Descente et parallélogramme galoisiens

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

R

ICHARD

M

ASSY

S

YLVIE

M

ONIER

-D

ERVIAUX

Descente et parallélogramme galoisiens

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{1 (1999),}

p. 161-172

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Descente

et

_{parallélogramme galoisiens}

par RICHARD MASSY et SYLVIE MONIER-DERVIAUX

RÉSUMÉ. Soit _p un nombre _premier

_impair.

Soit

_D/J

une

p-extension

_galoisienne

de _corps ne _{contenant pas} les racines _p-ièmes

de l’unité :

_{J ~ 03BCp}

=

{1}.

Notons G le groupe de Galois de

D/J

et 03A6(G)

son sous-groupe de Frattini. Via une notion de descente

galoisienne

et les

_{parallélogrammes}

_{galoisiens qu’elle}

_induit, nous

construisons ici toutes les extensions

_D/J

telles que

03A6(G)

soit

d’ordre _p.

ABSTRACT. Let p be a _prime number. Lest

D/J

be a Galois

p-extension which does not contain the

_p-th

roots

_{of unity:}

_{J ~ 03BCp}

=

{1}.

Denote

by

G the Galois group of

D/J

and

by

03A6(G)

the Frattini

_subgroup

of G. Via a Galois descent notion and the

induced Galois

_{parallelograms,}

we construct all the extensions

D / J

such

_{that 03A6 (G)}

is of order p.

Connaissant une

_p-extension

_galoisienne

_qui

contient le _{groupe /Zp des}

racines

_p-ièmes

de

_l’unité,

comment décrire une

_p-extension

de même _groupe de Galois mais ne contenant

_plus

ces racines ? Pour

_répondre

à cette

ques-tion,

nous introduisons une notion de "descente

galoisienne"

_qui

consiste

intuitivement à translater sur un _sous-corps une extension

_galoisienne

don-née.

_Après

avoir défini

_{précisément}

un

"problème

de descente" induit _par

la donnée d’une extension

_galoisienne

_E/K

et d’une extension

_algébrique

K/J,

nous obtenons d’abord un critère de résolubilité d’un tel

problème

lorsque

est une

_p-extension

et

_K/J

une extension

_galoisienne

de

de-gré

non divisible _{par p} comme

lorsque

K =

(théorème 1).

Avec

la contrainte

_{supplémentaire}

d’une classe de

_cohomologie

_fixée,

nous ré-solvons ensuite

_{explicitement}

un

problème

de

plongement

à _noyau d’ordre p d’une

p-extension

galoisienne

non kummérienne via les solutions du

pro-blème kummérien translaté

_{(théorème 2).}

Lorsque

l’on

_{figure géométriquement}

par des

segments parallèles

de

lon-gueurs

égales

les extensions

galoisiennes

dont les groupes de Galois sont

isomorphes,

la descente

_galoisienne

induit une notion de

"parallélogramme

galoisien"

qui

généralise

celle d’extension

_galoisienne.

Un

_{parallélogramme}

ses solutions. Toutes les

_propriétés

usuelles de la théorie de Galois

clas-sique

s’étendent aux

parallélogrammes galoisiens

(cf.

(7~);

nous en

_énonçons

quelques

unes dans la

_proposition

1. Puis nous _prouvons l’existence

arithmé-tique

des

_{parallélogrammes galoisiens}

et

_{généralisons}

à ceux-ci le

_dévissage

canonique

d’une extension

_galoisienne

de corps de nombres par les corps

des invariants du groupe de

décomposition

et du _groupe d’inertie d’un

di-viseur d’un idéal

_premier

du _corps de base

_(théorème

_3).

Nous montrons de

plus

que, comme une extension

_galoisienne,

un

_{parallélogramme galoisien}

de corps de nombres se localise

(proposition 2).

