Théorèmes de réflexion

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

EORGES

G

RAS

Théorèmes de réflexion

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

10, n

o

_{2 (1998),}

p. 399-499

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_2_399_0>

© Université Bordeaux 1, 1998, tous droits réservés.

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Théorèmes

de

réflexion

par GEORGES GRAS

RÉSUMÉ. Soit K un _corps de nombres contenant _03BCp et muni d’un

groupe

d’automorphismes

G d’ordre

étranger

à p ; pour toute

représentation

Fp-irréductible

Vx

de

_G,

de caractère _{~, et tout} G-module

_M,

soit

_{rgx (M)}

l’entier r maximum tel _que

_M/Mp

contienne

_Vrx.

Nous établissons par

exemple

la formule

générale

explicite

sui-vante :

$$rg~*

(ClST) -

rg~(ClTS) =

03C1~

(T, S),

où T et S sont des ensembles finis

_disjoints

de

_places

de K tels que T ~ S contienne les

_places

au-dessus de poo, où

ClST

est le _groupe

de classes

_{généralisées qui correspond,}

par le corps de

classes,

au

groupe de Galois de

la p-extension

abélienne maximale

T-ramifiée,

S-décomposée

de

_K,

et où

_{03C1~ (T,}

_S)

est une

_expression

_algébrique

élémentaire et *

l’involution

_qui

_échange

les caractères selon la dualité de Kummer

_classique.

Cette

_formule,

ainsi que celles obtenues en dehors de

l’hypothè-se sur les

_places

au-dessus de _poo, conduisent à la théorie la

_plus

générale

du

_{"Spiegelungssatz"}

de

_{Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e.}

avec

_{conducteurs),}

à la

_{généralisation}

d’un

_grand

nombre de

résul-tats isolés

_(notamment

dans le subtil cas _p =

2),

et enfin à des formules de _{rangs pour} les

principaux

invariants

_{arithmétiques}

attachés à K.

ABSTRACT. Let K be a number field

_containing

_{03BCp and}

_supplied

with a _group of

_{automorphisms}

G of

_prime

_{to p}

_{order ;}

for all

Fp-irreducible

representation

V~

of

_G,

with character ~, and all G-module

_M,

let

_rgx(M)

be the maximal

_integer

r such that

M/Mp

contains

_Vr~.

We obtain for instance the

_following

_{explicit general}

formula :

$$rg~*(ClST) -

rg~(ClTS) =

03C1~(T,S),

where T and S are finite

disjoint

sets of

_places

of K such that T ~ S contains all

_places

above _p~, where

_ClST

is the

_generalized

Manuscrit reçu le 24 octobre 1997.

Mots-clés. _{"Spiegelungssatz"} avec _conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps

de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et _{caractères, ~-rangs, p-rangs,}

extensions de _{Kummer, décomposition} des idéaux _premiers, p-ramification abélienne, conjecture

class group

corresponding, by

class field

_theory,

to the Galois

group of the maximal abelian p-extension, T-ramified and

S-splitted

of K, and where

_{03C1~ (T, S)}

is an

_elementary

_algebraic

ex-pression

and *

the involution which acts on characters

according

to classical Kummer

_duality.

This

_formula,

and those obtained without the

_hypothesis

about

the

_places

above p~,

give

the most

_{general "Spiegelungssatz"}

of

Scholz-Leopoldt-Kuroda

(i.e.

with

_conductors),

_{generalizations}

of a _great number of isolated results

(especially

in the subtil case

p =

2),

and rank formulas for the _main arithmetical _invariants attached to K.

SOMMAIRE

Introduction. 401

Chapitre

I. Théorie

_générale

du

_{"Spiegelungssatz"}

403

1. Théorie de Kummer élémentaire. 403

2.

_{Décomposition}

des idéaux

_premiers

dans une extension de

Kummer

_cyclique

de

_degré

_premier

_p. 405

3. Caractères

_p-adiques.

410

4. Involution du miroir

_{( "Spiegelungsrelation" ) .}

418

5.

_Corps

de classes et théorème

_général

de T-S-réflexion. 420

6. Théorème de Dirichlet

_galoisien.

Calculs de rangs. 438

Chapitre

II.

_Inégalités

du

_{"Spiegelungssatz"}

442

Introduction. 442

7. Enoncés dans le cas

_{p #}

2. 444

8. Enoncés dans le cas _p = 2. 455

9. Cas

_particulier

des ensembles de

_places

"assez

_{gros" .}

472

Chapitre

III. Autres formules de rangs 475

10. Formules de _{rangs pour} les _groupes

_{ri T}

_{(T D}

475

11. Formules de _{rangs pour} les _groupes

_K2(ZK,T).

485

12. Formules _{de rangs}

_{conjecturales}

en K-théorie

supérieure.

491

494

Index des

_principales

notations. 494

INTRODUCTION.

La forme

_générale

du

_{"Spiegelungssatz"}

_pour les _p-groupes de classes des

corps de

nombres,

dans le cas

"semi-simple" ,

a été donnée _par

_Leopoldt

dans

_[Le]

en 1958. Le cas des p-groupes de classes

_{généralisées}

a été ensuite

abordé _par Kuroda dans

_[Ku]

en 1970. Enfin des extensions au cas "non

semi-simple"

ont été établies ultérieurement par Oriat

[01],

qui

a

également

approfondi

le cas _p = 2

(cf.

[02],

[03]),

_{et par} Oriat _et

Satgé

[OS].

Des _cas

particuliers

avaient été démontrés

_auparavant,

_{principalement}

_par

Kum-mer

[K],

Hecke

[Hel]

et Scholz

_[Sc],

le travail de ce dernier étant le

_plus

emblématique

dans la mesure où il _compare les

3-rangs

des _groupes des

classes

des corps

quadratiques

et

_Q(~,,/--3d),

d E Z.

Le

_{" Spiegelungssatz"}

_classique

consiste essentiellement en des

_inégalités

sur les _p-rangs de

_composantes

convenables du _groupe des classes d’idéaux

et conduit

_également

_{à des théorèmes d’annulation de groupes de classes}

réelles,

dans le cadre de

_{l’arithmétique abélienne,}

à

_partir

de l’annulation

classique

des _groupes de classes relatives par l’idéal de

Stickelberger

(cf.

[G5],

[04], [8]

pour le corps de base

Q,

une théorie

_générale

devant

normalement résulter des

_conjectures

de Stark

_[TBS,

_{chap. IV,}

_§6]).

