Une propriété des hauteurs locales de Néron-Tate sur les variété abéliennes

J

OHN

B

OXALL

Une propriété des hauteurs locales de

Néron-Tate sur les variété abéliennes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

7, n

o

_{1 (1995),}

p. 111-119

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© Université Bordeaux 1, 1995, tous droits réservés.

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Une

_propriété

des hauteurs locales de Néron-Tate

sur

les variété abéliennes

par John BOXALL

Introduction

Soit K un _corps de

nombres,

soit K une clôture

algébrique

de K et soit

A une variété abélienne définie sur K. Le celèbre théorème de Mordell-Weil

affirme _que le _groupe abélien

_A(K)

est de

_type

_fini;

cette assertion avait été démontrée _par Mordell

_[Mo]

en 1922

lorsque

K =

Q

_et A _est de

di-mension un. Bientôt

après,

Weil a étendu le résultat aux

jacobiennes

des

courbes _propres et lisses de

_{genre &#x3E;}

1 définies sur un _corps de nombres.

Jusqu’ici,

toutes les démonstrations connues

_reposent

sur la notion de

hau-teur d’un

_point

dans un _espace

projectif:-

cette notion mesure la

complexité

arithmétique

d’un

_point

dans un _espace

projectif

sur un _corps de nombres.

Cette idée a été

_{poussée beaucoup plus}

loin _par Néron en 1965: à

_chaque

diviseur D de A

_(défini

sur

K)

Néron a associé une hauteur

hD:-

il

s’agit

d’une

_application

de

_A(K)

à valeurs dans R

_qui

s’écrit comme la somme

d’une forme

_quadratique

_qD et d’une forme linéaire

_{tD .}

Parmi les

_propriétés

les

_{plus remarquables}

de

_hD

on

_peut

citer les suivantes

:-(i)

Lorsque

D est

_ample,

_qD s’étend en une forme définie

_positive

sur

A(K’)

Q9 R _pour toute extension finie K’ de

_K,

(ii)

On a:

_{q[-,I-D == qD et}

_{1[-1]-D =}

-lD pour tout

diviseur D. En

particulier

ZD

est

_{identiquement}

nulle

_lorsque

D est

_symétrique,

(iii)

L’application

D -

_hD

est un

homomorphisme

du _groupe des

di-viseurs définis sur K à valeurs dans le _groupe additif des fonctions à valeurs réelles sur

A(K),

Son _noyau est le sous-groupe des diviseurs dont un

mul-tiple

est le diviseur d’une fonction rationnelle sur A.

On a

_également

=

hD (P)

_pour tout Q E Gal

_(K/K).

Comme

nous considérons dans toute la _{suite que} D est

_fixé,

nous _supposerons

désormais _que D est défini sur K et encore

(bien

_que cela ne soit _pas

toujours

nécessaire)

que D est

géométriquement

irréductible.

Outre ces

_{propriétés,}

Néron a établi une

décomposition

de

hD

comme somme de hauteurs locales. Afin de la

décrire,

_{pour tout corps} de

nom-bres .F on

désignera

_par

SF

l’ensemble des

places

(archimédiennes

et

non-archimédiennes)

de F. Pour tout v E

SF

on

désigne

_par

Fv

le

complété

de F en v. On

désigne

_{par Pv} la

place

de

Q

en dessous de v:-

_{lorsque v}

est une

place

finie de F on

_{désigne également}

_{par Pv} la

_{caractéristique}

du

corps résiduel de F en v. On note

F v

une clôture

algébrique

fixée de

_{F.~ .}

La hauteur locale de Néron associée à une

place v

E

SK

est alors une

application

de

_{A (Kv) B}

dans R et la formule de

_{décomposition}

de Néron

peut

s’écrire

où r~~ est une constante et P E

_A(.K)

_{n’appartienne pas}

à

Lorsque v

est une

_place

non-archimédienne où A a bonne

réduction,

peut

être définie ainsi:- soit M C

_{K v}

une extension de sur

_lequel

le

_point

P est

_défini,

soit

_{D M}

l’anneau de valuation de

_M,

soit 7r M un

générateur

de l’idéal maximal de

_De

_(on

_{supposera que} l’extension de v à M est

_discrète)

et soit _eM le

_degré

de ramification de M sur

_Qp~.