L’intérêt de la notion de

parallélogramme galoisien

étant ainsi

_établi,

nous nous _posons la

_question

de son

_{dépassement :}

comment

_prolonger

un

parallélogramme galoisien

_par un autre ? C’est

l’objet

du théorème 4

qui

reprend,

sans classe de

cohomolo-gie,

la situation du théorème 2 avec un _pas de descente

_{cyclotomique.}

Ce

théorème 4 constitue un

premier

résultat de

prolongement

de notre

généra-lisation "en dimension 2" des extensions

_{galoisiennes;}

en outre il

_fournit,

comme cas

particulier,

une

description,

avec élément

_{primitif explicite,}

de

toutes les extensions

_cycliques

non kummériennes de

_degré

_p ou

p 2

1. PROBLÈME DE DESCENTE

Un

_problème

naturel de théorie de Galois

_classique

est le suivant. "Problème de la descente

_{galoisienne".}

Soient

_E/K

une extension

galoisienne

et

_K/J

une extension

algébrique.

Nous

appelons

"problème

de

descente

_défini

_par

_E/K

et

_{K/J ",}

et notons

_{[E / K, K / J],}

la

_question

de

savoir s’il existe un _sous-corps D _C

E,

galoisien

sur

J,

tel _que D f1 K = J etDDK = E.

Si le

_problème

_{[E / K, K / J]}

est

_résoluble,

on dira _que

E/K

est "descendable

sur J"

(en

abrégé

(E/K) descJ),

et une solution

D/J

de

[E / K,

K / J]

sera

appelée "une

descendue de

_E/K

sur J"

(en

abrégé

(D/ J)

=

desci

(E/K) ) .

Un cas

particulier

de ce

_problème

est le

"Problème de la

_{p-descente cyclotomique"}

où _{p est} un nombre

_premier

impair.

C’est le

_problème

de descente

_{(E/K, K/J~}

où :

- K est un _corps de

caractéristique

différente

de _{p contenant} le _{groupe J..lp}

des racines

_p-ièmes

de

_l’unité;

-

E/K

une

_p-extension

galoisienne;

- J

un _sous-corps de K ne _{contenant pas J-Lp : J} f1 _tip =

fll;

-

K/J

une extension

_galoisienne

de

_degré

non divisible _{par p.}

Dans

_~1~,

G. Brattstrâm a résolu

_positivement

le

problème

de

la p-descente

cyclotomique

pour tout p

premier impair,

E/K

une

_p-extension

_galoisienne

non abélienne de

_degré

p3 et

K =

J(pp) .

Nous

généralisons

ici _ce résultat

au cas d’une

_p-extension

galoisienne

(finie)

quelconque

E/K

de la

façon

suivante. On obtient d’abord un critère de résolubilité du

_problème

de la

son _{sous-groupe de Frattini.} Ce critère _permet de se ramener au cas d’une

p-extension

abélienne élémentaire. On

_ajoute

ensuite une classe de

coho-mologie

au

_problème

de

_descente,

et l’on résout un

problème

de

plongement

non kummérien au _moyen de la descente d’une

_solution,

fournie _par les

théorèmes de

_[6],

du

_problème

kummérien translaté.

Théorème 1. Soient _p un nombre

premiers impair

et

_E/K

une

_p-extension

galoisienne

de _groupe T :=

Gal(E/K).

Soit une extension

galoisienne

finie

telle que p ne divise _pas le

degré

[K : J~.

(1~

Pour _que le

_problème

de descente

_{~E/K, K/J~}

soit

_résoluble,

il

_faut

et il _que les deux conditions suivantes soient

_vérifiée

(1.1)

L’extension

_EIJ

est

_galoisienne

(1.2)

Le

_problèmes

de descente est

_résoluble,

où

ECP(r)

désigne

le _corps des invariants dans E du sous-groupe de Frattini de r.

(2)

Lorsqu’il

est

_résoluble,

le

_problème

_{[E / K, K / J]}

admet une

_unique

so-lution.

_{Précisément,}

_{supposons que}

_E/K

admette une descendue

D/J.

Le

sous-groupe r de

Gal(E/J)

admet un

_{unique complément}

V. Ce

complé-ment V est

_facteur

_direct,

et l’on a D =

Ev.

Démonstration. Confer

_[8].

