant t. C'est la dérivée de la fonction F(t) :

f(t)=

ୢ୲

= −

(I.2.4.3)

I-2-4-3 Taux de défaillance instantanée :

Le taux instantané de défaillance,ߣ(t), est une des caractéristiques de la fiabilité. La valeur ߣ (t)dt représente la probabilité conditionnelle d'avoir une défaillance dans l'intervalle de temps [t; t + dt], sachant qu'il n'y a pas eu de défaillance dans l'intervalle de temps [0; t].

Ainsi, en appliquant le théorème des probabilités conditionnelles, puis le théorème des probabilités totales,ߣ(t) s'écrit :

ߣ (t)=

ଵିிሺ௧ሻ

=

ோሺ௧ሻ

(I.2.4.4)

La connaissance deߣ(t) permet de connaître R(t) ou F(t). En effet,

R(t)= ݁

(I.2.4.5)

ߣ(t) peut être également appelé fonction de hasard et noté h(t)

h(t)= −

Ž‘‰ܴሺݐሻ (I.2.4.6)

h(t) ; probabilité (conditionnelle) d’une défaillance entre t et t+dt sachant que le dispositif est en vie à l’instant t. on peut également définir la fonction de hasard cumulée H(t),

H(t) = ∫ ℎ

(ݐ )݀ݐ (I.2.4.7)

I-2-4-4 Courbe en baignoire :

Figure n°I.4: Courbe en baignoire

La fiabilité des systèmes, des sous-ensembles et des composants est généralement décrites par la courbe caractéristique dite en baignoire. Elle décrit l'évolution du taux de défaillance ߣ(t) en fonction du temps t et permet de mettre en évidence, de manière empirique, trois phases de la vie d'un produit ou d'un système. Le taux de défaillance est élevé au début de la vie.

Ensuite, le taux diminue assez rapidement avec le temps (taux de défaillance décroissant), cette phase de vie est appelée période de jeunesse.

Après, il se stabilise à une valeur qu'on souhaite aussi basse que possible pendant une période appelée période de vie utile (taux de défaillance sensiblement constant). A la fin, il remonte lorsque l'usure et le vieillissement font sentir leurs effets, ce qui correspond à la période de vieillissement (taux de défaillance croissant).

La période de jeunesse concerne les défaillances précoces dues à des problèmes de conception (mauvais dimensionnement d'un composant, etc.) ou de production (dérive d'un processus de fabrication,...). Le taux de défaillance est décroissant dans cette période.

Les défaillances de jeunesse peuvent être supprimées avant la livraison au client en pratiquant le déverminage. Cette pratique consiste à mettre en fonctionnement les produits à livrer sous des conditions révélant les modes de défaillance et il suffit, ensuite, de ne livrer que les bons produits. Cette pratique est coûteuse mais le taux de défaillance lors de la livraison est égal à celui du début de la période utile. De nombreux fabricants ne réalisent pas ce déverminage sur leurs produits pour des raisons de coût. Dans ce cas, une période de garantie est mise en place pendant laquelle le fabricant s'engage à changer ou réparer le produit défaillant. Par exemple, pour des modules photovoltaïques, les fabricants les garantissent pendant 5 ans en moyenne pour les défaillances mécaniques (sans rapport avec la puissance délivrée par les modules). Dans les études de fiabilité, les défaillances apparues lors de cette période de garantie ne sont pas prises en compte et on s'intéresse principalement à la période utile du produit.

La période utile correspond à la majorité de la vie du produit. Pendant cette période, le taux de défaillance peut être :

 croissant pour les éléments mécaniques : modes de défaillances mécaniques, usure, fatigue, corrosion ;

 constant pour les composants électroniques : pas de phénomènes de vieillissement, phénomène caractéristique des défaillances aléatoires ;

 décroissant dans le cas des logiciels : la correction des erreurs permet d'améliorer la fiabilité.

La période de vieillesse correspond aux défaillances définissant la fin d'utilisation du produit quelque soit le type de technologie. Le taux de défaillance dans cette période croît rapidement. Pendant cette période, les produits qui n'avaient pas été défaillants pendant

la période utile le devient généralement sur une période très courte.

I-2-5 Forme mathématique de la loi de fiabilité : [19]

La fiabilité est une grandeur quantitative qui nécessite la connaissance des distributions de durée de vie afin de l'estimer. Dans le cadre d'un système complexe, ces distributions doivent absolument tenir compte de tous les mécanismes de défaillance associes aux différentes technologies.