Désignons

par le modèle de Néron sur

_{Dv. D’après}

les

_propriétés

fondamentales

de

_Au,

le

_{point P}

s’étend de manière

_unique

en une section

~7M -~

_que nous

_{désignerons également}

_par P. De

_même,

le diviseur D s’étend en un

diviseur de Cartier

Vv

de

_L’image

_réciproque

de

_Vv

_par P s’identifie alors avec un sous

D M-module

libre de rang un de ~Vl:- il existe alors un

entier tel _que

_P*Dv

= On a alors .

Remarquons

que cette définition ne

_dépend

_pas du choix de M. En

_outre,

comme D est défini sur

K,

alors

hD,v (P)

_pour tout a E

Ga1 (K/K)

et _pour tout P E

_A~.K).

Les fonctions

_hD,v

en fait vérifient une liste de

_propriétés

donnée _par Néron

_qui

les caractérisent à une

con-stante additive

_près.

Notons que pour P

fixé,

hD,v ~P)

ne

_peut

être non-nul que pour un nombre fini de _v; on en tire _que la somme dans

(0,1)

_est,

en

réalité,

une somme finie.

Lorsque v

est une

_place

non-archimédienne où A a mauvaise

_réduction,

cette définition est modifiée en

_rajoutant

une

_{fonction Q}

_qui

se factorise _par

le

_quotient

étant la

_composante

neutre de Enfin

_{lorsque v}

un réseau convenable dans

C9 )

et dans ce cas

hD,v (P)

_peut

être

_exprimée

à l’aide de fonctions thêta associées au diviseur D. Pour les définitions

détaillées,

on consultera le travail

original

de Néron

[Né]

ou les livres de

Lang

[La]

ou de Serre

[Se].

Revenons à la formule

_(0,1)

où il est intéressant de connaître la constante ~D.

Lorsque

A est une courbe

_elliptique

et D =

[0]

cette

question

a été étudiée par Tate dans une lettre à Serre

[Ta].

En

réalité,

dans la formule

(0,1)

il est commode de

décomposer

la constante xD comme somme de

«constantes locales» et de

_remplacer

_(0,1)

_par une formule de la forme

on

_peut

alors se demander s’il existe un choix des "’D,v

_qui

est

_plus

naturel que les autres. On

parle

alors de «normalisation» des hauteurs locales. Dans

[Ta],

Tate a

_proposé

_(lorsque

A est une courbe

_elliptique

et D =

[0])

de telles

normalisations. Posons = ₊

r-D,,:

parmi

les caractérisations

proposées

par Tate

figurent

les suivantes:

JJ étant une mesure de Haar sur

A( K v) ;

où

_{A ~N~}

_désigne

le groupe des

points

de N-torsion de A.

Il est clair _que, si

_{l’intégrale}

et la limite

_existent,

elles déterminent

uniquement

les _xD,v. L’existence de

_{l’intégrale}

_(0,3a)

est facile à établir

car la fonction n’a

_{qu’une singularité logarithmique}

en 0. En ce

qui

concerne

(0,3b),

il est

_également

aisé d’établir l’existence de la limite à l’aide des formules

_explicites

données par Tate: on montre _{notamment que}

dans le cas de bonne réduction la limite est nulle si l’on _suppose = 0

(i.

e.

_A[o],,

= En

fait,

(0,3b)

_est valable même

lorsque

l’on

_remplace

[0]

par un diviseur

_quelconque,

au moins si l’on _{suppose que} la limite soit

prise

sur _{les .N}

_premiers

à _pi.