Or il se _{trouve que} des situations

plus générales

(par

exemple

celle des

groupes de classes

correspondant

au _corps de classes

_T-ramifié,

S-décomposé)

sont

_également

_susceptibles

du même

_{principe, lequel,}

rappe-lons-le,

"compare"

la théorie de Kummer et la théorie du corps de

classes ;

l’intérêt d’introduire des _groupes de classes

_{généralisées}

réside dans le fait

que, dès que T U S’ contient les

places

au-dessus de p, les relations du

"Spiegelungssatz"

sont des

_égalités,

contrairement au cas du théorème de

Leopoldt,

ce

qui

_permet

de mieux

comprendre

les véritables

"symétries"

du théorème de réflexion. Il en résulte

_également

des formules de _rangs de

groupes de Galois de diverses

p-extensions abéliennes,

attachées

naturelle-ment à un _corps de

_nombres,

comme celles données dans

~G1~, [G2], [G6],

puis,

de

_{façon systématique,}

_par Jaulent dans

_{~J 1~, [J2], [J3], [J4].}

En

_outre,

une étude

approfondie

de ce

principe

donne des

renseignements plus précis

que ceux usuellement énoncés dans la littérature. C’est ce _que nous allons

développer

ici

_{systématiquement,}

et selon un nouveau

_point

de vue

_qui

permettra

d’interpréter

les

_inégalités

_classiques.

Ce travail n’utilise que la théorie du corps de classes et celle des

représen-tations des _groupes dans le cadre

_semi-simple,

mais avec la

_plus

_grande

généralité

possible.

De ce

fait,

ce texte nécessite un

système

de notations en

_{rapport ;}

nous avons

_choisi,

au

_prix

d’une certaine

surcharge,

de n’utiliser

que des notations très

explicites.

Le

_chapitre

I a _pour but d’établir l’énoncé suivant

(théorème 5.18)

qui

conduit à tous les énoncés

_particuliers

du

_chapitre

II et les calculs de _rangs du

_chapitre

III :

Soit _p un nombre

_premier,

soit K un _corps de nombres contenant le

groupe pp des racines

p-ièmes

de l’unité et muni d’un groupe

d’automor-phismes

G d’ordre

_étranger

à _p.

On fixe deux ensembles T et S

_{finis, disjoints, G-invariants,}

de

_places

de K

_(T

=

To

_C formé de

places

finies,

S =

So

_U

5oo

_C

P.~o

U formé

de

_places

non

complexes),

on

_désigne

_par

_Tp

= T fl

PÊp,

Sp

= S n

Pep,

les sous-ensembles de

_{places p-adiques}

de T et

_S’,

et on _{pose :}

où ep est l’indice de ramification de p dans

Alors on _{a, pour tout} caractère

Qp-irréductible x

de

G,

et avec

x*

=

wX-1,

l’égalité générale

suivante 1 :

qui,

pour G =

1,

donne la relation suivante _sur les _{p-rangs :}

Dans le cas

particulier

où

_Tp

U

_{Sp = P£p}

et

0

ou il _y a

"échange"

de la T-ramification et de la

_{S’o-décomposition}

ainsi _que

_(pour

p =

2)

des sens "ordinaire" et "restreint" _pour donner les

_{égalités :}

qui,

pour

p ~

2,

se réduisent

(avec

So

=

s)

à :

1 _Dans

cette _égalité,

_CÉÇI

est le groupe de Galois de la _p-extension abélienne T-ramifiée,

S-décomposée, maximale de K et

_Cɧ

celui du p-corps de rayon modulo m*, T*-décomposé (on

a

CIT*

= dès _que Tp U Sp = _{Plp) ; le x*-rang de est donné}

par celui de

CIS,

avec

Chapitre

I. Théorie

_générale

du

_{"Spiegelungssatz"}

1.

THÉORIE

DE KUMMER

ÉLÉMENTAIRE.

Soit K un _corps de

nombres,

et soit G un _groupe

d’automorphismes

de

K,

de corps

fixe k ;

on _suppose

que K

contient le _{groupe pn} des racines

n-ièmes de l’unité pour un certain entier n &#x3E; 2. On considère les extensions

abéliennes finies

_L/K

_d’exposant

diviseur de n et

_galoisiennes

sur

1~. 2

Fixons une telle extension L de K. Dans K X

/ Kxn

on considère le radical

de

_{L/K :}

où

_signifie

_va

_pour un

représentant

a E w

_(ceci

a un sens car

va

est défini modulo mais pn C

_K).

Il est clair _que G

_opère

sur W

puisque

L/k

est

_galoisienne

_(mais

on ne sait _pas encore _que L =

K(

~/tV)).

On

_désigne

_{par :}

le _groupe de Galois de

_puisque

l’on a

supposé

galoisienne,

G

_opère

_par

_conjugaison

sur

_A,

et on _{pose pour tout} s E G et tout a E A :

pour

n’importe

quel s’

~

_Gal(L/k)

_prolongeant

s.

Proposition

1.1. On a

l’isomorphisme

canonique

de _{groupes :}

W ~

_{Hom(A, Mn)}

noté

Â.

Démonstration. Soit w on lui associe

l’application

suivante 3 :

On a bien _cpw e A car

pour tout a, b E

_A,

ce _que l’on

_peut

écrire sous la forme d’une

_application

f:

1

dont on vérifie _que c’est un

_{homomorphisme}

de _groupes.

20n retrouve la théorie de Kummer classique (i.e. sans _{groupe opérant)} en faisant G = _{1 et}

donc k = K.

3Dans laquelle la racine de l’unité ₍ ne _dépend pas du choix de IW défini modulo Kx.

Si,

pour le

représentant

a de _w, on a

(-va)a-1 =

1 pour tout a E

_A,

alors E

_K,

et w = Kxn. D’où

l’injectivité

de

f .

La

_{surjectivité}

de

_f

est donnée _par le "théorème 90"

_{cohomologique :}

en

effet,

tout élément _cp -

e Â

définit _un

1-cocycle ;

il existe donc

u E L’ tel

_{que (a =}

pour tout a

E A,

et w = _e W convient

comme antécédent.

Corollaire 1.2. On a L =

Démonstration. On a donc à montrer que L C

K( V’W)

au sens de

(1) ;

il suffit _que l’on ait M = _pour toute

ex-tension

_M/K

_cyclique

de

_degré

_dln,

M C L

_(car

on a V =

Rad(M/K)

C

W = et L _{est un}

composé

de tels _corps

M) :

_comme,

d’après

la

_{proposition 1.1,}

V -&#x3E;-

_Gal(M/K),

V =

_(v)

est

_cyclique

d’ordre

_d,

d’où v -

₍₃

e

_{(3 tt}

K x d/d’

pour tout

_{d ;}

or

= est bien de

degré

d _sur K : si o, est un

_générateur

de on a

~( d , )

- ~ d , , ~

si

dld

est l’ordre de

_(,

il =

( ~) d’ ,

soit (3

_{e ce}

qui

implique d’ =

d. D’où

K ( ~) - M .

Définition 1.3. On munit

A

de la structure

_canonique

de G-module définie

par pour tout a e A

_(cp

E

_{A, s}

E

G). 4

Le

_problème

est alors le suivant : comment

_{l’application}

_f

_{(cf. (3))}

se

comporte-t-elle

vis-à-vis des

_opérations

de G sur

A,

A

et W ? Pour cela on

doit introduire le "caractère

_{cyclotomique" 0 :}

Définition 1.4. On

_{désigne par 0 :}

G --~

(Z /nZ)*

le caractère de l’action

de G sur _~Cn

(i.e.

tel _que

s«) =

(8(8)

_pour

tout (

_{e pn} et tout s E

_G).