Nous présentons dans cette section les lois et les modèles de fiabilité susceptibles, selon l'expérience, de représenter des distributions de durée de vie des composants qui interviennent le plus fréquemment dans l'analyse de leur fiabilité. Nous rappelons les principales propriétés de ces lois, les fonctions de fiabilité associées, les densités de probabilité ainsi que les taux de défaillance.

I-2-5-1 Loi normale :

La loi normale (ou loi gaussienne) est très répandue parmi les lois de probabilité car elle s'applique à de nombreux phénomènes.

La loi normale est déϐ‹‹‡’ƒ”Žƒ ‘›‡‡μ et l^′écart ––›’‡ߪ

Elle est caractérisée par ∶

 la densitéde probabilité∶

݂ሺݐሻൌ

ȉ݁

(I.2.5.1)

 la fonction de répartition :

F(t)=

ఙ√ଶగ

∫

݁

݀ݐ (I.2.5.2)

 la durée de vie moyenne ou MTTF :

MTTF = ߤ (I.2.5.3)

Si t suit une loi normaleℵ(ߤǡߪ)ǡߤ ൌ ^௧ିఓ_ఙ suit une loi normale centrée réduite dont la fonction de répartition, notée Φ, est donnée par :

Φ(t)=

√ଶగ

∫

݁

݀ݐ (I.2.5.4)

I-2-5-2 Loi lognormale

Une variable aléatoire continue et positive t est distribuée selon une loi lognormale si son logarithme est distribué suivant une loi normale. Cette distribution est utilisée en fiabilité pour modéliser les défaillances par fatigue. La loi lognormale a deux paramètres : la moyenneߤet l'écart-typeߪ .

Elle est caractérisée par :

 la densité de probabilité : f(t)= ^ଵ

௧ఙ√ଶగ

݁

(I.2.5.5)

 la fonction de répartition :

F(t)=Φ ቀ

ቁ (I.2.5.6)

 le taux de défaillance :

ߣ (ݐ ) =

ౢ౥ౝሺ೟ሻషഋ

഑ ൰మ

௧∫_బ^శ∞ఙ√ଶగ௙(௧)ௗ௧

(I.2.5.7)

 la durée de vie moyenne ou MTTF :

MTTF = ݁

(I.2.5.8)

I-2-5-3 Loi exponentielle

La loi exponentielle est la plus couramment utilisée en fiabilité électronique pour décrire la période durant laquelle le taux de défaillance des équipements (qui subissent des défaillances brutales) est considère comme constant (défaillance aléatoire). Elle décrit le temps écoule

jusqu'à une défaillance, ou l'intervalle de temps entre deux défaillances. Elle est définie par un seul paramètre, le taux de défaillanceߣ.

Elle est caractérisée par :

 la densité de probabilité :

f(t)= ߣ݁

(I.2.5.9)

 fonction de fiabilité :

R(t)= ݁

(I.2.5.10)

 le taux de défaillance :

ߣ (t)= ߣ (I.2.5.11)

 la durée de vie moyenne ou MTTF :

MTTF =

ఒ

(I.2.5.12)

I-2-5-4 Loi de Weibull :

La loi de Weibull, est souvent utilisée en mécanique ; elle caractérise bien le comportement du produit dans les trois phases de vie selon la valeur du paramètre de forme β.

 β<1(ߣ(t) décroît) : période de jeunesse (rodage, déverminage),

 β=1(ߣ(t) constant) : indépendance du temps,

 β>1(ߣ(t) croît) : période de vieillissement, d'usure ou de dégradation:

De plus, cette loi de Weibull permet de décrire un phénomène de fatigue lorsque

β∈[1, 5; 2,5], un phénomène ayant un taux de défaillance linéaire lorsque β = 2 et un phénomène d'usure ou de corrosion lorsque β∈[3; 4].

La loi de Weibull est définie par trois paramètres : η (paramètre d'échelle) dont l'unité est homogène à l'unité de la sollicitation, β (paramètre de forme) qui traduit la finesse de la distribution etߛ(paramètre de localisation),

Elle est caractérisée par :

 la densité de probabilité :

f(t)=

ఎ

(

)

݁

ഁ

(I.2.5.13)

 fonction de fiabilité :

R(t) = ݁

ഁ

(I.2.5.14)

 le taux de défaillance :

ߣ (t)=

ఎ

ቀ

ቁ

(I.2.5.15)

La loi de Weibull est définie par deux paramètres lorsqueߛ= 0.