Ce théorème 1 _permet de se ramener à une extension de base

p-abélienne

élémentaire. Notons :

-

L/J une

p-extension

galoisienne

de _groupe

_Gal(L/J)

abélien

_d’exposant

P;

- K :=

J(Mp),

E :=

_L(pp),

r :=

_Gal(E/K),

v :=

_Gal(E/L);

-

i(v)

l’un

_quelconque

des entiers tels que

v((p) =

~p~v~

(v

E

_V)

où

_(p

e _~CP

est une racine

_{primitive p-ième fixée;}

-

gv

l’homomorphisme

défini par

-

9V :

EX -~ EX un relèvement de _{gv :}

-

lg l’isomorphisme

Identifions

_Gal(L/J)

à F _par la restriction à L. On sait alors _{que pour} toute classe de

_{cohomologie E}

E

H2(f, IFp),

un

problème

de

plongement

[L / J, c]

est résoluble si et seulement si le

_problème

translaté est

L’énoncé suivant est une version améliorée d’un théorème de

_[9].

Théorème 2. Soit E E

H2(f,

_Fp)

une classe de

cohomologie

induisant un

problème

de

_plongement

_résoluble,

et soit N :=

E(x1/p)/K

(x

E

EX)

une solution de

[E / K, c].

(1)

L’extension N’ :=

E(9V(x)l/p)/K

est aussi une solution du

_problème

[E / K, e]

pour

laquelle

l’extension

N’ / J

est

_galoisienne.

De

_plus,

dans

Gal(N’/J),

le _sous-groupe

_Gal(N’/K)

admet un

_{unique complément V’ ~}

qui

est

_facteur

direct :

_Gal(N’/J)

= V’ _x

Gal(N’/K).

(2)

Soit X une racine

_p-ième

_quelconque

de

9V(x) :

XP =

9V(x).

Le

définit

une descendue

_D~L

de

_N’/E,

et une

w ‘ r ,

descendue

_{D/J de}

_N’/K.

(3)

Identifions

Gal(N’/E)

par la restriction à

D, Puis

Gal (N’/E) à

Cp

par

l’isomorphisme

où X est la racine du

_(2).

_Alors,

la descendue

_D/J

de

_{N’ / K}

est une

Scholie. Par

_[6],

on

dispose

de formules

_{explicites qui}

fournissent les

élé-ments x E EX induisant les solutions N = des

problèmes

kum-mériens

_{[E / K,}

_e]

résolubles. Le

₍₂₎

du théorème ci-dessus fournit

_donc,

via

l’homomorphisme

gv, un élément

primitif

explicite

sur L du _{corps D} d’une

solution

_D~J

de tout

_problème

non kummérien résoluble

[L/ J, E]

-Il suffit de

_reprendre

la _preuve du théorème 4.3 de

_[8]

sans la

_puissance

~K :

J]-l

pour l’élément

primitif

du corps N’. Cette

puissance

n’est en fait

nécessaire que pour obtenir le bon

2-cocycle.

Exemple.

Prenons J =

Q,

p =

3,

et

(3

=

- j.

Soit L le

_compositum

des extensions

_cubiques

_galoisiennes

_{L1, L2, L3}

_{de Q}

définies

_{respectivement}

par les

polynômes

irréductibles

La translatée sur K =

Q(j)

de l’extension L =

L1L2L3/Q

est l’extension

E = où

Soient _{cri, QZ} les

_{K-automorphismes}

de

_{K(al, a2)/K}

définis _par

pour

D’après

([6],Th.4(I)(lO))

pour w =

1,

le

problème

de

plongement

où

est résoluble. Autrement

_dit,

le

_{corps E}

=

K(a1,

a2,

a3)

se

_plonge

dans un _corps de

_degré

162 sur

Q,

extension

galoisienne

de K de

degré

81 de

groupe de Galois le

produit

central du groupe

cyclique

d’ordre 9 et du groupe non abélien d’ordre 27

_d’exposant

3

(cf.[6], Prop.2[ ]).

Une solution

N = est fournie

par l’élément

Par

_ailleurs,

soit 1

Soit maintenant X une racine

_{cubique quelconque}

de Clairement

~

, "" , , - "", , , ,

où,

dans les notations du

₍₁₎

de

_{l’énoncé,}

V’ =

_id,

_v’l.