Le but de cet article est d’établir un essai de

généralisation

de cette

dernière observation aux variétés abéliennes de dimension

_quelconque.

Afin

d’en donner l’énoncé

_précis,

fixons une

place

finie v de K où A a bonne

réduction et _{posons g =} dim A. Notre but est de démontrer la formule suivante

:-THÉORÈME.

Avec les notations et les

_hypothèses

_qui

viennent d’être

intro-duites,

on a :

Nous

_ignorons

si la condition _{que Pv} ne divise _pas N

_peut

être

supprimée

lorsque

dim A &#x3E; 1. En

_outre,

la

_question

de l’existence de la limite

_(0,4)

_(et

la valeur de

_{l’intégrale analogue}

à

_(0,3a)

_pour les

_places

_infinies)

reste en

suspens pour les

places

de mauvaises

réduction;

de

même,

l’interprétation

des valeurs des

_{intégrales analogues}

à

_(0,3a)

_pour les

_places

infinies reste à étudier. Par

_ailleurs,

_Hindry

_[Hi]

a récemment démontré _que r~D est liée à

la hauteur de D introduite _par

_Philippon

dans son travail

[Ph].

Esquissons

l’idée de la démonstration du théorème. Pour

_justifier

_(0,4),

il suffit de considérer le cas où D est une variété irréductible sur

Kv :-

nous aurons besoin alors d’une deuxième

interprétation

de l’entier

D)

in-troduit avant

_(0,2).

Pour tout n E N

_désignons

par l’anneau

ar-tinien Si x est un

objet géométrique

défini sur on

_désigne

_{par Xn}

_l’objet

sur

R5"M)

obtenu à

_partir

de x _{par extension}

de scalaires à

~,Ml .

_{L’interpretation envisagée}

de

_{qM(P, D)}

est alors la suivante:- si D est

_effectif,

alors

_{D) -1}

est le

_{plus grand}

entier r~ tel

que la section se factorise _par l’inclusion

Dn

C

An.

Soit E

_{(resp. ~n )}

la réunion des _groupes

_{A ~N~}

_(resp.

des

_points

de N-torsion de A

_{(resp. An)}

_{pour tout} N non-divisible _{par p~,.} On

_montre,

à l’aide d’une idée de

_Mumford,

_que le cardinal de

£o n

Do(~)

est

_Q(N2g-2)

lorsque

N tend vers l’infini. Afin d’en déduire

(0,4),

il sufht donc de _prouver

que

1JM(P, D)

est

majoré lorsque

P

parcourt

E avec

P ft.

Comme A a bonne réduction en _v, tous les éléments de E sont définis sur l’extension

maximale non-ramifiée de

_Kv.

On

_peut

alors

_prendre

M =

Kvr

_et

considérer comme une

algèbre

locale de

_type

fini sur l’anneau des

vecteurs de Witt de

_{longueur n}

sur une clôture

algébrique

due 1~. L’étude

des sections sur

R5"M)

_peut

ainsi être ramenée à l’étude des

_points

rationnels sur

l~

d’une variété abélienne définie sur k à l’aide du foncteur de

Green-berg

[Gr]

en imitant une

_technique

due à

_Raynaud

[Ra].

_{Le § 1}

est consacré

aux

_rappels

sur le foncteur de

Greenberg

et la démonstration elle-même est

l’objet du §

2.

Dans ce

_{qui suit,}

la

_place

finie v étant

_fixée,

nous la

_supprimerons

de

de

_0,,

_{p pour} la

_{caractéristique}

du _corps résiduel

_k,

A à la

_place

de

_,~4~,,

M _pour l’extension maximale non-ramifiée de K etc. Il

_n’y

aura

plus

au-cune référence directe au _corps de nombres K introduit au début de cette introduction.