Lorsque β = 1 et ߛ= 0, on se retrouve dans le cas particulier de la loi exponentielle avecߣ=^ଵ

ఎ. Aussi, lorsque β≈3,5 et ߛ= 0, on est dans le cas d'une distribution normale.

Les résultats obtenus sont accompagnés d'intervalles de confiance afin d'aider le gestionnaire de la maintenance dans le choix d'une politique adaptée qui prend en compte le risque.

Donc, l’évolution d’une politique dépend du développement de la pratique de maintenance industrielle en termes des coûts et de la disponibilité. Ainsi, que leurs intervalles de confiance;

ce qui a permet de proposer des nouvelles politiques de maintenance.

I-3 Les politiques de la maintenance :[2], [3]

Une politique de maintenance est une règle de décision qui spécifie la séquence des actions à entreprendre pour maintenir ou rétablir le système dans un état donné. Ces actions sont classées en deux catégories : les actions correctives, ou préventives comme c’est illustré auparavant.

Pour les systèmes avec plusieurs composants, les politiques optimales appliquées sur chaque composant ne garantissent pas l’obtention d’une politique optimale pour tout le système. De ce fait, une autre catégorie de recherche s’est développée concernant la modélisation des politiques de maintenance. Une revue des principales politiques de maintenance ainsi que leurs classifications sont présentées dans la partie qui suit.

I-3-1 Politiques de regroupements stationnaires :

Les politiques de regroupements stationnaires sont subdivisées en trois catégories : le regroupement de maintenance corrective, le regroupement de maintenance préventive et les politiques opportunistes.

I- 3-1-1 Le regroupement de maintenance corrective :

Dans le regroupement de maintenance corrective, les systèmes présentent une certaine forme de redondance des composants. Les composants défaillants peuvent être laissés en état de défaillance jusqu’à ce que le système se dégrade d’une manière significative. Une maintenance corrective est alors appliquée sur tous les composants trouvés défaillants afin de rétablir le système dans son état initial.

I-3-1-2 Le regroupement de maintenance préventive :

La deuxième catégorie de politiques est le regroupement de maintenance préventive. Ces regroupements sont planifiés sur un horizon donné. Cette catégorie distingue les modèles pour les systèmes dont les composants forment un seul regroupement, c’est-à-dire, tous les composants du système sont remplacés simultanément (remplacement de type bloc) et les modèles pour les systèmes dont les composants peuvent former plusieurs regroupements.

Pour ces derniers modèles, la structure optimale des regroupements doit être déterminée.

I-3-1-3 Maintenance opportune :[5]

Les politiques opportunistes découlent directement de la dépendance économique entre les différents composants d’un système. Le principe de base est de profiter des arrêts planifiés ou fortuits de certains composants du système pour effectuer la maintenance préventive sur d’autres composants. Ces politiques sont particulièrement valables dans le cas des systèmes séries où la défaillance de n'importe quel composant entraîne l’arrêt du système au complet, offrant ainsi, l’occasion d’effectuer simultanément la maintenance d'autres composants en même temps que la réparation du composant défaillant.

I-3-2 Politiques de regroupements dynamiques :

Les politiques de regroupements dynamiques sont des politiques non stationnaires. Elles permettent de prendre en compte l’information sur la maintenance effectuée et/ou sur l’état de dégradation du système relevé au cours des inspections (information considérée à court terme).

Les politiques de regroupement dynamique peuvent être classées en deux catégories : les politiques définies sur un horizon fini et celles définies sur un horizon glissant. Un horizon fini suppose implicitement que le système est hors usage (non utilisable) après la fin de son

horizon. Une fonction résiduelle est souvent incorporée dans les modèles proposés afin d’évaluer la valeur résiduelle du système à la fin de son horizon fini.

Les modèles avec horizon glissant utilisent un horizon fini répétitif pour reproduire le long terme (horizon infini). Une fois que l’horizon en cours s’écoule ou que de nouvelles informations sont rendues disponibles, un nouvel horizon fini est calculé, et un essai pour générer un plan de maintenance est réalisé.

I- 4 Modèle de maintenance sans mise à jour des informations :

Supposant que, selon notre information présente, pour un système, on a la densité de probabilité f(t). On admet qu’une récompense ܿଵ est accordée pour chaque unité de bon fonctionnement et une pénalitéܿଶest paie pour chaque unité d’exploitation après l’apparition de panne.