Or on doit avoir

X v’ (X )

E

_L;

_{par suite}

D’après

le théorème

_2,

l’extension est donc la

descen-due

_{sur Q}

de N’ =

E(9V(x)1/3)/K

et, _pour les identifications de

l’énoncé,

c’est une solution du

problème

de

plongement

~L/~, ~~.

2. PARALLÉLOGRAMME GALOISIEN

Définition. Nous

_appelons

_{"parallélogramme galoisien"}

la donnée d’un

problème

de descente résoluble

_{~M/K, K/J~,}

où

_K/J

est une extension

ga-loisienne,

et de l’une de ses solutions

L/J : (L/J)

=

descj

(M/K).

Nous

no-tons ce

parallélogramme

[M / K, K / J, L / J],

ou bien

(J, K, M, L)

en

_abrégé

géométrique.

Remarquons

que :

- le

problème

de descente

_{~M/L, L/J~}

est résoluble de solution

_{(K/J) =}

- le

parallélogramme

(J,

K,

M,

L),

ainsi _que son

_transposé,

n’admettent

qu’une

seule

_diagonale,

l’extension

_galoisienne

_M/J.

La notion de

_{parallélogramme}

_galoisien

_généralise

_{celle d’extension} ga-loisienne. En

_effet,

la donnée d’une extension

_galoisienne

_E/F

n’est _que celle du

_{parallélogramme "plat"}

_{(F, F, E, E)}

ou

(F,

_{E, E,}

F) .

On _peut voir un

parallélogramme galoisien

comme une

_première

_figure

d’une théorie de Galois "en dimension 2"

_qui

_{généralise,}

dans la

_catégorie

produit

Gr’

de la

_catégorie

des groupes par

elle-même,

toutes les

_propriétés

usuelles de la théorie de Galois

_classique

_[7].

Après

avoir

_justifié

_{arithmétiquement}

la notion de

_{parallélogramme}

ga-loisien,

notre

_objectif

est ici le théorème 4 à suivre. Nous ne considérons

que des extensions finies.

Proposition

1. Soit

_{(J, K, M, L)}

un

_{parallélogramme galoisien.}

(1)

Pour _{tout corps} intermédiaire

_E,

K ç E

_C

_M,

on a le

_{parallélogramme}

galoisien

(L (AI L),

E, M,

L)

où

L(AIL)

_désigne

le _corps des invariarcts dans L de

_{l’irriage par ta}

restriction à L du _groupe A :=

_{Gal (M/E) .}

(2)

Pour toute extension

_galoisiennes

intermédiaire

_{El /Eo}

de

_{Ml K,}

K C

Eo

ç

El

C

_1VI,

on a le

_{parallélogrammes}

_galoisien

(L (Ao 1 L)

_{Eo, El,}

où Ai

:=

Gal(M/E2) (i

=

0,1).

(3)

Soit F un _corps

intermédiaire,

J ç F ç

L,

et

_toujours

K C E C M.

Si l’on a le

parallélogramme galoisien

(J,

K, E,

F),

ort a le

parallélogramme

galoisien

(F, E, M, L) .

Démonstration.

_{Conséquences}

directes des définitions et de la théorie de Galois

_classique.

D

Nous définissons le

_degré

d’un

_{parallélogramme}

_(J,

_{K, lVf,}

_L)

comme étant

le

_couple

_{( ~lVf : K~, (K :}

_J]).

Le théorème suivant montre que la notion de

_{parallélogramme galoisien}

existe

_{arithmétiquement.}

Pour un _corps de nombres

_F,

on

_désigne

_par

OF

l’anneau des entiers de F et _par

_Spec

_OF

l’ensemble des idéaux

_premiers

de

OF .

Théorème 3. Soit

_(J,

_K,

_M,

_L)

un

parallélogramme

galoisiens

de _corps de

nombres de

_degré

_{(pn, d)}

où _{p est} un nombre

premier

ne divisant _pas d. Soit

1~ E

_{Spec OK}

et Q

E

_Spec

_OL

deux idéaux

_premiers

de même trace

sur J. Pour idéal

_premier

R e

_Spec

0 M

tel que

où

_{DQ, IQ}

_(resp.