Théorème 1.5.

_{L’isomorphisme W ^-,}

A

_(cf.

_proposition

_1.1)

est un

iso-morphisme

de G-modules

_(cf.

_définition

1.3 _pour la loi de

_{G-module) ;}

autrement

_dit,

_pour tout w E W -

_Rad(L/K)

et pour tout s E

_G,

on a

( n ws)a-1 =

( y’W)a8(S)S-1

-1,

pour tout a E A.

Démonstratzon. Soit s’ un

_prolongement

de s dans

_{Gal(L/k) ;}

comme les

radicaux sont définis modulo _pn, on

_peut

_toujours

_{supposer que}

ytUjS

=

4L’écriture _cps(a) = cp(as) ne définit pas une loi de G-module à _{gauche ; quant} à l’écriture

cp(aS-l),

elle définit une loi de G-module à _{gauche qui} n’a pas les bonnes propriétés

(

y’W)S’,

auquel

cas il vient :

ce

_qui

démontre le

_premier

_{point ;}

_ensuite,

on a :

D’où le théorème.

Corollaire 1.6

_(dualité

de existe une

forme

bilinéaire non

dégénérée À définie

par :

(cf. (3)),

pour

laquelle

on _{a, pour tout} s E G :

et telle _{que, pour} tout _sous-groupe V de W et tout _sous-groupe B de

_A,

on

a :

Démonstration. La forme À est non

dégénérée :

si

( n w)a-1 =

1 pour tout a E

_A,

c’est _que

_(i.e.

2u =

K"n) ;

si

( ’~ w)a-1 -

1 pour tout

w E W c’est _que a fixe =

L,

donc _que a = 1.

L’action de G est une autre écriture de la relation donnée par le

théorème 1.5.

- .. - . , 1 / - /-w-1 1 . 1. 1 - T ’r - n n%r _ _ .

Remarque

1.7. On _pourra

_également

se référer à

l’approche

cohomo-logique

de la théorie de Kummer décrite par Birch dans

[CF,

chap.

III].

2.

DÉCOMPOSITION

DES

IDÉAUX

PREMIERS DANS UNE EXTENSION DE

KUMMER CYCLIQUE DE

DEGRÉ

PREMIER _p.

Soit K un _corps de nombres contenant _pp =

(()

_{pour p}

premier,

et soit

w E Si p est un idéal

_premier

de

_K,

les valuations

p-adiques

des

Désignons

par

Ap

le

complété

de K en _p,

_puis

_par

Op,

K’p,

son anneau

d’entiers,

son _groupe des unités

(muni

de la filtration habituelle

= 1 + i

~

1)

et son _corps résiduel.

On a

alors

(d’après [He2,

§39]

et

_{[H]) :}

1

Théorème 2.1.

_{Soit p}

un idéal

premier

de K et soit w E

repré-senté _par un élément a E

_{K" ;}

on a les résultats suivants : .’

(i)

Si

0

dans alors est

_ramifiée

en _p.

(ii)

Supposons

v’p(w)

=

0~

auquel

_{cas on}

peut

supposer a E K" fl

_{U’p :}

.’

(ii)i

Si P f

p alors p est

décomposé

(resp. inerte)

dans si

~ E

_{(resp. sinon).}

(ii)2

Si

_plp

alors est non

_ramifiée

et seulement si il

lorsque

c’est le est

_décomposé

dans

_(i.e.

a E et

seulement si,

en

_posant

a =

~~ (1

-I-p(1 -

()7J,,),

7J" E on a :

Remarques

2.2.

_(i)

_{Soit ep l’indice de ramification de p} dans

_{K/Q(pp) ;}

la _{congruence :}

est

_équivalente

à la suivante :

car

P(1 -

=

pP’p Op,

mais cette dernière écriture ne _{permet pas} de lire facilement la nature de la

_{décomposition}

de p dans

Enfin,

pour

approcher

il suffit de calculer :

(ii)

L’application

trace dans est

_{surjective ;}

ainsi on

_peut

déter-miner une fois _pour toutes

_rio

E

_!7p

tel _que

_71p)

= 1 par

_exemple,

_et

on aura inertie

_{de p}

dans

_(i.e.

_{a e}

si et seulement si il existe À e Z -

_pZ

et

_ep

e

_U~

tels _{que :}

50n a donc a E

_K;P

si et seulement si il existe E _U~ tel que a = mod _{p(1 - ()POp ;}

mais ayant obtenu a = _{-1- p(1 - ()i7p),} la _{solubilité de la congruence précédente est donc}

Lorsque

le

_degré

résiduel

_{de p}

dans

_K/Q

est

_étranger

à _p, on

_peut

_prendre

17~

=

1, auquel

cas p est inerte dans

K( çfi7) /K

si et seulement si il existe

Exemples

2.3. Pour K =

Q(B/201323,~), ~

racine

primitive cubique

de

l’ unité,

considérons _{pour E} =

2 (25

₊

3B/69)

(unité

fondamentale

de

_{Q( V69)}

C

_{K) ;}

en

_remarquant

_{que s -=}

-(1

+

3B/69)

mod

_9,

on a donc

e -

(-1)3(1+3Hy-23) == (-1)3(1+3(1-j)j -23)

mod 9

(car ~_

j(1 - j)),

d’où E =

(-1)3(1

₊

3(1 -

avec _q

= j -23 - -23

_{mod p}

(pour

tout

₁₃₁₃

dans

_K).

Comme 3 est

_décomposé

dans

_Q(B/201323),

₂₃

-À mod p

(avec

À =

±1),

ce

_qui

montre _que 3 est inerte dans

_[il

est clair que est

_partout

non

ramifiée,

et on

_peut

enfin vérifier

que est le

composé

HQ( j ) ,

où H est le corps de classes de Hilbert

de

_{Q( 23))].}

Démonstration du théorème. Les

_points

_(i)

et

_(ii)l

étant

_évidents,

sup-posons que a E w est une unité

_p-adique

et _que

_plp.

On

_rappelle

_(cf.

_[S2,

chap.

III,

§ 5])

que

Kp

admet une

_unique

extension

cyclique

non ramifiée de

degré

p

qu’il

convient de définir de

façon

kummérienne :

Lemme 2.4. = 1

+ p(1 - ()?7, 7y

_E

Op.

