Sur la transcendance de la série formelle $\Pi $

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-P

AUL

A

LLOUCHE

Sur la transcendance de la série formelle Π

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{1 (1990),}

p. 103-117

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_103_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

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Sur

la transcendance de la série formelle

II.

par JEAN-PAUL ALLOUCHE

Résumé 2014 En utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France

et _Rauzy, nous donnons une démonstration élémentaire de la transcendance

de la série formelle II ainsi _que d’autres séries formelles à coefficients dans

un _corps fini

Abstract 2014

Using the theorem of _{Christol, Kamae,} Mendès France and

Rauzy, we _give an _{elementary proof} of the transcendence of the formal

power

series II as well as the transcendence of other formal _power series with coefficients in a finite field.

En 1935 Carlitz introduisit dans

_[5]

_(voir

aussi

_[6])

deux fonctions définies

pour des séries formelles sur un _corps fini et

_{notées ik}

et À. Ces fonctions ressemblent un _peu à

_{l’exponentielle}

et au

_logarithme.

Il introduisit aussi

une fonction définie _pour des

_arguments

entiers

_naturels,

et à valeurs dans les séries formelles sur un _corps fini. Cette troisième fonction est

_{aujourd’hui}

notée

₍

et

_appelée

fontion zéta de Carlitz.

On _peut se demander _pour

_quelles

valeurs des

_arguments

ces fonctions

prennent

des valeurs transcendantes

_{(transcendant}

_signifie

ici

transcen-dant sur le _corps des fractions rationnelles sur le _corps fini de

base) ;

cette

_question

a été abordée _par

plusieurs

auteurs

_{(Wade [15],}

_[16],

_[19],

Damamme

_[11],

_Hellegouarch

_[12],

Yu

_[20],

_[21]

et

_[22]).

L’une des

quan-tités

_{intéressantes,}

notée

_~oo

ou

_{II, qui}

intervient à la fois dans l’étude de

la

_{fonction 0}

et de la fonction

_(,

est transcendante

_(voir

_[15]

ou

[16]).

Pour

démontrer la transcendance de

_II,

ou celle d’autres séries formelles étudiées

dans ce

_contexte,

la méthode utilisée est de _supposer la série

algébrique,

d’en déduire

_(un

_peu comme dans le cas de la transcendance sur

Q)

une

égalité

du

_type

I +

Q =

0,

où I est ‘’entier"

_(ici

cela

_signfie

I est un

polynôme),

et

_Q

"très

_petit"

_(ici

cela

_signifie

de

_degré

_{négatif) ;}

on a donc

I -

_{Q =}

_0,

et il reste à _{prouver que I} est non nul _pour arriver à une

contradiction... Notons _{aussi que} des mesures d’irrationalité de valeurs de

la fonction zéta de Carlitz sur

F2[T] (et

en

particulier

de

fl)

sont données

par Chérif dans

[7].

Nous nous _proposons dans cet

_article,

en utilisant le théorème de

_Christol,

Kamae,

Mendès France et

_Rauzy

_[8],

de donner une _preuve élémentaire de

la transcendance de la série formelle

_II,

ainsi _que de certaines autres séries étudiées _par les auteurs

_précités.

1.

_{Rappels :}

Dans ce

qui

suit on note

_Fq

le _corps de

_{cardinal q, où q}

=

p$

et

_{p est}

la

_{caractéristique}

du _corps. On note

_F,[x]

l’anneau des

_polynômes

en x sur

_{Fq ,}

et

_Fq(x)

le _corps des fractions rationnelles en x. Enfin on _pose

Pour

_plus

de détails sur ce

qui

suit le lecteur

pourra se

_reporter

à

1)

Définitions :

On note avec Carlitz

[5]

pour k

entier naturel :

DÉFINITION

1. On définit deux

_{fonctions 0}

et a par

pour t

élément de

_.~’,

-

pour t

élément de

_degré

inférieur ou

éga.1

à 1

avec

_{ako t-}

_0,

on

appelle degré

de t le nombre

On a les

propriétés suivantes,

_[5]

et

_{[6] :}

* 1/J

est

_linéaire,

c’est-à-dire +

_cu)

= ₊

Vt, u

_E

_F,

Vc _E

F9 ,

est notée aussi TI _par

_analogie

avec le réel II =

3,14159...,~ jouant

_un

peu le rôle de

l’exponentielle),

*

_{~(t .-~}

_{eE) =}

_"p(t),

Vt _E

_X,

VE _E

_{Fq [xJ,}

* À

_peut

être défini

_pout

tout u dans

_X,

et l’on a

e À est

_linéaire,

e À est l’inverse de

_0.