Aݐൌ ݐ_ଵle système est examiné et l’état réel est dévoilé. Si l’examen nous montre une panne on doit réparer et être prêt à étiqueter une nouvelle étape. Les pertes de cette action sontܿ_௙. Si l’examen montre un état contraire c'est-à-dire il indique un bon état, le système est préventivement réparé et remit en marche avec moins de pertesܿ_௣.

Toute récompense reçus àݐ_ଵest réduite par le facteur(ͳെ ߚ)^௧భ.

On suppose qu’après les testes on ne reçoit pas de nouvelle donnés. Notant par v(݂Ǣݐ_ଵ) le moyen de réduction de dépense pour [0, ∞] si la période de teste est ݐଵ et la densité de probabilité f(t). Suivant la description ci-dessus :

V(݂Ǣݐ_ଵ) ൌ ܴሺ݂Ǣݐଵ) + (ͳെ ߚ)^௧భV(݂Ǣݐ_ଵ) (I.4.1) Avec ܴ(݂Ǣݐ_ଵ)qui est la fonction de bénéfice pour la première étape :

ܴ(݂Ǣݐ_ଵ)=ܿଵ∫_଴^௧భݔ݂(ݔ)݀ݔ൅ ܿ_ଵݐଵ൫ͳെ ܨ(ݐ_ଵ)൯

െܿ_ଶ∫_଴^௧భ(ݐ_ଵെ ݔ)݂(ݔ)݀ݔെ ܿ_௙ܨ(ݐ_ଵ)െ ܿ_௣൫ͳെ ܨ(ݐ_ଵ)൯ (I.4.2) Dans le but de simplifier le traitement de la formule de notre problème on a adopté un schéma simplifié et réduit : les récompenses reçus durant la premier période d’examen [Ͳǡݐ_ଵ]ne sont pas réduites mais on utilise(ͳെ ߚ)^௧భcomme facteur et on trouve v(݂)

v(݂) = max௧வ଴[ܴ(݂Ǣݐ) + (ͳെ ߚ)^௧v(݂)] (I.4.3)

En vérité, on choisit la période t, notre fonction de fiabilité seraܴ(݂Ǣݐ)pour la première étape plus le maximum de v(݂)qui est réduit par le facteur(ͳെ ߚ)^௧

On suppose que le maximum de la formule précédente est atteint à ݐൌ ݐ^∗. L’optimale séquence de l’unité de temps est {݇ݐ^∗ǡ݇ ൌ ͳǡʹǡǥ} . L’équation suivante est satisfit avec v(݂)et on aura :

v(݂) ൌ ܴ(݂Ǣݐ^∗) + (ͳെ ߚ)^௧∗ܸሺ݂ሻ (I.4.4) Donc v(݂)ൌ ܴ(݂Ǣݐ) (1 −⁄ (ͳെ ߚ)^௧) (I.4.5) D’après la définition de v(݂)on aura :

ݐ

ൌ ܽݎ݃݉ ܽݔ

I-5 La mise à jour de l’information : apprentissage de nouvelles données :

Un facteur important a été oublié dans toutes les modèles de maintenance préventive au paravent. Se facteur est l’apprentissage. Notre décision en ce qui concerne la planification et le type d’action de maintenance se basé seulement sur les informations première qui concerne le système, sur les quelles la politique de maintenance a commencé à s’appliqué.

Cette politique sera parfaite pendant une partie de la durée de vie d’un système, mais il arrive un moment où cette politique ne donnera plus des résultats satisfaisants car la source initiale de ses informations est nouvelle et on doit les prendre en considération.

Les nouvelles connaissances requises participent à prendre les bonnes décisions, sa se résume en maintenance préventive avec apprentissage et sa structure est nommé modèle à horizon fini.

La méthode d’apprentissage doit répondre à deux difficultés principales : la nécessité d’un modèle préalable et l’incertitude présente dans les données récoltées.

En effet, nous devons d’abord noter qu’un agent ne peut pas apprendre s’il ne possède pas une connaissance minimale du phénomène qu’il étudie. Trivialement, il faut qu’il soit capable de donner une sémantique aux données numériques reçues, ne serait-ce que pour comprendre qu’elles concernent toutes le même phénomène. Si ces données concernent plusieurs aspects d’un même phénomène, l’agent doit les représenter avec autant de variables différentes. Il doit

de plus être capable de structurer ces variables. L’agent utilise alors un modèle pour intégrer les nouvelles données et mettre à jour ses connaissances.

