Un théorème de transcendance en caractéristique finie

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

S

OPHIE

D

ION

Un théorème de transcendance en caractéristique finie

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

15, n

o

_{1 (2003),}

p. 57-82

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© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.

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Un théorème de transcendance

en

caractéristique

finie

par SOPHIE DION

RÉSUMÉ. Soit p un nombre

_premier

et _{q =}

_pr,

où r ~

_N

est

non nul. On considère le

_{corps k}

=

_{Fq (T),}

dont on note

k

une

clôture

_algébrique.

_On

peut associer à tout module de Drinfeld de _rang

_2,

défini sur

k,

un invariant modulaire

_j,

ainsi _que des fonctions modulaires. On s’intéresse à l’une d’entre

elles,

notée $$0394. On montre en

_particulier,

_que

si

|t|

q -1/q-1

alors l’un au

moins des deux

_{nombres j(t)}

et $$

_0394(t)

est transcendant sur k.

ABSTRACT. Let p be a

_prime

_number,

and q =

pr,

with r ~ N

_{0}.

Let k =

Fq (T),

and

k

be its

_algebraic

closure. We can

associate to _any Drinfeld module of rank

2,

a modular invariant

j,

and also modular functions. We are

_interesting

in one of

them,

denoted 0394. In

particular,

we show that

_if

_|t|

q- 1/q-1

then at least

one of the two

_{numbers j(t)}

and

_0394(t)

is transcendental over k.

1.

_Objectifs

et notations

1.1. Présentation du

_problème

Dans les cas

_complexes

et

_p-adiques,

les

_Stéphanois

_[BS]

ont obtenu un

-résultat

de transcendance concernant l’invariant modulaire J attaché aux

courbes

_elliptiques,

et ont ainsi

_répondu

à la

_conjecture

de Mahler-Manin.

Proposition

1

_([BS]).

_(resp.

est

_algébrique

sur

Q,

et

vérifie

0

_Iql

1

_(resp.

0

_Iqlp

_1),

alors

_J(q)

est transcendant.

On se donne _p un nombre

_premier

_{et q -}

_pr,

où r e N est non nul. On

désigne

par A =

Fq [T]

l’anneau des

_polynômes

à une indéterminée à

coef-ficients dans le _corps fini

_{1Fq ,}

_{par k}

=

IFq (T )

son _corps des fractions _{et par} son

complété

_pour la valuation

1/T-adique v = - deg .

Cette valuation se

_prolonge

de manière

_unique

à et à une clôture

algébrique

On note enfin C

_{le complété}

de

_koo,

sur

lequel

se

prolonge

encore la valuation

_{précédente,}

et k la clôture

_algébrique

de k dans C.

Dans ce

_contexte,

les courbes

elliptiques

ont un

analogue :

les modules de

Drinfeld de _rang

_2,

_auxquels

on associe

_également

un invariant modulaire

j.

C’est dans ce cadre _que M.

Ably,

L. Denis et F. Recher ont montré

l’analogue

suivant de la

_proposition

1

_(voir

_[ADR]).

Proposition

2

_([ADR]).

_que 0

_Itl

alors l’un

au moins des deux nombres t

et j(t)

est transcendant sur k.

Pour

_chaque

_q dans

_C,

tel _que 0

_Iql

_1,

Y. Nesterenko

_([Nl]

ou

[N2])

a obtenu

l’indépendance

algébrique

sur

Q,

de trois au moins des nombres

q, E(q), E~ (q), E6 (q), où

_E4

et

_E6

sont les séries d’Eisenstein de

_{poids 4}

et

_6,

et où E est la fausse série d’Eisenstein de

_poids

2. Un corollaire

_remarquable

est

_{l’indépendance}

_algébrique

des deux nombres 7r et e’~°. Dans le cadre de la

_{caractéristique finie,}

on

_peut

espérer

le résultat similaire suivant.

Conjecture

1. _que

_{0 iti}

_q-1/(q-1),

alors trois au moins

des

_quatre

nombres

_t,

_E(t),

_g(t)

et

_A(t)

sont

_{algébriquement indépendants}

sur

k,

où E est

_l’analogue

de la fausse série

_{d’Eisenstein,}

_{et F}

et A sont des formes

modulaires définies _{par E.U.} Gekeler dans

_[Ge5],

et dont on redonnera les

définitions dans la suite.

_Ici,

on obtient la

_réponse

_partielle

suivante.

Théorème. que 0

Itl

alors l’un au moins des

deux nombres

_{A(t) et j(t)}

est transcendant sur k.

Le lemme de zéros de Y. Nesterenko ne

_s’adapte

_{pas ici.} Les formes

modu-laires

_classiques

vérifient certaines

_{équations différentielles ;}

Y. Nesterenko

les utilise _pour créer un

_opérateur

de dérivation _par

lequel

il cherche les

idéaux stables de

_C[X1,

_{X2, X3,}

_{X4] .}

_Ici,

il existe aussi des

_équations

diffé-rentielles vérifiées _par les formes modulaires

_(voir

_[Ge5]),

_qui

fournissent un

opérateur

sur

_{C[Xl, X2,}

_X3,

X4].

_Cependant,

il semble

_inespéré

d’obtenir

des informations suffisamment restrictives sur les idéaux stables _{par cet}

opérateur,

ceci à cause de la

_{caractéristique}

_p. Une alternative serait

éven-tuellement de construire un

opérateur

sur

X2, X3,

X4],

en utilisant _par

exemple

les dérivées

divisées,

ou encore l’action de

l’application z

~ az sur les formes modulaires. La difficulté est alors non seulement de trouver

un

opérateur

D cohérent - c’est-à-dire tel _{que pour} tout

polynôme

P de

C[Xi,X2,X3,X4],

D (P(t, E(t), g(t), Ll(t»)

soit encore un

_polynôme

DP

calculé en les fonctions

_t,

E(t), g{t),

_{A (t) -}

mais aussi d’obtenir suffisamment

d’informations concernant les idéaux stables _par cet

_opérateur.