DÉFINITION

2. On définit la

fonction (

par : pour tout entier m &#x3E;

1,

où 2:

sig’nifie

que la somme est restreinte aux

polynô-mes de coefficient directeur

égal

à 1.

on a la

propriété

([5]

et

_{[6]) :}

* si

_{q - 1}

divise _m, alors

_{~(m) _}

où rm e

2) Propriétés

de transcendance :

Wade a donné dans

[16], [17]

et

_[19]

_plusieurs

_propriétés

de transcendance

que nous résumons ci-dessous :

* Si a est un élément de .~’

algébrique

sur

_Fq(x),

et

_{a ~}

_0,

alors

_{1/J( a)}

et

_{À( a)}

sont transcendants.

* Si a est non nul

et (3

un élément de .~’

_qui

n’appartient

_pa.s à

_Fq(x),

alors l’un des trois nombres

_{o,{3,1/;({3À(o»}

est transcendant. Si a

est nul et si l’on

remplace

A(0)

par

E~

(avec

E E

_{F9~i~ -}

_~0}),

alors la conclusion reste vraie.

Il résulte de la

_première

assertion

_{que e}

est

_{transcendant,}

ce

qui

implique

que

((m)

est transcendant

_{si q -}

1 divise m. Récemment Damamme a

montré l’irrationalité de

_~(m)

_{pour 1 m q,}

_([11]),

_puis

Damamme et

Hellegouarch

ont montré la transcendance de

_((m)

_pour 1 m

_q‘-’,

_([12]).

Enfin Yu

_{(voir [20], [21]}

et

_[22])

a

prouvé :

*

_~(7n~

est transcendant

_quel

_{que soit} l’entier m &#x3E;

_{1 ;}

de

_plus,

si _{q -} 1

ne divise _{pas m,} alors

(m)ç-m

est transcendant.

2. Une _preuve élémentaire de la transcendance des

séries ~

et

II :

Nous nous _proposons de _prouver la tra.nscendance des séries formelles

1 et

lI de

_façon

élémentaire en utilisant le théorème de

Christol,

Ka.mae,

Mendès France et

_Rauzy

_[8].

L’une des manières d’énoncer ce théorème est

de dire _que la série formelle

_~

à coefficients dans

_Fq,

est

_algébrique

sur si et seulement si l’ensemble des sous-suites

est fini

_{(voir [8],}

ou

[2]).

il suffit de montrer la transcendance de

. Il est clair que a est un élément de

-

,

algébrique

sur car

Pour montrer la transcendance de

_II,

il suffit donc de montrer la

transcen-cî

dance de

2013.

° Mais l’on a.

où

_a(n)

= 0 si n n’est _pas de la

forme E

(qj -1)

_pour un ensemble d’indices

;eJ

(si

une telle

décomposition

existe,

elle est

_unique).

Il suffit donc de montrer _que l’ensemble de suites +

_{r); k}

&#x3E;

_{0; 0}

r

_1}

est

_{infini ;}

il suffit même de montrer

que l’ensemble des suites

est infini. On _remarque alors _que

_{b(n) = la(n)l}

est la fonction

Dans le cas où _q =

2,

_{on a}

déjà

montré dans

[4]

_que la fonction indicatrice

de W n’est _pas

_{q-automatique,}

en

_prouvant

_que l’ensemble des sous-suites

+

_{r)~; k &#x3E;}

0; 0

r

_{qk -}

_1}

est infini. Nous allons

_reprendre

l’idée de Shallit utilisée dans

_[4],

en en donnant une

généralisation

un _peu

différente de celles

_proposées

dans

_[4].

1)

LEMME. Soit

_sq(n)

la somme des chiffres de l’entier n écrit en base _q,

soit g

la fonction définie

_{par g(m)}

= _{m -} Alors

* Vn e N

* la fonction _{g est} croissante a,u sens

_large,

*

quel

_{que soit} l’entier _rn, on a

_{g(m) &#x3E;}

0.