Je remercie L Moret-Bailly et le réferé de m’avoir signalé une erreur dans une version

précédente de ce travail et d’avoir tiré mon attention au résultat de _[Mu-Fol utilisé dans le

§2.

1. Le foncteur de

_Greenberg

Le but de ce

paragraphe

est de

rappeler quelques

résultats du travail de

M. J.

_Greenberg

_[Gr].

Soit k le corps résiduel de K: pour tout entier n E N

on

désigne

_par

Wn

le schéma en anneaux des vecteurs de Witt de

_longueur

n + 1 sur 1~.

Rappelons

_que en tant _que

schéma, Wn

est _spec

Tl,

...

Tn]

]

muni de deux lois de

_composition

telles _{que pour} toute extension

_parfaite

J~’ de

_k,

_Wn(k’)

s’identifie avec l’anneau des vecteurs de Witt de

longeur

n _par

_rapport

à 1~’. On

_peut

alors considérer

R~~~

(que

l’on

désignera

désormais tout

_simplement

par

Rn)

comme une

Wn(k)-algèbre

de

_type

fini.

Le foncteur de

_Greenberg

dont il _{y est question} ici est un foncteur

covari-ant X H X d’une certaine

_{sous-catégorie pleine}

_{Ré a ’I/R,,}

_(dont

les

_objets

s’appellent

les schémas

_{réalisables)}

de la

_catégorie

des schémas sur

~

dans

la

_catégorie

des schémas sur k. Ce foncteur satisfait aux

propriétés

suivantes

_(notre

liste est essentiellement la _{même que} celle donnée par

Ray-naud

_[Ra]):

1 Si X est

_réalisable,

alors

_{X (Rn}

_Q9Wn(k)

s’identifie

canonique-ment avec

X ( 1~’ )

_pour toute extension

_parfaite

J~’ de

_k;

II Tout schéma de

_type

fini sur

_Rn

est réalisable et sa réalisation est de

type

fini sur

_k;

III Si X ~ Y est une immersion fermée et si Y est

_réalisable,

alors X

est réalisable et X - Y est une immersion

fermée;

IV Si S est réalisable et si X et Y sont deux S-schémas

_qui

sont

réalisables,

alors

_{X x s}

Y est réalisable et sa réalisation est

_{canoniquement}

isomorphe

à X

_X-J°

_Y;

V Si .X est un schéma en _groupes

_commutatif,

il en est de même _pour

X ;

en

_plus,

si

_{f :}

X _-~ Y est un

_homorphisme

de _groupes, il en est de même pour

f :

X --~

Y;

les _groupes

_Wn(k’))

et

_{X ( ~’ )}

sont

VI Si

X~

E

_Réal/Rn

alors =

X~

est réalisable _pour

tout r n et il _y a une

surjection

naturelle

Xn -

X n-r;

tout

morphisme

f n :

Xn H Yn

induit un

_diagramme

commutatif:

VII Si

_Xn

et

Yn

sont des schémas en _groupes et

_f

est un

homomor-phisme,

alors toutes les flèches dans

_(1,1)

sont des

_{homomorphismes;}

Soit l’anneau des vecteurs de Witt de

_longueur

infinie de l’ex-tension

_parfaite

1’ de k:- on

_peut

alors considérer D comme une

W,,(k)-algèbre

de

_type

fini et il en est de même _pour

lorsque

k’ est une

extension finie de k.

VIII Si X est un schéma sur l’anneau de valuation Ù de K tel _que

Xn

= X _xD

Wn(k)

soit réalisable

pour tout rc, alors pour toute extension

parfaite

k’ de

_1~,

est en

bijection

_canonique

avec

Wn(k’))

et

_puis

avec les

applications

étant

les

_surjections

de

_VI;

IX Si X est un schéma en _groupes, les

bijections

_canoniques

de VIII

sont des

_{isomorphismes}

de _groupes.