La seconde difficulté provient de l’imperfection de l’interface entre l’agent et le monde : il est extrêmement rare que ces données ne soient pas bruitées. Dans la plupart des cas, les données sont une représentation approximative du réel : soit elles sont acquises par l’intermédiaire de capteurs bruités qui donnent une image déformée du phénomène ; soit certaines caractéristiques de ce phénomène ne sont pas directement observables et doivent être inférées de façon approchée.

Ainsi, tout mécanisme, doit répondre à ces deux difficultés : il doit adopter un dispositif de modélisation du problème et un mécanisme de traitement des incertitudes.

I-6 Les outils de modélisation d’un problème d’apprentissage :

Ce type de problème peut-être modélisé à l’aide d’un processus stochastique et, en particulier, à l’aide les Modèles de Markov ou les filtres de Kalman au même titre qu’un Réseau Bayésien.

I-6-1 Filtre de kalman :

Avant de définir le filtre de kalman, on donne une petite définition du filtrage. De-ce-fait, le filtrage est une opération qui consiste à estimer l’état d’un système dynamique à partir d’observations partielles et bruitées. Donc, le filtre de Kalman est un filtre à réponse impulsionnelle infinie qui estime les états d'un système dynamique à partir d'une série de mesures.

Les applications du filtre de kalman sont nombreuses dans les métiers de l’ingénieur. Le filtre de kalman est outil mathématique puissant et particulièrement utile dans le monde de l’embarqué. Il permettant de donner un estimé de l’état de système à partir d’une information a priori sur l’évolution de cet état (modèle) et de mesure réelles, il sera utilisé pour estimer des conditions initiales inconnues (balistique), prédire des trajectoires de mobiles (trajectographie), localiser un engin (navigation, radar,…) et également pour implanter des lois de commande fondées sur un estimateur de l’état et un retour d’état (command linéaire quadratique gaussienne). Les bases de traitement de signal sur lesquelles repose le filtre de kalman seront également utilisées à tout ingénieur confronté à des problèmes de définition de protocoles d’essais, de dépouillements d’essais et également d’identification paramétrique. Il

est aussi un estimateur récursif. Cela signifie que pour estimer l'état courant, seule l'estimation de l'état précédent et les mesures actuelles sont nécessaires. L'historique des observations et des estimations n'est ainsi pas requis.

I-6-2 Chaînes de Markov :

Les chaînes de Markov-ou Méthode de l’Espace des Etats (MEE)-ont été développées dans les années 1950 pour l’analyse de la fiabilité des systèmes réparables.

Cette méthode consiste à représenter le fonctionnement d’un système par un ensemble de composants pouvant se trouver dans un nombre fini d’états de fonctionnement et de panne.

Un support graphique (le graphe des états) permet de visualiser les différents états d’un système qui sont représentées par des cercles et relier entre eux par des arcs orientés qui correspondent aux transitions (pannes et réparations) entre états.

Pour un système à ݊composant à deux états (fonctionnement et panne), le nombre maximum d’états est2^௡.

Un modèle Markovien est présenté sur la figure suivant :

Figure n°I.5 :représentation graphique d’un modèle Markovien

Pour réaliser cette analyse, il faut tout d’abord recenser tous les états du système, les classer en états de fonctionnement ou en états de panne .ensuite, il est nécessaire de chercher comment passer d’un état à un autre lors d’un dysfonctionnement ou d’une réparation.

A chaque transition de l’état ܧ_௜vers l’état ܧ_௝, un taux de transition ܮ_௜௝est associé qui est défini de telle façon que ܮ_௜௝.dt est égal à la probabilité de passer de ܧ_௜vers ܧ_௝ entre deux instants très proches t et t+dt sachant que l’on est à l’instant t en ܧ௜ . Enfin, la dernière étape consiste à calculer les probabilités de se trouver dans les différents états au cours d’une période de vie du système ainsi que de calculer les caractéristiques de

A

B

A l’aide de la modélisation par les graphes de Markov, les dépendances temporelles et stochastiques sont plus largement prises en compte qu’avec les méthodes classiques.

De plus, ils sont simples d’utilisation. Cependant, les graphes Markov souffrent de l’explosion du nombre d’états car tous les états possibles et de toutes les transitions entre les états doivent être pris en compte dans le processus de modélisation. Cette limite peut se poser dans le cas de la modélisation de l’aspect dysfonctionnel uniquement, mais il devient un énorme handicap dans le cas où l’on souhaite la description de l’aspect fonctionnel à celui de l’aspect dysfonctionnel.