Une autre

approche

serait de ne _pas faire

_appel

au lemme de zéros

_et,

comme le fait

P.

_Philippon

_(voir

_[P]),

d’utiliser une mesure

d’indépendance algébrique.

en

effet,

le

polynôme

construit à l’aide des

équations

différentielles vérifiées

par les séries

d’Eisenstein,

peut

dans ce cas être

identiquement

nul.

On commence _par donner

quelques définitions,

et _par faire le lien entre

ce résultat et les travaux d’Alain

Thiery

[T].

Soit L un _sous-corps de C.

Par module de Drinfeld de _rang d défini sur

_L,

on entend la donnée d’un

homomorphisme injectif

d’anneaux T vérifiant

où 0

_désigne

_{l’endomorphisme}

Frobenius relatif à q sur le groupe additif

Ga ,

l’algèbre

de Ore sur

_L,

et où les ai sont dans L avec 0. Pour

un tel

objet,

on sait

qu’il

existe une

unique

fonction _ey, dite

_{exponentielle}

associée à

_T,

vérifiant

Le _noyau de cette

_{exponentielle}

est un A-module libre de rang

d,

c’est le

réseau des

_périodes

noté A.

_{Réciproquement,}

_pour un A-module libre A

de rang d

donné,

il existe un

unique

module de Drinfeld de rang

d,

dont

le réseau des

_périodes

est exactement A. On a de

plus

le

développement

suivant donné _par la dérivée

_{logarithmique}

de e~ .

On

_appelle

_isogénie

entre deux modules de Drinfeld T et

_T’,

tout

homo-morphisme algébrique f

non nul de

~a

vérifiant

Si

_f

est

_inversible,

c’est-à-dire si c’est une

homothétie,

on dira _que ’Y‘ et T’

sont

_isomorphes.

Par

_exemple,

les modules de Drinfeld de _{rang 1 sont} tous

isomorphes

au module de Carlitz défini _par

_{l’égalité}

Sa fonction

_{exponentielle}

associée est donnée _par

où les

_Dh

sont définis ainsi :

On

_{rappelle qu’il}

existe un élément 7r E

_{transcendant,}

tel _que si l’on

note if =

(T -

note

On

_peut

maintenant énoncer brièvement les résultats de A.

_Thiery.

1.2.

_{Indépendance algébrique}

des

_périodes

et

_{quasi-périodes}

Pour faciliter la lecture de ce

paragraphe,

on

rappelle

le célèbre théorème

de G. V.

_Chudnovsky

_(voir

_[Ch]).

Proposition

3

_([Ch]).

_{Soit p}

la

_{,fonction elliptique}

de Weierstrass

d’inva-riants _92,93

_{algébrzques et ( la fonction}

de Weierstrass associée _{à p.} On se

donne une

_{période À de p}

et w un

_{point de p qui}

ne soit _pas un

_pôle,

tels

que À soient linéairement

indépendants

sur

Q. Alors,

les deux nombres

sont

_{algébriquement}

_{indépendants}

sur

_Q.

,

Une

_conséquence

directe est _que le nombre

_w/7r

est transcendant sur

Q.

On

verra, dans une dernière

partie,

l’analogue

de ce résultat pour les modules

de Drinfeld.

On considère ici un module de Drinfeld ’Y‘ de _rang

2,

défini sur une

extension finie L de l~. On note

_AT

son réseau des

périodes.

Une bidérivation

associée à

_’Y’,

est une

application

_{JFq-linéaire 17:}

A - O 7

_qui

vérifie

les

_égalités

D’après

[Ge6],

il existe une

unique

fonction entière

F,7

E telle

que l’on ait

Avec ces

_notations,

en

_prenant

L =

_k,

le résultat obtenu _par A.

_Thiery

[T]

est le suivant.

Proposition

4

_([T]).

Soient À et w des éléments non nuls de

AT

_pour

lesquels

F,7(w)

TW

est non nul. Alors les deux nombres

1B

sont

_{algébriquement indépendants}

sur k.

On

_rappelle

encore _{que, si} T est de la forme -f-

_{gxq -}

X q2 ,

(voir

[Ge7])

où

_(~1,~2)

_désigne

une base du réseau

AT ,

et

_{où 77 :}

T ~ _{qT =} .~’.

Ainsi,

on a

- - - 1 - ,

- - _ "1 , _ . -"1 ,

1

On fixe maintenant t E

_C,

tel _{que ~)}

_{q- q-l.}

tel _que

t =

t(z).

On considère le module de Drinfeld

T(z)

de réseau des

périodes

A EB zA :

On

note j(z)

=

g(z)q+1 /A(z)

son invariant

_modulaire,

et on _{suppose que}

j(z)1/(q+1)

est dans k. Soit p E C pour

lequel

on a

J.Lq2-1

= 2013

alors le

module de Drinfeld ’r’ associé au vérifie

u u

Puisque

(J1.Q-lg(z))Q+l = -j(z),

alors T est défini sur

k,

et donc la

_période

n’est

pas

algébrique

sur

k,

ainsi on a

p,

Finalement,

le résultat de A.

_Thiery

a la

_conséquence

suivante.