Alors est

non

ramifiée ;

elle est de

degré

_p

(i. e.

et seulement si on a

t

Dérraonstration. On _{remarque que x} =

{/K -

1 _est racine du

_{polynôme :}

ensuite y

=

y2013

est racine du

_{polynôme :}

où les ai sont

multiples

de d’où :

c’est un

polynôme

séparable

sur

_K,

qui

a 0 ou _p racines dans

KI’

puisque

si

_P(y)

=

_{0 pour}

_E

Kp,

on a

P(y

+

_o)

=

0 pour

tout a On sait

également qu’il

est irréductible sur

_K~

si et seulement si il

_n’y

admet _pas de

racines. 6

Le lemme de Hensel montre alors _que si P a une racine dans

_{Kp ,}

P a une

racine dans

_Kp

et on a K e sinon

_(i.e.

si P est irréductible sur

Kp ) ,

P est irréductible dans et est une extension non ramifiée de

degré p

de

_{K~ .}

Comme le lemme en résulte.

Ainsi,

connaissant l’extension résiduelle

_Kp/Fp,

il suffit de _{poser :}

pour définir

l’unique

extension de Kummer non ramifiée de

_degré

_p de

_{K. ;}

pour

[Kp :

étranger

à p, on

_peut

prendre :

Revenons maintenant à l’extension Si cette extension est

non ramifiée en p c’est que, par

unicité,

a =

~o

À _E Z

(cf. (1)),

et on obtient la _congruence

a == ç:

mod p(1 -

()Op.

On a donc bien une

équivalence,

ce

qui

démontre

complètement

le

point

(ii)2

du théorème.

Remarques

2.5.

_(i)

En utilisant le théorème

_{d’approximation,}

on

_peut

écrire _que

_(a

_{supposé étranger}

à

_p)

est non ramifiée en _p si et

seulement si il

_{existe e}

E K’ tel _que l’on

_ait,

dans K :

si c’est le _cas, la

_{décomposition}

de _p dans se lit sur les

_images

résiduelles modulo

_p~p

de l’élément

_{p-entier :}

En

_particulier

_(cf.

_remarque

_2.2,

_(ii)),

si le

_degré

résiduel de

_plp

dans

K/Q

est

_étranger

à _p, alors p est inerte dans

_{K( çfi5) /K}

si et seulement si

il existe À E Z -

_{pZ et g}

E K" tels _{que :}

(ii)

Le cas _p = 2 est

particulièrement simple puisque,

_{pour un corps} de

nombres K

_quelconque

et pour a E

_K",

_étranger

à

_2,

l’extension

est non ramifiée en 2 si et seulement si il

_{existe e}

e KX tel _{que :}

6En effet, un _{Kp-isomorphisme} non trivial de _{Kp(y) (P(ÿ) -} 0, Y ft. Kp ) est tel que

si c’est le cas, on forme :

pour en déduire la

décomposition

de

p 12

dans

K ( va) / K.

Si le

degré

résiduel de

_pl2

dans

_K/Q

est

_{impair alors p}

est inerte dans

_{K(fl) /K}

si et seulement si il

_{existe ~}

E K x tel _{que :}

(iii)

Le lemme 2.4 montre que le

plus

petit

module

ph,

tel que

7:

est donné _{par :}

(iv)

On démontre facilement

_(en

déterminant la suite _{des groupes de}

ra-mification G =

Go

= ... =

Gt,

1,

et en _{notant que} le

_p-conducteur

normique

de est donné _par

_(cf.

_{[H], [S2,}

_{chap. XV,}

_§2])),

que,

pour plp :

(iv) i

si

_{vp (a)}

= 0

_{mod p,}

et si l’on _suppose

_qu’il

_y a

ramification,

alors

le

_{p-conducteur normique}

de

_(a

_pris

_étranger

à

_p)

est :

où m _pep est l’entier maximum pour

lequel

la _{congruence :}

a une solution

_{dans K ;}

(iv)2

si

_{vp(a) t=}

0 mod _p, ce

_p-conducteur

est

_égal

à

_ppep+1.

Définitions 2.6. Soit K un _corps de nombres contenant _{yp, et, pour}

plp,

soit ep l’indice de ramification

de p

dans

_{K/Q(pp) :}

(i)

Les modules et

_ppep+l

_{s’appellent}

_{respectivement}

le module de

p-primarité

et le module de

_{p-hyperprimarité}

dans K

_(cf.

_[H]).

(ii)

Un élément a E Kx est dit

_p-primaire

s’il est de la forme :

Il est dit

_p-primaire,

s’il est

_p-primaire

_pour tout

_{p~p ;}

_par

_conséquent,

c~ E K" est

_p-primaire

s’il est de la forme :

(iii)

Soit

_Ap

un ensemble d’idéaux

_{premiers p}

au-dessus de _p

dans K ;

alors

F formé des éléments

_p-primaires

_pour

_{tout p}

E

_Ap.

Si

_Ap

est l’ensemble de tous les idéaux

_{.p ~p,}

ce _sous-groupe se note

_{Fp_prim}

_..

Les résultats

_précédents

conduisent

_également

à la formulation suivante

qui

nous sera utile dans la section 5 :

Proposition

2.7. On a la suite exacte

_canonique

_(oic

_plp,

_pp =

(~~) :

3.

CARACTÈRES

p-ADIQUES.

Fixons un nombre

_premier

_{p ;} considérons comme _corps de base le _corps

Qp

des nombres

_p-adiques

et soit

_cCp

le

_complété

d’une clôture

_algébrique

Qalg

d Q P .

3.1. Caractères

_{Qp-irréductibles.}

Soit G un _groupe fini

d’ordre 9

et soit

(resp.

3ip(G) =

3i)

l’ensemble des caractères

_{Q-irréductibles}

_(resp.

_{Qp -irréductibles)}

de G.

Rappelons

comment sont obtenus les éléments de 3i à

_partir

de ceux de W

(d’après [S1,

§

12]) :

Soit e

e W et soit u e si l’on pose :

(1)

=

pour tout s E

_G,

on définit

_ue

_qui

est dit un

Qp-conjugué

de

e.

On sait _{que pour}

_{tout X}

e

_X,

il existe un caractère absolument

irréducti-ble e

E iY et un entier _mx

(l’indice

de

Schur)

8,

tels _{que :}

la somme étant

prise

sur l’ensemble des

Qp-conjugués

distincts

0’

de

0.

On utilisera la notation :

pour

indiquer

que 0’

est un terme

_{de X}

dans la somme ci-dessus.

Pour calculer

_{E1/J’ lx}

_e’,

considérons le corps

Qp

où go est par

ex-emple égal

au _p.p.c.m. des ordres des éléments de

G,

et _{posons :}

identifié

_{canoniquement}

à un _sous-groupe de Le corps des

valeurs,

sur

_Qp,

des caractères

1b’,

est une extension ne

dépendant

_que de _x,

8Pour le calcul de mx en _général, voir _{(S1, §12.2] ;} dans la situation "semi-simple" (p ne divise

notée contenue dans et alors

_(cf.

_{[SI, 312.4]),}

tout

Qp-conjugué

de est de la forme

_’ljJa

_9,

où :

pour a E

_{(Z /goZ)*}

_{correspondant}

à u E r

_(i.e.

tel que

a(fl) =

Ça

pour tout

ç

E

_I1go).