- la

première

assertion se montre en

_prouvant

_par récurrence sur 1 _que

l’on a

Pour 1 =

0,

c’est

clair ;

_supposons le résultat vrai _pour

1,

et soit n _E

[9~9~ " 1]?

alors on écrit

_{n = qu + v,}

0 v q - 1,

d’où u

ql -1.

On

_distingue

deux cas :

(d’après

l’hypothèse

de

_{récurrence).}

- Pour démontrer la seconde

assertion,

on _{remarque que,}

si 0 ~ q - l,

alors :

Il suffit donc de _{prouver que :}

Mais

- La dernière assertion résulte de la seconde et de ce

2)

PROPOSITION. Soit

et soit b la fonction indicatrice de W

_(b(n)

= 1 si n _E

W,

b(n)

= 0 si

n fi. W).

Soit

bk

la suite définie _par

_bk(n)

=

b(qkn

_-I-

qk -

k).

Alors

On _remarque d’abord _que

n E W =&#x3E; 3m E N tel _{que n} =

g(m)

et m n’a _que des 0 et des 1 en base

on _remarque aussi _{que ,}

- Soit 0 rt

q;.:¡¡ -1.

Nous

allons montrer que

qk(n

+

_{1) - k}

n’est pas

de la forme n =

g(m)

_pour un m

_n’ayant

_que des 0 ou des 1 en base _q, ce

qui impliquera

bk(n)

=

b(qk(n

₊

1) - k)

= 0.

Supposons

au contraire

qu’il

existe un tel _{rrt, et} écrivons

Remarquons

que u et v n’ont _que des 0 et des 1 en base _q.

d’où

sq(u)

k

_(rappelons

que u n’a que des 0 ou des 1 en base

_q),

, alors on a :

et donc

3)

fin de la _preuve de la transcendance de la série formelle II :

Il résulte de la

_proposition

ci-dessus _que l’ensemble de suites

est infini

_puisque

toutes les suites sont distinctes. L’ensemble de suites

_{(n -}

_b(qkn

-i-

_{r); k &#x3E;}

_{0; 0}

r

_{q~ - 1~}

est a fortiori

infini,

ce

_qui

achève la démonstration.

Remarque :

Dans le cas où _q est

_égal

à

_2,

la suite

_(b(n)),

indicatrice de l’ensemble

W,

a été étudiée dans

_[4],

où il est montré

_qu’elle

est liée à. la définition de Von Neumann des entiers naturels. Il est a.ussi

_prouvé

_que cette suite

est

_engendrée

_par la substitution 1 -

_110,

_{0 - 0. Dans le cas}

_{où q}

_est

quelconque,

nous n’avons _pas trouvé de substitution

_qui

_engendre

la suite

b.

3. Une _preuve élémentaire de la transcendance de la "série des

crochets" :

Dans

_[15]

Wade s’intéresse aussi à la "série des

_crochets",

_("bracket

proposons de donner ici une _preuve élémentaire d’un résultat

légèrement

plus

général :

THÉORÈME.

Soit

_(a(k))

une suite d’éléments de

_Fq

telle _que

3N E

_N,

V1il

_{premier, Ci}

&#x3E;

_N,

_3j

=

&#x3E; 2

tel _que 0

(c’est

par

exemple

le cas si

(a(k))

est une suite à va.leurs dans

_Fq).

La série :

. q ’10.

.

est transcendante sur

_FQ(x).

En

_effet,

on a successivement :

d’où :

Si la série étit

_algébrique

sur

F9(x),

la suite

- -

, -, , .-serait

_{q-automatique}

_([8]),

et donc la sous-suite

_(c(q"-1)

serait ultimement

périodique

(voir

par

exemple

[1]).

et il est bien connu _que

qk -

1 divise

qn -

1 si et seulement si k divise n, on a donc

Si cette suite était ultimement

_périodique,

on aurait :

Prenons r tel _que 1 + rT = 15 soit un nombre

premier

supérieur

ou

_égal

à

_{sup(no, N), (c’est}

_possible

car il _y a une infinité de nombres

premiers

de

la forme 1 +

_rT),

soit j

=

j(15)

donné _par

l’hypothèse

sur la suite

(a(k)) ;

prenons n =

(1

_{+ on a} donc :

autrement dit

d’où = 0 ce

_qui

n’est _pas.