Cependant,

il semble _que l’on

_{puisse reprendre}

sa démonstration en

substi-tuant à l’extension L de

_k,

le _{corps L’ engendré} sur L _par les coefficients du

module de Drinfeld ’Y’ et de la bidérivation _1]. On obtiendrait alors le même

résultat _pour les modules de Drinfeld définis sur I~. Cela entrainerait

claire-ment le théorème

_prouvé

ici. La démonstration est

_malgré

tout

_différente;

ici on a recours aux _corps de fonctions

modulaires,

tandis _que A.

Thiery

fait essentiellement

_appel

aux fonctions

_{exponentielles}

et à leurs

_équations

fonctionnelles.

On commence _par donner

_quelques

définitions et _remarques sur les formes

modulaires, puis

sur les fonctions modulaires de niveau

_supérieur.

Pour une étude

_{plus approfondie,}

le lecteur _pourra se référer à

_[Gel]

ou à

[Ge3].

Le but du

_paragraphe

2 est essentiellement de

_placer

les deux fonctions

z

e j(az)

et z e

_{A (az)}

dans une même extension finie de

k(j, 0),

dont on

maîtrise le

_degré

sur

k(j, A)

_quand

a

_parcourt

A. Au

_paragraphe

_suivant,

on construit un nouveau

_polynôme

modulaire

_{4ba (X, Y)}

dont on

_majore

la hauteur. Pour

_cela,

on suit en

partie

la démarche de L. C. Hsia

qui

donne dans

_[H]

une estimation exacte de la hauteur du

_polynôme

modulaire

classique.

La hauteur des

_{nombres j(az)}

est obtenue à l’aide de hauteurs

différentielles dans

_[ADR],

mais la méthode utilisée ne donne aucun résultat

pour les nombres

2i(az) .

C’est donc ce

_polynôme

modulaire

~’)

_qui

fournira la

_majoration

de la hauteur des nombres

_A(az).

_Enfin,

la dernière

partie

est consacrée à la preuve du théorème annoncé. On y

applique

un

lemme de Liouville aux

nombres j {az) et A(az)

_pour des éléments a de

A,

convenablement choisis.

2. Fonctions modulaires

On définit le

demi-plan

supérieur n

par

Pour z E

_C,

on note = inf sa

_{partie imaginaire}

et

_{IzlA =}

x

inf Iz - ale

Alors,

un élément de C est dans

_0,

si et seulement si sa

_partie

aEA

imaginaire

est non nulle. Soit c &#x3E;

_0,

on définit l’ensemble suivant

Dans la

_suite,

on considère des modules de Drinfeld de rang 2 définis sur

-

k:

On _{remarque que} la

_{quantité j T)}

= _ne

dépend

_que de la classe

d’isomorphisme

de T. On

_l’appelle

invariant modulaire de T. Le groupe

agit

sur le

_demi-plan

supérieur n

_par:

On associe à T son réseau des

_périodes

A = _que l’on normalise

en

A EB

Az. Alors deux éléments z et z’ définissent des modules de Drinfeld

isomorphes

si et seulement si ils sont

_conjugués

_par l’action de r =

GL2 {A) .

On obtient ainsi une

_bijection

entre C et le

_quotient

fournie par

l’invariant modulaire

_j.

2.1. Formes modulaires

Soit 1 un entier et

_{f : n}

-1- C une fonction

holomorphe

vérifiant

En

_particulier,

on a

Ainsi, f

peut

être considérée comme une fonction définie sur

A SI

Or,

1

d’après

E. U. Gekeler

_(voir

_[Ge5]),

pour tout c &#x3E;

_1,

z ~

_t(z)

définit un

isomorphisme

de

A "ne

sur une boule

_épointée

Par

_conséquent,

il existe une fonction

_{f *}

telle _que l’on ait

On dira _que

_f

est une

_{f orme}

modulaire de

_poids

1 si

_{f *}

admet un

dévelop-pement

en série entière autour de 0.

Exemple.

A

_{chaque z}

E

_Q,

on associe le module de Drinfeld

T(z)

associé

au réseau

A 0

Az,

et donc des nombres

_g(z)

et

_~(z).

On définit ainsi des

formes modulaires de

_{poids respectifs q - 1}

et

_{q2 -}

_1,

_qui

sont donc aussi des fonctions en la variable t.

Dans la

_suite,

on omettra les

_{astérisques, ainsi g}

et A

_désigneront

aussi bien des fonctions en z _que des fonctions en la variable t. On notera encore

2i =

_{et 9 =}

de sorte _que les

_{fonctions y}

et A ont des

développements

en t à coefficients dans A. En

_effet,

comme E. U. Gekeler

dans

_[Ge5],

on note

_Bo

l’ensemble des séries

Il est clair _que

_B~

est stable pour

l’addition,

la

multiplication

et que si

f

= 1+... est dans

_Bo,

alors il en est de même pour

l~ f .

Il est vu dans

[Ge5]

que la fonction

A/3

=

7f1_q2 Als

appartient

à

Bo.

On détermine facilement

le

_premier

terme du

_{développement}

de A = _{-8 + ..- et on en} déduit

que

s /A

est un élément de

_Bo.

De

plus,

la

fonction g

= = 1 + ... est

elle aussi dans

_Bo

et donc

_{s. j}

E

_Bo.

_Ainsi,

on a les deux

développements

suivants

Enfin,

comme dans toute démonstration de

_{transcendance,}

on doit s’assurer

de

_{l’indépendance algébrique}

de ces fonctions. On la montre facilement

en utilisant leurs

_propriétés

modulaires. On

_peut

donc énoncer le lemme suivant.

Lemme 1.

_{Les fonctions A et j}

sont

_{algébriquement indépendantes}

sur C.

