ANNEXE G Cadran solaire vertical déclinant

(1)

ANNEXE G

Cadran solaire vertical déclinant

1. CALCUL DE L’OMBRE DU STYLE

Reprenons la figure 7-2 de la représentation géométrique d’un cadran vertical déclinant.

Figure 1.1 : Représentations du principe d’un cadran solaire déclinant

Afin de calculer, les coordonnées du point 'A' de l’ombre de l’extrémité du style, nous allons calculer l’intersection avec le plan du cadran de la direction du Soleil passant par l’extrémité du style B.

Dans le repère d’un plan vertical, parfaitement orienté vers le Sud (repèrex y z ), le point B, ₁ ₁ extrémité du style a pour coordonnées :

1 1

 

x y z

0

B D

D tg

 

 

  

  

 

Dans ce même repère, notons V₁ le vecteur directeur de la direction du Soleil (relation. (F.1) nous aurons :

   

1

sin a tg h cos a

V tg h

1

 

 

 

  

  

 

 

Nous allons maintenant le définir dans le nouveau système de coordonnées (repèrex y z ), pour y parvenir, il faut définir la matrice de changement de repère qui correspond à une rotation d’angle

 autour de l’axe oz. À cette rotation autour de l’axe oz, correspond la matrice de

(2)

   

cos sin 0

R sin cos 0

0 0 1

 

 

 

    

 

 

Ainsi, dans le repère x y z le vecteur directeur V s’exprime par l’opération matricielle :

VRV1

       

 

       

 

sin a cos cos a sin tg h

sin a sin cos a cos

V tg h

1

   

 

 

    

 

  

  

 

 

(G.1)

En utilisant les propriétés de la somme de deux angles d’un sinus et d’un cosinus, nous obtenons :

 

sin a tg h cos a

V tg h

1

 

 

 

 

   

 

  

  

 

 

(G.2)

Comme précédemment, exprimons dans ce nouveau repère l’équation de la droite AB.

Pour y parvenir nous devons déterminer les coordonnées du point B (relation (F.2)) dans le repère x y z.

1 1 1

xyz x y z

B R B

   

xyz

 

cos sin 0 0

B sin cos 0 D

0 0 1 D tg

 

   

   

       

    

   

   

xyz

 

D sin

B D cos

D tg

 

 

 

   

   

 

(G.3)

La droite AB dans le repère xyz aura pour expression :

B B B

x y z

x x y y z z

v v v

  

 

Avec les coordonnées du point B (relation (G.3)), nous obtenons :

   

     

     

x D sin y D cos

tg h tg h z D tg

sin a cos a

   

      

   

(3)

Les coordonnées du point 'A' sont obtenues pour y0, il vient :

   

     

 

xA D sin D cos

tg h tg h

sin a cos a

  

 

    

 

   

 

xA D sin D cos

sin a cos a

  

 

   

     

xA D sin t g a D cos

        

Nous obtenons pour l’abscisse du point A :

     

xA  D cos  t g a  sin   (G.4)

Pour l’ordonnée z , il vient : _A

         

y D cos

tg h z D tg

cos a

 

    

  pour y0 nous aurons :

     

A

 

D cos

tg h z D tg

cos a

    

  nous aurons :

     

 

A

cos tg h

z D tg D

cos a

    

 

   

A

cos tg h

z D tg

cos a

  

        (G.5)

2. POINTS PARTICULIERS

Reprenons les cordonnées de l’extrémité de l’ombre du style (relations (G.4) et (G.5).

     

xA  D cos  t g a  sin  

   

A

cos tg h

z D tg

cos a

  

       

Pour un angle  nul nous retrouvons les relations du (F.4) et (F.5) cadran solaire plein sud.

A

 

x  D t g a

 

   

A

z D tg h tg

cos a

 

     

 

2.1. Ombre à midi

À midi, le plan qui inclut la direction du Soleil toute l’année est un plan vertical de direction Nord-Sud. Son intersection avec un plan vertical d’orientation quelconque est une droite verticale. En conséquence, nous pouvons nous attendre à ce que l’ordonnée x soit nulle. _A

À midi H0, exprimons ^{sin a}

 

à partir de (G.7)

 

^cos

   

^{sin H}

sin a

cos(h)

  ^{sin a}

 

^⁰

Reprenons les expressions (G.4) et (G.5) des coordonnées de l’extrémité de l’ombre du style.

     

xA  D cos  t g a  sin  

     

^

   

^sin ^

 

^

(4)

3. CALCUL SIMPLIFIE DE LA DIRECTION DE L’OMBRE

Si nous nous intéressons à la direction de l’ombre, celle-ci ne dépend que de l’angle horaire 'H' et de la déclinaison .

Comme précédemment, nous calculerons la hauteur ‘h’ et l’azimut ‘a’ du Soleil aux équinoxes, c'est-à-dire pour une déclinaison  .