I-6-3 Approche bayésienne :

Lethéorème de Bayes est un résultat de base en théorie des probabilités, issu des travaux du révérend Thomas Bayes et retrouvé ensuite indépendamment par Laplace. Dans son unique article, Bayes cherchait à déterminer ce que l’on appellerait actuellement la distribution a posteriori de la probabilité p d’une loi binomiale. Ses travaux ont été édités et présentés à titre posthume (1763) par son ami Richard Price dans Un essai pour résoudre un problème dans la théorie des risques (An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances). Les résultats de Bayes ont été repris et étendus par le mathématicien français Laplace dans un essai de 1774, lequel n’était apparemment pas au fait du travail de Bayes.

La particularité de la méthode bayésienne étant de pouvoir prendre en considérations les interactions locales au sein d’un état pour représenter de manière compact le système c’est à dire les Réseaux Bayésiens peuvent représenter intuitivement un domaine de connaissance, beaucoup d’expériences montrent qu’il est souvent plus facile à formaliser les connaissances sous forme des probabilités qu’ont utilise dans les formule de bayes. En plus, peuvent gérer l’ensemble des données incomplètes.

La méthode d’apprentissage bayésienne, que nous étudions dans ce document, permet de répondre d’une façon rationnelle à ces deux difficultés. Pour cela, elle utilise la notion de probabilité.

Conclusion :

Dans ce travail nous avons souligné l’impact de la maintenance sur les performances d’un système et la nécessité de bien organiser ces tâches dans le temps pour répondre au mieux à des exigences d’utilisation, et nous sommes concentrés sur l’optimisation de la maintenance.

Le problème d’optimisation doit avant de choisir une politique de maintenance, bien étudier les caractéristiques du système considéré et le type de données de dégradation disponibles et présenté un modèle qui permet de prendre en compte l’environnement dans lequel évolue le système.

Donc, lorsqu’on doit faire un choix vis-à-vis d’une politique, l’efficacité des décisions qui sont prises va dépondre de la qualité du modèle qui représente le système. La modélisation du système permet en effet d’avoir accès au comportement a priori du système.

Cette représentation est indispensable pour pouvoir évaluer l’état du système et prévoir les interventions. Mais elle doit être complétée par des informations de données en ligne sur l’état réel du système. Dans le but d’arriver a des solutions satisfaisantes sur les instants d’inspections et les actions de maintenance.

Introduction :

Le but de ce chapitre est de proposer un développement d’un modèle qui tient compte de la mise à jour des données, un modèle qui se base sur les probabilités conditionnelles à partir d’un modèle bayéssienne. Pour débuter ce chapitre on doit d’abord présenter l’outil fondamental utiliser par la méthode bayésienne pour traiter l’information qui est la notion de probabilité. Puis on le termine par la méthode d’application de l’apprentissage.

II-1 Généralités sur les probabilités II-1-1 Définition de la probabilité :

A et B sont deux événements incompatibles, la chance de voir se réaliser A ou B doit être égale à la somme des poids traduisant les chances de réalisation de A et B.de même ,si (ܣ_௡) ,ࣿ appartenant à ℕ,désigne un ensemble d’événements tel que chacun d’eux est impliqué par le suivant et tel que leur réalisation simultanée est impossible, alors le poids de (ܣ௡) a une limite nulle quand ࣿ tend vers l’infini.

Une probabilité P définie sur l’ensemble (Ωǡࣝ) , est une applicationࣝ de dans [0,1] telle que :

 P (Ω)=1

 P(׫ ܣ௜)=ΣP (ܣ௜) pour toute réunion finie ou dénombrable d’événements incompatibles.

Le triplet (Ωǡࣝ, P) est un espace probabilisé, la mesure P ainsi définie est une mesure positive de masse de totale égale à +1

II-1-2 Propriétés élémentaires sur les probabilités : Elles se déduisent des axiomes de définition :

 P(∅) = 0maisP(ܣ) = 0n’implique pasܣ ൌ ׎

L’événementܣtel queP(ܣ) = 0 est un événement presque impossible.

 P(Āሻൌ ͳെ ሺܣሻ

 P(ܣ ׫ ܤ) = P(ܣ) + P(ܤ)− P(ܣ ת ܤ)

 ሺת ܣ௜) ≤Πሺܣ௜)

 ሺ׫ ܣ_௜) ≤ ∑_௜ሺܣ_௜)(aucune hypothèse particulière sur les événementsܣ_௜)

 Si la suite des événementsܣ௜tend vers 0 en décroissant, la limite deሺܣ௜)est nulle.