Remarques :

- On arrive à la même conclusion si l’on

suppose que la suite

(a(k))

vérifie

la condition : ,

3P E

_N,

Va &#x3E;

_P,

Vb &#x3E; P

_{a ~}

b et a et b

premiers =&#x3E;

a-(6)

+

_{a(ab) ~}

0.

En

_effet,

si la suite

_{c(qn -}

₁₎

est ultimement

_périodique,

on _arrge comme

précédemment

à :

On

_prend

alors r tel _que 1 + rT = b soit un nombre

premier

supérieur

ou

égal

à N et n = _{a un} nombre

premier

supérieur

à

sup~no, N, b

+

1).

On a

c’est-à-dire

d’où

- Si l’on

prend

pour a des fonctions

arithmétiques

classiques,

réduites

modulo _p, le théorème ou la _remarque ci-dessus

s’applique

le

plus

_souvent,

par

exemple :

Si

_a(n)

=

card{d;

la _remarque

s’applique

si la

caractéristique

_p du

corps

Fq

est différente de 2 et 3.

Si

_(a(n))

est la fonction indicatrice des n

_premiers,

la _remarque

_s’applique

aussi.

En

_revanche,

si l’on

_prend

_{a(n) _ (M(n» (la}

fonction de

_Môbius)

la suite

E

est ultimement

_périodique

_(c’est

0 dès _{que n} &#x3E;

₂₎

et on

k~n kln

ne

_peut

_pas conclure.

- Il

_apparaît

néanmoins raisonnable de

_conjecturer

_que le théorème reste

vrai si une infinité de

a(k)

sont non nuls.

4.

_{Complément :}

Dans un article datant de

_1944,

Wade établit la transcendance d’autres

séries formelles

_{[17] :}

si G est un

polynôme

dans non

constant,

alors la série est transcendante

_(sur

_{Fq(X1,...,Xe)}

si

k=0 "

et seulement si r n’est _pas une

puissance

de _p

(rappelons

_{que q} =

p8).

De

1 1 ,. 1 .

d 2

plus

la série

_{+ C)O 1}

est

_toujours

transcendante _pour r &#x3E; 2.

kr ~

-Nous nous _proposons de démontrer ici de

façon

différente un résultat un

peu

plus

général :

nous allons utiliser à nouveau le théorème de

Christol,

Kamae,

Mendès France et

_Rauzy

_[8],

ainsi _que des résultats de Cobham

(voir [9]

et

_[10]),

et finalement une _remarque

déjà

faite dans

[3].

1)

PROPOSITION. Soit q =

p’,

où _{p est un} nombre

premier ;

soit _{r &#x3E;} 2

n’est _pas une

_puissance

de

_{p. La}

sérle est tra.nscendante sur

On écrit en effet :

_~,

, où

u(n)

est la fonction

ca-ractéristique

des entiers

_qui

sont une

_puissance

entière de 1’. Cette série est

algébrique

sur si et seulement si la suite

_(u(n))

est

_{q-automatique}

([8]).

Mais la suite

_(u(n))

est

_{r-automatique}

et non ultimement

périodique

(voir [10]),

elle ne

_peut

être aussi

_{q-automatique}

que

si q

et r sont

multi-plicativement dépendants

([9]),

c’est-à-dire si

_{(Loqq)I(Logr)}

est

_rationnel,

et ceci

_équivaut

au fait _que r est une

_puissance

de _p. Pour la seconde

série,

on écrit :

où

_v(n)

est la fonction

_{caractéristique}

des entiers

_qui

sont des

_puissances

La suite

_(v(n))

n’est _pas

_automatique

_pour r &#x3E;

_2,

_d’après

_[10]

_(le

résultat _y est énoncé pour r =

_2,

mais la démonstration _est valable

pour

r

quelconque

supérieur

ou

égal

à

2),

et donc

_([8])

la série

_2:

est 7t&#x3E;l

transcendante sur

2)

THÉORÈME. Soit un éléments de

Fq«xï1,...,x;1)),

de

partie

polynomiale

en les x j non constante. Si G est

_algébrlque

sur

F q(X1’...’

xe),

et si r est un entier

supérieur

ou

_égal

à

_2,

on a :

est transcendante sur

~q(x1, ... , xe)

si et seulement si

r n’est _pas une

_{p uissan ce}

de _p.

est transcendante sur

Fq(x1, ... , Xe).