Conclusion 3.1. Posons

_P.

= et

désignons

_par

D.

un

_système

exact de

_{représentants}

dans des éléments 7j E

_{r /r x ;}

on a

donc,

en

_fixant

arbitrairement un terme E W de X :

est le

_degré

commune des

Qp-conjugués

de

lb,

alors le

degré

X(1)

de X

est

_{donné Par la formule :}

Définitions 3.2.

_{Soit 1b}

E on

_appelle

_noyau de

v,

le _noyau d’une

représentation

p : G ~

Aut(V)

de caractère à

savoir,

Ker ’ljJ =

ts

E

G, ps

=

idvl = {s

_E

G,

O(s) =

~(1)}

(cf.

[SI,

§6.5,

ex.2]).

On _remarque que

Kere

ne

_dépend

_pas du choix du

_Qp-conjugué

de ujJ

et que l’on

peut

ainsi noter

_{Ker x}

ce _noyau commun. On en déduit un

caractère x’

de

Gx =

G/Ker

_x,

Qp-irréductible,

de _noyau

trivial, appelé

le caractère fidèle

associé à ~.

3.2. Définition des

_{x-composantes}

et des _x-rangs

_{(cas semi-simple).}

Supposons

maintenant que p ne divise _pas l’ordre _g de

G ;

on a alors les

simplifications

suivantes :

Lemme 3.3.

_Lorsque

p ne divise _{pas g,} on a _{mx = 1 pour} tout _X E

_3Cp(G)

(cf.

conclusion

_{3.1) ;}

en

_outre,

_Rx

=

Zp[G]ex,

avec

e. - 9 E

X(s-l)s,

sEG

est

_isomorphe

à

_l’algèbre

de matrices où

_7-p(X)

est l’anneau des entiers de

_{(z. e.}

l’anneau des valeurs de

_{el X}

sur

7Lp).

Démonstration. Les

_ex

constituent un

_système

fondamental

d’idempo-x

tents

_orthogonaux

centraux de

_{Qp [G]}

et même de

_Zp[G].

_D’après

_{[R, § 17],}

l’algèbre simple

est

_isomorphe

à une

algèbre

de la forme

Mr(Cx),

où

_Cx

est un _corps

_gauche,

_et,

dans cet

_{isomorphisme,}

a _pour

image

Mr(Zx)

où

_Zx

est le

_Zp-ordre

maximal de

_{Cx ;}

_d’après

_{[R, (41.7),}

(14.3)~,

dès _que

_{p ~}

_g, les

_algèbres

considérées sont non

ramifiées,

d’où le fait

que

Cx

est un _corps

(commutatif),

ce

qui

démontre _{que mx} = 1

(cf.

[SI,

§12.2]).

Comme le caractère de est

_1/;(l)X,

on a r =

~(1),

d’où

[Cx :

-

; il suffit alors de montrer que contient un _sous-corps

isomorphe

à

_{Qp (X)}

_pour en déduire _que

Cx

est

isomorphe

à

Qp (X) ;

or on

vérifie immédiatement _que

_{l’application :}

est un

_isomorphisme

de

_{Qp-algèbres [si}

_{xe1/; =}

Onadonc:

L’algèbre

Rx

est,

d’après

le lemme

_3.3,

un

_Zp-module

libre de _{rang :}

On

_rappelle

maintenant que si p ne divise _{pas g,} les

_{représentations}

irréductibles sur

_~

et

_T~

se

correspondent bijectivement

(cf.

[SI, §15.5]),

par "réduction modulo

p",

de la

façon

suivante :

Si U est une

_{Qp-représentation}

irréductible,

_pour tout

_Zp-réseau

M de

_U,

stable _par G

_(i.e.

tout

_{sous-Zp[G]-module}

de

_{Zp-rang maximum), M/MP}

définit une

_unique

_{Fp -représentation}

irréductible

V ;

ainsi on

_peut

parler

du caractère d’une

_{Fp -représentation}

V =

E9i Vini, Vi

irréductibles

distinctes,

ni e

N,

comme étant le caractère de la

Qp -représentation

U = i

qui

"relève" V.

En

_particulier,

_{l’anneau Fp [G]}

est le

_produit

des anneaux

_{Rx/pRx, x}

e

_X,

qui

sont

_simples

_(cf.

_[SI,

_§

_15.5])

et

_RxlpRx

_est, en tant _que

_{représentation}

de G

_{sur Fp,}

_p

_isomorphe

à _’x ’

_{1flx, où V}

v)

x est la

_{représentation}

_Fp-

p

irréductible de

_{caractère X}

au sens

précédent.

Soit maintenant M un

Z[G]-module

de

_type

fini,

et

_{considérons,}

pour x e

_X,

la

_x-composante

de M :

Comme

_{représentation}

sur Q9

_{M)ex :::}

_MXIMXP

_(ex

vu ici est

_isomorphe

à r &#x3E;

_0,

ce

_qui

conduit à _poser la

définition suivante :

Définition 3.4

_(x-rang

d’un

_G-module).

_{Soit X}

E

_Xp(G)

et soit M un

le _x-rang de M et est noté

_{rgx (M) ;}

c’est donc le "

nombre de fois _que la

représentation

Fp-irréductible

de

_{caractère X}

est contenue dans

_MIMXP

".

Remarques

3.5.

_(i)

Si G =

1,

on a =

1,

Rx

=

Zp, Mx

=

Zp

₀

M,

et on _pose

rgx(M)

=

rgP(M)

10

qui

s’appelle

alors le _p-rang de M et est

égal

à la dimension du

_Fp-espace

vectoriel

_M/MP.

(ii)

Il

_vient,

pour

tout X

E

(iii)

Lorsque

M est un _groupe fini

(cas

des groupes de classes

qui

nous

r

intéressent

_{particulièrement}

_ici),

on a où les ai sont des

i=l

idéaux à droite de

_Rx,

de même

_Zp-rang

que

Rx

(cf.

[R,

ex.4,

p.202]).

(iv)

Si M est un Z-module

libre,

_pour tout corps

Q

de

caractéristique

nulle, Q 0 M,

comme

Q[G]-module,

et

Fp

0

_M,

comme ont

même

_caractère,

et on

_peut

donc conduire les calculs _par extension des

scalaires arbitraire en

caractéristique

0

(en

effet,

il suffit de faire les calculs

de caractères à

_partir

d’une Z-base de

_M).

(v)

Pour toute suite exacte de

_{Z[G]-modules :}

on _{a, pour}

_{tout x}

E la suite exacte :

(en

effet,

Zp

est

_plat).

(vi)

Pour tout

_Z[G]-module

M de

_type

_fini,

on a évidemment :

Exemples

3.6

_(cas

abélien d’ordre

_étranger

à

_p).