2.2. Fonctions modulaires de niveau a

Pour a dans A w

{01,

on introduit maintenant une famille de

fonctions,

dites

_fonctions

modulaires de niveau a, contenant les formes modulaires que l’on vient de définir. Il

s’agit

de fonctions

qui

sont modulaires pour un

certain sous-groupe

Fa de

r. Dans le cas

classique,

elles sont _par

_exemples

étudiées dans

_[L]

_{(Chapitre 6).}

Dans notre

_cadre,

E. U. Gekeler les introduit

dans

_[Gel]

ou dans

[Ge3]

(Chapitre VII).

On note

Soit a E A unitaire et

_{ra le}

_{sous-groupe de} r =

GL2 (A)

suivant

Ce groupe est

_appelé

sous-groupe de congruence de niveau a de r.

Soit

_{f :}

Ç2 - C une fonction

méromorphe

et stable par

ra.

En

particulier,

pour tout élément z de

_C,

elle vérifie

_{f (z}

+

_a)

=

f (z) .

Puisque

pour tout

c &#x3E;

_1,

z -

t(z)

définit un

_isomorphisme

de sur une boule

épointée

101,

alors _{pour tout} c &#x3E;

_1,

_{l’application}

définit un

isomorphisme

du

quotient a.A",nc

sur Comme

précé-demment,

on

_peut

trouver une fonction

f *

telle _que

f*(t1/a)

=

f (z).

Si

f*

possède

un

développement

en série de Laurent en

_0,

et s’il en est de même

pour les

( f

o -y) *

où 1

parcourt

r,

on dira _que

f

est une fonction modulaire

de niveau a sur ~2.

On donne

_{quelques exemples}

intervenant ultérieurement. Le suivant est

classique,

sa _preuve se déroule très naturellement à

_l’image

de celle donnée

dans

_[L]

dans le cadre de la

_{caractéristique}

nulle.

Lemme 2. Soit a E

_{M2 (A)}

de déterminant a.

Alors, j

o a est une

_fonction

modulaire de niveau a.

Soit a G A. Comme dans le cas

_classique,

le groupe r =

GL2 (A)

_agit

par

-On a le

_système

de

représentants

_pour l’action à

gauche

suivant,

_que l’on

note

_{~~ (r),}

On notera son cardinal. S.

_Bae,

en

_appendice

de

[Ba],

démontre

l’égalité

suivante

où le

_produit

est

_pris

sur tous les b E A

_{irréductibles,}

unitaires et divisant

a. On a alors la

_majoration

suivante

_(voir

lemme 7 de

_[ADR])

où C est une constante ne

_dépendant

_que de

On définit maintenant la fonction

_ha

_pour

Avec ces

notations,

on a le lemme suivant.

Lemme 3. Soit a E

_11â(r).

_Alors,

_ha

est une

fonction

modulaire de

niveau a.

Preuve. Soit

_[3

= I ₊ a.M _e

ra

_et

~3’

=

a(3o.-1.

On écrit

De

_{l’égalité}

_{aq = ,1 a.,} on tire les relations

_ndo

=

n’ao

_et

dop

=

n’bo

₊

p’do.

Comme A est une forme modulaire de

_poids

(q2 -

1),

@ on obtient

sans difficulté

l’égalité

ha

o

/3

=

ha.

Les _autres

_propriétés

_concernant les

développements

en de

ha

et des fonctions _{pour T} dans

_r,

découlent facilement du

développement

en t de la fonction A. On a donc

bien _que

_ha

est une fonction modulaire _pour

_ra.

C7

On définit maintenant une famille de fonctions modulaires de niveau

a,

qui

sont les

_analogues

des fonctions de Weber

_{classiques .}

On a vu

précédemment,

qu’à chaque z

de

_Ç2,

on

_peut

associer un module de

fonctions

_{f u}

définies sur

_Q,

_par

Pour r et s dans A non divisibles _{par a,} on note

_u~z,

_r,

_s)

définit les fonctions suivantes.

et on

On a alors les

_propriétés

élémentaires suivantes

_(c.f.

_[Ge3]

_chapitre

_VII).

Lemme 4

_([Ge3]).

2- Les

_fonctions

_f(r,s)

sont modulaires

de niveau _a,

2.3.

_Corps

de fonctions modulaires de niveau a

L’objectif

de ce

_paragraphe

est de

placer

les deux fonctions

dans une extension finie de

k(A, j)

dont on maîtrise le

_degré

en fonction

de a. On sait

déjà

_que la

fonction j

o _a est racine du

_polynôme

modulaire

classique

(voir

par

exemple

[Ba])

défini par

Ainsi,

la

_{fonction j}

o a est

_algébrique

de

_degré

inférieur sur

1~ { j ) .

On

pose

Dans la

_suite,

on _{montre que} la fonction

ho.a

- a q2_1

/),. 0 a est

un élément

il

de

_{k(j, j}

o

a) .

Pour

cela,

on utilise les résultats de E. U. Gekeler sur les

corps de fonctions modulaires.

On note

_Fa(C)

le _corps des fonctions modulaires de niveau a définies sur

C. On sait

_{classiquement}

_que

_{F1 C)}

=

G { j ) .

Le groupe r =

agit

sur

Fa (C)

par

composition f

-7

_f

_{Ainsi, d’après}

le lemme

_4,

il

_agit

sur les

fonctions de Weber _par ---~ On définit

Puisque

ha

et Z

_agissent

trivialement sur on

_peut

définir une action

comme dans le cas

_classique

la

_proposition

suivante

_(proposition

3.4.1 de

[Gel]).

Proposition

5

_[Gel].