 Siܤ௜est un système complet d’événements, alors

׊ܣǡ(ܣ) =∑_௜P(ܣ ת ܤ_௜)

C’est la première forme du théorème des probabilités totales.

Remarque

P(ܣ) = 1n’implique pasܣ ൌ ߗ. L’événementܣtel queP(ܣ) = 1est un événement presque certain.

II-1-3 Définition de la probabilité conditionnelle indépendance :

Soit ሺߗǡܥǡሻun espace probabilisé. L’intersection de deux événements A et B est l’événements, notéܣ ת ܤ, réalisé, si et seulement si, les deux événements A et B sont réalisés.

Cependant, on peut s’intéresser à la réalisation de l’événement A sachant l’événement B réalisé, si cet événement est de probabilité non nulle, c'est-à-dire on s’intéresse à la probabilité conditionnelle sachant B est l’application deܥ dans [0, 1] définie par :

׊ܣ߳ܥሺܣȀܤሻൌ

^(II.1.1)

Cette application définit une probabilité sur le même espace probabilisé (ߗǡܥǡ), la probabilité conditionnelle ሺǤȀܤሻest définie comme la probabilité P sur la tribuܥ, le terme ሺܤሻest un facteur de normalisation. Selon les événements A et B, différents cas sont possibles.

II-1-3-1 Les événements A et B sont incompatibles : L’événement A ne réalisa pas si l’événement B est réalisé :

ቀ

ቁൌ Ͳ ^(II.1.2)

II-1-3-2 Les événements A et B ne sont pas incompatibles :

Deux événements peuvent être totalement dépendants ou dépendants II-1-3-2-1 Evénements totalement dépendants :

Deux événements A et B sont totalement dépendants si A ⊂ B, ou si l’événement B étant réalisé, la probabilité de réalisation de l’événement A est égale à : 1

P ቀ

ቁ = 1 (II.1.3)

On dit que A dépend totalement de B.

II-1-3-2-2 Evénements dépendants :

Deux événements A et B sont dépendants si la probabilité de réalisation de l’événement A change selon que B est réalisé ou non.

II-1-3-3 Principe des probabilités composées :

Le principe des probabilités composées découle des axiomes et des définitions.

Il s’écrit :

P(A ∩ B) = P ቀ

ቁP(B) = P ቀ

ቁP(A) (II.1.4)

Cette formule est valable même si les probabilités P(A) et P(B) sont nulles toutes les deux ; mais dans ces conditions, on ne peut pas définir P (A/B) ni P (B/A).

II-1-3-4 Evénements indépendants :

L’événement A est indépendant de l’événement B si la probabilité de réalisation de l’événement A n’est pas modifiée par une information concernant la réalisation de l’événement B, c’est-à-dire si :

P(A/B)=P(A)

(II.1.5)

Le principe des probabilités composées entraîné:

P (A⋂B) =P (A) P (B) =P (B/A) P (A)

(II.1.6)

P (B/A)=P(B)

(II.1.7)

L’événement B est donc également indépendant de l’événement A.les événements A et B sont indépendants et vérifient la propriété :

P (A⋂B) =P (A) P (B)

(II.1.8)

II-1-3-4-1 Événements incompatibles et événements indépendants : La propriété les événements A et B sont incompatibles implique :

P(A∪B)=P(A)+P(B)

(II.1.9)

La propriété les événements A et B sont indépendants implique:

P(A∩B)=P(A)P(B)

(II.1.10)

Les opérations union∪et somme semblent jouer le même rôle que les opérations intersection et le produit. Cependant, les deux concepts, incompatibles et indépendants, sont totalement différents :

Le premier événement incompatible est une notion ensembliste.

Le second événement indépendants est une notion probabiliste deux événements peuvent être indépendants pour une loi de probabilité et non pour une autre loi.

II-1-3-5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle :

La notion d’indépendance et le principe des probabilités composées se généralisent à plusieurs événements.