Si G est abélien d’ordre

étranger

à s’identifie au dual de G. Soit

alors o

E ;

le caractère

Qp-irréductible X

associé

_{à e}

est donné

_(cf.

conclusion

_3.1)

_{par :}

où = étant l’ordre _commun des

Qp-conjugués

de

or

_D.

est ici

_engendré

par le Frobenius de p, et on a :

on _{remarque que}

_]

est

_égal

à l’ordre de _p modulo _gx.

10 Ne pas confondre les notations

_rgp(M)

_{(caractéristique} du cas G = ₁₎ et _{rgi (M) (qui} existe

pour tout G) .

On a

(cf.

lemme

3.3) :

qui

est l’anneau des entiers de C’est donc un anneau commutatif

principal

et tout

_Rx-module

de

_type

_fini,

du

_type

_Mx

_(cf.

_(8)),

_peut

être écrit sous la forme :

auquel

cas on a :

autrement

_dit,

dans ce _cas, le _x-rang coïncide avec la notion usuelle de

Rx-rang, défini comme étant la dimension de

MIMP

sur le _corps

Rx/pRx.

3.3. Cas des

g-familles.

Soit k un _corps de nombres fixé et soit

kga’

l’extension

galoisienne

maxi-male de k de

_{degré étranger à p}

_(au

sens

profini) ;

posons 9

=

On _{suppose maintenant que} G est le _groupe de Galois d’une extension

galoisienne

finie K de k dans

_{kgai ;}

dans ce _cas,

(resp.

se

note

_vK

_(resp.

et est dit l’ensemble des caractères

_(CP

_(resp.

Qp)-irréductibles de K. 12

Définition 3.7.

_{Si X}

E

_{X K,}

le _sous-corps de K fixe par

Ker x

(cf.

défi-nitions

_3.2)

est une extension

galoisienne

de

k,

notée

KX ;

ce _corps KX ne

dépend

que du caractère fidèle issu

de X

et,

en un sens

évident,

ne

dépend

pas du

corps K

dans servant à le définir.

Supposons

alors _que l’on

_dispose

d’une famille de

_{Zp[g]-modules}

de

_type

fini,

(MF)F,

indexée _par l’ensemble des sous-extensions

_galoisiennes

finies

F/k

de et _pour

_laquelle

on

dispose d’applications

naturelles de

Q-modules :

telles _{que :}

(par

exemple,

est la _{famille des p-groupes de classes d’idéaux des}

corps

F,

ou des _{groupes pour} le _groupe des unités

EF

de

F,

et les

applications

N

_{et j}

sont

_{respectivement}

les "normes" et les

_{"extensions" ) .}

12 Ce vocabulaire vient du fait que toute représentation de G peut être vue comme

L’hypothèse

"p

ne divise _pas l’ordre de

g"

entraîne facilement _{que toutes}

les

_applications

_{NF yF}

sont

_surjectives

et toutes les

_{applications ’}

in-jectives

(ce

qui

n’est évidemment pas le cas sans cette

_hypothèse).

Soit

_{alors X}

e

~K

et soit

_x’

le caractère fidèle

_{correspondant ;}

on a

(cf.

lemme

_{3.3) :}

où s’ E G

_désigne

un

représentant

arbitraire

de s ;

d’où :

où

_e’,

est un antécédent arbitraire de _ex’ dans la

projection

canonique :

Par

_conséquent,

il vient :

Ainsi,

la définition de la

_x-composante

_{Mx (cf. (8))}

ne

dépend

_pas de

l’extension K utilisée pour la définir

(on

peut

toujours

la calculer à

_partir

d’un caractère

_fidèle,

dans le _{corps Kx}

_qui

lui

_{correspond) ;}

_par

_exemple,

ona:

Conclusion 3.8. Au

_triplet

_formé

_par

_k,

le nombre

_premier

p et la

G-famille

(MF)F,

est donc associée

_{canoniquement}

une

_famille

in-dexée par

’xkgal

= _avec

X’

est le caractère

fidèle

associé à x, pour

laquelle

on _{a, pour} tout K c

kgal, la

_{décomposition :}

3.4. x-rangs des

représentations

de

_permutation.

Illustrons ces calculs de x-rangs dans un cas

_particulier

de

_{représentation}

induite que nous rencontrerons sous la forme suivante : est une

ex-tension

_galoisienne,

_{de groupe de Galois G}

_{d’ordre g étranger}

à _p, et V est

un

l$-espace

vectoriel dont une base est indexée _par l’ensemble des

places

on fait

_opérer

G sur V en

_{posant :}

Soit

_Hv

= H le sous-groupe de

_{décomposition}

d’une

_place

po fixée de K

au-dessus de v et soit h = alors si _{est un}

_système

_exact

de

_{représentants}

des classes de G modulo

_H,

tout s’écrit

ai sipo, et il est clair _que V est la

_{représentation}

de

permuta-tion

_VH

de G modulo H

_(cf.

_{§ 3.3,}

_ex.2]),

_{représentation}

_que l’on

_peut

également

écrire sous les formes suivantes :

Nous

_montrerons,

à la section

_6,

_{que pour} tout _sous-groupe F d’indice fini dans le _groupe

_EE

des E-unités de

_K,

où E est un ensemble fini de

_places

de

_,K,

stable _par

_G,

la

_{représentation Fp}

0153

_(Fp

0

_F)

_est,

_{essentiellement,}

la

somme des

_{représentations}

_{VH" , v}

_parcourant

l’ensemble formé des

_places

à l’infini de k et de celles en-dessous des éléments

_{de E ;}

nous rencontrerons

également

ces

_{représentations}

dans d’autres

_{circonstances,}

et il convient

donc

_d’indiquer

comment on calcule leurs _x-rangs.

La

_{représentation}

_VH

est induite par la

représentation

unité de H et

son caractère est donc Pour déterminer le _x-rang de

_VH,

il suf-fit de déterminer le

_produit

scalaire

_qui

donne le nombre de fois que

VH

contient la

représentation

l$-irréductible

de

caractère X ;

or

(cf.

(S 1, §7.2]),

la formule de

réciprocité

de Frobenius

conduit à _{&#x3E;G =} &#x3E;H, où est la restriction à H du

_{caractère 1b}

de G. On a alors :

Résumons ces

propriétés

dans l’énoncé suivant :

Proposition

3.9. Soient G un _groupe et H un _sous-groupe de

_G,

et soit

VH

la

_{représentation}

de

_permutation

de G modulo

_{H ;}

alors le caractère de

VH

est :

Remarques

3.10.

_(i)

Si H est normal dans

_G,

VH

est alors la

représen-tation

_régulière

de

_G/H

dont les caractères

_{1Fp-irréductibles}

sont les

élé-ments de

_{Xp (G)}

dont le _noyau contient

_{H ;}

dans ce cas on a :

Px =

(resp. 0)

si H C

KerX

(resp.

H g

Kerx).