Le corps

Fa(C)

est le corps

engendré

sur C _par les

fonctions j

et où _r, s E A , a.A. De

_plus,

l’extension

est

_galoisienne

et son _groupe de Galois est

On considère le _{groupe de congruence suivant}

D’après

les travaux de E. U. Gekeler

_(voir

_[Ge2]),

le _corps des fonctions

modulaires pour

ro (a)

et définies sur C est le _sous-corps

_{C ( j, j o a)}

de

_{Fa (C) .}

Avec ces

résultats,

on

_peut

démontrer la

proposition suivante, qui

répond

à la

_question

_posée

en début de

paragraphe.

Proposition

6. Le _corps de

_fonctions

_La

=

k(A, j, j oa)

est une extension

finies

de de

_{degré inférieure}

à et l’on

_{a j}

o a e

fa

-Preuve. Tout

_d’abord,

il est facile de voir que la fonction

haa

est modulaire pour le groupe

ro (a).

Par

suite,

elle se trouve dans le _corps

_{C( j, j o a).}

_Ainsi,

il existe des

_polynômes

_{P(X, Y)}

et

_Q(X,

_Y)

de

_{C[X, Yj,}

_pour

_lesquels

on a

Ensuite, puisque

l’on a

Inégalité

(14),

la fonction

haa

= aq2-1.Ó. 0 a

a un

A

développement

de Laurent en t à coefficients dans k.

Or,

il en est de même

pour les

fonctions j

et j

o a. Par

conséquent,

l’égalité

est

_équivalente

à un

_système

linéaire

(de

_rang

fini)

à coefficients dans 1~ et

dont les inconnues sont les coefficients des

_polynômes

_{P(X, Y)}

et

_Q(X,

_Y).

On _{sait que} ce

système

a une solution non nulle à coordonnées dans

C,

nécessairement il a en au moins une non nulle à coordonnées dans k. Par

suite,

on

_peut

choisir les deux

polynômes

P(X, Y)

et

_Q(X,

_Y)

dans

_{k [X, Y~.}

Ainsi,

la fonction

_h,,,,.

est bien un élément du _corps

k ( j, j o a),

ce

_qui

achève

3.

Étude

d’un

_polynôme

modulaire

Soit ~ E une extension finie de

degré

D. On

rappelle

la notion de

hauteur

_projective

d’un

_{élément /3 =}

_{({3o, ... , (3m)}

de

où

ME

désigne

l’ensemble de toutes les

_places

de E et

_dw

le

_degré

résiduel

sur

_lF9

en la

place

w normalisée par w(E) = Z _U

{+oo~.

Si

f (Xl, ... ,

~

AAXA

E

k~Xl, ... ,

_XI],

alors on

appelle

hauteur du

polynôme f

On définit encore la mesure de Mahler de

par

La hauteur d’un

_polynôme

à coefficients dans A est aussi sa mesure de

Mahler et le maximum des

_degrés

de ses coefficients.

Ainsi,

si

alors on a les

_égalités

suivantes.

Dans cette

_partie,

on construit un

_polynôme

_{pour tout} a de

A,

dont on

majore

la hauteur. L’intérêt de ce

_polynôme

est

_qu’il

est annulé

par le

couple

Ceci

_permettra

dans le

_paragraphe

_4,

d’obtenir une

_majoration

de la

hau-teur du nombre

_A(ta)

_{supposé algébrique}

sur le _corps k.

Soient a1, ... , les éléments de l’ensemble

A§ (r)

défini en

(18).

On

considère le

_polynôme

suivant

où les fonctions

_hat

sont définies en

(21).

On va montrer _que c’est un

polynôme modulaire,

c’est-à-dire _que ses coefficients sont des

_polynômes

en la fonction

_j.

Dans la suite les

Ui

désigneront

les coefficients de ce

polynôme :

3.1.

_{Développement}

en de

Ui

Dans ce

_paragraphe,

on démontre la

_proposition

suivante.

Proposition

7. Il existe des éléments de

_{A [e(7f/a)] ,}

tels _que l’on ait

Preuve. Les fonctions

ha

n’ont _pas nécessairement de

_{développement}

en t

mais elles en ont un en On étudie ces

_{développements.}

On a vu d’une

part,

que la

fonction -

appartient

à

Bo .

D’autre

part,

on a

a

Ainsi, J

a un

développement

en série entière en à coefficients dans A.

A

Soit a = a°

:]

un élément de

0 r

alors on a le

_{développement qui}

0

a )

PP

suit.

où

_{Pj,ao E A[X].}

_Ainsi,

il est clair _que

_A(a(z»

a un

_{développement}

en

du

_{développement}

suivant.

où les

_{rj (a)}

sont dans A.

Finalement,

vu sa définition

_(21),

la fonction

_ha

a un

_{développement}

en

série de Laurent du

_type

où les

_Qi(a)

sont dans A

_{[e(7f la)] .}

Comme

_~(a),

la

_proposition

7 en découle facilement. 0

3.2.

_Propriétés

modulaires du

_{polynôme ~a}

Dans ce

paragraphe,

on démontre _{que les} coefficients

Ui

de

a(X) (voir

(29))

sont des

_{polynômes en j}

dont on

_majore

le

degré.

Plus

précisément,

on obtient la

_proposition

suivante.

Proposition

8. Soit a E A

_urcitaire,

alors il existe

_{~a (X,}

_Y)

E

_{A[X, Y]}

de

_degré

en Y

_inférieur

à

0(a)

tel _que l’on ait

Preuve. Avant de commencer la _preuve, on donne

_quelques

_remarques

con-cernant l’action de r sur les fonctions

_{hai .}

Le théorème 1.1 de S. Bae

[Ba],

dit _que

_agit

transitivement à droite sur les classes à

gauches,

ainsi

on a

va E

_{~~ (r‘), ‘d-y}

E

_{GL2 (A),}

3a’ E

_~~(r),

_3-r’

E

_{GL2 (A)}

tels _que =

’"’(’a’.