_DR,

_désignent

successivement les _groupes de

décom-position

et d’inertie

_{de Q}

_{(resp. R)}

dans

_{L/J (resp. M/K).}

Si de

_{plus D7z}

(resp.

ln)

est normal dans

_Gal(M/K),

on a le

parallélogramme galoisien

Démonstration.

_{Soit 13}

un idéal

_premier

de

OM

divisant P : = P. On a Dans le

_{parallélogramme galoisien}

(J,

_{K, M,}

_L),

il existe donc Q e

_Gal(M/K)

tel _que

Posons R :=

Q(~3),

et soit R’ E

_SpecOM

tel _que

Soit Q’ E

_Gal(M/K)

tel _que

autrement

_dit,

la restriction à L de ~’

_appartient

au _groupe de

décom-position de q3

n

_OL

dans

_{L/ J.}

Or dans le

_{parallélogramme}

_{( J,}

_{K, M,}

_{L) ,}

de

degré

(pn, d)

où p ne divise _pas

d,

il _y a

égalité

des indices de

ramification,

des

_degrés

_résiduels,

et du nombre de facteurs de la

_{décomposition}

de T

dans L et de celle de ’P dans M :

Il en résulte _que la restriction à L

induit,

d’une

_part

un

_isomorphisme

du

groupe de

décomposition de 13

dans

M/K

sur celui de

₁₃

n

_OL

dans

_L/J,

d’où l’on déduit que TZ’ =

~Z,

_et d’autre _part les

isomorphismes

Les

_{parallélogrammes galoisiens}

de l’énoncé s’obtiennent alors directement

par la

proposition

1. 0

Une extension

_galoisienne

de _corps de nombres se localise. Plus

généra-lement,

il en est de _{même pour} les

_{parallélogrammes.}

Proposition

2. Dans les notations du

_{théorème 3,}

on a le

parallélogramme

galoisien

local

_(JT,

_{KP, Mn,}

_LQ).

La notion de

_{parallélogramme galoisien}

est donc

_{pleinement justifiée.}

Comme _pour une extension

_galoisienne,

il est donc

_légitime

de se _poser

la

_question

de savoir comment

_prolonger

un

parallélogramme

_galoisien.

On

sait bien

_{qu’il n’y}

a _pas transitivité de la normalité. Par

_exemple,

au dessus

d’une

_p-extension

_galoisienne

_{E/K D}

_~p, un _corps

_cyclique

de

_degré

_p sur

E : N =

(x

_E

Ex)

n’est

normal,

donc

galoisien,

_sur K

que si et

seulement si x est un élément du _groupe

multiplicatif

Nor(K, E)

:=

{x

e E

_1(X)

_-- x mod

A

_fortiori,

on n’a _pas de

_propriété

_générale

de

_prolongement

des

parallélo-grammes

galoisiens :

Sans classe de

_cohomologie

_(qu’il

faudrait définir "en dimension

_2"),

le

thé-orème 4

_qui

suit fait le lien avec le théorème 2. Il montre comment un

parallélogramme

galoisien

(J, K

:=

J (J.Lp ), E, L)

de

degré

(p’~, d),

où

E / K

est une

_p-extension

abélienne

élémentaire, peut

être

_prolongé

_par un

paral-lélogramme

(L, E, N, D)

de

_degré

_{(p, d).}

Le critère

_s’exprime

en terme du

sous-groupe suivant de

Nor(K, E) :

où gv est

l’homomorphisme

de EX dans Ex

_{1 EXP}

défini section 1.

Théorème 4. Soit

_(J,

K :=

_E,

L)

un

_{parallélogramme galoisien}

de

corps de

caractéristique

différente

du

_premier

p. On suppose que

E / K

est

une

_p-extension

_galoisienne,

ou bien triviale : E =

K,

_ou bien de

groupe

r :=

_Gal(E/K)

abélien

_d’exposant

p.

(1)

Un _corps

_D,

de

_degré

_p sur

_L,

est

_galoisien

sur J si et seulement s’il

existe un élément x E

_{Nor(J, K, E, L) -}

EXp tel _que D Ç

E(x1/P).