Notons _que selon la

_propriété

_I,

les éléments de

_{X(Rn Q9}

sont

«réalisés» _par les

_points

sur k’ de

_X,

ce

_qui

explique

la

_{terminologie.}

En

outre,

si

k

_désigne

une clôture

algébrique

de

1~,

Gai (kjk )

opère

sur

Wn (k)

via

l’opération

naturelle et la

_bijection

standard entre

_{Wn (k)}

et *

En

_prenant

l’action triviale de

_Gal(!/k)

sur

R~,

on obtient une action de

Gal(k/k)

sur et l’on en déduit _que la

_bijection

de I

_(lorsque

1~’ =

J~)

est

équivariante

_pour le

groupe de Galois de

k/k.

De

même,

si M

désigne

l’extension maximale non-ramifiée de

_K,

alors les groupes de Galois de et de s’identifient

_{canoniquement}

et les

_bijections

de VIII et

les

_{isomorphismes}

de IX sont

_{équivariants.}

2. Démonstration du théorème

Dans ce

_paragraphe

nous allons donner la démonstration du théorème

une variété irréductible sur .K car le cas

général

s’en déduit en utilisant

la formule

_{1/M(P, D ::1: D’)}

=

1/M(P, D) :1:

qm (P,

D’).

Reprenons

les

nota-tions

_déjà

introduites vers la fin de l’introduction: sauf _{que si P} E

_A(K)

alors M C

_Kv

_désigne

une extension de sur

laquelle

P est défini

(nous

supprimons

ainsi momentanément la

_supposition

que M soit l’extension maximale non-ramifiée de

_K).

Vérifions d’abord _que 17 M

(P, D) - 1

est bien

égal

au

_{plus grand}

entier n

tel _que la section

_Pn

se factorise _par l’inclusion

Dn

C

An.

Soit S’ =

specDv

et soit U = _spec B un ouvert affine de .~4 contenant

_l’image

de S par P et telle _que D soit

_représenté

sur U _par un élément

_f

de B. Alors P induit un

homomorphisme

de

Dv-algèbres

Ep : B --&#x3E;

Dam.

Alors P _E

IDI

si _et

seulement si = 0 et si

~P ( f ) ~

0 alors

1/M(P,D)

=

L’assertion devient alors claire en tensorisant avec

_{(n E N).}

Montrons ensuite que le nombre de termes de la somme dans

_(0,4)

est

_O(N2g-2)

comme affirmé dans l’introduction.

D’après

ce

_{qui précède,}

&#x3E; 0 si et seulement si

_Po

E et il suffit donc de montrer

que le cardinal de

nDo(k)

est

O(N2g-2)

_lorsque

N tend vers l’infini.

Pour ceci on utilise une méthode semblable à la démonstration de la

propo-sition 7.7 de

_[Mu-Fo].

Soit C une courbe dans

Ao

_{coùpant proprement}

Do

et contenant

_l’origine.

Alors

_{A [N]}

₉

N*C et le cardinal de

_{Do (k)}

est donc

_majoré

_par la valeur de l’intersection

_(N*C.Do).

_Or,

où

_{Do =}

_{-1~*Do

et nous avons utilisé le fait _que les diviseurs

N*Do

et sont linéairement

_équivalents

_{[Mu] (p59).}

Comme

2 2 0

Do

est effectif il en est de même pour

Dô

et donc

(N*C.Dû) 2:

0. On en déduit immédiatement que le cardinal de est bien

0 (N29-~ ) ,

Afin de terminer la démonstration du théorème énoncé dans

l’introduc-tion,

il suffit alors de montrer _que les entiers

_{’qD (P, D)}

demeurent bornés

lorsque P

parcourt E

et

_{P tfi.}

Nous allons

_appliquer

la théorie du foncteur de

_Greenberg

aux schémas abéliens

A~ _

,A

_Xgpeco

spec Rn,.

Soit

An

le schéma en _groupes sur 1~

correspondant

à

An

et soit

Gn

le noyau de réduction modulo

7rn+l

dans

_A(K).