Une

_{conséquence directe,}

en est le lemme suivant.

Lemme 5. Le _groupe r

_permute

transitivement les

_fonctions

_haie

On

_poursuit

la _preuve de la

_proposition

8. D’une

_part,

_puisque

les coef-ficients de

4la

sont des fonctions

_symétriques

en les il en résulte

qu’ils

sont stables _par l’action de

_GL2(A).

D’autre

_part,

_d’après

la

_proposition

7,

les coefficients

_UZ

de

_4Ya

ont un

développement

de Laurent en

_tl/a;

comme

ils sont

_modulaires,

ces

_{développements}

sont en fait en la variable t.

z ~ _gz, donc aussi

_{par t}

~--3

_lit.

_Ainsi,

les

_Ui

ont un

développement

en

série de Laurent en la variable s =

tq-1 .

En

_outre,

ils _sont de la forme : -.

où les sont a

priori

dans

A [e (7r/o)].

D’après

[Ca],

Aut(k (e (7r/~) ? k))

est

_{composé d’automorphismes}

ar définis par ar

(e

= _e

(r7f/a) ,

où

r E A est

_premier

avec a.

Or,

les fonctions

_ha;

sont

_permutées

_par ces

automorphismes,

donc les coefficients de sont stables _par l’action de

_{Aut(k(e(7r/a),k)).}

_Ainsi,

ils sont dans

_A((s)).

De

_{plus, puisque}

les seules fonctions modulaires

_qui

sont

_holomorphes

sur S2 et à l’infini sont les

constantes,

comme dans

[L] (chapitre 5)

on a le lemme suivant.

Lemme 6. Soit

_f

une

fonction

modulaire

_qui

est

_holomorphes

sur 52. On

suppose que

f

a un

développement

de la

forme

alors

_f

est un

_{polynôme en j}

de

_degré

M et dont les

_coefficients

sont dans le A-module

_engendré

_par les _ci.

On en conclut _que

chaque

Ui

est un

polynôme en j

de

degré

inférieur ou

égal

à

_(a),

et à coefficients dans

_A,

d’où la

_proposition

annoncée. 0 3.3.

_Majoration

de la hauteur du

_polynôme

modulaire

Dans ce

_paragraphe,

on donne une

_majoration

de la hauteur du

polynôme

Y).

L. C. Hsia dans

_[H]

obtient une estimation exacte de celle du

polynôme

modulaire

_{classique. Ici,}

on suit un _parcours

similaire,

et on

obtient une

_majoration

du même ordre. On notera

_{pour zEn}

tel que

Izli

&#x3E; 1 :

On commence _par

_majorer

la hauteur des

_polynômes

_pour certains

y. On aura

besoin,

_pour

cela,

d’exprimer deg

A(z)

en fonction de

_Izli.

Proposition

9. Soit zEn tel que

Izli

=

qn-é

_&#x3E;

1,

où n E N et 0 ~

_1,

alors on

a t’égatité

Preuve. On

_rappelle

tout d’abord le lemme suivant démontré par M. L.

Brown

_([B,

lemme

_2.6.1~)

et

_qui

estime la valeur absolue de

_t(z)

en fonction

Lemme 7

_([B]).

Soit z E Ç2

_satisfaisant

_Izl

= =

qm-e,

où m E Z et

0 ~ 1. Si on _pose n =

m},

alors

En

_particulier,

si n = 0 alors

On

_rappelle

que C est le module de Carlitz

_{(voir (4)),}

ainsi pour a E A on .a :

On définit par le

polynôme réciproque

de

Ca- Ainsi,

si

a est

_unitaire,

on a

Soient - 1 et tEe tel que

t

i

qe-qql,

alors on a les

_majorations

Ainsi,

alors

On

_rappelle

la formule du

_produit

obtenue _par E. U. Gekeler dans

_{[Ge4] :}

où

A+

_désigne

le sous-ensemble de A formé des éléments unitaires. Soit z E C tel

_qu’il

existe _pour

_lequel

on a

Izi

=

IzlA =

&#x3E;

q-1.

Le lemme 7 donne les

_majorations

et

_d’après

_(32),

on a la

_majoration

En

_reportant

dans la formule du

_produit,

on obtient

_{l’égalité}

suivante

On termine alors la _preuve de la

_proposition

9.

_Puisque

&#x3E;

_1,

on

_peut

trouver u E

_A,

vérifiant les

_égalités

= =

1 z - u 1.

On

_{pose z’}

=

z - u,

ainsi = =

qn-g

donc _{on a}

Or, puisque A

est une forme

_modulaire,

A(z)

=

0(z’)

_{et on a} les

_égalités

d’où la

_proposition.

0

On

_peut

maintenant donner une

_majoration

de la hauteur des

_polynômes

pour certains y.

Proposition

10. Soit z E n tel _{que Izi} = =

ql-’

où 0 _e

_1,

_et

y = j (z~ . Alors on a

Preuve. Avec ces

notations,

on a

on a

_{l’égalité}

et donc

On est ainsi amené à

_majorer

_deg(ha(z)),

et donc aussi _pour

a

_parcourant

A* (r).

On se donne (

On

_distinguera

deux cas.