Si HX est

_l’image

_canonique

de H

_(non

_supposé

normal dans

_G)

dans GX =

G/Ker X (cf. définitions 3.2),

_{on a} immédiatement

(en

confondant,

par

abus,

un caractère et son caractère fidèle

associé) :

qui

montre _{que px} est aussi le _x-rang de la

_{représentation}

de

_permutation

de GX modulo

_{HX ;}

on

_peut

donc

appliquer

ce

_qui

précède

à cette

_situation,

ce

_qui

est

_{plus précis}

comme le montre

l’exemple

suivant :

Soient G =

S3

=

(a)

x

(T),

H =

(T)

et 0

le caractère de

degré

1 de

noyau

(Q) ;

on a Hx = Gx -

Z/2Z

et _par

conséquent

HX est normal dans

Gx sans _{que H} le soit dans G.

(ii)

L’application canonique

est un

_{homomorphisme}

de G-modules

_{surjectif ;}

_VH

est donc facteur direct de la

_{représentation}

_régulière

de

G 13

et on a

(égalité

si et

seulement si H C Ker

_x).

Avec G =

S3

=

(a) x (T),

H =

(T),

mais

pour le

caractère ’lj;

de

degré

2

(pour

lequel

~(1) =

2,

~~~2) _

-1,

~~T) _

~~T~2) _

0),

on illustre ce

_phénomène

_puisque

i 2 (e (1)

+

_16(T))

= 1.

3.5.

_Comparaison

des

_{représentations}

_M/Mp

et

On utilisera souvent le résultat suivant :

Proposition

3.11. Soit _p 2cn nombre

_premiers

et soit G un _groupe

_fini

d’ordre

_étranger

à _p. Si M est un

Z[G]-module

fini,

alors les caractères de

et

_{M~p~ _ {x}

E

_M,

xP =

11

sont

égaux.

Démonstration.. Il suffit de montrer que, pour

chaque X

E

_3ep(G),

_M/MP

et

_M(p~

contiennent autant de fois la

_{1Fp-représentation}

irréductible

_Vx

(cf.

§

3.2).

Posons = =

Vr’ ;

la suite exacte de

Zp[G]-modules : .

conduit à :

et

_puisque

M est

_fini,

il vient :

d’où r = r’.

Corollaire 3.12. Si M est un

Z[G]-module

fini,

où G est un _groupe

_fini

d’ordre

_étranger

à _p, on a

rgx(M)

= =

rgx(M(p~),

_{pour tout}

x e

4. INVOLUTION DU

_{MIROIR ~ "SPIEGELUNGSRELATION" ~ .}

Le cadre est le suivant : on fixe un nombre

_premier

_p, un _corps de

nombres K contenant le groupe _{pp des racines}

p-ièmes

de l’unité et on

considère un _groupe

_{d’automorphismes}

G de

_K,

_{d’ordre g}

non divisible _par

p. On

désigne

toujours

par

(resp.

Xp(G) =

X)

l’ensemble des

caractères

_Cp

_(resp.

_{Qp) -irréductibles}

de G et _{par ex -}

_¿sEG

l’idempotent

central associé à un caractère

_{Qp-irréductible X}

(cf. §3.2).

Les

_{Zp[G]-modules}

de

_type

fini

M 14

admettent la

_{décomposition :}

Soit L une extension abélienne finie

_{p-élémentaire}

de

_K,

_galoisienne

sur

k =

KG,

soient W =

Rad(L/K)

et A =

Gal(L/K)

(cf.

section

1) ;

_{on a}

alors :

Nous allons traduire le résultat du théorème 1.5 en termes de

X-compo-santes

_(i.e.

en termes

_{d’idempotents) ;}

on va voir

_qu’il

suffit de munir

_Zp[G]

d’une involution

_{(l’involution}

du

_miroir)

_qui

est la suivante :

Définitions 4.1.

_(i)

On

_désigne

par c~ le caractère de Teichmüller

(i.e.

le

caractère w : : G - C

_Z*,

où est

_l’unique

élément de congru à

0(s)

modulo

p) (cf.

définition

1.4).

On retrouve 0

(pour

n =

p)

au _moyen du

_composé

_{d’applications}

suivant :

(ii)

On

_désigne

_par * _{l’involution de}

Zp[G]

définie _{par :}

Remarque

4.2. _{Si pp} =

KG

(ce

qui

est

toujours

le cas _{pour p} =

2),

l’involution * est donnée par :

L’involution *

est l’identité si et _{seulement si pp} C 1~ et G est 2-élémen-taire.

Lemme et définition 4.3. Pour

_{tout x}

e

_Xp(G),

on a

_e~

=

ex.’ où

X* =

Wx-l (X-1

étant

_défini

_par

_{x-1 (s) - x(s-1 )}

_pour tout s E

_G)

est un

élément de

_Xp(G)

_(appelé

le

_reflet

de

_X).

Démonstration. L’irréductibilité de

_x*

va

_provenir

de celle

_{de X}

(ce

_qui

constitue une

équivalence

puisque *

est une

involution).

Soit e

E ~ tel _{que ;}

où

_r/rx

est le _groupe de Galois du corps des valeurs

de 0

sur

Qp

(cf.

conclusion

_{3.1) ;}

comme

_{x* =}

on a

_{x* =}

mais comme _pp-i C

_Qp,

on a w = _{uw pour} tout _{Q E}

r,

ce

_qui

fait _que

_{X* =}

~(~’~-1).

On

_peut

donc étendre l’involution

*

à l’ensemble

_~,

et il suffit alors ici de montrer que

~*

=

E ~ ;

_or

(cf.

§ 2.3,

th.

_5])

on a :

Ensuite on a facilement :

Théorème 4.4. Soit K un _corps de nombres contenant _J.Lp, et soit G un

groupe

d’automorphismes

de

K,

d’ordre

étranger

à p. Soit L =

W C

_{K’ IK’P,}

une extension de

Kummer,

galoisienne

sur k =

KG,

et

soit A =

Gal(L/K).

_Alors,

pour tout X E on a

l’isomorphisme

de

Démonstration. Posons B = _on sait

(cf.

corollaire

1.6)

que B = _ce

qui

permet

d’écrire : .

ainsi B =

A,.

et A ce niveau on a

des

_{isomorphismes}

de

_G-modules,

et on en déduit

(d’après

le théorème 1.5

appliqué

à W =

Wx

et A =

Ax* ),

l’isomorphisme

de G-modules anoncé. "5 En utilisant la notion

_{de X}

et

_{x*-rangs (cf.}

définition

_{3.4 )}

on obtient le

corollaire suivant :

Corollaire 4.5. On _{a, pour}

_{tout x}

E

_{Xp(G) :}

5. CORPS DE CLASSES ET

THÉORÈME GÉNÉRAL

DE

T-S-RÉFLEXION.

On se

_place

dans le contexte de la section 4

_(théorème

4.4

_notamment),

et on fait maintenant

appel

au _corps de classes _pour

interpréter

le _groupe

A =

Gal(L/K)

_en termes de

groupes de classes

généralisées,

en fonction

de la nature de la ramification

_imposée

dans

_L/K.

On

_peut

donc varier

considérablement les situations.

Nous allons tout de suite établir les résultats les