Si r est une

puissance

de _p, la

première

série est clairement

_algébrique

sur

_{FQ(x1, ... , xe)}

_(l’élever

à la

_puissance

qd

_pour d convenable et _comparer

à la série

_initiale).

Pour montrer _que la

_première

série est transcendante dans le cas où r n’est _pas une

_puissance

de _p, et _que la seconde est

_{transcendante,}

nous

allons montrer

_qu’on

_peut

_passer de .~ à G _par des considérations

_purement

algébriques,

en

_reprenant

une idée utilisée dans

[3].

Soit I le sous-ensemble de

_{!,...,~}

des indices des

_{variables qui}

fi-gurent

effectivement dans G. Alors G est

_algébrique

sur le _corps

Comme G est non

_constante,

le cardinal de I est au moins

égal

à 1. Soit

Î

, un sous-ensemble de I obtenu en enlevant à I un élément k. Par

construc-tion

_{de I,}

G est transcendante sur car elle est non constante

sur ce _corps. Posons L = de _sorte

que = Notons 1 -1 _ et

-:L-Il est clair _que

_Hj(G)

est

_algébrique

sur

L(G)

si et seulement si

_Hj(x)

est

algébrique

sur

L(x),

et cette dernière condition

_équivaut

à

_{l’algébricité}

de

Hj(x)

sur

F,(x) (car Hj(x)

_appartient

à voir par

_exemple

la

proposition

2 de

_[3]).

_Dorénavant,

nous _supposons

_{que j}

= 1 _{et que r} n’est

pas une

puissance

de _p, ou

_{que j}

=

2,

donc le

degré

de transcendance de

sur

L(G)

est

_égal

à 1.

On a alors les

degrés

de transcendance suivants en

_posant

_Lj

=

puis

on écrit les relations suivantes entre les différents

_degrés

de

* .

‘* w

=

_0,

car G est

_algébrique

sur

_L(xk),

donc sur

L(xk,

e

* y = _{e -} Card

I,

car les variables _xt ne

figurent

_pas dans G ni dans

H~ (G)

pour

e ~

*

et

_{donc p}

= 6 =

_1,

ce

qui signifie précisément

_que est transcendant

sur le _corps

_{F q(X1,..., xe).}

-Conclusion : Nous avons donné ci-dessus des démonstrations élémentaires

"combinatoires" de la transcendance de certaines séries formelles. Il serait intéressant de _prouver de la même

_façon

tous les résultats de

transcen-dance

_indiqués

au

_paragraphe

1 2 ci-dessus. On voit que la difficulté réside

dans la nécessité de connaître

_{(explicitement}

ou au moins "assez

_bien")

lé

_{développement}

en série formelle des

quantités

en

_{question :}

_pour les

valeurs _par

_exemple

ce

développement

est bien

_compliqué,

et nous ne savons _{pas pour} le moment utiliser le théorème de

_{Christol , Ka.ma.e,}

Mendès France et

_Rauzy

_pour démontrer la transcendance de toutes les valeurs de

(

(la

démonstration élémentaire de la transcendance de la série formelle fl

ne donne la transcendance de

_(m)

_{que pour} les entiers m divisibles _par

q - 1).

BIBLIOGRAPHE

[1]

J.-P. ALLOUCHE Somme des chiffres et transcendance, Bull. Soc. Math. France

110 _(1982), 279-285.

[2]

J.-P. ALLOUCHE Automates _finis en théorie des nombres, Expo. Math. 5 _(1987), 239-266.

[3]

J.-P. ALLOUCHE Note sur un article de Sharif et _Woodcock, Sém. de Théorie des Nombres de Bordeaux 1,1 2ème série

_(1989),

163-187.

[4]

J.-P. ALLOUCHE, J.

BÉTRÉMA

et J. SHALLIT Sur des points fixes de

mor-phismes d’un monoïde _{libre, R.A.I.R.O, Informatique théorique} et _applications

23,3 (1989), 235-249..

[5]

L. CARLITZ On certain _functions connected with polynomials in a Galois _field,

Duke Math. _J., 1 _(1935), 137-168.

[6]

L. CARLITZ Some topics in the arithmetic of polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 48 _(1942), 679-691.