Premier cas : Si &#x3E;

_1,

c’est-à-dire

Q,

alors

_d’après

la

proposition

9 on a

deg 2i(a(z)) =

0. On obtient les

Finalement on a montré

_{l’inégalité}

Second cas : Si

_1,

c’est-à-dire

Idol 2:

Q,

on

_reprend

la

cons-truction _par L. C. Hsia

_[H]

d’un élément 7 de

SL2(A)

tel que &#x3E; 1.

Cette construction utilise les suites de

_Farey,

_que l’on ne détaillera _pas ici.

On _pose N =

~deg do - 1/2 deg (az)].

D’après

la

proposition

3.4 de

[H],

il

existe u et v dans A _{tels que}

_{(u, v)}

= 1 et

deg

v,

deg v

_N,

avec :

Le théorème de Bezout donne l’existence de deux éléments r et s de

A,

r 1

pour

lesquels

la matrice est dans

SL2(A).

Alors :

En

_effet,

on a

En

_distinguant

deux cas, L. C. Hsia obtient dans

[H]

les relations suivantes.

Lemme 8

_([H]).

On a

Dans tous les _cas, on obtient la

_majoration

En

_reportant

dans

_(34),

on obtient facilement la

_proposition.

Il

On utilise

maintenant,

comme L. C.

Hsia,

une méthode

d’interpolation

pour obtenir la

majoration

suivante de la hauteur du

polynôme

4b,".

Proposition

11. R existe une constantes co &#x3E; 0 telle que pour tout a E A

on ait

On

_utilisera,

_{pour montrer} cette

_proposition

le résultat

_qui

suit

_([H],

lemme

_5.1).

Lemme 9

_([H]).

Soient 0

AI

À2

deux nombres

_positifs

du _groupe des valuations de C. Soit

_P(X)

E

_C[X]

de

_degré

_D,

il existe une constante r, &#x3E; 0

ne

_dépendant

_que de

_À1

et de

_A2

telle _que l’on a

On

_applique

ce lemme aux coefficients de

qui

sont des

_polynômes

On sait _{que pour} tout z dans S2 tel que

~z~

=

= q’-e

où 0 _e 1 _{on a}

On fixe é1 et E2 réels vérifiant les

inégalités

0 ~1 E2 1 et on _pose

Ai

=

qq(q-(q-l)ë2)

La fonction

modulaire j

four-nit une

_bijection

entre et

_C,

ainsi pour tout y dans C tel que

~1

Iyl

A2,

il

_{existe 17}

E

[2,

vérifiant _y

_{= j(i7)}

et

_1r¡1

=

1r¡li

=

ql-ë

_avec

Il E E2.

Donc,

on a

Comme les

_Ui

sont des

_polynômes

de

_degrés

inférieurs

_{â ~ (a) ,}

le lemme 9

donne de

_plus

la

_majoration

Les

_majorations

₍₃₈₎

et

₍₃₉₎

donnent alors clairement la

_{proposition. D}

4. Démonstration du théorème

4.1. Construction d’une fonction auxiliaire

On

_construit,

_{pour tout} entier naturel

_N,

une fonction

FN(t) =

PN(Ll(t), j(t)),

vérifiant

où les entiers

_Li

seront déterminés ultérieurement en fonction de N. Si on

écrit

_PN

sous la forme

_PN

alors on a les

_{développements}

i

où les coefficients

_8nl

et _rn2 sont introduits en

(12)

et

_(13).

On est donc amené à trouver des solutions dans A du

_système

linéaire suivant.

Pour

_cela,

on utilise le lemme de

_Siegel

suivant

(voir

_par

exemple

~ADR~).

Lemme 10.

_Soient,

_{pour 1 i} m et

_{1 j}

_n, des _{éléments ai,j de} A. On note

_Mo

un

majorant

de leurs

degrés.

Si rrt _n, alors il existe

xi, ... , xn dans A non tous nuls tels _que l’on ait

Il existe donc des solutions au

_système

(S)

dès _que N +

L2

L =

LlL2-De

_plus,

les

_majorations

données en

(12)

et en

(13)

sur les coefficients

des

_{développements}

des fonctions à

_{et j,}

_impliquent

_que les

_degrés

des

coefficients de ce

système

ne sont _pas

_plus

_grands

_que N +

L2.

Le lemme

de

_Siegel

permet

donc de choisir dont la hauteur vérifie la

_majoration

4.2.

_Majoration

du

_degré

de

_FN(t)

Soit

_{M(q - 1)}

l’ordre d’annulation de

_FN(t)

en zéro. Par construction

de

_FN,

on a clairement M &#x3E; lV. Soit

f M

le

premier

coefficient non nul

dans le

_{développement}

₍₄₁₎

en série entière de

FN .

On _pose

de sorte _{que l’on ait}

Soit

_l§

on

majore

le

degré

de

FN (t)

pour t

de

degré

inférieur ou

égal

à

p. Les

inégalités

de

Cauchy

dans le cadre non-archimédien donnent ici

En choisissant

p = - 1 ,

_p on obtient la

_majoration

q i 1

J

On a donc montré la

proposition

suivante.

Proposition

12. Pour tout tEe vérifiant

_deg(t)

2013201320132013,

, on a la

q - 1

4.3. Construction d’un nombre

_algébrique

non nul

On fixe désormais T dans C tel _que

deg( T)

:::; - ~1’

et on _{suppose que}

2013

~

les nombres

_A(T)

et sont

_algébriques

sur k.

Puisque

les fonctions à

et i

sont

_{algébriquement}

_{indépendantes}

sur C

(lemme 1),

la fonction

_FN

n’est _pas

_{identiquement nulle,}

et donc on

_peut

trouver a dans A

unitaire,

9

de

_degré

minimal tel que

0,

où On _{pose :}

Il est montré dans

_[ADR]

_{(lemme 13)}

que

(Tbl

= ainsi on a les

_égalités

suivantes.