_{plus généraux}

possi-bles

_qui

_donneront,

_par

_{spécialisation,}

un

_grand

nombre de

conséquences

pratiques.

On _suppose

_toujours

_que le _{corps K contient le groupe yp des} racines

p-ièmes

de

_l’unité,

car

l’objectif

est de _comparer théorie du _corps de classes

et théorie de

_Kummer,

mais cette

_hypothèse

n’intervient

_{qu’au-delà}

des définitions 5.1 dans

_lesquelles

nous allons

rappeler

les éléments du _corps de

classes

_{"T-ramifié, S-décomposé"}

_(on

_peut

se référer à

[AT], ~J 1~, [M]).

Définitions

_générales

5.1.

(i)

Ensembles de

_places.

On

_désigne

_{par :} l’ensemble des

_places

_{de K ;}

on a :

où

_P£o

_(resp.

_PRoo,

_pÊr

@ est l’ensemble des

places

finies

(resp.

des

places

à

_l’infini,

_réelles,

_complexes)

de K. On _pose

_{également :}

15L’application directe du théorème 1.5 donnerait W N

Â,

soit

(Â)x,

mais l’involution du miroir se traduit alors par (Hom(A, lip»x = _{ttp) (cf. définition 1.3).}

Par

_commodité,

on utilise les valuations

p-adiques

_{vp de}

K, p

E

_Pé,

sachant

que pour p e

_Pé£

et x E

_{vp(x) =}

0

_{(resp. 1)}

si

_ap(z)

&#x3E; 0

_(resp.

orp (x)

0),

où ap est le

_plongement

réel de K

associé

à _p, les éléments de n’intervenant pas. On

convient,

comme dans

~J1~, [M],

_que les

places

à l’infini réelles ne se ramifient _{pas :} dans une extension

LIK,

un élément

de

_P~~

est soit totalement

_décomposé,

soit de

_degré

résiduel

_égal

à 2

_(on

parle

alors de

_{complexification) .}

(ii)

Groupes

de nombres et d’idéaux. Soit T un ensemble fini de

places

finies de K et soit

_Aoo

un sous-ensemble de

PÊ’

.

on

désigne

_{par f}

un

module 16

de K construit sur T

(i.e.

un élément du monoïde

engendré

_par

T) .

On

_désigne

_{par :}

{rc

E 0 pour

tout p ~ T

U le sous-groupe de

K X formé des éléments

_étrangers

à T et

_positifs

sur

- K"p~°° ,

le sous-groupe des éléments totalement

positifs

de

_{KT ,}

K

Tf T , - ,

IK

=

I,

le

groupe des idéaux fractionnaires non nuls de

K,

Ix,T

=

IT,

le

sous-groupe de I formé des idéaux

étrangers

à

T,

PK

= P

= (x), x

_E

K" x,

le _groupe des idéaux

principaux,

A A

-en

particulier,

PT,

_f =

(resp.

=

PT fs)

est le _rayon

_{modulo f}

_qui

_correspondra

au "sens ordinaire"

(resp.

au "sens

restreint" ) .

(iii)

Groupes

de classes. Soient T et S’ deux ensembles finis

_disjoints

de

places

de K ;

on _{suppose que} T ne contient _pas de

places

à l’infini et _que

,S’ ne contient _pas de

places

à l’infini

complexes,

et on _pose

(cf. (1)

et

_{(2) ) :}

Soit f

un module de K construit sur

_{T ;}

on

désigne

_{par :}

le

_p-Sylow

de

où

_{Pé£ -}

_Soo

et où

_{( So ~}

_désigne

le _sous-groupe de I

_engendré

_par

_{~S’o .}

Le groupe

s’appelle

le p-groupe des S-classes de rayon

modulo fi

de K.

Par

_exemple,

si T = S =

0,

Cires est le _p-groupe des classes au sens

16Appelé également cycle dans la littérature sur le corps de classes, dans la mesure où l’on choisit de faire intervenir les places à l’infini au niveau de la ramification, ce _qui n’est pas le cas

restreint ;

de

_même,

_Céf

=

e.efes

est le _p-groupe des classes de rayon modulo

f au

sens restreint. Si ,S‘

_{PÊ’ ,}

alors et =

C£ ord

00 ₍₁₎ f f

sont

_{respectivement}

le _p-groupe des classes au sens ordinaire et le _p-groupe

des classes de _rayon

_{modulo f}

au sens ordinaire.

Si

0

_(resp.

_Pé£),

on notera

_aussi,

_par

_commodité,

en termes de

So-classes :

(iv)

Groupes

d’unités. On

_désigne

_{par :}

le _groupe des S-unités de K

_(e

E

ES

est donc

_positive

sur

_{Pî’ -}

800

et de

signature

arbitraire sur

5oo)?

Par

_exemple,

si S =

0,

E0 =

EPOS _est le _groupe des unités totalement

positives

de K. Si S =

pÊr 00,

est le _groupe des unités au sens

_{ordinaire ; plus généralement,}

si

_{Soo = 0 (resp.}

_Pé£),

ES

=

ESop°S

(resp.

ESoord)

est le _groupe des

_So-unités

totalement

_positives

_(resp.

au sens

ordinaire).

Remarque

5.2. Ne pas confondre le

principe

de notation utilisé dans

(ii)

pour certains sous-groupes de et celui utilisé ici au niveau des

unités ;

dans le

_premier

_cas, il

_s’agit

de définir les _sous-groupes de K’ associés aux _rayons définissant les _groupes de classes

_{correspondants,}

et

pour

lesquels

on fait

apparaître

explicitement

la ramification

(T)

et le

_type

de

_{complexification}

_{= P~~ - S~),}

allant du sens ordinaire au sens

res-treint ;

dans le second _cas, les _groupes d’unités sont

_associés,

au

contraire,

au-delà du cas limite

E0

=

EPDS,

à la

décomposition

(S)

_imposée.

Il _est

alors normal _que, au niveau de la

_{Soo-décomposition}

soit

_équivalente

à la

_{A,,,,-complexification.}

Enfin, lorsqu’un

ensemble de

_places

est vide ou un module

_égal

à

(1),

le

_{symbole 0}

ou

(1)

sera

_{systématiquement}

omis dans la notation

corre-spondante

(en

particulier,

une notation du

_type

C.~

(resp. E)

_désigne

un

groupe de classes au sens restreint

(resp.

un _groupe d’unités totalement

positives),

ce _que nous notons néanmoins _par C.eres

_{(resp. EPOS)}

_pour éviter

toute

_confusion,

bien _que ceci soit

_surabondant)

17.

(v)

Extensions. On

_désigne

_{par :}

l7De plus la distinction _{C.eord (resp. Ep°S,}

_Eord)

n’est utile que dans le cas _p = _{2 ;}