[7]

H. CHÉRIF Mesure d’irrationalité des valeurs de la _fonction zéta de Carlitz sur

F2[T],

Thèse _{(1987), Bordeaux.} Voir aussi H. CHÉRIF et B. de _MATHAN, Mesure d’irrationalité de la valeur en 1 de la fonction zéta de Carlitz relative à

_{F2 [T] ,}

C.R. Acad. Sci. Paris 305, Série I

_(1987),

761-763.

[8]

G. _CHRISTOL, T. _KAMAE, M. MENDÈS FRANCE et G. RAUZY Suites

algébri-ques, automates et _{substitutions,} Bull. Soc. Math. France 108 _(1980), 401-419.

[9]

A. COBHAM On the base _{dependence of} sets _of numbers _{recognisable by finite}

automata, Math. _{Systems Theory} 3 _(1969), 186-192.

[10]

A. COBHAM _{Uniform tag} sequences, Math. Systems Theory 6 _(1972), 164-192.

[11]

G. DAMAMME Irrationalité de

_03B6(s)

dans le corps des séries formelles

Fq ((1/t)),

C.R. Math. _Rep. Acad. Sci. Canada _9,5

_(1987),

207-212.

[12]

G. DAMAMME et Y. HELLEGOUARCH _Propriétés de transcendance des

va-leurs de la fonction zéta de Carlitz, C.R. Acad. Sci. Paris _307, Série I

_(1988),

635-637.

[13]

Y. HELLEGOUARCH _{Propriétés arithmétiques} des séries _formelles à _coefficients dans un _{corps fini,} C.R. Math. _Rep. Acad. Sci. Canada _8,2 (1986), 115-120.

[14]

Y. HELLEGOUARCH Notions de base _{pour l’arithmétique} de

_Fq((1/t)),

Can. J. Math. 40,4 (1988), 817-832.

[15]

L.I. WADE Certain _quantities transcendental over _{GF(pn, x),} Duke Math. _J., 8

(1941), 701-720.

[16]

L.I. WADE Certain quantities transcendental over _{GF(pn, x), II,} Duke Math. J.,

10

_{(1943),587-591.}

[17]

L.I. WADE Two _{types of function fields} transcendental numbers, Duke Math. J.,

1,1

(1944),

755-758.

[18]

L.I. WADE Remarks on the Carlitz _{03C8-function,} Duke Math. _J., 13 _(1946), 71-78.

[19]

L.I. WADE Transcendence properties of the Carlitz 03C8-function, Duke Math. J.,

13

_(1946),

79-85.

[20]

J. YU Transcendence and Drinfeld modules, Inv. Math. 83 _(1986), 507-517.

[21]

J. YU Transcendence and _Drinfeld modules, II, Math. Res. Cent. _{Rep. (1986),} 172-181, Symp.

Taipei/Taiwan.

[22]

J. YU . in Zbl. Math. 644.12005

Note _ajoutée en mars 1990 - _{Indiquons cinq} références _{supplémentaires} sur les

problèmes évoqués ici _(dans la seconde d’entre elles G. Damamme vient de donner une

démonstration "élémentaire" de la transcendance des valeurs de la fonction zéta de

Carlitz ; cette _{preuve généralise} les méthodes de Wade, mais n’utilise pas le théorème

de Christol, Kamae, Mendès France et _{Rauzy) :}

H. CHÉRIF Mesure d’irrationalité de valeurs de la _fonction zéta de Carlitz sur

Fq [T],

G. DAMAMME Transcendance de la fonction zéta de Carlitz par la méthode de

Wade, Thèse

_(1990),

Caen.

J.M. GEIJSEL Transcendence in _{fields of positive characteristic,} Thesis _(1978), Am-sterdam.

E.-U. GEKELER On _power sums _{of polynomials} over _{finite fields,} J. Numb. _Theory

30,1

(1988),

11-26.

D.S. THAKUR Number _fields and _{function fields}

_(zeta

and gamma functions at all

primes), p-adic analysis, Proc. Conf.

_{Houthalen/Belg}

_(1986), 149-157.

Mo ts clefs: Carlitz zeta _function, formal series _{II, transcendence,} finite automata.

C.N.R.S. U.A. 226

Centre de Recherche en _{Mathématiques} de _Bordeaux,

351, cours de la Libération