Alors on

_{dispose d’isomorphismes:}

En identifiant Gal avec Gal

(Z/k),

ces

isomorphismes

deviennent

des

_{isomorphismes de}

Gal

_Désignons

par

Gn

le noyau du

morphisme An --&#x3E;

Ao

de VI.

_{Puisque Ao}

=

Ao

_{est une} variété

abélienne,

(3~

contient le sous-groupe maximal

unipotent

de

A,,:

on sait _par ailleurs

que

G~

est tué par

multiplication

par une certaine

_puissance

PA-

de _p, que l’on suppose minimale par

rapport

à cette

propriété.

On en tire _que

est une variété abélienne _que l’on

désigne

_par

An .

Lorsque n

&#x3E; m, le

_morphisme

_{An -}

_Am

de VI induit un

morphisme

_{pn,m :}

A~ --~ A~.

Rappelons que

(resp.

désigne

la réunion des _groupes de

_points

de N-torsion de A

_(resp.

de

_An)

_pour tout N non-divisible _{par p.} Il convient de

désigner

par le même

objet

associé à

An

(ou

à

An~.

Notons que, comme

A est à bonne

_réduction,

tous les éléments de E sont définis sur on en _{tire que} les

Gal(k/k)-modules

_En

sont

_isomorphes

à E _{pour tout} n. On

sait que

En

est

_isomorphe

à _pour tout n et l’on en déduit d’abord _que

tout les Gal

_{(k/k)-modules}

_{E, En}

et

_En

sont

_{canoniquement}

_isomorphes

et

ensuite _{que pn,m} est une

_isogénie

de

An

sur

Am

de

_degré

une

_puissance

de

p. Soit

Dn

l’intersection de

Dn

et de

_A~.

_D’après

_{III, Dn}

est fermé et on en déduit _que

D~

est fermé dans

A~.

_D’aprés

la

_propriété

_I,

est en

_bijection

_canonique

avec

Dn (k):

on en tire que.

Dn

(Wn(k))

est

en

_bijection

avec

D’ (k) n

E~.

Enfin pn,m envoie

_D~

dans

_D~

si n &#x3E; m et

donc induit une

_injection

de n

_E’

dans n

_E~.

En

_particulier,

le

_système

d’ensembles

_En)

forme un

système

décroissant de

parties

de

_{£1 .}

Puisque

tous les éléments de E sont définis sur

Knr,

on

_peut

pren-dre M = Knr _{ce. que} nous ferons désormais. Notons alors _que

Rn

Oo

Wn (k)

pour tout n. Pour n &#x3E;

_0,

soit

_En

l’ensemble des P E E avec n.

Lorsque n &#x3E; 1,

on sait

_{que P}

E

_En

_équivaut

à

_Pn-i

E

mais En utilisant les

bi-jections qui

précèdent,

on en tire _que

En

(pour n &#x3E; 1)

est en

_bijection

avec

le

_{complémentaire}

de

_En)

dans n La

démonstration du théorème sera donc achevée _par celle du lemme suivant

:-LEMME. Le

_systèmes

est stationnaire à

_partir

d’un certain rwg no, et fl

_En)

est en

_bijection

avec

D(K)

_{n~ .}

Démonstration.

Puisque

Ç

_D

lorsque

m _n, le

_système

_pnto(Dn)

de

propres et

Dn

est un fermé de

A~,

est un fermé de

Ai

=

Aa.

Par

noethérianité,

la suite est donc stationnaire. Comme la restriction de pn,o à

~n

est

_bijective,

on obtient la

première

assertion. La deuxième

assertion est une

conséquence

du fait _que la

bijection

de VIII induit une

bijection

entre :E et

_~~

_pour tout n.

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John BOXALL

Département de _{Mathématiques} Université de Caen

Esplanade de la Paix 14032 Caen _Cedex, France e-rnail : boxallûmath.unicaen.fr