(2)

Soit D un _corps de

degré

_p sur L _pour

lequel

il existe un élément

_ _ - _ _ _ _ . - - - _ n_’ , ,-- ,

(3)

Dans les notations du

_(2),

la trace de N sur D d’une racine

_p-ième

quelconque,

mais

_{fixée, x1/p}

de x,

fournit

un élément

primitif

de D sur L :

Scholie. Une

_{justification supplémentaire}

de cet énoncé est la suivante. Il est dit dans

_([51,

_p.

₃₈₉₎

_{que la} détermination

_explicite

des

_p-extensions

cycliques

est un

_problème

très difficile. Le théorème 4

_précédent

fournit en

particulier

une

description

de toutes les extensions

_cycliques

de

_degré

_p ou

pz non

kummériennes,

en en donnant un élément

primitif

explicite.

Démonstrdtion. Elle se fait en

plusieurs

_étapes.

Notons d :=

[K : J] =

[E : L].

Prouvons d’abord deux

_{équivalences}

_{préparatoires.}

(4.1)

Soit

_{Nor(L, E, E, L)}

:=

{~

E

_EX/gv(x)

=

xd

mod

ExPl.

Pour

toute extension

_cyclique

_M/E

de

_degré

_p, on a

_{l’équivalence}

Soit en effet x E El tel _que M =

E(xl/p).

Supposons

M/E

descendable

sur L. L’extension

_M/L

est alors abélienne de sorte que

où

et par suite mod E’P.

_{Réciproquement,}

comme _p

;1 d,

on a

M =

E(9V(x)l/p).

On _en déduit

que l’extension

M/L

est

abélienne,

ce

qui

suffit _{pour que}

_M/E

soit descendable sur L

_d’après

le théorème de

Zassenhaus de

_([4];

_{p.126, Hauptsatz}

_18.1).

(4.2)

Pour tout _{corps M} de

_degré

_p sur E tel _que l’extension

_M/K

soit

galoisienne,

on a

l’équivalence

Comme l’extension

_{M / K}

est

_galoisienne,

il existe un élément

tel _que M =

E(x1/p).

Supposons

M/.K

descendable sur J de

descen-due

_D/J,

et

_{plaçons-nous}

dans le

_{parallélogramme galoisien}

_(J,

_{K, lV.f,}

_D).

D’après

le

₍₂₎

de la

_proposition

1 _pour

_Eo

=

K,

El

=

E,

_et A :=

Gal (M/E),

on a le

_{parallélogramme}

(J,

_{K, E,}

D(141D»,

de _{sorte que} est

des-cendue de

_E/K

sur J. Or il en est de même de

L/J

dans

et _{par le}

₍₂₎

du théorème

_1,

n’admet

_qu’une

seule descendue sur J.

Ceci _{prouve que} L =

D(AID),

d’où le

parallélogramme

(L,

E, M,

D)

par le

(3)

de la

_proposition

1. En

_particulier

_lVl/E

est descendable sur L. On

déduit alors du

_(4.1)

_précédent

_{que x} E

_{Nor(K, E)}

fl

_{Nor (L, E, E, L) =}

Nor(J, K, E, L).

Réciproquement,

supposons que mod E’P.

Clairement,

M = Pour _montrer

que

M/K

est descendable

sur

_J,

il

_{suffit, d’après}

le

₍₁₎

du théorème

_1,

de _{prouver que}

_{M/ J}

est ga-loisienne. Dans le

_{parallélogramme}

_{(J, K, E, L),}

on a

Gal(E/J)

= V _x F.

Pour tout u E

_GaL(E/J),

écrivons u =

(vu

_E

V, q

C- F).

Comme

x E

_{Nor(K, E),}

D’autre

_part,

l’extension E =

LK/J

étant

abélienne,

_{on a}

Enfin,

on vérifie _que l’extension

E(9V(x)llp)/L

est

_galoisienne;

i.e _que

Il résulte alors de la

_conjonction

de

_{(1), (2)}

et

₍₃₎

_que

ce

_qui

établit _que

M/J

est

_galoisienne

_(caf.[2]).

On

_peut

maintenant _prouver les trois assertions du théorème 4.