II-1-3-5-1 Généralisation du principe des probabilités composées :

Ce principe se traduit par la formule de poincaré que l’on démontre par récurrence : P(ܣ_ଵת ܣ_ଶת ǥ ܣ_௡)=P(ܣ_ଵ)P(ܣ_ଶȀܣ_ଵ)P(ܣ_ଷȀܣ_ଵת ܣ_ଶ)P(^஺೙

஺_భת ܣ_ଶתǤǤǤת ܣ_௡ିଵ) (II.1.11) II-1-3-5-2 Indépendance mutuelle:

Les événementsܣ_௜ǡ݅א ሺͳǡǥ ǡ݊ሻ sont mutuellement indépendants si,pour toute partie de l’ensemble des indices ,on a :

P ( ת ܣ

)=Π ܲሺܣ

) (II.1.12)

L’indépendance mutuelle implique l’indépendance deux à deux mais c’est une condition plus forte.

II-2 Théorème de Bayes :

II-2-1 Deuxième forme du théorème des probabilités totales :

On considère un événement A de probabilité non nulle et l’ensemble (ܥ_௜ሻǡ݅א(1,...n) de toutes Les causes possibles de réalisation de cet événement ; cet ensemble forme un ensemble complet d’événements et l’événement A se produit en même temps qu’un et seul desܥ௜, c’est –à-dire :

A= (A ת ܣ

) ∪ (A ת ܥ

) ∪ … ∪ (A ת ܥ

) (II.2.1)

On en déduit la deuxième forme du théorème des probabilités totales:

P (A)= ∑

ܲሺܣ ת ܥ

) = ∑ ܲ ቀ

೔

ቁܲሺܥ

)

୬୧ୀଵ

(II.2.2)

II-2-2 Théorème de Bayes généralisé :

Considérons une des causes susceptible de réaliser l’événement A , la causeܥ௞par exemple .le théorème des probabilités totales, on déduit P(A) puis le théorème de Bayes :

ܲ(ܥ

Ȁܣ) =

ಲ

಴ೖ൰௉ሺ஼_ೖ)

∑^౤_౟సభ௉൬_಴೔^ಲ൰௉ሺ஼_೔)

(II.2.3)

Sous cette forme, le théorème de Bayes (publie après sa mort en 1763) apparaît comme une conséquence logique des axiomes et des définitions.il présente un grand intérêt, car il permet de modifier notre connaissance des probabilités en fonction d’informations nouvelles, il joue un rôle très important dans la statistique bayésienne.

La probabilité d’un événement peut être considérée comme une caractéristique de notre information à son sujet que l’on modifie dés que cette information est complétée.

Toute probabilité est donc conditionnelle et dépend de notre connaissance des objets en cause.

Cette démarche bayésienne est une des approches possibles de la probabilité ; elle peut servir au diagnostic médical, à la théorie de la décision…

II-3 Estimation des paramètres d’une fonction d’apprentissage :

Dans de nombreux domaines, on a besoin de connaître certaines caractéristiques qui sont parfois difficile à évaluer. La solution consiste alors à estimer le paramètre cherché à partir d’un paramètre observé.

On rencontre plusieurs méthodes d’estimation des paramètres, les plus utilisées sont la méthode des moments et la méthode de maximum de vraisemblance qui est la plus utilisée en raison de ces propriétés asymptotiques intéressantes.

II-3-1 Fonction de vraisemblance:

Soit ܶ une variable aléatoire de densité de probabilité ݂ሺݐǡݔሻoù ݔest une variable dans un échantillon de taille݊c'est-à-direݔ ൌ ሺݔଵǡݔଶǡݔଷǡǥ ǡݔ௡)

Si {ܶ_ଵǡܶ_ଶǡǥ ǡܶ_௡} sont des réalisations indépendantes de la variable aléatoire, on peut dire

ܮ (ݔ ) = ∏

݂ሺݐ

ǡݔሻ (II.3.1)

Estimateur de maximum de vraisemblance

L’estimateur de maximum de vraisemblance deݔest la valeur deݔqui maximise la fonction de vraisemblanceܮ(ݔ)

En pratique on maximise le logarithme de la fonction de vraisemblance :

log൫ܮ (ݔ )൯ൌ ݈ (ݔ ) = ∑

log ሺ݂ (ݐ

Ǣݔ )) (II.3.2)

Et les estimateurs du maximum de vraisemblance sont ceux qui vérifient డ௟

డ௫_೔

= 0 ^(II.3.3)

Dans le but de trouver la densité de probabilité qui ajuste bien aux données et en estimes les paramètres on utilise la loi de weibull.

Densité :

݂

ݐǢߚǢߟ

=

(

)

݁ݔ݌െ ሺ

)

(II.3.4)

La vraisemblance d’un échantillon de taille n :