En utilisant les relations (E.1), (E.2) et (E.3) :

     

sin h cos  cos H (G.6)

 

^{sin H}

 

sin a

cos(h)

 (G.7)

 

^sin

 

^{cos H}

 

cos a

cos(h)

  (G.8)

Coordonnées du point x du point A _A

Reprenons l’expressions de la coordonnée x de l’extrémité de l’ombre du style (G.4) . _A

     

xA  D cos  t g a  sin  

   

A

sin a

x D cos sin

cos a

   

        

         

A

sin a cos sin cos a

x D cos sin

cos a cos sin a sin

    

         

           

A

sin H cos sin sin cos H

x D cos sin

sin cos cos H sin H sin

     

          

           

 

²

         

A

sin H cos sin cos sin cos H

x D sin

      

     

   

 

 

                       

         

2 2

A

sin H cos sin cos sin cos H sin cos sin cos H sin sin H

x D

            

   

   

 

 

       

2 2

A

sin H cos sin sin H

x D

sin H cos sin H sin

    

   

  

 

 

       

         

2 2

A

sin H cos sin

x D

    

 

       

 

 

           

A

sin H

x D

 

        (G.9)

(5)

Calcul de l’ordonnée z du point A _A La relation (G.5) donne :

   

A

cos tg h

z D tg

cos a

  

        Si nous développons ^{cos a}



^{ }



nous obtenons :

   

         

A

cos tg h

z D tg

sin a sin cos a cos

  

        

   

             

 

A

cos sin h sin

z D

sin a cos h sin cos a cos h cos cos

   

        

Avec, les relations(G.6), (G.7) et (G.8) rappelées ci-dessous.

     

sin a cos h sin H et cos a cos h

   

sin

 

 cos H

 

, nous obtenons :

     

           

 

A

cos cos cos H sin

z D

sin H sin sin cos H cos cos

    

         

                 

             

2 2

A

cos cos cos H sin H sin sin sin cos H cos

z D

sin H sin cos sin cos cos H cos

         

 

          

               

             

2 2

A

cos cos H cos sin sin H sin sin

z D

sin H sin cos sin cos H cos cos

        

 

          

Soit finalement :

         

             

A

cos cos H sin H sin sin

z D

     

          (G.10)

Vérification pour un cadran solaire plein Sud ( 0) Reprenons les relations (G.9) et (G.10)

           

A

sin H

x D

 

       

 

   

A

sin H

x D

cos H sin

 

   

A

x D tg H

 sin



         

             

A

cos cos H sin H sin sin

z D

     

         

       

A

cos H

x D

sin cos H cos

 

     

(6)

3.1. Mesure de l’angle d’inclinaison du mur

Avec un style de perpendiculaire au mur OC = D nous allons nous intéresser à l’ombre portée OA , voir figure ci-après..

x '

o

x

z

o '

Nord Sud

Est

Ouest

y



y ' x1

y1

C xA

zA D

O' 

A

x

y

Ouest  Est

Sud o

A

z x1

C

y1

 D

Vue de dessus

Vue dans le plan du cadran solaire

Conformément à la figure ci-contre, la direction de l’ombre OA dépend du jour dans l’année et de l’heure du jour.

À partir de sa mesure, il sera possible de calculer l’angle  d’orientation du mur.

Figure 3.1: Ombre d’un style perpendiculaire au cadran 3.1.1. Calcul des coordonnées de l’extrémité de l’ombre du style

L’angle , pour une même heure, varie dans l’année, en effet les lignes horaires moyennes vont concourir vers un point D qui sera défini par une droite nord/sud passant par A et avec une direction parallèle à l’axe de rotation de la Terre. En fait ,nous pouvons considérer cette droite CD comme un style virtuel.

Nous avons vu au début de cette annexe (relation (G.1)), que dans le repère xoy le vecteur directeur de la direction du Soleil valait :

(7)

       

 

       

 

sin a cos cos a sin tg h

sin a sin cos a cos

V tg h

1

  

 

 

    

 

 

  

 

 

=

 

sin a tg h cos a

tg h 1

 

 

 

 

   

 

  

  

 

 

(G.11)

Comme ce style est perpendiculaire au mur, ses coordonnées dans le repère xyz sont :

xyz

0

C D

0

  

  

  

(G.12)

La droite AC dans ce repère xyz aura pour expression :

C C C

x y z

x x y y z z

v v v

    

x y z

x y D z

v v v

    (G.13)

À partir, de l’expression de la direction du Soleil (G.11) et des relations (G.12) et (G.13) nous obtenons l’équation dans le repère xoz de la droite AC

       

 

tg h y D tg h

x z

sin a cos a

     

    (G.14)

Pour obtenir les coordonnées du point 'A' dans le plan xoz et nous avons évidemment y=0, obtenons :

Pour l’abscisse x : _A

     

 

A

tg h D tg h

x sin a cos a

 

   

   

A

1 D

x sin a  cos a

    soit :

 

xA  D tg a  (G.15)

Pour l’abscisse z _A

   

A

D tg h z  cos a

  (G.16)

3.1.2. Calcul de la direction de l’ombre

La direction du Soleil est caractérisée par son azimut ‘a’ et sa hauteur ‘h’ qui connaissant le jour et l’heure peuvent établies par les relations (E.8) (E.9) (E.10).

L’angle de l’ombre  est défini par :

 

^A

A

tg x

  z les relations (G.15) et (G.16) donnent

   

 

sin a

tg tg h

    l’angle d’orientation du mur est donnée par :