Or,

comme

f M

e

_A,

alors

_1,

et donc

D’autre

part,

d’après

la

_majoration

de

_deg

_FN(t),

on a

Les deux

_inégalités

₍₄₆₎

et

₍₄₇₎

donnent alors la

_majoration

Et

_donc,

il existe une constante ci &#x3E; 0 ne

dépendant

_que de _q et de T, et

vérifiant

4.4.

_Majoration

de la hauteur de

_A(Ta)

Soit x E

_l~,

on note son

polynôme

minimal dans

A[X].

On

appelle

mesure de Mahler de x celle de son

polynôme minimal,

et on a :

On

_reprend

la démonstration du lemme 5 des

_Stéphanois

_[BS],

_pour obtenir

Lemme 11. Soit P E

_{A[X, Y]}

et x, y E

k

tels _que

_{P(x, y) =}

0. Si le

polynôme

P(X,

y)

n’est _{pas constant} alors on a la

_majoration

Preuve. On _pose

_{dy = [k(y) : k],}

on _{note ao} le coefficient dominant du

polynôme

minimal de _y dans

_A~X~,

_{et yl - y, Y2,} ... , ses

conjugués

répétés

avec

multiplicité.

Le

degré

en Y du

_polynôme

P sera noté D. On considère le

_polynôme

suivant.

Par

_{construction,}

ses coefficients sont des entiers

_{algébriques,}

et sont des fonctions

_symétriques

en les _yj. Par

conséquent,

ils sont dans A.

_Alors,

0,

le

_polynôme

minimal de x

divise Q

dans

A[X].

Par

hypothèse,

Q(X, y)

n’est pas constant

_{ainsi Q}

_{n’est pas} nul. On a donc les

majorations

suivantes

d’où le lemme. Il

On utilise ce lemme avec

la

_majoration

, On obtient

Alors,

sachant que l’on a

et connaissant la

_majoration

₍₂₀₎

de

_0(a),

on obtient facilement la

propo-sition suivante.

Proposition

13. Il existe une constante C2 &#x3E; 0 ne

dépendant

_que de _{q et}

de _T, telle _{que pour tout a} dans A on ait

4.5.

_Inégalité

de Liouville

C’est dans cette

_partie

_que l’on aboutit à une

contradiction,

en

appli-quant

le lemme de Liouville

_suivant,

corollaire du lemme 4 de

_[M].

Lemme 12. Soit

_{P~Xl, ... , X~J}

E

_{~4(Xl, ... , Xv3}

et

_À1’...’

_~~

des éléments de C contenus dans une extension de

degré

au de k. Si

P(À1, .. 0’ Àv)

est non

nul,

alors on a

On

_applique

ce lemme aux

polynômes PN,

avec v =

_{2,Ài =}

à(Ta) et

~2

= j (Ta).

D’une

_part,

la

_majoration

ci-dessous est vue dans

[ADR].

où c3 &#x3E;

0,

comme toutes les constantes _Ci

_{qui apparaissent}

dans la

suite,

ne

_dépend

_que de _{q et} de T. D’autre

_part,

la

_proposition

13 donne

D’après

la

_proposition

_6,

on

_peut

trouver une constante c4 &#x3E; 0 pour

laquelle

on a la

_majoration

On choisit maintenant

Li

=

(N3~g~

_et

L2

=

[N3/4].

On _a bien

du

_moins,

_pour N suffisamment

_grand.

De

_plus,

il existe une constante c5 &#x3E; 0 telle que l’on a

l’inégalité

H(PN)

c5 (N 7/8

+

_1).

D’autre

_part,

_{ci (M}

+

_H(PN)

+

_L2)

donc

on

_peut

trouver c6 &#x3E; 0 vérifiant

c6M.

Enfin,

étant donnés les choix de

_Li

et

L2,

et

_puisque

~V

_M,

il existe c7 &#x3E; 0 vérifiant la

_majoration

En

_reportant

dans

_{l’inégalité}

de

_Liouville,

on obtient l’existence de c8 &#x3E; 0

telle que

Alors,

sachant _que N

_M,

_que

_c6M,

et connaissant une

_majoration

de

_{(voir (20)),}

on obtient le résultat suivant

On

_aboutit,

_pour N assez

grand,

à une contradiction. 0

5.

_Conséquence

On considère un module de Drinfeld T de _{rang 2} défini

sur k :

Son invariant

_{modulaire j(T)}

= 9 Il

est donc

_algébrique

sur k. On se

donne une base

(~1,1~2)

du réseau A =

AT

associé à T. Le réseau

A’ =

W2 A

définit un module de Drinfeld y’ vérifiant

Wl

Les deux modules T et ~’’ étant

_isomorphes,

ils ont même invariant

modu-laire :

Or,

si l’on - - _ 1

-A e 1k. Le théorème démontré

_ici,

dit _que si

_jt(z)j

_[

_q

alors

Corollaire. Soit T un module de

_{Drinf eld}

de _rang 2

défini

sur

k,

et soit

A =

w2A

_son réseau associé. Si

deg

1

est transcendant.

Bibliographie

[ADR] M. ABLY, L. _DENIS, F. _RECHER, Transcendance de l’invariant modulaire en

car-actéristique finie. Math. Z. 231 _(1999), 75-89.

[Ba] S. _BAE, On the modular _equation for Drinfeld modules of rank 2. J. Number Theory 42

(1992), 123-133.

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Sophie DION

Université des sciences et _technologies de Lille UFR de mathématiques

59655 Villeneuve d’Ascq

France