(1)

Supposons

l’extension

_D/J

_galoisienne,

et _posons M :=

_D(J-Lp)

= DK. Comme DfIK =

J,

D/J

est descendue de l’extension

_galoisienne

_M/K.

Or dans le

_{parallélogramme}

_{(J, K, E, L),}

on a = LK = E C = M

et

d’où l’existence du x cherché _{par le}

_(4.2)

ci-dessus.

_{Réciproquement,}

sup-posons

qu’il

existe x E

_{Nor(J, K, E, L) -}

EXP tel _que D C N :=

E(x1/p).

Comme

_{Nor(J, K, E, L)}

C

_{Nor(L, E, E, L),}

on sait _par le

(4.1)

_que

NIE

est descendable sur L. C’est donc _que

N/L

est abélienne. Ainsi

_D/L

est

galoisienne,

et c’est la descendue sur L de

N/E.

Par

ailleurs,

l’extension

ga-loisienne

_N/K

est descendable sur J

d’après

le

(4.2),

donc

N / J

est

galoisien-ne et _{le sous-groupe}

_Ga,l(N/K)

de

_Gal(N/J)

admet un

_{unique complément}

V’ facteur direct

_{(cf. Th.l(2)) : Gal(N/J)}

= V’ x

_Gal(N/K).

De

_même,

le _sous-groupe

_Gal(N/E)

de

_Gal(N/L)

admet un

_unique

_{complément W}

facteur direct : = W _x

Gal(N/E),

et l’on _a D =

NW.

Or _on vérifie _que

_WnGal(N/K)

_{f 11}

et

_GaL(N/J)

=

W Gal(N/K).

C’est donc que W = V’. En

particulier,

W est normal dans

Gal(N/ J)

et

D/J

est

galoisienne.

(2) (2.2)

On a vu dans la démonstration du

₍₁₎

_que

_D/L

est la descendue

sur L de

N/E;

d’où le

_{parallélogramme}

(L,

E, N,

D).

De

_plus

D n K = J

car _p

/d,

et N = DK _car N =

DE,

E = LK. Comme

D/J

est

_galoisienne

par

l’équivalence

du

(1),

on a bien le

parallélogramme

(J,

_{K, N,}

D).

(2.1)

L’unicité du corps

E(x1/p)

résulte du

(2.2)

précédent puisque

DE =

E

BIBLIOGRAPHIE

[1] G. Brattström, On p-groups as Galois groups. Math. Scand. 65 _(1989), 165-174.

[2] A.A. Bruen, C.U. Jensen and N. Yui, Polynomials with Frobenius groups of prime degree

as Galois groups II. J. Number Theory 24 (1986), 305-359.

[3] K. Hoechsmann, Zum Einbettungsproblem. J. reine angew. Math. 229 (1968), 81-106.

[4] B. _Huppert, Endliche _{Gruppen I,} 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

[5] G. _{Karpilovsky, Topics} in Field _Theory. North-Holland Mathematics Studies _155,

Amster-dam, 1989.

[6] R. _Massy, Construction de _p-extensions galoisiennes d’un corps de caractéristique différente

de p. J. _Algebra 109 _(1987), 508-535.

[7] R. _Massy et S. _{Monier-Derviaux,} Parallélogrammes galoisiens. J. _Algebra, à paraître.

[8] S. _Monier, Descente de p-extensions galoisiennes kummériennes. Math. Scand. 79 _(1996), 5-24.

[9] S. Monier-Derviaux, Le Problème de la Descente Galoisienne Finie. Thèse de Doctorat,

Univ. Valenciennes, 1997.

[10] J. _Wôjcik, Criterion _for a field to be abelian. Colloq. Math. 68 (1995), 187-191.

Richard MASSY Département de Mathématiques Universi te de Valenciennes Le Mont Houy, B . P.311 F-59304 Valenciennes E-rrtail : _{Richard.Massy®univ-valenciennes.fr} Sylvie MONIER-DERVIAUX Département de _{Mathématiques} Université de Valenciennes Le Mont _Houy, B.P.311 F-59304 Valenciennes E-rrtail : _{Sylvie.DerviauxQuniv-valenciennes.fr}